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图4.1 西安市7岁男童坐高分布
此外，如图4.2，变量值愈小频数愈多图形呈“L”形，图4.3的频数集中在变量值较小的一边，右侧尾部拖 得很长。后两种属偏态分布。这三种频数分布都只有一个高峰称单峰分布。为更准确地说明分布的特征，对形状相同的分布作出集中位置和离散程度的比较，就需计算频数分布的一些特别值。如平均数、百分位数、极差、标准差、变异系数等。
图4.2 某市1095天中居民意外死亡人数(1980-1982)
图 4.3 204名轧钢工人白细胞中大单核所占百分比
二、众数、中位数、百分位数的意义及计算法
(一)众数 出现次数最多的变量值，或频数表上频数最多组的组中值即为众数。如表4.3中坐高的众数是66.5cm。这样仅由观察所得的众数称为观察众数。同一资料常因所用组距不同和下限取值不同，观察众数稍有出入，故又称概约众数，与观察众数相对应的尚有理论众数。理论众数的算法根据频数曲线类型的不同而异，数学上为与极大值相应的横坐标。
(二)中位数及百分位数
1.中位数 将n个变量值从小到大排列后，居中的一数就是中位数，符号为M，有的书上用Md。它将变量值分为两半，一半比它小，一半比它大。
X12<…n-1a
当n为奇数时
 (4.1)
当n为偶数时
 (4.2)
当资料呈明显偏态，或有个别的特小、特大值存在时，中位数的代表性往往比均数好。例如有5个变量值8、9、9、10、19。其中4个在9左右，但由于受数值19的影响，均数为11，不能很好代表中等水平。求中位数
比较符合实际。
根据频数表计算连续型变量的中位数可用式(4.3)或式(4.4)
 (4.3)
或  (4.4)
式中L、U分别为中位数所在组的下限及上限，A1为小于L的各组的累计频数，A2为大于U的各组的累计频数，fM、 i分别为中位数所在组的频数和组距。现用表4.5说明计算步骤如下：
(1)求出中位数的位置。在频数表上，数据已由小到大排好了。中位数将频数等分为2，因此先计算n/2，得中位数的位置。
n/2=157/2=78.5
(2)列出频数表、计算累计频数。列频数表时，组段的短横“-”写在两个组段下限之间，其意义仍与写在右边的相同，见表4.5第(1)栏。
第(3)栏为累计频数。此例自上而下累计到略小于n/2为止得A1=41，表示住院天数为10天及以下的有41个人。若要知道第78.5人的变量值，就需要从10-15组内再累计(78.5-41=)37.5人。假定该组的49人在10-15天内均匀分布着(见图4.4)，那么只要在10天上再加(78.5-41)/49个组距便是中位数了。所以
用符号表示见式(4.3)。
若将频数自下而上累计到略小于n/2为止，则得A2=67。也得出中位数在10-15组段内。
图4.4 中位数计算示意图
(3)写出L或U、fM及i。
(4)代入公式得M。
例4.1 求杆菌痢疾治愈者157名住院天数的中位数。
n/2＝157/2＝78.5
表4.5 杆菌痢疾治愈者的住院天数
L=10或U=15，fM=49，i=5。
代入公式
杆菌痢疾治愈者住院天数的中位数为13.8天。
中位数既然把频数等分为二，所以从另一端算起，用式(4.4)可得到同样的结果。
此例若计算治愈者平均住院天数得17.9天。从频数表上可看到157名患者中住院天数少于15天的就有90名，占57.3%，因此中位数13.8天的代表性优于均数17.9天。
2.百分位数 中位数将频数等分为二，亦称二分位数。若将频数等分为四，则称四分位数，共有三个四分位数，即第一、第二、第三四分位数。第二四分位数即中位数。同理，将频数等分为十或一百的分位数称十分位数或百分位数。其实上述各种分位数都可用百分位数表示。百分位数的符号为Px，X代表第X百分位。例如第一四分位数、中位数可分别以P25、P50表示。计算百分位数的方法与中位数相似，只是式(4.3)中的n/2以nx/100代替，M以X代替。
 (4.5)
式中LX、fx、ix分别为 Px所在组的下限、频数及组距。A为小于 Lx各组的累计频数。
例4.2，求例4.1中住院天数的P90。
(1)计算 
(2)累计频数自上而下至略小于141.3，见表4.5第(4)栏，得A=135。知P90在30-35组内，因此Lx=30，i=5,fx=7
(3)代入公式
第90百分位数为34.5天，说明有90%的患者住院天数在34.5天以下。
三、算术均数与几何均数的意义及计算方法
(一)算术均数 简称均数。设观察了n个变量值X1，X2，……Xa，一般可直接用式(4.6)求样本均数X。
式中∑是总和的符号，n是样本含量即例数。本书在不会引起误解的情况下简写成
X=1/n∑X (4.6)
例4.3 18-24岁非心脏疾患死亡的男子心脏重量(g)如下，求心重的均数。
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350 |
320 |
260 |
380 |
270 |
235 |
285 |
300 |
300 |
200 |
|
275 |
280 |
290 |
310 |
300 |
280 |
300 |
310 |
310 |
320 |
X＝1/20(350+320+…+320)＝5875/20＝293.75g
样本均数是总体均数的估计值，它有两个特性。(1)∑(X-X)=0，(2)∑(X-X)2为最小，前者读者
可自证，后者证明如下：
设：a≠X，则a＝X± d d>0
∑(X-a)2＝∑(X-X±d)2
＝∑[(X-X)±d]2
＝∑(X-X)2±2d∑(X-X)+Nd2
从第一个特性知∑(X-X)＝0，因此2d∑(X-X)＝0，
得
∑(X-a)2＝∑(X-X)2+Nd2
N是例数，不可能为负，所以Nd2也不会是负数。
∑(X-a)2>∑(X-X)2，∑(X-X)2为最小。
当用电子计算机处理大量实验数据，考虑到有较大舍入误差时，则先取一较近均数的常数C ，然后用式(4.7)计算，可提高均数的精度。
X＝C+1/n×(Xi-C) (4.7)
若每输入一个变量值后都希望得到均数，那么可用式(4.8)
X＝X n-1+1/n×(Xn-Xn-1 (4.8)
例4.4 仍用例4.3资料，已算得前19例心重的X10=292.37,又测得X20=320，求X20。
X20＝292.37+1/20×(320-292.37)=293.75g
若相同的变量值个数较多，或对频数表资料求均数时，可用式(4.9)计算X。
 或简写为X＝1/n∑fX (4.9)
式中K为不同变量值个数，或频数表中的组段数。Xi为第i个不同的变量值或频数表上的组中值，fi为第i个变量值的频数。
例4.5 计算表4.5菌痢治愈者的平均住院天数。
X＝1/157(3×2.5+38×7.5……+1×77.5)=17.9天
式(4.9)中某变量值的频数愈大，则该变量值对X的影响亦愈大。因此，频数又称权数，这样
计算出来的均数又叫加权均数。亦有根据变量值的重要性进行加权，计算加权均数的。
(二)几何均数 设n个变量值X1，X2，……，Xa呈对数正态分布，其几何均数G为
式中∏为连乘的符号。当变量值较多时，乘积很大，计算不便，常改用下式计算
 (4.10)
或  (4.11)
式中符号含义同式(4.6)与式(4.9)。
例4.6 求下表中麻疹病毒特异性IgG荧光抗体的平均滴度。
表4.6 52例麻疹患者恢复期血清麻疹病毒
特异性IgG荧光抗体滴度
| ；(2)1/n∑Xi
即对数数值的均数X；(3)将X取反对数即得几何均数1og-1X=G。这里不难理解，若将这种资料作对数变换后，即可用式(4.6)至式(4.9)的各式计算均数，得到结果后再取反对数即得几何均数。读者可自已验证。
四、运用平均数的注意事项
平均数是描述一群同质变量值集中位置的特征值，用来说明某现象或事物数量的中等水平。通常用平均数作为算术均数、几何均数、众数、中位数等的统称，而以均数作为算术均数的简称。
1.同质的事物或现象才能求平均数 我们检查200名正常人的红细胞数(万/mm3)计算平均数，定出正常值范围，作为诊断贫血的依据之一。如果正常人中混有贫血患者，那么求出的平均数既不能说明正常人也不能说明贫血患者，有人把它称为虚构的平均数，因为它模糊了数量特征，不能提供分析的依据了。因此计算平均数以前必须考虑资料的同质性。有人研究某药物的利尿作用，观察了二条狗、三头兔子用药前后的排尿滴数，曾将狗与兔子的排尿滴数加在一起求平均数。由于狗体大，排尿滴数较兔子的多，得到的平均数对狗来说似嫌少，而对兔子来说又显得太多，这是虚构平均数的又一例。
像狗与兔子，贫血患者与正常人的不同质是显而易见的。但即使是正常人，性别、年龄、地区不同，红细胞数的均数也有差异。那么怎样才算是同质呢？是否同质，要根据研究目的而定。例如研究痢疾患者的平均治愈日数时，要考虑不同病原菌、不同型别(急性、慢性等)的患者是不同质的。但当研究传染病的住院日数时，则不同疾病(痢疾、伤寒、……)是不同质的，而所有痢疾病人，不论由何种病原菌引起，或是何种型别都认为是同质的了。若研究各医院的平均住院天数时，医院类型(传染病院、儿童医院、综合医院、……)以及同类医院中，科室(内、外、传染……)设置及床位分配不同等就是不同质的了。不同质的事物就要分组求平均数，以便分析比较。因此科学的平均数是建立在分组的基础上的。
2.用组平均数补充总平均数 表4.7是某院1983年的治愈者平均住院天数。总均数为18天。但从表中可见，它所包含的20类(其他类除外)的疾病中，变态反应及中毒、小儿科疾病住院天数最短为9天，而结核病的却长达60天。住院天数高于总均数的有10类，治愈人数共1358人，占治愈总人数(其他类除外)的35%。若医疗质量基本不变，多收结核病人，住院天数的总均数无疑会延长；而多收小儿患者，总均数就会缩短。因此如没有收容病种的分析，仅从总均数的延长或缩短来看医疗质量是不科学的。而对各时期同种疾病的住院天数进行分析，比较适宜。
表4.7 某医院1983年各类疾病治愈者的平均住院天数
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传染病寄生虫病 |
结核病 |
呼吸系疾病 |
消化系疾病 |
内分泌疾病 |
循环系疾病 |
血液及造血系统疾病 |
7 |
33 |
皮肤科疾病 |
224 |
22 |
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神经系疾病 |
111 |
25 |
妇产科疾病 |
78 |
12 |
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变态反应及中毒 |
43 |
9 |
小儿疾病 |
601 |
9 |
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风湿病 |
21 |
10 |
其他 |
35 |
19 |
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泌尿系疾病 |
129 |
21 |
合计 |
3927 |
18 |
3.根据资料的分布选用适当的平均数 计量资料如是单峰对称分布，宜用均数，亦可用中位数。若是偏态分布则中位数的代表性常较均数为好。某些传染病的潜伏期、抗体滴度、细菌计数、率或比的变化速度及某些物质浓度等，其频数分布明显偏态，但经对数代换后近于正态分布的，如图4.3资料，应计算几何均数以描述其中等水平。
校对时间：1999-11-24 何翠红
, 百拇医药
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