3 0 中学数学研究 2 0 1 2年第 1 期

    数学开放题的常见类型及其思维价值

    广东湛江市第二中学

    广东佛山市第二中学

    数学开放型问题， 简称数学开放题， 是数学教

    学中的一种新题型， 是相对于条件明确和结论封闭

    的传统型习题而言的. 然而， 现行数学教材中对这类

    题型的编排还比较缺乏， 大多数习题是为了使学生

    了解或牢记某些数学结论而编制的， 是封闭的. 数学

    开放题的思维价值主要表现在培养思维品质的灵活

    性、 深刻性、 广阔性和批判性等方面， 而这些思维品

    质恰恰又是创新思维与能力的重要组成部分. 那么，数学开放题有哪些常见类型， 其思维价值又具体表

    现在哪些方面? 本文尝试从条件、 结论和解题策略等

    方面对这些问题进行探讨.

    一

    、条件开放型

    条件开放题是由给定的结论， 反思、 探索应具备

    的条件的开放型问题. 在解题过程中， 结合有关条

    件， 从不同角度对问题作全面的分析， 正确判断， 得

    出结论， 以培养学生数学思维的灵活性和批判性.

    例 1 如图 1 ， A A BC中，D是A C边上一点， 要使 A A B C

    —A B DC， 必须具备的条件是

    — — — — — — — — — — — — _ . B

    思路分析： 因为 A A B C和

    A A C D有公共角 C， 则要使

    图 1

    C

    A A B C—A B DC成立， 还需有另外的两个对应角相

    等， 或夹 c的两条对应边的比例相等.

    解 ： 略.

    二、 结论开放型

    结论开放题就是从同一个条件出发可探索多种

    不同结论的习题 ， 思维能力不同的学生得出的结论

    数量或其深刻性往往有别， 这就培养了学生数学思

    维的广阔性 、 灵活性和深刻性.

    例 2 如图2 ， A A B C中， _ A C B=9 0 。 ， C D上A B， 由上

    述条件你能推出哪些结论?

    思 路 分 析 ： A A BC 、 A A C DA

    和 A B C D都是直角三角形， 学

    生可以从相似三角形、 勾股定

    D

    图 2

    ( 5 6 4 2 0 0 ) 卢海鸥

    ( 5 2 8 0 0 0 ) 李耀光

    理、 射影定理、 三角函数等知识来探讨存在于这些三

    角形中的边角及其函数关系. 结论是相当丰富的， 仅

    举几例如下：

    ( 1 ) A G D = DC， _B C D = A， _ A C D =

    _B；

    ( 2 ) AC +BC =AB ， AD +C D =AC 。 ， B D +

    C D =BC ( 勾股定理) ；

    ( 3 ) AC =A D · A B， BC =BD· A B， C D =A D

    ·

    8 D( 射影定理) ；

    ( 4) AA BC— A ACD AC BD， AC·BC =AB·

    CD；

    ( 5 ) s i n A = c 0 s B ， s i n A +s i n B = 1 ， t a n A =

    c o t B.

    三、 策略开放型

    策略开放型问题对同一个问题可以有多种思考

    方向， 使学生产生纵横联想， 以启发学生一题多解、一

    题多变、 一题多思的习惯， 培养学生数学思维深刻

    性和灵活性.

    例 3 已知 +Y+ =1 ， 求证 + Y + z 三 三 = 1 . J

    策略分析：

    策略 ①： 先用消元法， 不妨消去z ， 原不等式化

    为 +Y +x y— —Y+1 3 0， 再利用函数思想

    把左边看作是关于 的一元二次函数 )= +( Y

    —

    1 ) +y 2一Y+1 3 ， 只证 )≥0恒成立即可. 因

    为. 厂 ( )的判别式△=一3 ( Y一1 3 ) 0恒成立， 所

    以原不等式可证.

    策略 ②： 由代数式 +Y+z 与 +Y +z 的结

    构联想并利用柯西不等式， 可直接得证.

    策略③： 把条件中的常数 1 拆成3 个1 3 ， 再利用

    参数思想将 、 y 、 看成是1 3 与一个微小量的和， 即

    = 1 3+ l ， Y=1 3+ 2 ， =1 3+ 3 . 由 +Y+ =

    1 得 ， s 1 +s 2+占 3=0 ， 且 + +z =1 3+2 3 ( 1

    + 2 + 3 )+ + ； + ； ， 故原不等式成立.

    四、 条件隐含型

    条件隐藏型开放题是解题所需的某些条件隐藏 2 0 1 2年第 1 期 中学数学研究 3 1

    聚焦高考题中的高等数学背景 — —

    剖析 2 0 1 1年湖北压轴题

    华中科技大学附属中学 ( 武汉， 4 3 0 0 7 4 ) 李青

    一

    、问题提 出

    近年来， 高等数学的基本思想、 基本方法和基本

    问题为高考试题的命制提供了新的背景和新的思

    路. 高等数学的一些内容可以通过初等数学的方法

    和手段解决， 以高等数学为背景的这类试题能很好

    地考查了学生进一步学习的潜能以及学生独立思考

    创新思维的能力. 因此以高等数学为背景的高考数

    学命题受到越来越多命题专家的青睐.比如， 2 0 0 7

    年湖北理科压轴题是以“ 贝努利不等式”为背景命

    制的， 2 0 1 0年湖北理科的压轴题是以“ 欧拉常数”为

    背景命制的. 本文将对 2 0 1 1年高考数学湖北理科卷

    的压轴题作深入的研究.

    题目： ( 2 0 1 1年湖北理科 2 1题)

    (I)已知函数， ( )=l n x— +1 ， ∈( 0，+

    ∞) ， 求函数. 厂 ( )的最大值；

    (Ⅱ) 设 o ， b ( k=1 ， 2， …， n ) 均为正数， 证明：

    ( 1 ) 若0 1 b 1 +0 2 b 2 +…a . b b l +b 2 +…b ， 贝 0

    口

    b

    1 0 … 口 b n 1；

    ( 2 ) 若 b 1 +b 2 +…b =l ， 则 1 n s 6 ： 6 …略

    b +b ； +… +

    此题作为该卷的压轴题， 它有一定的思想高度，渗透着高等数学的思想方法， 考查函数， 导数，不

    等式证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识

    进行推理论证的能力以及化归与转化的思想.其

    中， 数列与不等式自然衔接， 开放与限制有机结合，既有考生展示才华的广阔空间，又有区分能力的选

    拔功能，可谓两全其美，相得益彰，成为该试卷中

    一

    大亮点.

    此题的第( Ⅱ)问第( 1 ) 小问证明比较简单， 由

    分析法也很容易找到证明思路， 然而第( 2 )小问标

    1

    准解答中要通过构造法令 n =÷ ( k=1 ， 2 ， …， n Ok

    n ) ， 证明不等式的左边成立， 再令. s=∑b ， o = = l

    ^

    ( k：1 ， 2 ， …， ) 证明不等式的右边成立.此处证 ^ )

    明难度比较大， 证明思路难寻， 学生的思维也因此受

    阻.明显此问是本题的核心，它就与凸函数性质、琴生( J e n s e n )不等式有关， 笔者猜想本题就是以著

    名的琴生不等式为背景而命制的.

    二、 问题背景

    凸函数定义： 设函数 ) 在区间， 内有定义， 对

    于任何相异的 ， ∈， ， 以及任意的A， ∈R ， 且A

    + =1 ， 若 A 。+ 2 )>X f ( x 1 )+ 2 ) ， 贝 0 称)在 ， 内上凸； 若不等号方向相反， 则称 )在，内下凸. 如果对于任意 ， Y∈， 和A∈( 0 ， 1 ) ， A +

    在题 目中， 不容易被注意或发现. 在解题时要善于从

    已知条件中捕捉隐含条件， 也就是对已知条件进行

    更深层次的表征， 这个过程能够培养学生数学思维

    的深刻性和缜密性.

    例4 设 △ A c是锐角三角形， 求证：

    t a n A ·t a n B ·t a nC 3

    思路分析： ~ A BC是锐角三角形， 隐含了 厶4+

    + C=1 8 0 。 ， 且t a n A 、 t a n B、 t a n C都是正数这一

    条件， 而待证结论为三个正数的积应大于或等于 3

    √ 3 ， 这又让我们联想起均值不等式.

    略解： 在锐角三角形 △ A C中， 易证得 t a n A·

    t a n B· t a n C=t a n A+t a n B+t a n C . 又由均值不等式，可得t a n A+t a n B+t a n C 3 t a n A· t a n n· t a n C . 综

    合以上两式， 不难得出， 欲证的结论是成立的.

    五、 结论

    数学开放题可分为条件、 结论、 策略开放型和条

    件隐含型等多种类型， 这类问题的思维切入点较多，为能力不同的学生提供了不同的思维入口， 而且条

    件、 结论、 策略的多样性或深刻性又能激发学生丰富

    的想象力和强烈的好奇心. 在教学过程中， 师生应充

    分重视数学开放题在提高学生数学创造意识和创新

    能力方面的思维价值， 以实现培养学生良好数学思

    维品质的数学教育新理念. 数学开放题的常见类型及其思维价值

    作者： 卢海鸥， 李耀光

    作者单位： 卢海鸥(广东湛江市第二中学,564200)， 李耀光(广东佛山市第二中学,528000)

    刊名： 中学数学研究

    英文刊名：

    年，卷(期)： 2012(1)

    本文链接：http:d.g.wanfangdata.com.cnPeriodical_zxsxyj201201009.aspx ......