多项相关系数及其估计△
作者：陈冠民 陈华 宋麒
单位：陈冠民(湖北医科大学统计学教研室 武汉430071)； 陈华(湖北医科大学统计学教研室 武汉430071)； 宋麒(湖北医科大学统计学教研室 武汉430071)
关键词：多项相关系数；参数估计；Monte-Carlo
数理医药学杂志000113
摘 要：采用潜在连续变量的原理探讨了多项相关系数全参数模型估计及二阶段估计的方法，并结合Monte-Carlo模拟比较了积矩相关系数、多项相关系数全参数模型估计、二阶段估计的真实性。
中图分类号：O 212.1
文章编号：1004-4337(2000)01-0026-02▲
, 百拇医药
有文献[1]曾对连续性变量与有序变量的多序列相关系数进行了讨论，本文用多项相关系数潜在连续变量的原理对两个有序变量间的多项相关系数进行探讨，Monte-Carlo模拟表明这种新技术计算的多项相关系数要比经典的方法计算的相关系数更接近于真实的相关系数，在生物医学领域进行模型配合也更符合医学实际。
1 多项相关系数的意义
假定观察到两个有序分类变量X与Y，他们分别为s和r个等级，则X与Y可以组成一个列联表(见表1)，更进一步，假定X、Y有两个潜在变量ξ和η分别与之对应。ξ和η是双变量正态分布。X和ξ有如下的阶梯函数关系：
X=1 当 ξ1
X=2 当 a1<ξ2… …
, 百拇医药
X=s 当 as-1≤ξ
Y与η有类似如下的阶梯函数：
Y=1 当 η1
Y=2 当 b1<η2… …
X=r 当 br-1≤η
X与Y组成的列联表的通用格式见表1。
表1 两个有序分类变量组成的列联表
ξ
X值，Y值
η
, 百拇医药
b1
b2
b3
br-1
1
2
3…
r
a1
1
n11
n12
, 百拇医药
n13…
n1r
a2
2
n21
n22
n23…
n2r
a3
3
n31
, 百拇医药
n32
n33…
n3r…………………
as-1
s
ns1
ns2
ns3…
nsr
nij表示第i行、第j列格子的频数，其中i=1,2,…,s,j=1,…,2,…,r。将X与Y的积矩相关系数称为点的多项相关系数，而变量ξ和η的相关系数称为多项相关系数。
, 百拇医药
2 多项相关系数的估计
如果使πij代表观察落在格子(i,j)上的频率，则似然函数可以表示为：
(1)
其中c是常数项。对于式(1)求对数，得下式：
(2)
假定ai是X的约束条件，bj是Y的约束条件，为了描述方便，规定a0=b0=0，as=br=+∞，则根据双变量正态分布函数可得；
πij=Φ2(ai,bj)-Φ2(ai-1,bj)-Φ2(ai,bj-1)+Φ2(ai-1,bj-1)
, 百拇医药
其中双变量正态分布ξ和η的相关系数为ρ，因此，对式(2)求ρ、ai、bj对应的偏导数并令其等于0，即可得到参数ρ、ai、bj的最大似然解。式(2)对应ρ的偏导数为：
(3)
因为
，其中
2是双变量正态分布函数，所以
(4)
故公式(3)变为：
(5)
, http://www.100md.com
式(2)对应于ai、bj的偏导数为：
(6)
(7)
通过公式(5)、(6)、(7)可以得到相应的参数估计值。尽管这样估计的参数较精确，但计算也比较复杂。
3 多项相关系数的二阶段估计
可采用二阶段估计多项相关系数，式(2)中的ai、bj可通过边缘累计的百分比求得，方法和多序列相关系数的求法相似，约束条件等于相应累计百分比正态分布函数的倒数。ai=Φ-1(Pi),bj=Φ-1(Pj)，Pij是观察样本落在第(i,j)格子上的百分比，Pi、Pj分别表示对应的行合计和列合计，Φ-1为正态分布概率分布函数的倒数，将ai、bj代入式(5)，可以得到ρ的最大似然解。
, 百拇医药
4 模拟实例
分别设定两个有序分类变量，其等级s分别分为3个等级，其真实相关系数分别为0.15、0.50、0.85，潜在变量的偏度参数分别定义为0、1、-1，样本例数为500，进行10次重复实验，用最大似然估计和二阶段估计得出的多项相关系数的均数见表2。
表2 多项相关系数的最大似然估计和二阶段估计 S=3
r1/r2
ρ
0/0
1/-1
1/0
1/1
, http://www.100md.com
0.15
0.1533
0.1533
0.1533
0.1554
0.1132
0.1132
0.1412
0.1413
0.0028
0.0028
0.0023
, 百拇医药 0.0023
0.0041
0.0041
0.0046
0.0046
0.50
0.5133
0.5132
0.4832
0.4833
0.4980
0.4981
0.5124
, http://www.100md.com
0.5121
0.0006
0.0006
0.0047
0.0047
0.0018
0.0018
0.0034
0.0033
0.85
0.8530
0.8530
, 百拇医药 0.8540
0.8540
0.8570
0.8571
0.8600
0.8600
0.0002
0.0002
0.0004
0.0004
0.0002
0.0002
0.0003
, 百拇医药
0.0003
从表2可以看出，在连续变量的偏度系数为0时，其多项相关系数更接近于真实的相关系数，而偏度的改变会使多项相关系数估计偏离真实的相关系数。■
△ 湖北省重点科技发展项目
参考文献：
[1] 陈冠民，等.多序列相关系数及其估计.数理医药学杂志，1999，12(2)：158.
[2] Olsson,U.Maximum likelihood estimation of the ploychoric correlation coefficient Psychometrika 1979,44(4):443.
[3] Martinson E.O et al. Calculation of the polychoric estimate of correlation in contingency table Applied Statistics 1975,24:272.
收稿日期：1999-04-08, 百拇医药
单位：陈冠民(湖北医科大学统计学教研室 武汉430071)； 陈华(湖北医科大学统计学教研室 武汉430071)； 宋麒(湖北医科大学统计学教研室 武汉430071)
关键词：多项相关系数；参数估计；Monte-Carlo
数理医药学杂志000113
摘 要：采用潜在连续变量的原理探讨了多项相关系数全参数模型估计及二阶段估计的方法，并结合Monte-Carlo模拟比较了积矩相关系数、多项相关系数全参数模型估计、二阶段估计的真实性。
中图分类号：O 212.1
文章编号：1004-4337(2000)01-0026-02▲
, 百拇医药
有文献[1]曾对连续性变量与有序变量的多序列相关系数进行了讨论，本文用多项相关系数潜在连续变量的原理对两个有序变量间的多项相关系数进行探讨，Monte-Carlo模拟表明这种新技术计算的多项相关系数要比经典的方法计算的相关系数更接近于真实的相关系数，在生物医学领域进行模型配合也更符合医学实际。
1 多项相关系数的意义
假定观察到两个有序分类变量X与Y，他们分别为s和r个等级，则X与Y可以组成一个列联表(见表1)，更进一步，假定X、Y有两个潜在变量ξ和η分别与之对应。ξ和η是双变量正态分布。X和ξ有如下的阶梯函数关系：
X=1 当 ξ
X=2 当 a1<ξ
, 百拇医药
X=s 当 as-1≤ξ
Y与η有类似如下的阶梯函数：
Y=1 当 η
Y=2 当 b1<η
X=r 当 br-1≤η
X与Y组成的列联表的通用格式见表1。
表1 两个有序分类变量组成的列联表
ξ
X值，Y值
η
, 百拇医药
b1
b2
b3
br-1
1
2
3…
r
a1
1
n11
n12
, 百拇医药
n13…
n1r
a2
2
n21
n22
n23…
n2r
a3
3
n31
, 百拇医药
n32
n33…
n3r…………………
as-1
s
ns1
ns2
ns3…
nsr
nij表示第i行、第j列格子的频数，其中i=1,2,…,s,j=1,…,2,…,r。将X与Y的积矩相关系数称为点的多项相关系数，而变量ξ和η的相关系数称为多项相关系数。
, 百拇医药
2 多项相关系数的估计
如果使πij代表观察落在格子(i,j)上的频率，则似然函数可以表示为：
(1)其中c是常数项。对于式(1)求对数，得下式：
(2)假定ai是X的约束条件，bj是Y的约束条件，为了描述方便，规定a0=b0=0，as=br=+∞，则根据双变量正态分布函数可得；
πij=Φ2(ai,bj)-Φ2(ai-1,bj)-Φ2(ai,bj-1)+Φ2(ai-1,bj-1)
, 百拇医药
其中双变量正态分布ξ和η的相关系数为ρ，因此，对式(2)求ρ、ai、bj对应的偏导数并令其等于0，即可得到参数ρ、ai、bj的最大似然解。式(2)对应ρ的偏导数为：
(3)因为
，其中2是双变量正态分布函数，所以 (4)故公式(3)变为：
(5), http://www.100md.com
式(2)对应于ai、bj的偏导数为：
(6) (7)通过公式(5)、(6)、(7)可以得到相应的参数估计值。尽管这样估计的参数较精确，但计算也比较复杂。
3 多项相关系数的二阶段估计
可采用二阶段估计多项相关系数，式(2)中的ai、bj可通过边缘累计的百分比求得，方法和多序列相关系数的求法相似，约束条件等于相应累计百分比正态分布函数的倒数。ai=Φ-1(Pi),bj=Φ-1(Pj)，Pij是观察样本落在第(i,j)格子上的百分比，Pi、Pj分别表示对应的行合计和列合计，Φ-1为正态分布概率分布函数的倒数，将ai、bj代入式(5)，可以得到ρ的最大似然解。
, 百拇医药
4 模拟实例
分别设定两个有序分类变量，其等级s分别分为3个等级，其真实相关系数分别为0.15、0.50、0.85，潜在变量的偏度参数分别定义为0、1、-1，样本例数为500，进行10次重复实验，用最大似然估计和二阶段估计得出的多项相关系数的均数见表2。
表2 多项相关系数的最大似然估计和二阶段估计 S=3
r1/r2
ρ
0/0
1/-1
1/0
1/1
, http://www.100md.com
0.15
0.1533
0.1533
0.1533
0.1554
0.1132
0.1132
0.1412
0.1413
0.0028
0.0028
0.0023
, 百拇医药 0.0023
0.0041
0.0041
0.0046
0.0046
0.50
0.5133
0.5132
0.4832
0.4833
0.4980
0.4981
0.5124
, http://www.100md.com
0.5121
0.0006
0.0006
0.0047
0.0047
0.0018
0.0018
0.0034
0.0033
0.85
0.8530
0.8530
, 百拇医药 0.8540
0.8540
0.8570
0.8571
0.8600
0.8600
0.0002
0.0002
0.0004
0.0004
0.0002
0.0002
0.0003
, 百拇医药
0.0003
从表2可以看出，在连续变量的偏度系数为0时，其多项相关系数更接近于真实的相关系数，而偏度的改变会使多项相关系数估计偏离真实的相关系数。■
△ 湖北省重点科技发展项目
参考文献：
[1] 陈冠民，等.多序列相关系数及其估计.数理医药学杂志，1999，12(2)：158.
[2] Olsson,U.Maximum likelihood estimation of the ploychoric correlation coefficient Psychometrika 1979,44(4):443.
[3] Martinson E.O et al. Calculation of the polychoric estimate of correlation in contingency table Applied Statistics 1975,24:272.
收稿日期：1999-04-08, 百拇医药