拟合生长标准百分位数曲线的不同方法比较
作者：尚磊 徐勇勇 侯茹兰 张水平 周引荣 陈长生
单位：尚磊(第四军医大学预防医学系卫生统计学教研室，陕西 西安 710033)；徐勇勇(第四军医大学预防医学系卫生统计学教研室，陕西 西安710033)；侯茹兰(西安医科大学儿少卫生教研室)；张水平(西安市妇幼保健医院)；周引荣(西安市妇幼保健医院)；陈长生(第四军医大学预防医学系卫生统计学教研室，陕西 西安 710033)
关键词：青春期医学；发育生物学；模型；统计学
第四军医大学学报000609 摘要: 目的 寻找适合于拟合各种人体测量指标的生长标准曲线的方法和途径. 方法 采用损失函数(loss function)和残差平方和(residual sum of square) 对加权三次样条法(weighted cubic smoothing spline)和λ-中位数-变异系数法(λ-median-coefficient of variation，LMS)进行对比研究. 结果 计算了两种方法拟合各组的身高(height)、体质量(body mass)、体块指数(body mass index，BMI)的损失函数值和残差平方和，给出了两种方法拟合的百分位数曲线. 结论 LMS法简单易实现，拟合的百分位数曲线光滑，拟合误差小. LMS法比加权三次样条更适合于拟合身高、体质量、体块指数百分位数曲线.
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中图号：R179 文献标识码：A
文章编号：1000-2790(2000)06-0676-03
Comparison of different approaches of fitting centile curves for growth standard
SHANG Lei XU Yong-Yong CHEN Chang-Sheng
(Department of Health Statistics,Faculty of Preventive Medicine,Fourth Military Medical University,Xi'an 710033,China)
HOU Ru-Lan
, 百拇医药
(Department of Health for Children and Adolescence,Xi'an Medical University)
ZHANG Shui-Ping ZHOU Yin-Rong
(Xi'an Maternal and Child Health Station
Abstract:AIM To find out a method to construct growth curves for various anthropology index. METHODS Loss function and residual sum of square were used to compare the fitting results of LMS method with weighted cubic smoothing spline. RESULTS Loss function and residual sum of square for each method when applied to constructing body mass.height and BMI centile curves for children aged 0-18 years in Xi'an were calculated. Centile curves fitted by LMS method and weighted cubic smoothing spline were presented. CONCLUSION LMS is a simple method. Curves fitted by it are much smoother and the fitting errors are much fewer. Therefore LMS is more suitable for fitting centile curves for body mass, height and BMI than weighted cubic smoothing spline.
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Keywords:adolescent medicine;developmental biology;models;statistics
0 引言
年龄别百分位数广泛用于儿科临床和儿保工作实践中，用以监测儿童生长发育及营养状况. 建立年龄别百分位数的方法很多，大体可分为两类：一类是对资料的总体分布不作要求，计算实际百分位数，然后进行修匀；另一类百分位数的计算是假定资料服从正态分布或经一个合适的转换后可成正态分布[1-3]. 本文用代表两类方法的加权三次样条和LMS法分别拟合西安市0～18岁儿童青少年身高、体质量和体块指数百分位数曲线，以比较两种方法在儿童青少年体格发育指标百分位数曲线拟合中的适用性.
1 资料和方法
1.1 资料 取自1995年全国0～6岁儿童营养与发育调查和1995年全国学生体质与健康调研西安数据. 将0，1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，18，21，24月与2.5，3，3.5，4，4.5，5，5.5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18岁作为年龄中位数. 0～6岁每组200人，7岁以后每组100人，城乡、男女一致.
, 百拇医药
1.2 加权三次样条方法 设某区间[a,b]上有实数t1，t2，…，tn且满足a12<…n1]，[t1，t2]，…，[tn，b]每一区间上f(x)为三次多项式. ②函数f(x)及其前二阶导数在ti(i=1,2, …，n)处都连续，点ti称为样条函数的节点. 三次样条函数的表达形式有多种，不同形式间等价，令t0 = a，tn+1= b，则称
f(x)=di (x-ti)3+ci (x-ti)2+bi (x-ti)+ai
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ti≤x≤ti+1
为三次样条函数. 假定ti时残差的权重赋为wi，wi>0，则加权残差平方和为Σwi (yi-f(ti))2,上述选择函数的惩罚平方和为
对于给定的光滑参数λ(λ>0)则使S(f)最小的估计函数f(x)称为惩罚最小二乘估计. 光滑参数λ可由λ=CQ3/1000算出，C为给定的常数，Q为解释变量的四分位数间距.
1.3 LMS方法 采用LMS法拟合百分位数曲线. LMS法是用中位数(M)、变异系数(S)及将资料转换成正态所需要的度量偏度的Box-Cox转换的幂(L)概括了变量在每个年龄的分布. 这3个数值随年龄变化,特别是M随年龄变化的曲线就是变量的第50个百分位数曲线. 其他百分位数可用下式获得
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C100α(t)=M(t)[1+L(t)S(t)Zα]1/L(t) (1)
其中Zα为尾部面积α的正态离差,C100α为Zα所对应的变量的百分位数(如第25个百分位数α=0.25，Zα=-0.67)，t为年龄，L(t),S(t),M(t)和C100α(t)为年龄为t时所对应的每条曲线的相应值.
1.4 损失函数 是百分位数的期望比例(P97，P90)与实际比例(观察值中低于百分位数的拟合值的比例，如P97的拟合值与该年龄组所有观察值比较，观察值中低于拟合值的观察值占的比例)的差，表示拟合后分布与实际分布的差别，损失函数越小，拟合后分布与实际分布越接近，损失函数的计算公式如下：
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Loss function = {ΣΣ(pia-πi)2/[60πi (1-πi)]} (2)
其中：πi是第i个百分位数的期望比例，即π3=0.03，π5=0.05，π10=0.10等. pia是第a个年龄组中低于其第i个百分位数拟合值的观察比例.
1.5 残差平方和 是拟合值与实际值之间残差的平方和，残差平方和越小，拟合值与实际值越接近，拟合结果越准确. 计算公式为：
(3)
其中，Yia,
分别为第a个年龄组第i个百分位数的拟合值和实际值.
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1.6 计算方法 采用NoSA统计软件计算年龄别百分位数，用SAS软件拟合加权三次样条；用Cole教授提供的LMS法计算程序完成LMS法拟合过程，用EXECL软件绘图.
2 结果
不同方法拟合的损失函数和残差平方和见Tab 1. 损失函数值表示拟合后分布与实际分布的差别，残差平方和表示拟合的误差. 因此二者可用于评价拟合方法的准确性. 从Tab 1可见，身高、体质量、体块指数的拟合效果，各组均以LMS法的损失函数和残差平方和最小.
表 1 不同方法拟和身高、体质量、体块指数的损失函数和残差平方和
Tab 1 Loss function and residual sum of square of two methods for fitting body mass，height and BMI centile curves
, 百拇医药
LMS method
Weighted cubic smoothing spline
Group
Loss function
Residual sum of square
Loss function
Residual sum of square
Height
Urban boys
0.0091
17.997
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0.0100
22.440
Urban girls
0.0086
20.547
0.0093
23.051
Rural boys
0.0076
15.647
0.0082
22.394
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Rural girls
0.0089
17.894
0.0100
19.151
Body mass
Urban boys
0.0070
9.800
0.0109
28.861
Urban girls
, 百拇医药
0.0049
9.173
0.0098
20.597
Rural boys
0.0075
8.800
0.0101
17.494
Rural girls
0.0065
12.755
, 百拇医药
0.0083
16.130
BMI
Urban boys
0.0079
1.677
0.0123
7.692
Urban girls
0.0071
1.655
0.0092
, 百拇医药
6.347
Rural boys
0.0081
1.396
0.0086
5.595
Rural girls
0.0064
1.493
0.0087
5.782
3 讨论
, 百拇医药
LMS法能保证通过Box-Cox转化使资料达到渐近正态，L曲线是该法的核心，利用这种在偏度上的信息，使得估计极端的百分位数比简单的‘排序和计数’法更好，每个百分位数估计的标准误很小. M曲线恰好是中位数曲线，S曲线代表变异系数，L曲线和M、S曲线提供了用个体测量值计算精确百分位数和产生标准离差的所有必须信息. L，M，S 3个参数决定曲线形状，而这3条曲线遵循儿童期各自的变化规律，因此，曲线上的任一突起或凹下都是资料真实特征的反映. LMS法拟合的曲线光滑，与资料接近，能保证邻近百分位数间的距离. 不好之处是计算的过程复杂，需要专门程序实现[4,5].
三次样条法的缺点是节点数不易估计，在用于NCHS(national center for health statistics)百分位数时结果不满意，由于百分位数的标准误在分布的尾部增加很快，因此经验百分位数越极端拟合结果越不准确，三次样条适合于经验百分位数相对光滑时. 用加权样条拟合百分位数曲线，虽然考虑了资料的变异的方差，但拟合结果仍不够理想[6-8].
, 百拇医药
从损失函数和残差平方和的分析可见，加权样条法拟合的身高、体质量、BMI的损失函数和残差平方和均比LMS法拟合的大. 从曲线形态和光滑度可见，LMS法拟合的BMI曲线与其他国家和地区的BMI曲线形态一致[9],且更符合儿童青少年体形发育规律，如城女组在青春期末P97百分位数出现下降趋势，P90平稳变化，这与城市偏胖女生有主观减肥现象的情况一致,而加权三次样条拟合的各条曲线在青春期末仍处于上升趋势，这与实际不符[8]. 而在身高、体质量百分位数曲线的拟合中，加权三次样条法拟合的边缘百分位数存在轻微抖动，不够光滑[7,8,10]. 曲线拟合的要求是：曲线光滑；与经验百分位数接近,因此，相比而言，LMS更适合于拟合身高、体质量、BMI百分位数曲线.
基金项目:全军医药卫生科研基金课题(96M0987)
作者简介:尚 磊(1968-),男(汉族)，陕西省长武县人. 硕士，讲师. Tel.(029)3374853 Email.xuyongy@fmmu.edu.cu
, http://www.100md.com
参考文献:
[1] Bonellie SR, Raab GM. A comparison of different approaches for fitting centile curves to birthweight data[J]. Stat Med,1996; 15:2657-2667.
[2] Gasser T, Molinari L, Roos M. Methodology for the establishment of growth standards[J]. Horm Res, 1996;45(Suppl 2):2-7.
[3] Healy MJR, Rasbash J, Yang M. Distribution-free estimation of age-related centiles[J]. Ann Hum Biol,1988;15(1):17-22.
, http://www.100md.com
[4] Cole TJ. Fitting smoothing centile curves to reference data[J]. J R Stat Soc A, 1988;151:385-415.
[5] Cole TJ, Green PJ. Smoothing reference centile curves: The LMS method and penalized likelihood[J]. Stat Med, 1992;11:1305-1319.
[6] 陈长生. 非参数回归和生长曲线统计分析方法研究及其医学应用[D]. 西安:第四军医大学,1998:35-45.
[7] 陈长生,徐勇勇,尚 磊. 儿童生长曲线的光滑样条和核估计拟合[J].中国卫生统计,1997;14(4):1-3.
[8] 尚 磊. 生长标准图LMS平滑方法的研究与应用[D]. 西安:第四军医大学,1999:47-74.
[9] Cole TJ, Freemen JV, Preece MA. Body mass index reference curves for the UK, 1990[J]. Arch Dis Child, 1995; 73(5):25-29.
[10] 尚 磊, 徐勇勇, 陈长生 et al. 拟合体质量百分位数的加权三次样条[J]. 第四军医大学学报,1999;20(8):684-685.
收稿日期：1999-11-10
修回日期：1999-12-27, 百拇医药
单位：尚磊(第四军医大学预防医学系卫生统计学教研室，陕西 西安 710033)；徐勇勇(第四军医大学预防医学系卫生统计学教研室，陕西 西安710033)；侯茹兰(西安医科大学儿少卫生教研室)；张水平(西安市妇幼保健医院)；周引荣(西安市妇幼保健医院)；陈长生(第四军医大学预防医学系卫生统计学教研室，陕西 西安 710033)
关键词：青春期医学；发育生物学；模型；统计学
第四军医大学学报000609 摘要: 目的 寻找适合于拟合各种人体测量指标的生长标准曲线的方法和途径. 方法 采用损失函数(loss function)和残差平方和(residual sum of square) 对加权三次样条法(weighted cubic smoothing spline)和λ-中位数-变异系数法(λ-median-coefficient of variation，LMS)进行对比研究. 结果 计算了两种方法拟合各组的身高(height)、体质量(body mass)、体块指数(body mass index，BMI)的损失函数值和残差平方和，给出了两种方法拟合的百分位数曲线. 结论 LMS法简单易实现，拟合的百分位数曲线光滑，拟合误差小. LMS法比加权三次样条更适合于拟合身高、体质量、体块指数百分位数曲线.
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中图号：R179 文献标识码：A
文章编号：1000-2790(2000)06-0676-03
Comparison of different approaches of fitting centile curves for growth standard
SHANG Lei XU Yong-Yong CHEN Chang-Sheng
(Department of Health Statistics,Faculty of Preventive Medicine,Fourth Military Medical University,Xi'an 710033,China)
HOU Ru-Lan
, 百拇医药
(Department of Health for Children and Adolescence,Xi'an Medical University)
ZHANG Shui-Ping ZHOU Yin-Rong
(Xi'an Maternal and Child Health Station
Abstract:AIM To find out a method to construct growth curves for various anthropology index. METHODS Loss function and residual sum of square were used to compare the fitting results of LMS method with weighted cubic smoothing spline. RESULTS Loss function and residual sum of square for each method when applied to constructing body mass.height and BMI centile curves for children aged 0-18 years in Xi'an were calculated. Centile curves fitted by LMS method and weighted cubic smoothing spline were presented. CONCLUSION LMS is a simple method. Curves fitted by it are much smoother and the fitting errors are much fewer. Therefore LMS is more suitable for fitting centile curves for body mass, height and BMI than weighted cubic smoothing spline.
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Keywords:adolescent medicine;developmental biology;models;statistics
0 引言
年龄别百分位数广泛用于儿科临床和儿保工作实践中，用以监测儿童生长发育及营养状况. 建立年龄别百分位数的方法很多，大体可分为两类：一类是对资料的总体分布不作要求，计算实际百分位数，然后进行修匀；另一类百分位数的计算是假定资料服从正态分布或经一个合适的转换后可成正态分布[1-3]. 本文用代表两类方法的加权三次样条和LMS法分别拟合西安市0～18岁儿童青少年身高、体质量和体块指数百分位数曲线，以比较两种方法在儿童青少年体格发育指标百分位数曲线拟合中的适用性.
1 资料和方法
1.1 资料 取自1995年全国0～6岁儿童营养与发育调查和1995年全国学生体质与健康调研西安数据. 将0，1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，18，21，24月与2.5，3，3.5，4，4.5，5，5.5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18岁作为年龄中位数. 0～6岁每组200人，7岁以后每组100人，城乡、男女一致.
, 百拇医药
1.2 加权三次样条方法 设某区间[a,b]上有实数t1，t2，…，tn且满足a
f(x)=di (x-ti)3+ci (x-ti)2+bi (x-ti)+ai
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ti≤x≤ti+1
为三次样条函数. 假定ti时残差的权重赋为wi，wi>0，则加权残差平方和为Σwi (yi-f(ti))2,上述选择函数的惩罚平方和为
对于给定的光滑参数λ(λ>0)则使S(f)最小的估计函数f(x)称为惩罚最小二乘估计. 光滑参数λ可由λ=CQ3/1000算出，C为给定的常数，Q为解释变量的四分位数间距.
1.3 LMS方法 采用LMS法拟合百分位数曲线. LMS法是用中位数(M)、变异系数(S)及将资料转换成正态所需要的度量偏度的Box-Cox转换的幂(L)概括了变量在每个年龄的分布. 这3个数值随年龄变化,特别是M随年龄变化的曲线就是变量的第50个百分位数曲线. 其他百分位数可用下式获得
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C100α(t)=M(t)[1+L(t)S(t)Zα]1/L(t) (1)
其中Zα为尾部面积α的正态离差,C100α为Zα所对应的变量的百分位数(如第25个百分位数α=0.25，Zα=-0.67)，t为年龄，L(t),S(t),M(t)和C100α(t)为年龄为t时所对应的每条曲线的相应值.
1.4 损失函数 是百分位数的期望比例(P97，P90)与实际比例(观察值中低于百分位数的拟合值的比例，如P97的拟合值与该年龄组所有观察值比较，观察值中低于拟合值的观察值占的比例)的差，表示拟合后分布与实际分布的差别，损失函数越小，拟合后分布与实际分布越接近，损失函数的计算公式如下：
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Loss function = {ΣΣ(pia-πi)2/[60πi (1-πi)]} (2)
其中：πi是第i个百分位数的期望比例，即π3=0.03，π5=0.05，π10=0.10等. pia是第a个年龄组中低于其第i个百分位数拟合值的观察比例.
1.5 残差平方和 是拟合值与实际值之间残差的平方和，残差平方和越小，拟合值与实际值越接近，拟合结果越准确. 计算公式为：
(3)其中，Yia,
分别为第a个年龄组第i个百分位数的拟合值和实际值., http://www.100md.com
1.6 计算方法 采用NoSA统计软件计算年龄别百分位数，用SAS软件拟合加权三次样条；用Cole教授提供的LMS法计算程序完成LMS法拟合过程，用EXECL软件绘图.
2 结果
不同方法拟合的损失函数和残差平方和见Tab 1. 损失函数值表示拟合后分布与实际分布的差别，残差平方和表示拟合的误差. 因此二者可用于评价拟合方法的准确性. 从Tab 1可见，身高、体质量、体块指数的拟合效果，各组均以LMS法的损失函数和残差平方和最小.
表 1 不同方法拟和身高、体质量、体块指数的损失函数和残差平方和
Tab 1 Loss function and residual sum of square of two methods for fitting body mass，height and BMI centile curves
, 百拇医药
LMS method
Weighted cubic smoothing spline
Group
Loss function
Residual sum of square
Loss function
Residual sum of square
Height
Urban boys
0.0091
17.997
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0.0100
22.440
Urban girls
0.0086
20.547
0.0093
23.051
Rural boys
0.0076
15.647
0.0082
22.394
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Rural girls
0.0089
17.894
0.0100
19.151
Body mass
Urban boys
0.0070
9.800
0.0109
28.861
Urban girls
, 百拇医药
0.0049
9.173
0.0098
20.597
Rural boys
0.0075
8.800
0.0101
17.494
Rural girls
0.0065
12.755
, 百拇医药
0.0083
16.130
BMI
Urban boys
0.0079
1.677
0.0123
7.692
Urban girls
0.0071
1.655
0.0092
, 百拇医药
6.347
Rural boys
0.0081
1.396
0.0086
5.595
Rural girls
0.0064
1.493
0.0087
5.782
3 讨论
, 百拇医药
LMS法能保证通过Box-Cox转化使资料达到渐近正态，L曲线是该法的核心，利用这种在偏度上的信息，使得估计极端的百分位数比简单的‘排序和计数’法更好，每个百分位数估计的标准误很小. M曲线恰好是中位数曲线，S曲线代表变异系数，L曲线和M、S曲线提供了用个体测量值计算精确百分位数和产生标准离差的所有必须信息. L，M，S 3个参数决定曲线形状，而这3条曲线遵循儿童期各自的变化规律，因此，曲线上的任一突起或凹下都是资料真实特征的反映. LMS法拟合的曲线光滑，与资料接近，能保证邻近百分位数间的距离. 不好之处是计算的过程复杂，需要专门程序实现[4,5].
三次样条法的缺点是节点数不易估计，在用于NCHS(national center for health statistics)百分位数时结果不满意，由于百分位数的标准误在分布的尾部增加很快，因此经验百分位数越极端拟合结果越不准确，三次样条适合于经验百分位数相对光滑时. 用加权样条拟合百分位数曲线，虽然考虑了资料的变异的方差，但拟合结果仍不够理想[6-8].
, 百拇医药
从损失函数和残差平方和的分析可见，加权样条法拟合的身高、体质量、BMI的损失函数和残差平方和均比LMS法拟合的大. 从曲线形态和光滑度可见，LMS法拟合的BMI曲线与其他国家和地区的BMI曲线形态一致[9],且更符合儿童青少年体形发育规律，如城女组在青春期末P97百分位数出现下降趋势，P90平稳变化，这与城市偏胖女生有主观减肥现象的情况一致,而加权三次样条拟合的各条曲线在青春期末仍处于上升趋势，这与实际不符[8]. 而在身高、体质量百分位数曲线的拟合中，加权三次样条法拟合的边缘百分位数存在轻微抖动，不够光滑[7,8,10]. 曲线拟合的要求是：曲线光滑；与经验百分位数接近,因此，相比而言，LMS更适合于拟合身高、体质量、BMI百分位数曲线.
基金项目:全军医药卫生科研基金课题(96M0987)
作者简介:尚 磊(1968-),男(汉族)，陕西省长武县人. 硕士，讲师. Tel.(029)3374853 Email.xuyongy@fmmu.edu.cu
, http://www.100md.com
参考文献:
[1] Bonellie SR, Raab GM. A comparison of different approaches for fitting centile curves to birthweight data[J]. Stat Med,1996; 15:2657-2667.
[2] Gasser T, Molinari L, Roos M. Methodology for the establishment of growth standards[J]. Horm Res, 1996;45(Suppl 2):2-7.
[3] Healy MJR, Rasbash J, Yang M. Distribution-free estimation of age-related centiles[J]. Ann Hum Biol,1988;15(1):17-22.
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[4] Cole TJ. Fitting smoothing centile curves to reference data[J]. J R Stat Soc A, 1988;151:385-415.
[5] Cole TJ, Green PJ. Smoothing reference centile curves: The LMS method and penalized likelihood[J]. Stat Med, 1992;11:1305-1319.
[6] 陈长生. 非参数回归和生长曲线统计分析方法研究及其医学应用[D]. 西安:第四军医大学,1998:35-45.
[7] 陈长生,徐勇勇,尚 磊. 儿童生长曲线的光滑样条和核估计拟合[J].中国卫生统计,1997;14(4):1-3.
[8] 尚 磊. 生长标准图LMS平滑方法的研究与应用[D]. 西安:第四军医大学,1999:47-74.
[9] Cole TJ, Freemen JV, Preece MA. Body mass index reference curves for the UK, 1990[J]. Arch Dis Child, 1995; 73(5):25-29.
[10] 尚 磊, 徐勇勇, 陈长生 et al. 拟合体质量百分位数的加权三次样条[J]. 第四军医大学学报,1999;20(8):684-685.
收稿日期：1999-11-10
修回日期：1999-12-27, 百拇医药