血管发展流动问题的研究进展
作者：刘肖珩
单位：(华西医科大学 生物医学工程研究室，成都 610041)
关键词：血管；血液流动；粘弹性；发展流动；形成流动
生物医学工程学杂志990122
刘肖珩 综述 岑人经 陈槐卿 蔡绍皙 吴云鹏 审校
内容摘要 综述了血管发展流动问题的发展及其研究现状，指出粘弹性血管的发展流动问题是目前血液流动问题中的前沿课题，提出了从血液流动、血管壁运动、血液-血管壁耦合运动三个方面进行综合研究的方法。
The Advances of Research for Problems of Developing Flow in Blood Vessel
, http://www.100md.com
Liu Xiaoheng1 Cen Renjing2 Chen Huaiqing1 Cai Shaoxi3 Wu Yunpeng3
1(Institute of Biomedical Engineering, West China University of Medical Sciences, Chengdu 610041)
2(Institute of Biomechanics, South China University of Technology, Guangzhou 510641)
3(Institute of Bioengineering, Chongqing University, Chongqing 400044)
, 百拇医药
Abstract The development and the tendency of the problems of developing flow in the vessel are reviewed in this paper. It is pointed out that the problems of developing flow of viscoelastic blood vessel are front subjects, and that consideration shouldbe be give to three aspects, namely the blood flow, the blood vessel's wall motion and the coupling between the blood and the wall.
Key words Blood vessel Blood flow Viscoelasticity Developing flow Established flow
, http://www.100md.com
1 血管中的发展流动问题
循环系统中的血液一旦进入血管内，与血管壁接触的那层血流便会被血管壁所滞止，相邻的一层血流开始承受到粘性力而流动，形成边界层。所以，接近血管中心的地方，其速度剖面呈平坦状。随着血流向下游流动，粘性阻力作用明显加强，边界层越来越大，一直到边界层增大到占满整个血管为止。在血流速度剖面不再沿轴向而变化的位置，便成为两种流动区域的分界线，上游区域称为流动发展区域，相应的血液流动状态称为发展流动(Developing flow)，或入口流动(Entrance flow)，因为它的流动速度剖面是变化的、发展的；下游区域则称为流动形成区，相应的血液流动状态称为充分发展流动(Fully developed flow)，或形成流动(Established flow)，因为它的流动速度剖面对轴向位置来说，已是恒定不变了(如图1所示)。
图1 定常状态下轴向速度剖面沿长度方向的变化
, 百拇医药
Fig 1 The change in velocity profile with distance along the tube in steady flow indicating the growth of the boundary layer whose thickness is & distance X from the distance
由此可见，循环系统中血管发展流动和形成流动相处于同一管路中，但由于它们所处的部位不同，两者的压力分布、速度分布等规律是极不相同的。血管发展流动问题的主要研究内容，就是探讨血液流动发展区域中的压力、速度、管壁切应力等规律以及它们在医学上及其它领域内的应用问题。
2 研究意义
众所周知，心血管是目前世界上发病率和死亡率最高的疾患。研究表明，诸如动脉粥样硬化、血栓形成、心肌梗塞、高血压、冠心病等常见心血管疾病的发生机理都与血管的血液流动密切相关。而且，现代血液动力学研究进一步证实，血管分支位置的附近往往是动脉粥样硬化等常见动脉疾病的多发区[1～3]，而分支处是血管的发展区域，它正是“血管发展流动”所要研究的区域。因此，从动脉疾病与动脉血流的关系来看，血管发展流动的研究能为动脉粥样硬化等动脉疾病的发生机制阐明原因，从而为研究动脉硬化等血管疾病的成因和诊治提供理论依据。
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从动脉血管系统的血液流动形态来看，动脉血管中的血液流动都是发展流动。由于血管系统是一个连续分支的管路网络系统，它的分支是如此密集，以致于每段分支管的流动状态在尚未发展成形成流动便已开始了新的分支。早期的McDonald的理论计算[4]和Schultz的实验研究[5]都已证明，哺乳动物的血管流动都不是形成流动，而是发展流动。而且，动脉血管中固有的锥度角，使得其中的流动永远维持为发展流动状态，这已为岑人经等人[6]系统地作出了理论的论证。所以，对于动脉血管来说，不把其中的血液流动作为发展流动是难以符合实际的。
从发展流动和形成流动的关系看，我们知道，发展流动和形成流动可以在同一管路中产生，虽然它们之间的速度分布、压力分布等截然不同，但理论研究表明，形成流动是发展流动沿下游方向趋于无穷远，即x→∞时的情况。所以，发展流动的研究也就内蕴了形成流动的描述。以上分析表明，血管发展流动的研究不仅是学科发展的需要，更是实际应用的需要。
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此外，血管发展流动理论在诸如石油化工、食品工程领域的分支管路网络理论计算和分析等方面，都具有重要应用价值。
综上所述，血管发展流动问题的研究，是当前心血管流体动力学领域中的前沿课题。它的研究，不但使血管发展流动理论不断丰富和完善，并能为动脉粥样硬化、血栓形成的研究、人工生物制品的设计等临床应用研究提供新的理论依据。因而具有重大的理论意义和应用价值。
3 血管发展流动研究进展
3.1 国外研究进展
血管发展流动的研究具有悠久的历史。早在十九世纪中叶，形成流动问题便已由Hagen和Poiseuille分别研究过。至于发展流动研究，则从法国学者Boussinesq [7]开始，距今已有一百多年时间了。由于血管发展流动问题在医学上及其他工程方面具有的重要意义，使得它吸引着越来越多的科学家广泛而浓厚的兴趣，而且，研究的范围由刚性管、弹性管向粘弹性管发展；研究的内容也越来越深入和广泛。
, 百拇医药
3.1.1 刚性管的发展流动问题 人们对于血管发展流动的研究是逐渐深入的，最先只是针对较为简单的刚性管的定常发展流动问题进行研究。由于Boussinesq[7]、Schiller、Schlichting[8]、Atkinson和Goldstein[9]、Langhaar和Targ[10]等人所作出的努力，使刚性管的定常发展流动问题的研究，达到了比较完善的程度。特别是Targ，他的成果得到了广泛承认。他提出了一种灵巧的线化方法，并对高雷诺数的均匀发展流动求出了一个和Nikurades实验数据非常吻合的解。这个解还和雷诺数大于50时，由线化的Navier-Stokes方程求得的解相当一致。据此Lew[11]对血液流动中的雷诺数(用Rn表示)进行了如下分类：当Rn<5时，称为小雷诺数；当Rn≥50时，称为大雷诺数；当5≤Rn<50时，称为中雷诺数。它和通常的管流中的分类方法不同，只适用于血管流动。
此后，Atabek和Chang[12]、Wang和Longwell、Willsin[13]以及Mohanty和Asthama等学者，进一步对刚性管的振荡发展流动进行详尽的研究。例如，Atabek和Chang，他们在Targ的基础上提出了一种新的线化方法，并把振荡发展流动状态分解为形成流动和发展流动来进行研究，他们推导出理论结果和实验结论比较吻合，经常被后人引用。
, 百拇医药
3.1.2 弹性管的发展流动问题 上述所有的研究，都只是针对刚性管的发展流动问题进行研究的。很少有人把非定常状态、发展流动及管壁弹性变形等同时考虑。而实际情况是三者都同时存在。
为了考虑血管的弹性问题，Morgan[15]、Morgan 和Ferrante[16]、Womersley 、Atabek和Lew[17]以及Whirlow和Rouleau[18]、Kuchar和Strach[19]等人都对弹性管的发展流动问题作了大量而有效的工作。特别是Kuchar和strach，他们较为细致地研究了非定常振荡状态下，血管流动的发展区域内的弹性管壁变形与血液流动之间的相互耦合作用问题，并得出了一组描述这一相互耦合作用的偏微分方程组。但他们最后只是在定常流动的情况下(如静脉血管)求得弹性管壁运动的位移公式以及血液流动的速度分布公式。因此，非定常的弹性管壁运动，实际上当时尚未解决。Kuchar和Ostrach在分析定常的弹性管发展流动时还发现，在弹性管发展附近区域内，除了通常的流体动力发展长度之外，尚存在一种弹性发展长度。在弹性发展长度以内，弯曲应力影响非常大，以致与通常用于薄壁管的薄膜理论失效。在弹性发展长度之外，弯曲应力影响非常大，以致于通常用于薄壁管的薄膜理论失效。在弹性发展长度之外，则薄膜理论应用于薄壁管不受任何影响[19]。这一结论后来许多学者证实，并得到了广泛认同。
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从Kuchar、Ostrach之后到目前30多年里，有关圆管发展流动的研究报导越来越多，对于弹性管发展流动问题的研究更加深入和全面。例如，Olsen和Sapiro[20]研究了有限振幅条件下的非定常流动问题；Lew和Fung[21]研究了小雷诺数的发展流动问题；而更大量的学者则是着手研究有关弯曲圆管的发展流动问题。最先从理论上研究弯曲圆管的发展流动问题的是Singh MP、Yao LS和Berger SA[22]。Singh在下述两种发展边界条件下讨论了弯曲圆管的流动问题：(1)流体动压力为常量下的发展条件；(2)均匀的发展条件。他还讨论了曲率引起的二次流对管壁切力的影响。Yao和Berger在分析弯曲管的发展流动时，对比了弯曲管与直圆管的发展长度，认为弯曲管的发展长度比相应直管发展长度短得多。
在Singh之后研究弯曲圆管的发展流动的尚有Tolbot、Stewartson、Cebect和Chang、Yeung、Kluwick和Wohlfahrt等人。他们都对弯管问题取得了相应的研究结果。但必须指出的是，以上这些对弯曲圆管的发展流动的研究，都是针对特定的发展流动条件进行的，有些还只是局限于定常状态。
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3.1.3 粘弹性管的发展流动问题 近几年来，许多学者已开始把注意力转向对粘弹性管发展流动问题的研究。因为严格地说，一切动物的血管系统都是粘弹性的，纯粹的弹性理论显然不能适用。因而，探索粘弹性管的发展流动规律便成为研究的热点。
许多研究都假设材料沿周向是各向同性、动脉管壁表现为粘弹性的。不少学者就此作了探索性研究。其中最有代表性的要算Gow和Taylor[23]，Anliker,Moritz和Ogden, Cheung和Hsiao[24]，Patel和Vaishnav, Young、Vaishnar和Patel等。例如，Gow和Taylor通过实验研究了狗动脉的粘弹性；Anliker等人研究了动脉管壁的传播特性。他们一致认为：动脉血管是非线性、粘弹性、沿轴向各向异性的。Cheung and Hsiao提出了一种“半实验”的方法来分析动脉组织的粘弹性[24]，其研究基于Green-Rivlin理论和颈动脉尖的实验结果，并认为材料沿周向各向同性。但是，他们仅考虑了二维变形。后来，Young等人继续把Cheng and Hsiao的研究推广到三维变形状态，并在不可压条件下简化材料本构关系，进而得出了松驰函数公式。随着计算流体力学的发展和电子计算机的应用，粘弹性的发展流动问题开始在数值处理方法上得到尝试性应用。例如，以Wu G和Lee[25]为代表的一些学者，曾经用数值分析方法研究血管变形中的粘弹性问题，得到了一些有价值的成果。
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总的说来，粘弹性管的发展流动问题研究开展较晚，虽然取得了一些令人欣喜的成果，但也存在明显的不足之处。这些研究都具有较大的局限性，或者只针对波的传播问题，或者只针对血管运动或血液流动问题，至今还未有详尽地研究粘弹性血管发展流动问题的报导。因而，需要建立一种更具体、应用范围更广的发展区域的粘弹性血管模型。
3.2 国内研究进展
在国内，研究血管发展流动问题的有吴望一、王致清、岑人经、匡震邦等学者。吴望一着重于一般流体动力学的低雷诺数发展流动问题的数值解研究；王致清着重于工程管道网络的发展流动的阻力分析；岑人经、匡震邦则较多地进行刚性、弹性管发展流动研究。他们曾详细研究了刚性的、弹性的血管在定常、振荡状态下的发展流动问题，并得出了适用范围较广的发展流动速度分布、压力分布和管壁位移计算公式，并从理论上论证了为什么“大血管中的血液流动都是发展流动”的本质原因。
4 评价与展望
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综上所述，关于血管发展流动问题的研究，无论是在国内还是国外都相当重视，并取得了巨大成就。目前，已经就刚性的、弹性的圆管在定常、非定常状态下的发展流动问题，得到了许多较为一致的结论。尽管如此，对于血管的发展流动问题，有待研究的范围仍然是相当广阔的。诸如尖刚管问题、粘弹性问题、各向异性问题、管壁的剪切力问题、非对称流问题等等，都有待进一步探索和完善。特别是血管发展流动的粘弹性问题，正受到学者们广泛的重视。这是因为，所有动物的血管系统都是粘弹性的，其应力-应变关系与时间的变化过程有关。单纯的刚性管、弹性管理论不能完全正确地反映血管的“粘弹性”问题。因此，只有粘弹性血管发展流动问题的研究才更能反映客观实际。因此，对粘弹性血管发展流动问题的研究，显得十分迫切和必要，这使得粘弹性血管发展流动问题正成为血管发展流动领域中研究的焦点。
从血管发展流动的研究方法来看，人们对弹性管、刚性管发展流动问题的研究，都是在基本假设的前提下，采用特定的线化方法[10，12，19]来解决血液流动问题中出现的Navier-Stokes方程的非线性难点，并在血液流动和血管壁运动的耦合条件下求解。但是，对于粘弹性血管的发展流动问题，由于它的粘弹性影响，大大增加了问题的复杂性。研究粘弹性血管发展流动问题的最大困难所在，除了要解决血液流动的非线性问题外，还在于如何建立粘弹性血管管壁运动模型。同时，当考虑血液流动、血管壁运动二者的耦合运动时，还会遇到许多数学上的难点。这正是粘弹性血管发展流动理论发展缓慢的主要原因。
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尽管粘弹性血管发展流动问题研究的难度相当大，但是，由于它具有重大的科学意义和实用价值，所以，它吸引了越来越多的科学家的关注。特别是随着现代化计算技术的发展和实验手段的完善，对粘弹性血管发展流动问题的研究，必将提供极大方便。所以，我们应该不失时机地抓住这一契机，把粘弹性血管发展流动问题的研究，推向一个新的高度，使之尽早成熟和完善，造福于社会。
5 研究方法的建议
基于上述原因，作者提出以下建议：
(1)以往的一些研究者在研究血管的血液流动时，把血液流动当作形成流动来研究，作者建议把它视为入口流动来进行研究，使之更符合实际。
(2)以往的一些研究往往局限于从弹性、刚性管的角度，来研究血管的发展流动问题。作者建议把它作为粘弹性管来研究，利用发展区域内血液流动和血管壁运动“耦合运动”的条件，来建立血管壁运动模型，确定边界条件。
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(3)建议从血液流动、血管壁运动、血液-血管壁耦合运动三个方面综合研究血管的发展流动问题。
作者单位:陈槐卿 (华西医科大学 生物医学工程研究室，成都 610041)
岑人经 (华南理工大学 生物力学研究所，广州 510641)
蔡绍皙 吴云鹏 (重庆大学 生物工程研究院，重庆 400044) 审校
参考文献
[1] 冯元桢.生物动力学——血液循环.长沙：湖南科学出版社，1986
[2] 吴云鹏.生物力学.科技导报，1992；46
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[4] McDonald DA. Blood flow in arteries. London:Edward Arnold Ltd, 1974
[5] Schultz DL. Pressure and flow in large arteries in cardiovascular fluid dynamics. Edited by Bergel. New York:Academic Press, 1972
[6] 岑人经，吴效明，刘肖珩.血管流动的锥度角影响问题.暨南大学学报(自然科学版)，1996；17(5)∶125
[7] Boussinesq J. Compt rendus. Paris:Acad Sci, 1891
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[14] Pedley TJ. The fluid mechanics of large blood vessels. UK:Cambridge University Press, 1980∶301
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[23] Grotberg JB. Oscillatory flow in a tapered channel. Biomechanics Symposium, ASME, 1983;56
[24] Cheung JB, Hsiao CC. Nonlinear anisotropic stress in blood vessels. Journal of Biomechanics, 1972;607
[25] Wu G, Lee GC. On nonlinear viscoelastic properties of arterial tissue. Trans of the ASME, 1984;106(2)∶42
(收稿：1996-10-25), http://www.100md.com
单位：(华西医科大学 生物医学工程研究室，成都 610041)
关键词：血管；血液流动；粘弹性；发展流动；形成流动
生物医学工程学杂志990122
刘肖珩 综述 岑人经 陈槐卿 蔡绍皙 吴云鹏 审校
内容摘要 综述了血管发展流动问题的发展及其研究现状，指出粘弹性血管的发展流动问题是目前血液流动问题中的前沿课题，提出了从血液流动、血管壁运动、血液-血管壁耦合运动三个方面进行综合研究的方法。
The Advances of Research for Problems of Developing Flow in Blood Vessel
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Liu Xiaoheng1 Cen Renjing2 Chen Huaiqing1 Cai Shaoxi3 Wu Yunpeng3
1(Institute of Biomedical Engineering, West China University of Medical Sciences, Chengdu 610041)
2(Institute of Biomechanics, South China University of Technology, Guangzhou 510641)
3(Institute of Bioengineering, Chongqing University, Chongqing 400044)
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Abstract The development and the tendency of the problems of developing flow in the vessel are reviewed in this paper. It is pointed out that the problems of developing flow of viscoelastic blood vessel are front subjects, and that consideration shouldbe be give to three aspects, namely the blood flow, the blood vessel's wall motion and the coupling between the blood and the wall.
Key words Blood vessel Blood flow Viscoelasticity Developing flow Established flow
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1 血管中的发展流动问题
循环系统中的血液一旦进入血管内，与血管壁接触的那层血流便会被血管壁所滞止，相邻的一层血流开始承受到粘性力而流动，形成边界层。所以，接近血管中心的地方，其速度剖面呈平坦状。随着血流向下游流动，粘性阻力作用明显加强，边界层越来越大，一直到边界层增大到占满整个血管为止。在血流速度剖面不再沿轴向而变化的位置，便成为两种流动区域的分界线，上游区域称为流动发展区域，相应的血液流动状态称为发展流动(Developing flow)，或入口流动(Entrance flow)，因为它的流动速度剖面是变化的、发展的；下游区域则称为流动形成区，相应的血液流动状态称为充分发展流动(Fully developed flow)，或形成流动(Established flow)，因为它的流动速度剖面对轴向位置来说，已是恒定不变了(如图1所示)。
图1 定常状态下轴向速度剖面沿长度方向的变化
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Fig 1 The change in velocity profile with distance along the tube in steady flow indicating the growth of the boundary layer whose thickness is & distance X from the distance
由此可见，循环系统中血管发展流动和形成流动相处于同一管路中，但由于它们所处的部位不同，两者的压力分布、速度分布等规律是极不相同的。血管发展流动问题的主要研究内容，就是探讨血液流动发展区域中的压力、速度、管壁切应力等规律以及它们在医学上及其它领域内的应用问题。
2 研究意义
众所周知，心血管是目前世界上发病率和死亡率最高的疾患。研究表明，诸如动脉粥样硬化、血栓形成、心肌梗塞、高血压、冠心病等常见心血管疾病的发生机理都与血管的血液流动密切相关。而且，现代血液动力学研究进一步证实，血管分支位置的附近往往是动脉粥样硬化等常见动脉疾病的多发区[1～3]，而分支处是血管的发展区域，它正是“血管发展流动”所要研究的区域。因此，从动脉疾病与动脉血流的关系来看，血管发展流动的研究能为动脉粥样硬化等动脉疾病的发生机制阐明原因，从而为研究动脉硬化等血管疾病的成因和诊治提供理论依据。
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从动脉血管系统的血液流动形态来看，动脉血管中的血液流动都是发展流动。由于血管系统是一个连续分支的管路网络系统，它的分支是如此密集，以致于每段分支管的流动状态在尚未发展成形成流动便已开始了新的分支。早期的McDonald的理论计算[4]和Schultz的实验研究[5]都已证明，哺乳动物的血管流动都不是形成流动，而是发展流动。而且，动脉血管中固有的锥度角，使得其中的流动永远维持为发展流动状态，这已为岑人经等人[6]系统地作出了理论的论证。所以，对于动脉血管来说，不把其中的血液流动作为发展流动是难以符合实际的。
从发展流动和形成流动的关系看，我们知道，发展流动和形成流动可以在同一管路中产生，虽然它们之间的速度分布、压力分布等截然不同，但理论研究表明，形成流动是发展流动沿下游方向趋于无穷远，即x→∞时的情况。所以，发展流动的研究也就内蕴了形成流动的描述。以上分析表明，血管发展流动的研究不仅是学科发展的需要，更是实际应用的需要。
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此外，血管发展流动理论在诸如石油化工、食品工程领域的分支管路网络理论计算和分析等方面，都具有重要应用价值。
综上所述，血管发展流动问题的研究，是当前心血管流体动力学领域中的前沿课题。它的研究，不但使血管发展流动理论不断丰富和完善，并能为动脉粥样硬化、血栓形成的研究、人工生物制品的设计等临床应用研究提供新的理论依据。因而具有重大的理论意义和应用价值。
3 血管发展流动研究进展
3.1 国外研究进展
血管发展流动的研究具有悠久的历史。早在十九世纪中叶，形成流动问题便已由Hagen和Poiseuille分别研究过。至于发展流动研究，则从法国学者Boussinesq [7]开始，距今已有一百多年时间了。由于血管发展流动问题在医学上及其他工程方面具有的重要意义，使得它吸引着越来越多的科学家广泛而浓厚的兴趣，而且，研究的范围由刚性管、弹性管向粘弹性管发展；研究的内容也越来越深入和广泛。
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3.1.1 刚性管的发展流动问题 人们对于血管发展流动的研究是逐渐深入的，最先只是针对较为简单的刚性管的定常发展流动问题进行研究。由于Boussinesq[7]、Schiller、Schlichting[8]、Atkinson和Goldstein[9]、Langhaar和Targ[10]等人所作出的努力，使刚性管的定常发展流动问题的研究，达到了比较完善的程度。特别是Targ，他的成果得到了广泛承认。他提出了一种灵巧的线化方法，并对高雷诺数的均匀发展流动求出了一个和Nikurades实验数据非常吻合的解。这个解还和雷诺数大于50时，由线化的Navier-Stokes方程求得的解相当一致。据此Lew[11]对血液流动中的雷诺数(用Rn表示)进行了如下分类：当Rn<5时，称为小雷诺数；当Rn≥50时，称为大雷诺数；当5≤Rn<50时，称为中雷诺数。它和通常的管流中的分类方法不同，只适用于血管流动。
此后，Atabek和Chang[12]、Wang和Longwell、Willsin[13]以及Mohanty和Asthama等学者，进一步对刚性管的振荡发展流动进行详尽的研究。例如，Atabek和Chang，他们在Targ的基础上提出了一种新的线化方法，并把振荡发展流动状态分解为形成流动和发展流动来进行研究，他们推导出理论结果和实验结论比较吻合，经常被后人引用。
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3.1.2 弹性管的发展流动问题 上述所有的研究，都只是针对刚性管的发展流动问题进行研究的。很少有人把非定常状态、发展流动及管壁弹性变形等同时考虑。而实际情况是三者都同时存在。
为了考虑血管的弹性问题，Morgan[15]、Morgan 和Ferrante[16]、Womersley 、Atabek和Lew[17]以及Whirlow和Rouleau[18]、Kuchar和Strach[19]等人都对弹性管的发展流动问题作了大量而有效的工作。特别是Kuchar和strach，他们较为细致地研究了非定常振荡状态下，血管流动的发展区域内的弹性管壁变形与血液流动之间的相互耦合作用问题，并得出了一组描述这一相互耦合作用的偏微分方程组。但他们最后只是在定常流动的情况下(如静脉血管)求得弹性管壁运动的位移公式以及血液流动的速度分布公式。因此，非定常的弹性管壁运动，实际上当时尚未解决。Kuchar和Ostrach在分析定常的弹性管发展流动时还发现，在弹性管发展附近区域内，除了通常的流体动力发展长度之外，尚存在一种弹性发展长度。在弹性发展长度以内，弯曲应力影响非常大，以致与通常用于薄壁管的薄膜理论失效。在弹性发展长度之外，弯曲应力影响非常大，以致于通常用于薄壁管的薄膜理论失效。在弹性发展长度之外，则薄膜理论应用于薄壁管不受任何影响[19]。这一结论后来许多学者证实，并得到了广泛认同。
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从Kuchar、Ostrach之后到目前30多年里，有关圆管发展流动的研究报导越来越多，对于弹性管发展流动问题的研究更加深入和全面。例如，Olsen和Sapiro[20]研究了有限振幅条件下的非定常流动问题；Lew和Fung[21]研究了小雷诺数的发展流动问题；而更大量的学者则是着手研究有关弯曲圆管的发展流动问题。最先从理论上研究弯曲圆管的发展流动问题的是Singh MP、Yao LS和Berger SA[22]。Singh在下述两种发展边界条件下讨论了弯曲圆管的流动问题：(1)流体动压力为常量下的发展条件；(2)均匀的发展条件。他还讨论了曲率引起的二次流对管壁切力的影响。Yao和Berger在分析弯曲管的发展流动时，对比了弯曲管与直圆管的发展长度，认为弯曲管的发展长度比相应直管发展长度短得多。
在Singh之后研究弯曲圆管的发展流动的尚有Tolbot、Stewartson、Cebect和Chang、Yeung、Kluwick和Wohlfahrt等人。他们都对弯管问题取得了相应的研究结果。但必须指出的是，以上这些对弯曲圆管的发展流动的研究，都是针对特定的发展流动条件进行的，有些还只是局限于定常状态。
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3.1.3 粘弹性管的发展流动问题 近几年来，许多学者已开始把注意力转向对粘弹性管发展流动问题的研究。因为严格地说，一切动物的血管系统都是粘弹性的，纯粹的弹性理论显然不能适用。因而，探索粘弹性管的发展流动规律便成为研究的热点。
许多研究都假设材料沿周向是各向同性、动脉管壁表现为粘弹性的。不少学者就此作了探索性研究。其中最有代表性的要算Gow和Taylor[23]，Anliker,Moritz和Ogden, Cheung和Hsiao[24]，Patel和Vaishnav, Young、Vaishnar和Patel等。例如，Gow和Taylor通过实验研究了狗动脉的粘弹性；Anliker等人研究了动脉管壁的传播特性。他们一致认为：动脉血管是非线性、粘弹性、沿轴向各向异性的。Cheung and Hsiao提出了一种“半实验”的方法来分析动脉组织的粘弹性[24]，其研究基于Green-Rivlin理论和颈动脉尖的实验结果，并认为材料沿周向各向同性。但是，他们仅考虑了二维变形。后来，Young等人继续把Cheng and Hsiao的研究推广到三维变形状态，并在不可压条件下简化材料本构关系，进而得出了松驰函数公式。随着计算流体力学的发展和电子计算机的应用，粘弹性的发展流动问题开始在数值处理方法上得到尝试性应用。例如，以Wu G和Lee[25]为代表的一些学者，曾经用数值分析方法研究血管变形中的粘弹性问题，得到了一些有价值的成果。
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总的说来，粘弹性管的发展流动问题研究开展较晚，虽然取得了一些令人欣喜的成果，但也存在明显的不足之处。这些研究都具有较大的局限性，或者只针对波的传播问题，或者只针对血管运动或血液流动问题，至今还未有详尽地研究粘弹性血管发展流动问题的报导。因而，需要建立一种更具体、应用范围更广的发展区域的粘弹性血管模型。
3.2 国内研究进展
在国内，研究血管发展流动问题的有吴望一、王致清、岑人经、匡震邦等学者。吴望一着重于一般流体动力学的低雷诺数发展流动问题的数值解研究；王致清着重于工程管道网络的发展流动的阻力分析；岑人经、匡震邦则较多地进行刚性、弹性管发展流动研究。他们曾详细研究了刚性的、弹性的血管在定常、振荡状态下的发展流动问题，并得出了适用范围较广的发展流动速度分布、压力分布和管壁位移计算公式，并从理论上论证了为什么“大血管中的血液流动都是发展流动”的本质原因。
4 评价与展望
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综上所述，关于血管发展流动问题的研究，无论是在国内还是国外都相当重视，并取得了巨大成就。目前，已经就刚性的、弹性的圆管在定常、非定常状态下的发展流动问题，得到了许多较为一致的结论。尽管如此，对于血管的发展流动问题，有待研究的范围仍然是相当广阔的。诸如尖刚管问题、粘弹性问题、各向异性问题、管壁的剪切力问题、非对称流问题等等，都有待进一步探索和完善。特别是血管发展流动的粘弹性问题，正受到学者们广泛的重视。这是因为，所有动物的血管系统都是粘弹性的，其应力-应变关系与时间的变化过程有关。单纯的刚性管、弹性管理论不能完全正确地反映血管的“粘弹性”问题。因此，只有粘弹性血管发展流动问题的研究才更能反映客观实际。因此，对粘弹性血管发展流动问题的研究，显得十分迫切和必要，这使得粘弹性血管发展流动问题正成为血管发展流动领域中研究的焦点。
从血管发展流动的研究方法来看，人们对弹性管、刚性管发展流动问题的研究，都是在基本假设的前提下，采用特定的线化方法[10，12，19]来解决血液流动问题中出现的Navier-Stokes方程的非线性难点，并在血液流动和血管壁运动的耦合条件下求解。但是，对于粘弹性血管的发展流动问题，由于它的粘弹性影响，大大增加了问题的复杂性。研究粘弹性血管发展流动问题的最大困难所在，除了要解决血液流动的非线性问题外，还在于如何建立粘弹性血管管壁运动模型。同时，当考虑血液流动、血管壁运动二者的耦合运动时，还会遇到许多数学上的难点。这正是粘弹性血管发展流动理论发展缓慢的主要原因。
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尽管粘弹性血管发展流动问题研究的难度相当大，但是，由于它具有重大的科学意义和实用价值，所以，它吸引了越来越多的科学家的关注。特别是随着现代化计算技术的发展和实验手段的完善，对粘弹性血管发展流动问题的研究，必将提供极大方便。所以，我们应该不失时机地抓住这一契机，把粘弹性血管发展流动问题的研究，推向一个新的高度，使之尽早成熟和完善，造福于社会。
5 研究方法的建议
基于上述原因，作者提出以下建议：
(1)以往的一些研究者在研究血管的血液流动时，把血液流动当作形成流动来研究，作者建议把它视为入口流动来进行研究，使之更符合实际。
(2)以往的一些研究往往局限于从弹性、刚性管的角度，来研究血管的发展流动问题。作者建议把它作为粘弹性管来研究，利用发展区域内血液流动和血管壁运动“耦合运动”的条件，来建立血管壁运动模型，确定边界条件。
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(3)建议从血液流动、血管壁运动、血液-血管壁耦合运动三个方面综合研究血管的发展流动问题。
作者单位:陈槐卿 (华西医科大学 生物医学工程研究室，成都 610041)
岑人经 (华南理工大学 生物力学研究所，广州 510641)
蔡绍皙 吴云鹏 (重庆大学 生物工程研究院，重庆 400044) 审校
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(收稿：1996-10-25), http://www.100md.com