混沌的反控制研究及其应用前景
作者：罗晓曙 付金阶 谈志强 王力虎 郭维
单位：罗晓曙 王力虎(广西师范大学物理与电子科学系 广西桂林市 541004)；付金阶 谈志强 郭维(桂林市第二人民医院 桂林市 541003)
关键词：系统变量；脉冲反馈；混沌反控制；脑电波控制
华夏医学000201 摘要 用系统变量的脉冲反馈法控制离散和连续非线性系统，使系统由稳定的周期运动转变为不稳定的混沌运动。分别研究了一维逻辑映象和洛仑兹系统，用三种方法判断数值模拟结果的性质。模拟结果表明，该控制法可以实现混沌的反控制。同时简略地讨论了混沌的反控制在神经病学、脑科学等领域的应用前景。
中图分类号 O545
Study of the Anticontrol of Chaos and It's Application Prospects
, 百拇医药
Luo Xiaoshu,Wang Lihu
(Department of Physics and Electronic Science,Guangxi Normal University)
Fu Jinjie,Tan Zhiqiang and Guo Wei
(Guilin 541004;Guilin No.2 People's Hospital,Guilin 541003)
Abstract In this paper,the method of feedback pulse of system variable was applied to control the discrete map and continuous nonlinear system for transforming a stable periodic motion into an unstable chaotic motion.The logistic map and Lorenz system were studied respectively,and the property of the results of numberical simulation were judged by three methods.The simulation results showed that the inverse chaos can be controlled with this method.Meanwhile,the prospects for applications in fields such as neuropathy and brain science were also discussed briefly.
, 百拇医药
Key words system variable;pulse feedback;anticontrol of chaos
周期运动和混沌运动是非线性系统较普遍存在的两种运动形式。对于一类非线性系统，随着系统参数的变化，其运动形式也跟着变化，两个著名的例子是逻辑映象和Lorenz系统[1]。当系统处于混沌态时，由于其对初值的极端敏感性，在90年代以前，人们长期认为混沌是不可控制的。但自从Ott、Grebogi、Yorke创造性的提出采用参数微扰法成功地实现混沌控制后[2]，国内外的科学工作者对混沌的控制研究迅速形成高潮，迄今已提出了许多种混沌控制方法[2～7]，其中一些混沌控制方法已在生物医学工程领域得到了应用，例如美国洛杉矶加州大学的一个研究小组已用OGY控制混沌方法[2]成功地实现了兔子心律不齐的控制[8]。
然而，混沌行为并非总是病态的、有害的，正是混沌提高了脑的共振容量从而对外界的刺激产生丰富的响应[9]，Amit发现混沌不仅不会妨碍新模式的学习，而且有助于新模式的记忆[10]。人们已知有些癫痫患者的脑电波呈现有较明显的节律波，而正常人的脑电波是混沌的[11，12]。因此如何实现混沌的反控制，即把一个具有周期运动的非线性系统控制成具有混沌运动的系统，在生物医学、脑科学等领域具有巨大的应用前景。目前混沌的反控制虽已引起人们的关注[13]，但有关研究结果还少见报道。笔者用变量脉冲反馈法控制一维逻辑映象和洛仑兹(Lorenz)系统，用三种方法，即系统李雅谱诺夫指数的计算、谱分析法和系统轨道直接观察都证实了系统经过该法控制后，其解已由稳定的周期解转变为不稳定的混沌解。
, 百拇医药
1 控制方法与控制结果
文献[4，5，10]采用系统变量的反馈控制法，分别对离散映象系统及连续非线性系统成功地实现了各种周期轨道的稳定控制，本文采用变量脉冲反馈法实现混沌的反控制，其控制算法如(1)式所示：
x′n=xn(1+gλ)
其中
(1)
该法有两个控制参数，一是脉冲间隔时间Δn，二是反馈系数λ，即反馈脉冲强度。
下面将该控制方法应用到两个具体的例子，逻辑映象和Lorenz系统[1]，两个模型的计算均采用双精度型数据。
, 百拇医药
(1) 一维逻辑映象
一维逻辑映象的迭代方程为：
xn+1=axn(1-xn) (2)
取a=3.2,(2)式的解为2P，取Δn=2,λ=0.15，当迭代到4千步时开始加入控制，则系统被控制到混沌状态，如图1～2所示；参数a=3.5时，(2)式的解为4P，取Δn=4,λ=-0.15，则系统被控制到混沌带倒分岔序列1Ⅰ，如图3～4所示。其中图1、3是变量xn的轨道演化图，图2、4是变量xn被控制到混沌状态时对应的功率谱图，从4个图上可以看出控制结果具有明显的混沌性质。
图1 混沌状态的控制结果
, 百拇医药
图2 混沌状态的功率谱
图3 混沌带反序列1Ⅰ的控制结果
图4 1Ⅰ的功率谱
在非线性动力学理论中，表征非线性系统的混沌行为的主要特征量是系统的最大李雅谱诺夫指数σ(一维系统只有一个李雅谱诺夫指数)，σ<0意味着系统处于稳定的周期运动，σ>0对应于混沌运动。为了进一步证实控制后(2)式解的性质，笔者对控制前后系统的李雅谱诺夫指数进行计算，取30万个数据，按下式分别求控制前后变量xn的李雅谱诺夫指数：
(3)
, 百拇医药 计算表明，未控制时(2)式的解为2P、4P，对应的李雅谱诺夫指数分别为σ=-0.39794和σ=-0.37891,加入控制后，对应的李雅谱诺夫指数分别为σ=0.06623和σ=0.06354，计算结果有力地证实了通过变量脉冲反馈法，可以把非线性系统由稳定的周期运动控制到随机的混沌运动。
(2) Lorenz系统
著名的Lorenz系统的方程为：
dx/dt=a(y-x)
dy/dt=bx-y-xz (4)
dz/dt=xy-cz
图5 6P的相图
, 百拇医药
图6 6P的功率谱图
取系统的参数为a=10.0,b=126.52,c=8.0/3.0,则Lorenz系统的解为6P，如图5、6所示。采用同样的控制方法，当控制参数取为Δn=50,λ=-0.05时，系统的解又转变为蝴蝶型奇怪吸引子，其轨道相图和对应的功率谱图分别如图7、8所示。计算受控后系统的最大李雅谱诺指数σmax=0.8064。以上三种方法都证实Lorenz系统的解已为混沌解。
图7 控制到奇怪吸引子
图8 奇怪吸引子的功率谱图
2 结论与展望
, http://www.100md.com
笔者采用变量脉冲反馈法，成功地实现了对离散映象系统和连续非线性系统的混沌反控制，不同的判断方法都证实了系统受控后其解已由周期解转变为混沌解。这一结果不免使人联想到正常人与癫痫患者脑电波的差异问题。当癫痫患者处于病态时，由于脑内神经元发生同步性异常放电，有几种类型癫痫患者的脑电波呈现有明显的节律波。人们已发现对小脑进行电刺激治疗，对于有明显情感异常和有幻觉、妄想的癫痫患者有比较好的治疗效果[11]。那么是否可以利用混沌的反控制方法去控制癫痫患者发病时的脑电波，使其变为混沌波，从而达到治疗的目的?作者提出这一初步设想，是希望引起有关科学工作者的注意，共同探讨混沌的反控制技术在神经科学、脑科学、生物医学等领域的应用。
参考文献
1，郝柏林.分岔、混沌、奇怪吸引子、湍流及其它.物理学进展，1983，3：336
2，Ott E,Grebogi C，Yorke J A.Controlling chaos.Phys Rev Lett,1990,66:1196～1199
, 百拇医药
3，罗晓曙，孔令江，屈万里.用数字有限脉冲响应滤波器控制混沌.物理学报，1998，47(7)：1078～1083
4，罗晓曙.利用相空间压缩实现混沌和超混沌控制.物理学报，1999，48(3)：402～407
5，Guemez J，Matias M A.Control of chaos unidimensional maps.Phys Lett.A,1993,181:29～32
6，Pyragas K.Continuous control of chaos by self-controlling feedback.Phys Lett A,1992,170:421～428
7，Hu Gang,He Kaifen.Controlling chaos system described by partial differential equations.Phys Rev Lett,1993,71:3794～3797
, http://www.100md.com
8，方锦青.非线性系统中混沌的控制与同步及其应用前景.物理学进展，1996，16：1～70
9，Aihara k.Periodic and Nonperiodic Response of a Periodiclly Forced Hodgkin-Huxley Oscillator.J.Theor Biol,1984,109:249～255
10，Amit D.J.Neural Network-Achievements Prospects Difficults In Proc of Phys of Structure formation.Turbingen,1986,12:102～110
11，解学孔.癫痫病学.北京：人民卫生出版社，1993.350～486
12，陈式刚.映象与混沌.北京：国防工业出版社，1992.9～10
13，Guanrong Chen.Proceedings of the First International Conference on Control of Oscillations and chaos,St.Peterburg,Russia,Ang,1997.181～186
(收稿日期：1999-10-10), 百拇医药
单位：罗晓曙 王力虎(广西师范大学物理与电子科学系 广西桂林市 541004)；付金阶 谈志强 郭维(桂林市第二人民医院 桂林市 541003)
关键词：系统变量；脉冲反馈；混沌反控制；脑电波控制
华夏医学000201 摘要 用系统变量的脉冲反馈法控制离散和连续非线性系统，使系统由稳定的周期运动转变为不稳定的混沌运动。分别研究了一维逻辑映象和洛仑兹系统，用三种方法判断数值模拟结果的性质。模拟结果表明，该控制法可以实现混沌的反控制。同时简略地讨论了混沌的反控制在神经病学、脑科学等领域的应用前景。
中图分类号 O545
Study of the Anticontrol of Chaos and It's Application Prospects
, 百拇医药
Luo Xiaoshu,Wang Lihu
(Department of Physics and Electronic Science,Guangxi Normal University)
Fu Jinjie,Tan Zhiqiang and Guo Wei
(Guilin 541004;Guilin No.2 People's Hospital,Guilin 541003)
Abstract In this paper,the method of feedback pulse of system variable was applied to control the discrete map and continuous nonlinear system for transforming a stable periodic motion into an unstable chaotic motion.The logistic map and Lorenz system were studied respectively,and the property of the results of numberical simulation were judged by three methods.The simulation results showed that the inverse chaos can be controlled with this method.Meanwhile,the prospects for applications in fields such as neuropathy and brain science were also discussed briefly.
, 百拇医药
Key words system variable;pulse feedback;anticontrol of chaos
周期运动和混沌运动是非线性系统较普遍存在的两种运动形式。对于一类非线性系统，随着系统参数的变化，其运动形式也跟着变化，两个著名的例子是逻辑映象和Lorenz系统[1]。当系统处于混沌态时，由于其对初值的极端敏感性，在90年代以前，人们长期认为混沌是不可控制的。但自从Ott、Grebogi、Yorke创造性的提出采用参数微扰法成功地实现混沌控制后[2]，国内外的科学工作者对混沌的控制研究迅速形成高潮，迄今已提出了许多种混沌控制方法[2～7]，其中一些混沌控制方法已在生物医学工程领域得到了应用，例如美国洛杉矶加州大学的一个研究小组已用OGY控制混沌方法[2]成功地实现了兔子心律不齐的控制[8]。
然而，混沌行为并非总是病态的、有害的，正是混沌提高了脑的共振容量从而对外界的刺激产生丰富的响应[9]，Amit发现混沌不仅不会妨碍新模式的学习，而且有助于新模式的记忆[10]。人们已知有些癫痫患者的脑电波呈现有较明显的节律波，而正常人的脑电波是混沌的[11，12]。因此如何实现混沌的反控制，即把一个具有周期运动的非线性系统控制成具有混沌运动的系统，在生物医学、脑科学等领域具有巨大的应用前景。目前混沌的反控制虽已引起人们的关注[13]，但有关研究结果还少见报道。笔者用变量脉冲反馈法控制一维逻辑映象和洛仑兹(Lorenz)系统，用三种方法，即系统李雅谱诺夫指数的计算、谱分析法和系统轨道直接观察都证实了系统经过该法控制后，其解已由稳定的周期解转变为不稳定的混沌解。
, 百拇医药
1 控制方法与控制结果
文献[4，5，10]采用系统变量的反馈控制法，分别对离散映象系统及连续非线性系统成功地实现了各种周期轨道的稳定控制，本文采用变量脉冲反馈法实现混沌的反控制，其控制算法如(1)式所示：
x′n=xn(1+gλ)
其中
(1)该法有两个控制参数，一是脉冲间隔时间Δn，二是反馈系数λ，即反馈脉冲强度。
下面将该控制方法应用到两个具体的例子，逻辑映象和Lorenz系统[1]，两个模型的计算均采用双精度型数据。
, 百拇医药
(1) 一维逻辑映象
一维逻辑映象的迭代方程为：
xn+1=axn(1-xn) (2)
取a=3.2,(2)式的解为2P，取Δn=2,λ=0.15，当迭代到4千步时开始加入控制，则系统被控制到混沌状态，如图1～2所示；参数a=3.5时，(2)式的解为4P，取Δn=4,λ=-0.15，则系统被控制到混沌带倒分岔序列1Ⅰ，如图3～4所示。其中图1、3是变量xn的轨道演化图，图2、4是变量xn被控制到混沌状态时对应的功率谱图，从4个图上可以看出控制结果具有明显的混沌性质。
图1 混沌状态的控制结果
, 百拇医药
图2 混沌状态的功率谱
图3 混沌带反序列1Ⅰ的控制结果
图4 1Ⅰ的功率谱
在非线性动力学理论中，表征非线性系统的混沌行为的主要特征量是系统的最大李雅谱诺夫指数σ(一维系统只有一个李雅谱诺夫指数)，σ<0意味着系统处于稳定的周期运动，σ>0对应于混沌运动。为了进一步证实控制后(2)式解的性质，笔者对控制前后系统的李雅谱诺夫指数进行计算，取30万个数据，按下式分别求控制前后变量xn的李雅谱诺夫指数：
(3), 百拇医药 计算表明，未控制时(2)式的解为2P、4P，对应的李雅谱诺夫指数分别为σ=-0.39794和σ=-0.37891,加入控制后，对应的李雅谱诺夫指数分别为σ=0.06623和σ=0.06354，计算结果有力地证实了通过变量脉冲反馈法，可以把非线性系统由稳定的周期运动控制到随机的混沌运动。
(2) Lorenz系统
著名的Lorenz系统的方程为：
dx/dt=a(y-x)
dy/dt=bx-y-xz (4)
dz/dt=xy-cz
图5 6P的相图
, 百拇医药
图6 6P的功率谱图
取系统的参数为a=10.0,b=126.52,c=8.0/3.0,则Lorenz系统的解为6P，如图5、6所示。采用同样的控制方法，当控制参数取为Δn=50,λ=-0.05时，系统的解又转变为蝴蝶型奇怪吸引子，其轨道相图和对应的功率谱图分别如图7、8所示。计算受控后系统的最大李雅谱诺指数σmax=0.8064。以上三种方法都证实Lorenz系统的解已为混沌解。
图7 控制到奇怪吸引子
图8 奇怪吸引子的功率谱图
2 结论与展望
, http://www.100md.com
笔者采用变量脉冲反馈法，成功地实现了对离散映象系统和连续非线性系统的混沌反控制，不同的判断方法都证实了系统受控后其解已由周期解转变为混沌解。这一结果不免使人联想到正常人与癫痫患者脑电波的差异问题。当癫痫患者处于病态时，由于脑内神经元发生同步性异常放电，有几种类型癫痫患者的脑电波呈现有明显的节律波。人们已发现对小脑进行电刺激治疗，对于有明显情感异常和有幻觉、妄想的癫痫患者有比较好的治疗效果[11]。那么是否可以利用混沌的反控制方法去控制癫痫患者发病时的脑电波，使其变为混沌波，从而达到治疗的目的?作者提出这一初步设想，是希望引起有关科学工作者的注意，共同探讨混沌的反控制技术在神经科学、脑科学、生物医学等领域的应用。
参考文献
1，郝柏林.分岔、混沌、奇怪吸引子、湍流及其它.物理学进展，1983，3：336
2，Ott E,Grebogi C，Yorke J A.Controlling chaos.Phys Rev Lett,1990,66:1196～1199
, 百拇医药
3，罗晓曙，孔令江，屈万里.用数字有限脉冲响应滤波器控制混沌.物理学报，1998，47(7)：1078～1083
4，罗晓曙.利用相空间压缩实现混沌和超混沌控制.物理学报，1999，48(3)：402～407
5，Guemez J，Matias M A.Control of chaos unidimensional maps.Phys Lett.A,1993,181:29～32
6，Pyragas K.Continuous control of chaos by self-controlling feedback.Phys Lett A,1992,170:421～428
7，Hu Gang,He Kaifen.Controlling chaos system described by partial differential equations.Phys Rev Lett,1993,71:3794～3797
, http://www.100md.com
8，方锦青.非线性系统中混沌的控制与同步及其应用前景.物理学进展，1996，16：1～70
9，Aihara k.Periodic and Nonperiodic Response of a Periodiclly Forced Hodgkin-Huxley Oscillator.J.Theor Biol,1984,109:249～255
10，Amit D.J.Neural Network-Achievements Prospects Difficults In Proc of Phys of Structure formation.Turbingen,1986,12:102～110
11，解学孔.癫痫病学.北京：人民卫生出版社，1993.350～486
12，陈式刚.映象与混沌.北京：国防工业出版社，1992.9～10
13，Guanrong Chen.Proceedings of the First International Conference on Control of Oscillations and chaos,St.Peterburg,Russia,Ang,1997.181～186
(收稿日期：1999-10-10), 百拇医药