流动渠道中的血流动力学问题研究
作者：阮晓声 谢小平 王 奇 朱 雯
单位：浙江医科大学 物理教研室, 杭州 310031
关键词：流动渠道技术；血流动力学；牛顿流体；Casson流体
中国医学物理学杂志990316
摘要： 本文用流体动力学原理，研究了流动渠道中的血流动力学问题，分别推导了牛顿流体、Casson流体在矩形渠道中的流体动力学方程，文中还对流动渠道内的二相流问题进行研究，并就血液流变学研究中利用流动渠道技术的应用实例，讨论了流体模型选择问题
中图分类号：R331.1+1 文献标识码：A 文章编号：1005-202X(1999)03-0169-03
The hydrodynamics of blood in flow channel
, 百拇医药
RUAN Xiao-sheng, XIE Xiao-ping, WANG Qi, ZHU Wen
(Medical Physics Department,Zhejiang Medical University,Hangzhou 310031,China)
Abstract： This paper is about the hydrodynamics of blood in flow channel on the principle of hydrodynamics, and the hydrodynamics equations of Newton-fluid and Casson-fluid in rectangle channel. It also includes the studies of the diphasic flow. The fluid model selection is discussed from the examples in the hemorheology studies using flow channel technique.
, http://www.100md.com
Key words: flow channel technique; Hydrodynamics of blood; Newton-fluid; Casson-fluid
在血液流变学的方法学研究中，流动渠道是一种较好的实验工具。通过一定的流体驱动装置将血液或红细胞悬浮液注入流动渠道腔内，可研究红细胞变形、聚集等血液流变学因子[1，2]。目前，血液在圆管中的流体动力学特性在许多专著上都能见到，而血液在矩形腔体中的流动行为却鲜见报道。本文将结合流动渠道技术的应用实践，对流动渠道中的血流动力学问题进行讨论。
1 流体在矩形渠道中流动的一般表达式
在圆管中流体所受切应力τ与压力梯度△P/L间的关系由Stokes关系式确定，而在矩形流道中切应力与压力梯度的关系式需重新建立。
设流体在矩形流道内作定常、充分发展的层流流动，流体对于渠道腔壁不存在滑动，近壁层流体处于静止。在渠道内取一液段，长度为L如图1所示:
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图1 部分矩形流体示意图
图中W代表矩形流道的宽度，h代表矩形流道的厚度。按对称性建立直角坐标系。为维持渠道内的定常流动，设沿长度L方向的压差为P1-P2，设离坐标原点O距离为y处的流体切应力为τ，则根据力平衡原理：
2yW△P=2τ(WL+2yL)
由于y的取值范围为(h/2～-h/2),而在实际应用中W
h ,实际应用中用宽厚比W/h来表示渠道形状因子，一般情况下W/h≈102[2，4]。 在(WL+2yL)两项因子中，WL2yL，因而2yL项可以忽略(后文中所讨论的问题均属此情况)。从而得：
(1)
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在(1)式中，当y =h/2时，τ达到最大值，记τW。
(1)′
则
(2)
对于一般的非牛顿流体，切变率与切应力的关系为
=f(τ)。 流体在渠道内沿X方向作层流运动时，在Wh的条件下，流动速度u仅为y 的函数，因此有：
,从而可得
(3)
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我们利用(1)式和(3)式可得流体在矩形渠道中流动的速度分布、流量、切变率等的一般表达式。
(1)速度分布 由(3)式得,-du= f(τ)dy有壁面无滑移条件和对称性分析，可知
时，u=0 ,而u(y)=u(-y) 。通过积分后可得：
(4)
再由(1)式和(2)式可得：
(5)
(2)流量 在如图(10)所示的矩形渠道中体积流量
, http://www.100md.com 将(3)式代入，得
(6)
(3)平均切变率 渠道横截面上的平均切变率定义为
对(2)式微分后代入上式得：
(7)
2 牛顿流体在矩形渠道中的流动
对于牛顿流体，切应力与切变率的表达式为
(8)
式中η为牛顿粘度，将(5)、(6)、(7)式代入(8)式，可得：
, 百拇医药
(1) 速度分布
将(1)和(1)＇代入上式，可得：
(9)
(9)式表明牛顿流体在矩形渠道内运动的速度分布具有XY面内的抛物线剖面。
(2)流量
整理后得：
(10)
(3) 平均切变率
(11)
, 百拇医药
(11)式表明，牛顿流体在矩形渠道内运动的平均切变率
是渠道壁面切变率的1/2。
3 Casson流体在矩形渠道中的流动
血液是一种具有屈服应力的流体，在血液流变学中常用Casson公式来讨论血液流动问题，Casson公式的表达式为
(12)
式中ηc为Casson粘度，τc为Casson屈服应力。将(12)式中代入(5)、(6)、(7)式可得：
(1) 速度分布 讨论Casson流动分τc<τw和τc>τw两种情况。
, 百拇医药
(a) τc<τw由(2)式可得：
(13)
yc是指切应力等于τc时所对应的y值。τc<τw相当于
，由(1)′式可知
在此条件下，压力差足以驱动渠道内血流。将(12)式代入(5)式，得：
代入(1)、(2)、(13)式，可得速度分布的表达式：
(14)
, 百拇医药
当
(渠道底部或顶部)时，u=0，满足壁面无滑移条件。
(14)式中，当Y=Yc时，其速度值为
(15)
而当Yc时，均有u=uc，即Casson流体在渠道中流动时，-Yc～Yc范围内的片状流体作栓流流动。
(b) τc>τw时，，相当于
，由Casson公式可知，f(τ)=0，进而得：
, 百拇医药
u=0 (16)
(2) 流量 为推导Casson流体在流动渠道中的流量问题，同样要考虑τc<τw和τc>τw两种情况。
(a) τc<τw 将(12)式代入(6)式
(17)
为讨论方便，定义
，其中Pc为使渠道壁面切变率等于τc时L两端的压差。积分(17)式，并代入τc及τw的表达式，得：
(18)
, 百拇医药
上式中，当τc=0即Pc=0时，
，结果与牛顿流体相同。
(b) τc>τw 此时，式(6)中f(τ)=0，故
Q=0 (19)
(3) 平均切变率
(a) τc<τw 此时(7)式为
(20)
当τc=0时，
，结果与牛顿流体相同。
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(b) τc>τw时，式(7)中得f(τ)=0，故
(21)
4 矩形渠道中的二相流
在血液微循环中，当血管足够细时人们观察到，在毛细血管壁附近存在着血浆层。血浆层的相对厚度随毛细管径的减少而增加，这种圆管中心和边缘存在不同流态的现象，称为二相流[3]。在流动渠道技术的应用中，许多情况下渠道厚度h在102～101 μm之间。因而，也存在二相流的情况。
设血浆层厚度为δ，中心流层厚度为Yz，
-δ。令
，则
。
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渠道中压差—流量关系随中心部分流体的流变性质不同而异，而血浆层可看作牛顿流体，粘度为ηP。由(2)式可得，中心流层和血浆层交界处的切应力为：
.因而，对应于中心流层
的切应力τ为0<τ<γvw，而对应于血浆层
的切应力τ为γτw<τ<τw。
(a) 中心部分看作牛顿流体此时的流动曲线为：
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相应的流量为：
(22)
(b) 中心部分看作Casson流体 此时的流动曲线为：
由
可知，在τc<γτw的条件下
，此时流量表达式为：
(23)
当τc>γτW时，中心部分流层不流动，流量的计算公式
, 百拇医药
5 讨论
在流动渠道技术的具体应用中，可用蠕动泵或微量注射泵作为流体的驱动源，将血液样品或缓冲液注入矩形渠道内。如果注入液体的体积流量可精确测得，则根据渠道腔尺寸及本文讨论所得公式，可计算出相应的驱动压差。也可通过测量渠道两端的压力差，来计算流过渠道的体积流量[4]。不同的应用实践，所选的流体模型是可以不同的。图(2)是笔者进行不同项目研究所得的两幅照片：
(a) (b)
图2 流动渠道技术应用实例
图2(a)是利用流动渠道技术用底部附着法[5]研究红细胞变形性所得照片。从照片中可看出，由于红细胞的数量非常少，在渠道腔内流动的缓冲液可作为均质的牛顿流体来讨论。图2(b)是利用光测方法研究红细胞在流动渠道腔内聚集过程的照片[5]。在这里，腔内流动血液的压积高达30%，不能看作均质流体，且有屈服应力。此时，用Casson流体模型来讨论渠道腔内的流动性状更为合理。图2(b)的照片拍下了红细胞在h = 12μm 渠道腔内的单层聚集图像，照片里聚集体中红细胞盘面垂直于流动方向，渠道底部和顶部为一定厚度的血浆层，在讨论这种情况时，应考虑二相流模型。
, 百拇医药
参考文献:
[1] R.M.Hochmuth,et al.Biophsical.[J] 1973;13:747-762.
[2] L.Dintenfass,et al.Clinical Hemorheology.[J]1985;5:917-936.
[3] 冈小天.生物流变学[M].科学出版社,1988. 158-162.
[4] 阮晓声，等.中国医学物理学杂志[J]，1997，14(4):354-356.
[5] 阮晓声，梁中庆.浙江医科大学学报[J]，1991；20(5):215-216.
收稿日期：1998-09-08, 百拇医药
单位：浙江医科大学 物理教研室, 杭州 310031
关键词：流动渠道技术；血流动力学；牛顿流体；Casson流体
中国医学物理学杂志990316
摘要： 本文用流体动力学原理，研究了流动渠道中的血流动力学问题，分别推导了牛顿流体、Casson流体在矩形渠道中的流体动力学方程，文中还对流动渠道内的二相流问题进行研究，并就血液流变学研究中利用流动渠道技术的应用实例，讨论了流体模型选择问题
中图分类号：R331.1+1 文献标识码：A 文章编号：1005-202X(1999)03-0169-03
The hydrodynamics of blood in flow channel
, 百拇医药
RUAN Xiao-sheng, XIE Xiao-ping, WANG Qi, ZHU Wen
(Medical Physics Department,Zhejiang Medical University,Hangzhou 310031,China)
Abstract： This paper is about the hydrodynamics of blood in flow channel on the principle of hydrodynamics, and the hydrodynamics equations of Newton-fluid and Casson-fluid in rectangle channel. It also includes the studies of the diphasic flow. The fluid model selection is discussed from the examples in the hemorheology studies using flow channel technique.
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Key words: flow channel technique; Hydrodynamics of blood; Newton-fluid; Casson-fluid
在血液流变学的方法学研究中，流动渠道是一种较好的实验工具。通过一定的流体驱动装置将血液或红细胞悬浮液注入流动渠道腔内，可研究红细胞变形、聚集等血液流变学因子[1，2]。目前，血液在圆管中的流体动力学特性在许多专著上都能见到，而血液在矩形腔体中的流动行为却鲜见报道。本文将结合流动渠道技术的应用实践，对流动渠道中的血流动力学问题进行讨论。
1 流体在矩形渠道中流动的一般表达式
在圆管中流体所受切应力τ与压力梯度△P/L间的关系由Stokes关系式确定，而在矩形流道中切应力与压力梯度的关系式需重新建立。
设流体在矩形流道内作定常、充分发展的层流流动，流体对于渠道腔壁不存在滑动，近壁层流体处于静止。在渠道内取一液段，长度为L如图1所示:
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图1 部分矩形流体示意图
图中W代表矩形流道的宽度，h代表矩形流道的厚度。按对称性建立直角坐标系。为维持渠道内的定常流动，设沿长度L方向的压差为P1-P2，设离坐标原点O距离为y处的流体切应力为τ，则根据力平衡原理：
2yW△P=2τ(WL+2yL)
由于y的取值范围为(h/2～-h/2),而在实际应用中W
h ,实际应用中用宽厚比W/h来表示渠道形状因子，一般情况下W/h≈102[2，4]。 在(WL+2yL)两项因子中，WL2yL，因而2yL项可以忽略(后文中所讨论的问题均属此情况)。从而得： (1), http://www.100md.com
在(1)式中，当y =h/2时，τ达到最大值，记τW。
(1)′则
(2)对于一般的非牛顿流体，切变率与切应力的关系为
=f(τ)。 流体在渠道内沿X方向作层流运动时，在Wh的条件下，流动速度u仅为y 的函数，因此有：,从而可得 (3), http://www.100md.com
我们利用(1)式和(3)式可得流体在矩形渠道中流动的速度分布、流量、切变率等的一般表达式。
(1)速度分布 由(3)式得,-du= f(τ)dy有壁面无滑移条件和对称性分析，可知
时，u=0 ,而u(y)=u(-y) 。通过积分后可得： (4)再由(1)式和(2)式可得：
(5)(2)流量 在如图(10)所示的矩形渠道中体积流量
, http://www.100md.com 将(3)式代入，得
(6)(3)平均切变率 渠道横截面上的平均切变率定义为
对(2)式微分后代入上式得：
(7)2 牛顿流体在矩形渠道中的流动
对于牛顿流体，切应力与切变率的表达式为
(8)式中η为牛顿粘度，将(5)、(6)、(7)式代入(8)式，可得：
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(1) 速度分布
将(1)和(1)＇代入上式，可得：
(9)(9)式表明牛顿流体在矩形渠道内运动的速度分布具有XY面内的抛物线剖面。
(2)流量
整理后得：
(10)(3) 平均切变率
(11), 百拇医药
(11)式表明，牛顿流体在矩形渠道内运动的平均切变率
是渠道壁面切变率的1/2。3 Casson流体在矩形渠道中的流动
血液是一种具有屈服应力的流体，在血液流变学中常用Casson公式来讨论血液流动问题，Casson公式的表达式为
(12)式中ηc为Casson粘度，τc为Casson屈服应力。将(12)式中代入(5)、(6)、(7)式可得：
(1) 速度分布 讨论Casson流动分τc<τw和τc>τw两种情况。
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(a) τc<τw由(2)式可得：
(13)yc是指切应力等于τc时所对应的y值。τc<τw相当于
，由(1)′式可知在此条件下，压力差足以驱动渠道内血流。将(12)式代入(5)式，得：代入(1)、(2)、(13)式，可得速度分布的表达式：
(14), 百拇医药
当
(渠道底部或顶部)时，u=0，满足壁面无滑移条件。(14)式中，当Y=Yc时，其速度值为
(15)而当Y
(b) τc>τw时，
，相当于，由Casson公式可知，f(τ)=0，进而得：, 百拇医药
u=0 (16)
(2) 流量 为推导Casson流体在流动渠道中的流量问题，同样要考虑τc<τw和τc>τw两种情况。
(a) τc<τw 将(12)式代入(6)式
(17)为讨论方便，定义
，其中Pc为使渠道壁面切变率等于τc时L两端的压差。积分(17)式，并代入τc及τw的表达式，得： (18), 百拇医药
上式中，当τc=0即Pc=0时，
，结果与牛顿流体相同。(b) τc>τw 此时，式(6)中f(τ)=0，故
Q=0 (19)
(3) 平均切变率
(a) τc<τw 此时(7)式为
(20)当τc=0时，
，结果与牛顿流体相同。, http://www.100md.com
(b) τc>τw时，式(7)中得f(τ)=0，故
(21)4 矩形渠道中的二相流
在血液微循环中，当血管足够细时人们观察到，在毛细血管壁附近存在着血浆层。血浆层的相对厚度随毛细管径的减少而增加，这种圆管中心和边缘存在不同流态的现象，称为二相流[3]。在流动渠道技术的应用中，许多情况下渠道厚度h在102～101 μm之间。因而，也存在二相流的情况。
设血浆层厚度为δ，中心流层厚度为Yz，
-δ。令，则。, http://www.100md.com
渠道中压差—流量关系随中心部分流体的流变性质不同而异，而血浆层可看作牛顿流体，粘度为ηP。由(2)式可得，中心流层和血浆层交界处的切应力为：
.因而，对应于中心流层的切应力τ为0<τ<γvw，而对应于血浆层的切应力τ为γτw<τ<τw。(a) 中心部分看作牛顿流体此时的流动曲线为：
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相应的流量为：
(22)(b) 中心部分看作Casson流体 此时的流动曲线为：
由
可知，在τc<γτw的条件下，此时流量表达式为： (23)当τc>γτW时，中心部分流层不流动，流量的计算公式
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5 讨论
在流动渠道技术的具体应用中，可用蠕动泵或微量注射泵作为流体的驱动源，将血液样品或缓冲液注入矩形渠道内。如果注入液体的体积流量可精确测得，则根据渠道腔尺寸及本文讨论所得公式，可计算出相应的驱动压差。也可通过测量渠道两端的压力差，来计算流过渠道的体积流量[4]。不同的应用实践，所选的流体模型是可以不同的。图(2)是笔者进行不同项目研究所得的两幅照片：
(a) (b)
图2 流动渠道技术应用实例
图2(a)是利用流动渠道技术用底部附着法[5]研究红细胞变形性所得照片。从照片中可看出，由于红细胞的数量非常少，在渠道腔内流动的缓冲液可作为均质的牛顿流体来讨论。图2(b)是利用光测方法研究红细胞在流动渠道腔内聚集过程的照片[5]。在这里，腔内流动血液的压积高达30%，不能看作均质流体，且有屈服应力。此时，用Casson流体模型来讨论渠道腔内的流动性状更为合理。图2(b)的照片拍下了红细胞在h = 12μm 渠道腔内的单层聚集图像，照片里聚集体中红细胞盘面垂直于流动方向，渠道底部和顶部为一定厚度的血浆层，在讨论这种情况时，应考虑二相流模型。
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参考文献:
[1] R.M.Hochmuth,et al.Biophsical.[J] 1973;13:747-762.
[2] L.Dintenfass,et al.Clinical Hemorheology.[J]1985;5:917-936.
[3] 冈小天.生物流变学[M].科学出版社,1988. 158-162.
[4] 阮晓声，等.中国医学物理学杂志[J]，1997，14(4):354-356.
[5] 阮晓声，梁中庆.浙江医科大学学报[J]，1991；20(5):215-216.
收稿日期：1998-09-08, 百拇医药