含时滞营养再生的单种群赤潮生态数学模型
作者：段美元 王寿松*
单位：段美元 王寿松*(中山医科大学数学教研室 广州510089)
关键词：营养上升函数；赤潮；单种群；生态数学模型；稳定性
990305
摘 要 讨论了四种营养上升函数的性质。根据赤潮藻类以四种不同方式吸收营养，其快慢程度不同，定性分析了赤潮生态数学模型解的有界性和平衡点的稳定性，并企图将有关结论应用于赤潮研究。
1 文献背景及建模依据
赤潮是海洋污染的讯号，是全球性的海洋灾害之一。故对赤潮的研究是当今世界的重大科研课题[1]。
, 百拇医药
文献[2]讨论了单胞藻类生态数学模型解的有界性及平衡点的稳定性；文献[3]讨论了两竞争单胞藻类生态模型解的有界性、持久性及平衡点的稳定性；文献[4]讨论食草类浮游动物—自养类浮游植物—营养三者相关动态模型解的有界性及解的持久性和平衡点的渐近稳定性；文献[5]讨论了大鹏湾夜光藻—硅藻类浮游植物—营养三者相关动态模型解的有界性、持久性和平衡点的渐近稳定性；文献[6]讨论多种群生态模型解的有界性和平衡点的渐近稳定性；文献[7]讨论夜光藻—硅藻—营养物质三者相关的动力学模型，并根据大鹏湾所发生的夜光藻赤潮数据分别对1次赤潮全过程和有连续3次赤潮的情形进行了有效的数值模拟。文献[2，3，6]中模型适用于恒化装置因或湖泊中；文献[2～7]考虑含时滞营养再生且具有一般营养上升函数或某个特殊营养上升函数的情形。
在某些海洋、河流和湖泊中，一方面，单个赤潮藻种(例如硅藻、夜光藻、甲藻等)在适宜的气温、气压下，它吸收海洋环境因子中的丰富营养而大量繁殖和高度密集并在适宜的海况条件下产生赤潮；另一方面，不同赤潮藻类吸收营养快慢程度不同。于是，本文以文献[2]为基础，根据赤潮藻类以四种不同方式吸收营养元素并联系海洋赤潮的实际背景，提出单种赤潮藻类生态数学模型。
, 百拇医药
2 营养上升函数有关性质
首先，我们引进四种营养上升函数的一般形式为：
(1)
这里x表示海水中为一般藻类所依赖为生的营养盐成分或作为捕食者藻类所依赖为生的被食者藻类密度。
它们具有以下共同性质：
①
② gi(x)≥0 (x≥0)； (2)
③ 存在半饱和参数xm,使得gi(xm)=1/2,i=1,2,3,4。
, 百拇医药
由此，又可以得到下列性质：
性质1 当0m时，则有：g4(x)1(x)3(x)2(x);当x>xm时，则有：g2(x)3(x)4(x)1(x)。
性质2 若有两个半饱和参数值x＂m>xm,则对一切i=1,2,3,4有gi(x＂m)>gi(x'm)
3 赤潮藻类模型
为了表述方便，引进下列符号标记。
, 百拇医药
E=E(t)表示随时间t变化的营养浓度，S=S(t)表示随时间t变化的赤潮藻类密度，E0为营养输入浓度，C1、C2表示营养、赤潮藻类的冲损率，a为赤潮藻类对营养的最大吸收率，r为赤潮藻类的死亡率，r1为赤潮藻类死亡后的营养再生率(0≤r1
根据海洋环境中不同赤潮藻类吸收营养快慢程度不同，单种赤潮藻类死亡后经历细菌和微生物分解作用再转化为营养浓度，于是，提出如下赤潮藻类动力学模型：
(3)
滞后核函数F(u)是一个定义于[0,+∞)上的非负有界函数，它描述了某种赤潮藻类浮游植物死亡后的营养再循环关系，F(u)满足下列条件：
(4)
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且常采用如下形式[2]：
(5)
另外，模型具有初始条件：
(6)
Φ是一个定义于(-∞,t0]上的有界正连续函数，因此，模型满足解的存在唯一性条件，g(E)具有(1)中形式之一，且满足(2)中性质，并具有性质1和性质2。
4 结果和讨论
结论1 模型的一切解均是一致有界的。
结论1表明，赤潮藻类吸收营养快慢程度并不影响模型解的有界性。
结论2 若满足下列条件：aε≤r+C2,模型满足初始值E0>0,S0>0的一切解(E(t),S(t)),都有：limt→+∞(E(t),S(t))=(E0,0)。
, http://www.100md.com
结论2表明，若赤潮藻类最大营养吸收转换比率小于等于其冲损率与死亡率之和，则赤潮藻类灭种，赤潮不会发生。
结论3 当0m时，若g4(E0)>(r+C2)/aε;当E>Em时，若g2(E0)>(r+C2)/aε；则对所有g(E)=gi(E),而g1(E)要求00<2Em(i=1,2,3,4)情形，模型存在唯一正平衡点Bi(E*i,S*i),且E*i=g-1i((r+C2)/aε)，S*i=(C1ε(E0-E*i))/(r+C2-r1ε)(i=1,2,3,4)。
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结论4 若结论3成立，当r1=0或01i(E*i,S*i)在R2t={(E,S)|E>0,S>0}内是全局渐近稳定的。
结论5 在时滞营养再生模型中，若取F(u)=K0(u)(弱时滞)或取F(u)=K1(u)(强时滞)，则正平衡点Bi(E*i,S*i)是局部渐近稳定的。
结论3～5表明，若海洋环境中存在丰富的营养浓度，则赤潮藻类必将永久存在，当其密度高于赤潮藻类数量临界值时就形成赤潮，否则即使有适宜的气温和海况条件也不会形成赤潮。
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* 中山大学数学系
参考文献
1 钱宏林.南海北部沿海的赤潮和赤潮研究.暨南大学学报，1991，12：108～111.
2 Beretta. E., Bischi G.I. and solimano F, Stability in chemostat equations with delayed untrient reayeling, J. Math. Biol, 1990,28:99～111.
3 H.I. Freedman and Xu Yuantong, Models of competition in the chemostat with instantaneous and delayed nutrient recycling, J.Math Biol, 1993,31:513:527.
, http://www.100md.com
4 Ruan Shi Gui and G.S.K, wolkowicz, persistence in plankton models with delayed nutrient recycling, J,Math, Biol,1992.
5 王寿松.大鹏湾夜光藻赤潮生态数学模型定性分析.中国工业与应用数学学会第三次大会文集，1994，370～374.
6 Freedman H.I. etc, Coexistence in a model of competition in the chemostat incorporating discrete delays, SIAM J. APPL.MATH,1989,49:857～870.
7 王寿松等.大鹏湾夜光藻赤潮的营养动力学模型.热带海洋，1997，16：1～6.
收稿日期：1998-12-07, 百拇医药(段美元 王寿松*)
单位：段美元 王寿松*(中山医科大学数学教研室 广州510089)
关键词：营养上升函数；赤潮；单种群；生态数学模型；稳定性
990305
摘 要 讨论了四种营养上升函数的性质。根据赤潮藻类以四种不同方式吸收营养，其快慢程度不同，定性分析了赤潮生态数学模型解的有界性和平衡点的稳定性，并企图将有关结论应用于赤潮研究。
1 文献背景及建模依据
赤潮是海洋污染的讯号，是全球性的海洋灾害之一。故对赤潮的研究是当今世界的重大科研课题[1]。
, 百拇医药
文献[2]讨论了单胞藻类生态数学模型解的有界性及平衡点的稳定性；文献[3]讨论了两竞争单胞藻类生态模型解的有界性、持久性及平衡点的稳定性；文献[4]讨论食草类浮游动物—自养类浮游植物—营养三者相关动态模型解的有界性及解的持久性和平衡点的渐近稳定性；文献[5]讨论了大鹏湾夜光藻—硅藻类浮游植物—营养三者相关动态模型解的有界性、持久性和平衡点的渐近稳定性；文献[6]讨论多种群生态模型解的有界性和平衡点的渐近稳定性；文献[7]讨论夜光藻—硅藻—营养物质三者相关的动力学模型，并根据大鹏湾所发生的夜光藻赤潮数据分别对1次赤潮全过程和有连续3次赤潮的情形进行了有效的数值模拟。文献[2，3，6]中模型适用于恒化装置因或湖泊中；文献[2～7]考虑含时滞营养再生且具有一般营养上升函数或某个特殊营养上升函数的情形。
在某些海洋、河流和湖泊中，一方面，单个赤潮藻种(例如硅藻、夜光藻、甲藻等)在适宜的气温、气压下，它吸收海洋环境因子中的丰富营养而大量繁殖和高度密集并在适宜的海况条件下产生赤潮；另一方面，不同赤潮藻类吸收营养快慢程度不同。于是，本文以文献[2]为基础，根据赤潮藻类以四种不同方式吸收营养元素并联系海洋赤潮的实际背景，提出单种赤潮藻类生态数学模型。
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2 营养上升函数有关性质
首先，我们引进四种营养上升函数的一般形式为：
(1)这里x表示海水中为一般藻类所依赖为生的营养盐成分或作为捕食者藻类所依赖为生的被食者藻类密度。
它们具有以下共同性质：
①
② gi(x)≥0 (x≥0)； (2)
③ 存在半饱和参数xm,使得gi(xm)=1/2,i=1,2,3,4。
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由此，又可以得到下列性质：
性质1 当0
性质2 若有两个半饱和参数值x＂m>xm,则对一切i=1,2,3,4有gi(x＂m)>gi(x'm)
3 赤潮藻类模型
为了表述方便，引进下列符号标记。
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E=E(t)表示随时间t变化的营养浓度，S=S(t)表示随时间t变化的赤潮藻类密度，E0为营养输入浓度，C1、C2表示营养、赤潮藻类的冲损率，a为赤潮藻类对营养的最大吸收率，r为赤潮藻类的死亡率，r1为赤潮藻类死亡后的营养再生率(0≤r1
根据海洋环境中不同赤潮藻类吸收营养快慢程度不同，单种赤潮藻类死亡后经历细菌和微生物分解作用再转化为营养浓度，于是，提出如下赤潮藻类动力学模型：
(3)滞后核函数F(u)是一个定义于[0,+∞)上的非负有界函数，它描述了某种赤潮藻类浮游植物死亡后的营养再循环关系，F(u)满足下列条件：
(4), 百拇医药
且常采用如下形式[2]：
(5)另外，模型具有初始条件：
(6)Φ是一个定义于(-∞,t0]上的有界正连续函数，因此，模型满足解的存在唯一性条件，g(E)具有(1)中形式之一，且满足(2)中性质，并具有性质1和性质2。
4 结果和讨论
结论1 模型的一切解均是一致有界的。
结论1表明，赤潮藻类吸收营养快慢程度并不影响模型解的有界性。
结论2 若满足下列条件：aε≤r+C2,模型满足初始值E0>0,S0>0的一切解(E(t),S(t)),都有：limt→+∞(E(t),S(t))=(E0,0)。
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结论2表明，若赤潮藻类最大营养吸收转换比率小于等于其冲损率与死亡率之和，则赤潮藻类灭种，赤潮不会发生。
结论3 当0
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结论4 若结论3成立，当r1=0或0
结论5 在时滞营养再生模型中，若取F(u)=K0(u)(弱时滞)或取F(u)=K1(u)(强时滞)，则正平衡点Bi(E*i,S*i)是局部渐近稳定的。
结论3～5表明，若海洋环境中存在丰富的营养浓度，则赤潮藻类必将永久存在，当其密度高于赤潮藻类数量临界值时就形成赤潮，否则即使有适宜的气温和海况条件也不会形成赤潮。
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* 中山大学数学系
参考文献
1 钱宏林.南海北部沿海的赤潮和赤潮研究.暨南大学学报，1991，12：108～111.
2 Beretta. E., Bischi G.I. and solimano F, Stability in chemostat equations with delayed untrient reayeling, J. Math. Biol, 1990,28:99～111.
3 H.I. Freedman and Xu Yuantong, Models of competition in the chemostat with instantaneous and delayed nutrient recycling, J.Math Biol, 1993,31:513:527.
, http://www.100md.com
4 Ruan Shi Gui and G.S.K, wolkowicz, persistence in plankton models with delayed nutrient recycling, J,Math, Biol,1992.
5 王寿松.大鹏湾夜光藻赤潮生态数学模型定性分析.中国工业与应用数学学会第三次大会文集，1994，370～374.
6 Freedman H.I. etc, Coexistence in a model of competition in the chemostat incorporating discrete delays, SIAM J. APPL.MATH,1989,49:857～870.
7 王寿松等.大鹏湾夜光藻赤潮的营养动力学模型.热带海洋，1997，16：1～6.
收稿日期：1998-12-07, 百拇医药(段美元 王寿松*)