Fuzzy年度健康指数
作者：李医民
单位：李 医 民(江苏理工大学数理系 镇江212013)
关键词：相对隶属函数；健康指数；期望成数
990311
摘 要 利用系统模糊分析方法给出固定人口健康状态的Fuzzy年度健康指数。
一个个体的健康是动态现象，它随着时间推移连续地从正常状态经疾病到死亡，在任何给定时刻个体的健康可以表示为一个连续统上的点随时间推移沿一条路径运行。人群中所有人的这种路径对人群在一段时间内的健康状况给出了很好的描述。为了使这样的描述定量化，我们把上述连续分成一组有序的类别，称之为健康状态，记为(S1,S2,…,Sm,R)。如果个体非常健康，则说他处于S1；如果健康下降，他就进入S2至Sm中一个状态；若此人死亡，他就进入R状态。
, 百拇医药
健康状态的不同程度之间，常常找不到明确的界限，从健康到死亡，在正常状况下，中间经历了一个从量变到质变的连续过程，而新旧状态之间的界限和差异是不确定的、模糊的。现就个体的健康状态在连续统上变化的不同程度，利用系统模糊理论给出这些状态的隶属度分布，从而建立一个Fuzzy年度健康指数。
根据R.Belloc,Breslow和Hochstim(1971)提出的健康状态分为：
1为最佳健康状态；2为中度健康；3为轻度不适；4为有症状；5为羊一慢性病；6为多种慢性病；7为中度伤残；8为严重伤残；
为死亡。
, 百拇医药
这些状态都没有明确的边界和类属，状态之间存在“亦此亦彼”性，我们用模集12…8，表示。健康状态的好坏在本质上由共同因素决定的称为共维，中介过渡的两端称为两极，具有的性质，作用和倾向。健康的各状态之间是相对的。为此先给出健康概念的相对隶属度。
, 百拇医药
定义 设论域U上的一个模糊概念
表示健康。在健康连续统的数轴上建立参考系，取最佳健康状态1和死亡状态定为参考系的两极，赋给参考系的两极以1和0的数，并构成参考系[0，1]数轴上的参考连续统。对任意u∈U，在参考连续统上指定了一个数
，称为u对H～的相对隶属度，映射：
, 百拇医药
称为H～的相对隶属函数。
取定一个包括n个人的样本空间，并为每个人选定一年中的一段时间，n个人的n段时间规定为固定的长度T，并假定各段时间均匀地在一年中分配。在这段时间内，我们考虑每个个体的健康情形和状态变化，并在结束时统计出每个个体健康状态逗留的时间长度以及从一个状态向另一个状态转移的次数，对样本中第i个个体，假设tαi为第i个个体在状态α中逗留的总时间长度；mαβi为第i个个体由α到β的转移次数；dβi=1，若第i个个体进入死亡状态R，否则dβi=0。
, 百拇医药
对每个个体，tαi、mαβi、dβi是随机变量。
设在健康参考连续统的两极1和之间为7个健康状态级2，3，…，8，每个个体的健康状态特征值有3个记为：
表示逗留在较大级别的时间。
, 百拇医药
ak为属于较大级别k的隶属度，则，
则，n个个体的样本空间可用3×n阶指标特征矩阵表示：
设样本空间依据3个指标在两极之间按7个状态级的标准划分，则有3×7阶标准指标特征值矩阵：
, 百拇医药
对健康这一概念而言，按照上述定义的状态级，则级别越大表明健康状态越不好。对指标特征值越大，如在不健康状态所逗留的时间X1j越大，在各状态间转移的次数越大，进入死亡状态X3j=1，则级别也越大。
根据系统模糊理论，第j个个体对“健康”的指标相对隶属度为：
(1)
同理可得，状态级别h指标i的标准值对健康概念H～的相对隶属度为：
(2)
, 百拇医药
利用(1)，(2)两式，并消除指标量纲，将矩阵X与Y转化为3×n阶指标相对隶属度矩阵：
i=1,2,3;j=1,2,…,n;0≤rij≤1
3×7阶标准指标相对隶属度矩阵：
设第j个个体的3个指标的相对隶属度
rj=(r1j r2j r3j)T j=1,2,…n
, 百拇医药
与矩阵S3×7中指标i的各类标准相对隶属度值Si=(S1i S2i S3i)T进行比较，若对象j的指标i(i=1,2,3)，落入Si各类相对隶属度值相邻区间内的最小类别为amin，最大类别为 amax，则amin,amax就是K的取值范围。
即：K=amin,amin+1,…,amax；
由于在类别amin与amax之间可能出现m个指标无一归属的类别，但K的取值仍保持以1为等差的正整数序列，h的取值也为以1为间隔的正整数序列，不考虑出现间断值，且 1≤amin<…max≤7，则第j个个体相对健康状态级h的相对隶属度uhj的计算公式为：
(3)
, http://www.100md.com
其中Wij是指标权向量，根据模糊数学中可将隶属度定义为权向量的概念以及对健康状态级越大越不好的规定。
取ri=(ri1,ri2,…,rin)
将
定义为指标i的权重，则未归一化指标为：
将
归一化得指标权向量
, 百拇医药
在已确定指标权向量的情况下，可由(3)式确定样本j(j=1,2,…n)对于健康状态级h(h=1,2,…,7)的最优相对隶属度Uhj(取(3)式中P=2)，由此给出整个样本空间的健康状态级的相对隶属度分布：
h
j
S1～
S2～
S3～…
S7～
uh1
u11
, 百拇医药
u21
u31…
u71
uh2
u12
u22
u32…
u72
……………
, 百拇医药 uhn
u1n
u2n
u3n…
u7n
且满足
。
在h—uhj坐标轴上给出样本j对健康的相对隶属度多边形：
, http://www.100md.com
每个个体在固定时期内的隶属函数为：
由于个体享受正常生活的时间和水平为评价其健康状况提供了基础，个体在一年中的健康状况不应只由某一时刻的情形来评价，而应由他在各个健康状态所逗留的时间长度来评价。
设：对年初时处于Sα的个体
eαβ为该个体将在一年中处于Sβ的期望成数；εα为该个体在一年中将处于R的期望成数。
π1,…,π7是人群中初始状态分别为S1～…S7～的人数所占比例,则：
, 百拇医药
eβ=π1e1β+…+π7e7β
是随机选择的个体将在Sβ(β=1,…,7)中逗留的期望成数，而ε=π1ε1+…+π7ε7则是一年中个体在R中逗留的期望成数。
若e1+e2+…+e7+ε=1，则个体在一年中的健康状况的测度为Hj=e1u1j+e2u2j+…+e7u7j；n个个体的样本空间的整体健康状况的测度为H=e1u1+e2u2+…+e7u7。其中，
。
称Hj和H为个体和n个人的总体的Fuzzy年度健康指数。
参考文献
1 蒋应琅.随机过程原理与生命科学模型.上海翻译出版社，1987.
2 陈守煜.系统模糊决策理论与应用.大连理工大学出版社.
3 罗承中.模糊集合引论.北京师范大学出版社，1989.
收稿日期：1998-11-26, 百拇医药
单位：李 医 民(江苏理工大学数理系 镇江212013)
关键词：相对隶属函数；健康指数；期望成数
990311
摘 要 利用系统模糊分析方法给出固定人口健康状态的Fuzzy年度健康指数。
一个个体的健康是动态现象，它随着时间推移连续地从正常状态经疾病到死亡，在任何给定时刻个体的健康可以表示为一个连续统上的点随时间推移沿一条路径运行。人群中所有人的这种路径对人群在一段时间内的健康状况给出了很好的描述。为了使这样的描述定量化，我们把上述连续分成一组有序的类别，称之为健康状态，记为(S1,S2,…,Sm,R)。如果个体非常健康，则说他处于S1；如果健康下降，他就进入S2至Sm中一个状态；若此人死亡，他就进入R状态。
, 百拇医药
健康状态的不同程度之间，常常找不到明确的界限，从健康到死亡，在正常状况下，中间经历了一个从量变到质变的连续过程，而新旧状态之间的界限和差异是不确定的、模糊的。现就个体的健康状态在连续统上变化的不同程度，利用系统模糊理论给出这些状态的隶属度分布，从而建立一个Fuzzy年度健康指数。
根据R.Belloc,Breslow和Hochstim(1971)提出的健康状态分为：
1为最佳健康状态；2为中度健康；3为轻度不适；4为有症状；5为羊一慢性病；6为多种慢性病；7为中度伤残；8为严重伤残；为死亡。, 百拇医药
这些状态都没有明确的边界和类属，状态之间存在“亦此亦彼”性，我们用模集
12…8，表示。健康状态的好坏在本质上由共同因素决定的称为共维，中介过渡的两端称为两极，具有的性质，作用和倾向。健康的各状态之间是相对的。为此先给出健康概念的相对隶属度。, 百拇医药
定义 设论域U上的一个模糊概念
表示健康。在健康连续统的数轴上建立参考系，取最佳健康状态1和死亡状态定为参考系的两极，赋给参考系的两极以1和0的数，并构成参考系[0，1]数轴上的参考连续统。对任意u∈U，在参考连续统上指定了一个数，称为u对H～的相对隶属度，映射：, 百拇医药
称为H～的相对隶属函数。
取定一个包括n个人的样本空间，并为每个人选定一年中的一段时间，n个人的n段时间规定为固定的长度T，并假定各段时间均匀地在一年中分配。在这段时间内，我们考虑每个个体的健康情形和状态变化，并在结束时统计出每个个体健康状态逗留的时间长度以及从一个状态向另一个状态转移的次数，对样本中第i个个体，假设tαi为第i个个体在状态
α中逗留的总时间长度；mαβi为第i个个体由α到β的转移次数；dβi=1，若第i个个体进入死亡状态R，否则dβi=0。, 百拇医药
对每个个体，tαi、mαβi、dβi是随机变量。
设在健康参考连续统的两极
1和之间为7个健康状态级2，3，…，8，每个个体的健康状态特征值有3个记为：表示逗留在较大级别的时间。, 百拇医药
ak为属于较大级别k的隶属度，则，
则，n个个体的样本空间可用3×n阶指标特征矩阵表示：
设样本空间依据3个指标在两极之间按7个状态级的标准划分，则有3×7阶标准指标特征值矩阵：
, 百拇医药
对健康这一概念而言，按照上述定义的状态级，则级别越大表明健康状态越不好。对指标特征值越大，如在不健康状态所逗留的时间X1j越大，在各状态间转移的次数越大，进入死亡状态X3j=1，则级别也越大。
根据系统模糊理论，第j个个体对“健康”的指标相对隶属度为：
(1)同理可得，状态级别h指标i的标准值对健康概念H～的相对隶属度为：
(2), 百拇医药
利用(1)，(2)两式，并消除指标量纲，将矩阵X与Y转化为3×n阶指标相对隶属度矩阵：
i=1,2,3;j=1,2,…,n;0≤rij≤1
3×7阶标准指标相对隶属度矩阵：
设第j个个体的3个指标的相对隶属度
rj=(r1j r2j r3j)T j=1,2,…n
, 百拇医药
与矩阵S3×7中指标i的各类标准相对隶属度值Si=(S1i S2i S3i)T进行比较，若对象j的指标i(i=1,2,3)，落入Si各类相对隶属度值相邻区间内的最小类别为amin，最大类别为 amax，则amin,amax就是K的取值范围。
即：K=amin,amin+1,…,amax；
由于在类别amin与amax之间可能出现m个指标无一归属的类别，但K的取值仍保持以1为等差的正整数序列，h的取值也为以1为间隔的正整数序列，不考虑出现间断值，且 1≤amin<…
(3), http://www.100md.com
其中Wij是指标权向量，根据模糊数学中可将隶属度定义为权向量的概念以及对健康状态级越大越不好的规定。
取ri=(ri1,ri2,…,rin)
将
定义为指标i的权重，则未归一化指标为：将
归一化得指标权向量, 百拇医药
在已确定指标权向量的情况下，可由(3)式确定样本j(j=1,2,…n)对于健康状态级h(h=1,2,…,7)的最优相对隶属度Uhj(取(3)式中P=2)，由此给出整个样本空间的健康状态级的相对隶属度分布：
h
j
S1～
S2～
S3～…
S7～
uh1
u11
, 百拇医药
u21
u31…
u71
uh2
u12
u22
u32…
u72
……………, 百拇医药 uhn
u1n
u2n
u3n…
u7n
且满足
。在h—uhj坐标轴上给出样本j对健康的相对隶属度多边形：
, http://www.100md.com
每个个体在固定时期内的隶属函数为：
由于个体享受正常生活的时间和水平为评价其健康状况提供了基础，个体在一年中的健康状况不应只由某一时刻的情形来评价，而应由他在各个健康状态所逗留的时间长度来评价。
设：对年初时处于Sα的个体
eαβ为该个体将在一年中处于Sβ的期望成数；εα为该个体在一年中将处于R的期望成数。
π1,…,π7是人群中初始状态分别为S1～…S7～的人数所占比例,则：
, 百拇医药
eβ=π1e1β+…+π7e7β
是随机选择的个体将在Sβ(β=1,…,7)中逗留的期望成数，而ε=π1ε1+…+π7ε7则是一年中个体在R中逗留的期望成数。
若e1+e2+…+e7+ε=1，则个体在一年中的健康状况的测度为Hj=e1u1j+e2u2j+…+e7u7j；n个个体的样本空间的整体健康状况的测度为H=e1u1+e2u2+…+e7u7。其中，
。称Hj和H为个体和n个人的总体的Fuzzy年度健康指数。
参考文献
1 蒋应琅.随机过程原理与生命科学模型.上海翻译出版社，1987.
2 陈守煜.系统模糊决策理论与应用.大连理工大学出版社.
3 罗承中.模糊集合引论.北京师范大学出版社，1989.
收稿日期：1998-11-26, 百拇医药