曲率度量在医用非线性模型确定中的应用
作者：车文
单位：车文(中国医科大学数学教研室 沈阳110001)
关键词：固有曲率；参数效应曲率；非线性模型；最小二乘估计
数理医药学杂志000504
摘 要： 用曲率度量的方法选取较佳的医用非线性模型，使得非线性模型中的参数能够以较快的速度收敛于最小二乘估计。
中图分类号： O 242.1 文献标识码：A 文章编号：1004-4337(2000)05-0390-02
人们在确定非线性模型时，常利用变量代换的方法把非线性模型转化为线性模型，或者改进对模型的拟和方法。近些年来，用微分几何的方法来处理统计中的问题，引起了统计界的广泛关注。其中有1980年Bates和Watts定义的反映非线性模型本质的曲率度量[1]。他们把模型的非线性强度分为固有非线性和参数效应非线性。他们的研究表明，绝大多数模型的固有非线性是可以接受的，一般地都有较高的参数效应非线性。由于参数效应非线性越高，应用最小二乘法求参数估计就越困难，因此寻找和确定低参数效应非线性的模型非常必要。因为这样的模型线性性态较好，Gauss-Newton迭代法会很快收敛于最小二乘估计[2]。这就使得为了得到参数估计而发展起来的各种复杂方法都不需要了。
, 百拇医药
1 模型参数的最小二乘估计
由试验变量xi(i=1,2,…n)和响应变量yi(i=1,2,…n)所组成的数据分析中，假定我们所建立的模型为：
yi=f(xi,θ)+εi (1)
其中θ为待估的P维参数向量，f(xi,θ)是非线性函数，εi为可观测的随机误差。假定它的数学期望E(εi)=0，方差Var(εi)=σ2，则(1)式的向量形式为：
Y=η(θ)+ε (2)
其中η(θ)=f(X,θ),为n维向量。在n维空间Rn中，η(θ)可看作一个关于θ的参数方程。向量η的终点轨迹一般为P维曲面，称为解轨迹，记为F。求解
, 百拇医药
将得到
的最小二乘估计。
2 模型非线性强度的度量
Bates和Watts从微分几何观点出发，把模型的非线性强度分为固有非线性和参数效应非线性，定义了相应的曲率度量，即固有曲率和参数效应曲率。从几何观点看，模型的固有曲率是解轨迹F在某一点沿着某一方向的法向曲率，它是一个不变量，与参数的选择无关；参数效应曲率是在同一点的切向曲率，它依赖于坐标系的选择，即与参数的选择有关。具体来说，设在解轨迹上点θ0处取一方向h，通过θ0的任意一条直线可以用几何参数b表示为θ(b)=θ0+bh,其中h(h1,h2,…hp)，这条直线产生解轨迹上的一条曲线为ηh(b)=η(θ0+bh),沿着h方向的前两阶导数分别为：
, http://www.100md.com
其中
T分别为ηh的法分量和切分量，则沿h方向的固有曲率和参数效应曲率分别定义为：
把沿一切方向最大固有曲率记为KN，最大参数效应曲率记为KT。
KN=maxhKhN ， KT=maxhKhT。
, http://www.100md.com 关于这两个曲率的详细推导和计算机程序见文献[1，2]。
3 实例分析
为了研究在高压氧的条件下工作人员的生理反应特点，在高压氧仓内作了某项试验。表1给出了试验中得到的三组原始记录的数据。根据对试验数据的散点图的初步分析，选取模型函数的形式为：
Y=α-βγx (3)
对于数据组1、2、3，表2给出了固有曲率KN的值和参数效应曲率Kh的值。与曲率度量有关的临界值为
,其中F=F(p,n-p;α)是从对应于水平为α的F分布表中得出的。若
,则认为KN和Kh是可以接受的。表2中给出了在水平α=0.05时的临界值。
, http://www.100md.com
由表2可见，(3)式的固有曲率值是可以接受的，但具有显著的参数效应非线性。当参数效应曲率较大时，可以采用参数变换，选取适当参数，使参数效应曲率降低到可以接受的程度[2]。
(3)式的重新参数化有多种方式，下面给出两种常用的模型函数：
y=α-βexp(-γx) (4)
(5)
表1 试验原始记录的数据组 数据组1
数据组2
数据组3
X
Y
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X
Y
X
Y
3
9.1
1
12.3
2
7.1
5
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2
20.1
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4
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6
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4
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5
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8
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5
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9
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6
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8
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7
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10
14.2
11
, 百拇医药 20.8
8
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12
16.5
12
21.9
9
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14
19.1
14
23.8
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36.7
15
18.0
15
25.6
12
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16
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16
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13
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18
19.3
18
27.3
15
38.0
20
23.0
19
27.6
17
37.2
, http://www.100md.com 22
23.6
20
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18
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24
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25
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24
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21
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26
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25
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22
37.5
28
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, http://www.100md.com 26
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24
36.0
30
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30
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30
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34
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35.0
, http://www.100md.com 36
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36
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36
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38
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35.8
40
, http://www.100md.com 36.2
40
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40
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41
37.9
42
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42
36.0
42
36.5
, 百拇医药 44
32.1
44
37.2
45
36.9
45
31.7
46
37.0
47
37.1
46
, http://www.100md.com 31.2
48
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48
37.2
48
34.0
50
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50
37.4
50
33.4
, 百拇医药 对于数据组1、2、3，模型(3)、(4)的固有曲率和参数效应曲率见表2。由表2可知，对模型(3)重新参数化后，(4)的参数效应曲率不但没有减小，反而增大了，因此该模型不可取。而对每一组数据，(5)的参数效应曲率相对来说是最小的。虽然在统计意义下它仍然有显著的非线性，但是(5)的非线性强度比(3)和(4)都明显减小了。当固有曲率可以接受时，参数效应曲率越小，模型就越接近线性性态。对于线性性态好的非线性模型，根据Bates和Watts的研究表明，这样的模型，它的最小二乘估计可以通过Gauss-Newton迭代法获得。非线性模型在性态上与线性模型越接近，得到LS估计所需迭代的次数越少，甚至对于远离LS估计的任意初始估计值也是这样。与此相反，性态不好的模型根本不能收敛到LS估计，除非取得了很好的初始估计(即与LS估计很靠近的初始估计)。
表2 模型的固有曲率和参数效应曲率 数据组
固有曲率
(KN)
, http://www.100md.com
模型函数的参数效应曲率(Kh)
临界值
(3)
(4)
(5)
1
0.246
0.641
0.698
0.605
0.291
, 百拇医药
2
0.194
0.398
0.413
0.382
0.291
3
0.258
1.642
2.052
1.579
0.291
对模型(5)用Gauss-Newton迭代法很容易得到这三组数据相应的最小二乘估计，见表3。表3 模型(5)的参数LS估计和
数据组
, 百拇医药
1
0.025879
36.24746
0.93596
0.22724
2
0.026900
35.06364
0.69763
0.51655
3
0.026376
, http://www.100md.com 34.24183
0.96104
1.13652
参 考 文 献
1，Bates,D.M.and Watts D.G., Relative curvature measures of nonlinearity, J.R. Statist. Soc., Ser. B42, 1980,1～25.
2，韦博成著.近代非线性回归分析.南京：东南大学出版社，1989.
收稿日期：2000-05-07, 百拇医药
单位：车文(中国医科大学数学教研室 沈阳110001)
关键词：固有曲率；参数效应曲率；非线性模型；最小二乘估计
数理医药学杂志000504
摘 要： 用曲率度量的方法选取较佳的医用非线性模型，使得非线性模型中的参数能够以较快的速度收敛于最小二乘估计。
中图分类号： O 242.1 文献标识码：A 文章编号：1004-4337(2000)05-0390-02
人们在确定非线性模型时，常利用变量代换的方法把非线性模型转化为线性模型，或者改进对模型的拟和方法。近些年来，用微分几何的方法来处理统计中的问题，引起了统计界的广泛关注。其中有1980年Bates和Watts定义的反映非线性模型本质的曲率度量[1]。他们把模型的非线性强度分为固有非线性和参数效应非线性。他们的研究表明，绝大多数模型的固有非线性是可以接受的，一般地都有较高的参数效应非线性。由于参数效应非线性越高，应用最小二乘法求参数估计就越困难，因此寻找和确定低参数效应非线性的模型非常必要。因为这样的模型线性性态较好，Gauss-Newton迭代法会很快收敛于最小二乘估计[2]。这就使得为了得到参数估计而发展起来的各种复杂方法都不需要了。
, 百拇医药
1 模型参数的最小二乘估计
由试验变量xi(i=1,2,…n)和响应变量yi(i=1,2,…n)所组成的数据分析中，假定我们所建立的模型为：
yi=f(xi,θ)+εi (1)
其中θ为待估的P维参数向量，f(xi,θ)是非线性函数，εi为可观测的随机误差。假定它的数学期望E(εi)=0，方差Var(εi)=σ2，则(1)式的向量形式为：
Y=η(θ)+ε (2)
其中η(θ)=f(X,θ),为n维向量。在n维空间Rn中，η(θ)可看作一个关于θ的参数方程。向量η的终点轨迹一般为P维曲面，称为解轨迹，记为F。求解
, 百拇医药
将得到
的最小二乘估计。2 模型非线性强度的度量
Bates和Watts从微分几何观点出发，把模型的非线性强度分为固有非线性和参数效应非线性，定义了相应的曲率度量，即固有曲率和参数效应曲率。从几何观点看，模型的固有曲率是解轨迹F在某一点沿着某一方向的法向曲率，它是一个不变量，与参数的选择无关；参数效应曲率是在同一点的切向曲率，它依赖于坐标系的选择，即与参数的选择有关。具体来说，设在解轨迹上点θ0处取一方向h，通过θ0的任意一条直线可以用几何参数b表示为θ(b)=θ0+bh,其中h(h1,h2,…hp)，这条直线产生解轨迹上的一条曲线为ηh(b)=η(θ0+bh),沿着h方向的前两阶导数分别为：
, http://www.100md.com
其中
T分别为ηh的法分量和切分量，则沿h方向的固有曲率和参数效应曲率分别定义为：把沿一切方向最大固有曲率记为KN，最大参数效应曲率记为KT。
KN=maxhKhN ， KT=maxhKhT。
, http://www.100md.com 关于这两个曲率的详细推导和计算机程序见文献[1，2]。
3 实例分析
为了研究在高压氧的条件下工作人员的生理反应特点，在高压氧仓内作了某项试验。表1给出了试验中得到的三组原始记录的数据。根据对试验数据的散点图的初步分析，选取模型函数的形式为：
Y=α-βγx (3)
对于数据组1、2、3，表2给出了固有曲率KN的值和参数效应曲率Kh的值。与曲率度量有关的临界值为
,其中F=F(p,n-p;α)是从对应于水平为α的F分布表中得出的。若,则认为KN和Kh是可以接受的。表2中给出了在水平α=0.05时的临界值。, http://www.100md.com
由表2可见，(3)式的固有曲率值是可以接受的，但具有显著的参数效应非线性。当参数效应曲率较大时，可以采用参数变换，选取适当参数，使参数效应曲率降低到可以接受的程度[2]。
(3)式的重新参数化有多种方式，下面给出两种常用的模型函数：
y=α-βexp(-γx) (4)
(5)表1 试验原始记录的数据组 数据组1
数据组2
数据组3
X
Y
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X
Y
X
Y
3
9.1
1
12.3
2
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5
13.0
2
20.1
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4
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13
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18
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18
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17
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46
, http://www.100md.com 31.2
48
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, 百拇医药 对于数据组1、2、3，模型(3)、(4)的固有曲率和参数效应曲率见表2。由表2可知，对模型(3)重新参数化后，(4)的参数效应曲率不但没有减小，反而增大了，因此该模型不可取。而对每一组数据，(5)的参数效应曲率相对来说是最小的。虽然在统计意义下它仍然有显著的非线性，但是(5)的非线性强度比(3)和(4)都明显减小了。当固有曲率可以接受时，参数效应曲率越小，模型就越接近线性性态。对于线性性态好的非线性模型，根据Bates和Watts的研究表明，这样的模型，它的最小二乘估计可以通过Gauss-Newton迭代法获得。非线性模型在性态上与线性模型越接近，得到LS估计所需迭代的次数越少，甚至对于远离LS估计的任意初始估计值也是这样。与此相反，性态不好的模型根本不能收敛到LS估计，除非取得了很好的初始估计(即与LS估计很靠近的初始估计)。
表2 模型的固有曲率和参数效应曲率 数据组
固有曲率
(KN)
, http://www.100md.com
模型函数的参数效应曲率(Kh)
临界值
(3)
(4)
(5)
1
0.246
0.641
0.698
0.605
0.291
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2
0.194
0.398
0.413
0.382
0.291
3
0.258
1.642
2.052
1.579
0.291
对模型(5)用Gauss-Newton迭代法很容易得到这三组数据相应的最小二乘估计，见表3。表3 模型(5)的参数LS估计和
数据组, 百拇医药
1
0.025879
36.24746
0.93596
0.22724
2
0.026900
35.06364
0.69763
0.51655
3
0.026376
, http://www.100md.com 34.24183
0.96104
1.13652
参 考 文 献
1，Bates,D.M.and Watts D.G., Relative curvature measures of nonlinearity, J.R. Statist. Soc., Ser. B42, 1980,1～25.
2，韦博成著.近代非线性回归分析.南京：东南大学出版社，1989.
收稿日期：2000-05-07, 百拇医药