小波变换在医学图像处理中的应用
作者：华如梅 刘印祥 李树祥
单位：第一军医大学 (510515)
关键词：小波变换；医学图像处理
中国医疗器械杂志990510 提要 简介目前引起广泛关注的小波变换的基本概念，并在此基础上对小波变换技术在医学图像处理领域中的典型应用进行了简要综述。
The Application of Wavelet Transform in Medical Image Processing
Hua Rumei Liu Yingxiang Li shuxiang
The Biomed. Eng, Dept., The First Military Med. Univ.
, 百拇医药
小波变换(Wavelet Transform—WT)是法国科学家Morlet在进行地震数据分析时提出的，随后引起了其他一些数学家的高度重视，并进行了深入的研究。1986年，从事信号处理研究工作的Mallat将计算机视觉领域的多尺度分析思想引入到小波函数的构造中，形成了统一的小波函数构造理论[1]，并研究了WT的离散化问题，给出了与FFT相对应的快速小波算法——Mallat算法[2]。与此同时，美国的Daubechies构造了具有紧支集的正交小波集，使小波理论有了坚实的数学理论基础。近年来，小波变换已广泛地应用于信号处理中，取得了令人瞩目的成效，在医学图像处理中也已经成为一种强有力的工具。
1 小波和小波变换
所谓小波就是满足可容许性条件的具有特殊性质的函数或称小波基函数，而小波变换就是选择适当的基本小波或称母波，通过对基本小波平移、伸缩而形成一系列的小波，然后将欲分析的信号投影到由平移、伸缩小波构成的信号空间之中。这种平移、放大、缩小是小波变换的一个特点，因而可以在不同的频率范围，不同的时间(空间)位置对信号进行分析。
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小波变换是一种线性变换，它将信号分解成不同幅度(分辨率)的分量。假定ψ(t)是L2(R)内的实或复值函数，当且仅当下式成立时函数ψ(t)被看成小波：
(1)
这个入门条件意味着：
ψ(t)dt＝0 (2)
即ψ(t)是振荡的且面积为零。例如：高斯变换平滑函数的一阶导数可以作为小波，小波和平滑函数如图1所示。
图 1 高斯变换平滑函数及其一阶导数(小波)
当然，除此之外还可以构造其他小波，常用的小波函数有：Morlet小波，三次B样条及其一阶、二阶导数，Meyer小波，墨西哥帽式(Mexican hat)小波等。
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设：
(3)
为单个原像小波通过平移和伸缩得到的。小波变换定义为：
(4)
其中：f(t)∈L2(R)，即属于可测平方可积空间。
小波变换取决于两个参数：尺度a和位置τ，它们在实数范围内不断地变化，对于比较小的a值，小波集中于时间域而小波变换给出信号的细节信息。而当a值比较大时，小波扩展，小波变换给出信号宏观信息。小波变换的时-频分辨率是变化的，被人们形象地称为信号的“数学显微镜”。
小波变换大致分为四种类型：连续小波变换，离散小波变换，标准正交小波基多分辨分析，标准正交小波包基自适应分辨分析。在医学图像处理中应用的小波变换大多属于离散小波变换。离散小波变换的二维实现就是对图像先沿X轴再沿Y轴(或反之)各做一次一维的小波变换。在每一小波尺度上，图像被分为低-低、低-高、高-低、高-高四个子图像。然后再对低-低子图像应用二维小波变换，构造下一尺度的四个子图像，直到达到满意的小波尺度为止[5]。
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2 小波变换在医学图像处理中的应用
2.1 噪声衰减[6]：
WT在医学图像处理中的首次应用就是在磁共振成像(MRI)中噪声的衰减，这种方法由Weaver等人提出，通过计算图像的正交小波分量，且依据由下式决定的小波系数：
Ci,k＝i,k> (5)
(6)
ti为第i级噪声水平决定的参数，通过
i,k的小波逆变换可进行图像重建。这是后来被Donoho及Johuston和Devore用Lucier系统化进行小波压缩去噪声方法的基础。一种改进的方法是用完全小波分解和Mallat和Zhong算法中的变量来从小波最大值处重建图像。小波的最大值通过相邻级数间的系数来判断。在MR图像方面的应用中，这种方法较其他方法优越性在于空间标量的使用，而且由此产生的图像带有更多的尖锐边缘且不产生振铃伪迹，Malfait等利用Markov任意域对上述方法提出过随机外延的建议。
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2.2 图像增强[6]
图像增强是对常规情况下难以看清但又与图像密切相关的特征进行增强。医学图像增强处理在乳腺图像中显得尤为重要，因为乳房中软组织间的对比度本来就小，而轻微的差别变化都可能是肿瘤的表现。基于这种原因，用小波基数的乳腺图像增强方法成为重点攻关方向。基于小波的图像增强方法使用一种冗余的或非冗余的可逆小波分解，通过在小波重构前对某些小波参数的调整(放大)来实现增强。Laine等人用完全或局部非线性化点来进行增强，这些点在对应的分辨率下由边缘控制。由Laine等人改进的增强技术，支持了小波对提高乳腺图像重要特征的判别起重要作用的观点。在用Mallat和Zhong算法时，也可进行对比度增强，这时通过在图像的通用换算边缘选择最大的象素来增强。Guang-Zhong Yang等利用小波变换对胸部CT图像进行增强以确定小气管疾患，取得了满意的结果[3]。其实小波变换对图像的增强方法与前述的噪声衰减方法并没有本质上的不同，前者是放大感兴趣的那部分信号特征，后者是降低不想要的噪声成分。
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2.3 图像的特征提取和识别：
① X光图像中组织病变的检测[6]：主要应用实例是乳房X光图像中的微钙化点的检测。在计算机辅助检测乳腺仪中，关键是鉴别微钙化点，因为这里含有乳腺癌的原始危险信号，单颗粒(μCa++)的典型直径为0.05mm—1mm，这种颗粒的鉴别方法与前面的增强技术密切相关，所不同的是这种鉴别是通过在小波域内进行阈值分类来实现。Clarke等发现，用三通道正交镜式滤波单元代替传统的二通道方法具有更多优点。Strick land使用一种完全小波变换鉴别器，这种鉴别器与用来区分高斯成分(理想微钙化作用信号)和Markov噪声(背景噪声)的预白化匹配滤波器密切相关。Barman等使用了更完善的鉴别手段，他们利用带方向的正交滤波器进行类小波分解，得出局部形状参数进行鉴别。这些应用的结果都表明小波技术检测效果远优于那些最好的单尺度方法。
② 纹理分类[7]：纹理是许多医学图像的重要特征，纹理分类方法是对可视数据进行检索分类和分割以及组织切片病理识别的重要手段。许多传统的统计纹理分类方法，通过分析纹理间的空间相互作用来分析纹理，采用这种基于全局特征的分析方法，有时无法区分出具有明显差别的纹理信号。生理学实验表明，为保留局部和全局信息，可以对信号进行空间——频率表述，而小波变换则提供了对信号进行空频分析的统一框架。Turner Borik等提出用Gabor小波对纹理进行分类与分割，但采用Gabor函数计算相当复杂，而且Gabor滤波器组并不相互正交，从而使纹理特征间有很强的相关性。Carter提出采用Morlet和Mexican hat小波函数分析纹理，通过对六类自然纹理分类，这种方法可以获得98%的正确率。然而，Mexican hat小波具有方向选择性。Smith等采用塔型小波分解方法对纹理分类，这种方法可以获得90%的正确率。最近Unser又提出了采用小波帧变换方法对纹理进行分类与分割。所有这些方法都显示了小波变换在纹理分类方面的有效性。Aleksandra Mojsilovic等[4]利用小波变换对梗塞的心肌组织切片图像的纹理分类和识别进行了研究，他们利用源于正交小波基的一组滤波单元对图像进行分解，以得到对图像高分辨率的表述，将滤波器组每一通道的输出纹理能量与合成图像的能量一起作为纹理特征用于纹理的分类和识别。临床应用表明，在组织切片图像视野小而且存在噪声的情况下，这种算法具有明显的优势，而且在微弱纹理的结构分析方面更进了一步。
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2.4 图像压缩：
小波与子带编码是不同领域的同一类思想，小波的多通道很符合人体的感知工程模型，使用小波对图像进行压缩是小波技术的有效应用之一[5]。应用自适应小波基的高空间解析度和大动态范围对图像进行压缩，无损(lossless)压缩率可达2～3：1。当有损压缩的压缩率为10：1时，小波基方法的表现效果超过了JPEG标准。最早的应用是应用Haar小波对乳房图像的分割压缩，效果较好，但边缘退化，与周围组织界面模湖，人为产生块状干扰。因此，有人提出寻找较光滑的小波族。图像是双变量的，需要用双变量小波(bivariate wavelet)表达。使用双曲线小波基和Haar小波基后，在压缩率为25：1时，小波压缩重构图像经专家评估好于原始图像，边缘锐化较好[5]。小波变换压缩图像能得到如此好的压缩效果主要是因为小波变换能实现图像数据的分层结构描述，克服了传统的塔式算法存在的频带交叠现象和过采样的缺陷，因而图像的小波描述法将导致图像数据的一种更加紧凑的多层次塔型结构，能够更加充分地利用更大范围的相关信息，这是目前常用的DCT，FFT和KLT变换编码压缩法无法实现的[8]。
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3 总结
WT在医学图像处理中的应用，取得了良好的效果，这应该归因于小波变换这个工具的通用性和先进性，特别是在时间(空间)频率平面具有良好的定位性。可以预见，对小波技术的进一步研究和应用，必须会使医学图像处理技术进一步发展，采用小波变换技术处理过的医学图像必将为医生提供更宝贵的诊疗依据而使得早期或微小病变的诊疗成为可能。
参考文献
[1] Mallat S G. IEEE Trans PAMI. 1989； 11(7)：674～693
[2] Mallat S G. IEEE Trans ASSP. 1989;37(12)2090～2110
[3] Guang-Zhong Y. et al. CT Image Enhancement with Wavelet Analysis for the Detection of Small Airways Disease IEEE Trans on Medical Imaging 1997;16(6):953～959
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[4] Aleksandra M et al. Wavelet Image Extension for Analysis and Classification of Infracted Myocardial Tissue.IEEE Tarns on BME 1997; 44(9): 856～868
[5] 张继武等.小波技术在生物医学成像中的应用.国外医学生物医学工程分册.1997；20(4)：204～209
[6] 林慧琼.小波变换在生物医学信号处理中的应用.国外医学生物医学工程分册.1996；19(6)：353～362
[7] 赵键等.一种有效的基于小波帧变换包的纹理分类方法.计算机辅助设计与图形学学报.1997；9(6)：520～525
[8] 胡艳军等.基于小波变换的图像分层预测差值编码计算机辅助设计与图形学学报.1997；9(4)：322～327
[9] 崔镜泰等.小波分析导论.西安：西安交大出版社，1995；2～28
[10] 冉启文.小波分析方法及其应用.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1995；103～120
[11] 刘贵忠等.小波分析及其应用.西安：西安电子科技大学出版社，1992；17～36 159～164
(1998年9月28日收稿), 百拇医药
单位：第一军医大学 (510515)
关键词：小波变换；医学图像处理
中国医疗器械杂志990510 提要 简介目前引起广泛关注的小波变换的基本概念，并在此基础上对小波变换技术在医学图像处理领域中的典型应用进行了简要综述。
The Application of Wavelet Transform in Medical Image Processing
Hua Rumei Liu Yingxiang Li shuxiang
The Biomed. Eng, Dept., The First Military Med. Univ.
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小波变换(Wavelet Transform—WT)是法国科学家Morlet在进行地震数据分析时提出的，随后引起了其他一些数学家的高度重视，并进行了深入的研究。1986年，从事信号处理研究工作的Mallat将计算机视觉领域的多尺度分析思想引入到小波函数的构造中，形成了统一的小波函数构造理论[1]，并研究了WT的离散化问题，给出了与FFT相对应的快速小波算法——Mallat算法[2]。与此同时，美国的Daubechies构造了具有紧支集的正交小波集，使小波理论有了坚实的数学理论基础。近年来，小波变换已广泛地应用于信号处理中，取得了令人瞩目的成效，在医学图像处理中也已经成为一种强有力的工具。
1 小波和小波变换
所谓小波就是满足可容许性条件的具有特殊性质的函数或称小波基函数，而小波变换就是选择适当的基本小波或称母波，通过对基本小波平移、伸缩而形成一系列的小波，然后将欲分析的信号投影到由平移、伸缩小波构成的信号空间之中。这种平移、放大、缩小是小波变换的一个特点，因而可以在不同的频率范围，不同的时间(空间)位置对信号进行分析。
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小波变换是一种线性变换，它将信号分解成不同幅度(分辨率)的分量。假定ψ(t)是L2(R)内的实或复值函数，当且仅当下式成立时函数ψ(t)被看成小波：
(1)这个入门条件意味着：
ψ(t)dt＝0 (2)即ψ(t)是振荡的且面积为零。例如：高斯变换平滑函数的一阶导数可以作为小波，小波和平滑函数如图1所示。
图 1 高斯变换平滑函数及其一阶导数(小波)当然，除此之外还可以构造其他小波，常用的小波函数有：Morlet小波，三次B样条及其一阶、二阶导数，Meyer小波，墨西哥帽式(Mexican hat)小波等。
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设：
(3)为单个原像小波通过平移和伸缩得到的。小波变换定义为：
(4)其中：f(t)∈L2(R)，即属于可测平方可积空间。
小波变换取决于两个参数：尺度a和位置τ，它们在实数范围内不断地变化，对于比较小的a值，小波集中于时间域而小波变换给出信号的细节信息。而当a值比较大时，小波扩展，小波变换给出信号宏观信息。小波变换的时-频分辨率是变化的，被人们形象地称为信号的“数学显微镜”。
小波变换大致分为四种类型：连续小波变换，离散小波变换，标准正交小波基多分辨分析，标准正交小波包基自适应分辨分析。在医学图像处理中应用的小波变换大多属于离散小波变换。离散小波变换的二维实现就是对图像先沿X轴再沿Y轴(或反之)各做一次一维的小波变换。在每一小波尺度上，图像被分为低-低、低-高、高-低、高-高四个子图像。然后再对低-低子图像应用二维小波变换，构造下一尺度的四个子图像，直到达到满意的小波尺度为止[5]。
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2 小波变换在医学图像处理中的应用
2.1 噪声衰减[6]：
WT在医学图像处理中的首次应用就是在磁共振成像(MRI)中噪声的衰减，这种方法由Weaver等人提出，通过计算图像的正交小波分量，且依据由下式决定的小波系数：
Ci,k＝
(6)ti为第i级噪声水平决定的参数，通过
i,k的小波逆变换可进行图像重建。这是后来被Donoho及Johuston和Devore用Lucier系统化进行小波压缩去噪声方法的基础。一种改进的方法是用完全小波分解和Mallat和Zhong算法中的变量来从小波最大值处重建图像。小波的最大值通过相邻级数间的系数来判断。在MR图像方面的应用中，这种方法较其他方法优越性在于空间标量的使用，而且由此产生的图像带有更多的尖锐边缘且不产生振铃伪迹，Malfait等利用Markov任意域对上述方法提出过随机外延的建议。, 百拇医药
2.2 图像增强[6]
图像增强是对常规情况下难以看清但又与图像密切相关的特征进行增强。医学图像增强处理在乳腺图像中显得尤为重要，因为乳房中软组织间的对比度本来就小，而轻微的差别变化都可能是肿瘤的表现。基于这种原因，用小波基数的乳腺图像增强方法成为重点攻关方向。基于小波的图像增强方法使用一种冗余的或非冗余的可逆小波分解，通过在小波重构前对某些小波参数的调整(放大)来实现增强。Laine等人用完全或局部非线性化点来进行增强，这些点在对应的分辨率下由边缘控制。由Laine等人改进的增强技术，支持了小波对提高乳腺图像重要特征的判别起重要作用的观点。在用Mallat和Zhong算法时，也可进行对比度增强，这时通过在图像的通用换算边缘选择最大的象素来增强。Guang-Zhong Yang等利用小波变换对胸部CT图像进行增强以确定小气管疾患，取得了满意的结果[3]。其实小波变换对图像的增强方法与前述的噪声衰减方法并没有本质上的不同，前者是放大感兴趣的那部分信号特征，后者是降低不想要的噪声成分。
, http://www.100md.com
2.3 图像的特征提取和识别：
① X光图像中组织病变的检测[6]：主要应用实例是乳房X光图像中的微钙化点的检测。在计算机辅助检测乳腺仪中，关键是鉴别微钙化点，因为这里含有乳腺癌的原始危险信号，单颗粒(μCa++)的典型直径为0.05mm—1mm，这种颗粒的鉴别方法与前面的增强技术密切相关，所不同的是这种鉴别是通过在小波域内进行阈值分类来实现。Clarke等发现，用三通道正交镜式滤波单元代替传统的二通道方法具有更多优点。Strick land使用一种完全小波变换鉴别器，这种鉴别器与用来区分高斯成分(理想微钙化作用信号)和Markov噪声(背景噪声)的预白化匹配滤波器密切相关。Barman等使用了更完善的鉴别手段，他们利用带方向的正交滤波器进行类小波分解，得出局部形状参数进行鉴别。这些应用的结果都表明小波技术检测效果远优于那些最好的单尺度方法。
② 纹理分类[7]：纹理是许多医学图像的重要特征，纹理分类方法是对可视数据进行检索分类和分割以及组织切片病理识别的重要手段。许多传统的统计纹理分类方法，通过分析纹理间的空间相互作用来分析纹理，采用这种基于全局特征的分析方法，有时无法区分出具有明显差别的纹理信号。生理学实验表明，为保留局部和全局信息，可以对信号进行空间——频率表述，而小波变换则提供了对信号进行空频分析的统一框架。Turner Borik等提出用Gabor小波对纹理进行分类与分割，但采用Gabor函数计算相当复杂，而且Gabor滤波器组并不相互正交，从而使纹理特征间有很强的相关性。Carter提出采用Morlet和Mexican hat小波函数分析纹理，通过对六类自然纹理分类，这种方法可以获得98%的正确率。然而，Mexican hat小波具有方向选择性。Smith等采用塔型小波分解方法对纹理分类，这种方法可以获得90%的正确率。最近Unser又提出了采用小波帧变换方法对纹理进行分类与分割。所有这些方法都显示了小波变换在纹理分类方面的有效性。Aleksandra Mojsilovic等[4]利用小波变换对梗塞的心肌组织切片图像的纹理分类和识别进行了研究，他们利用源于正交小波基的一组滤波单元对图像进行分解，以得到对图像高分辨率的表述，将滤波器组每一通道的输出纹理能量与合成图像的能量一起作为纹理特征用于纹理的分类和识别。临床应用表明，在组织切片图像视野小而且存在噪声的情况下，这种算法具有明显的优势，而且在微弱纹理的结构分析方面更进了一步。
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2.4 图像压缩：
小波与子带编码是不同领域的同一类思想，小波的多通道很符合人体的感知工程模型，使用小波对图像进行压缩是小波技术的有效应用之一[5]。应用自适应小波基的高空间解析度和大动态范围对图像进行压缩，无损(lossless)压缩率可达2～3：1。当有损压缩的压缩率为10：1时，小波基方法的表现效果超过了JPEG标准。最早的应用是应用Haar小波对乳房图像的分割压缩，效果较好，但边缘退化，与周围组织界面模湖，人为产生块状干扰。因此，有人提出寻找较光滑的小波族。图像是双变量的，需要用双变量小波(bivariate wavelet)表达。使用双曲线小波基和Haar小波基后，在压缩率为25：1时，小波压缩重构图像经专家评估好于原始图像，边缘锐化较好[5]。小波变换压缩图像能得到如此好的压缩效果主要是因为小波变换能实现图像数据的分层结构描述，克服了传统的塔式算法存在的频带交叠现象和过采样的缺陷，因而图像的小波描述法将导致图像数据的一种更加紧凑的多层次塔型结构，能够更加充分地利用更大范围的相关信息，这是目前常用的DCT，FFT和KLT变换编码压缩法无法实现的[8]。
, http://www.100md.com
3 总结
WT在医学图像处理中的应用，取得了良好的效果，这应该归因于小波变换这个工具的通用性和先进性，特别是在时间(空间)频率平面具有良好的定位性。可以预见，对小波技术的进一步研究和应用，必须会使医学图像处理技术进一步发展，采用小波变换技术处理过的医学图像必将为医生提供更宝贵的诊疗依据而使得早期或微小病变的诊疗成为可能。
参考文献
[1] Mallat S G. IEEE Trans PAMI. 1989； 11(7)：674～693
[2] Mallat S G. IEEE Trans ASSP. 1989;37(12)2090～2110
[3] Guang-Zhong Y. et al. CT Image Enhancement with Wavelet Analysis for the Detection of Small Airways Disease IEEE Trans on Medical Imaging 1997;16(6):953～959
, http://www.100md.com
[4] Aleksandra M et al. Wavelet Image Extension for Analysis and Classification of Infracted Myocardial Tissue.IEEE Tarns on BME 1997; 44(9): 856～868
[5] 张继武等.小波技术在生物医学成像中的应用.国外医学生物医学工程分册.1997；20(4)：204～209
[6] 林慧琼.小波变换在生物医学信号处理中的应用.国外医学生物医学工程分册.1996；19(6)：353～362
[7] 赵键等.一种有效的基于小波帧变换包的纹理分类方法.计算机辅助设计与图形学学报.1997；9(6)：520～525
[8] 胡艳军等.基于小波变换的图像分层预测差值编码计算机辅助设计与图形学学报.1997；9(4)：322～327
[9] 崔镜泰等.小波分析导论.西安：西安交大出版社，1995；2～28
[10] 冉启文.小波分析方法及其应用.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1995；103～120
[11] 刘贵忠等.小波分析及其应用.西安：西安电子科技大学出版社，1992；17～36 159～164
(1998年9月28日收稿), 百拇医药