逻辑的力量

    [英]郑乐隽 著

    杜娟 译

    中信出版集团目录

    序言

    第一部分 逻辑的力量

    第一章 为什么要有逻辑？

    第二章 逻辑是什么？

    第三章 逻辑的方向性

    第四章 对立与谬误

    第五章 责备与责任

    第六章 关系

    第七章 如何成为正确的一方

    第二部分 逻辑的极限

    第八章 真相与人类

    第九章 悖论

    第十章 逻辑无法帮助我们的地方

    第三部分 逻辑与情感

    第十一章 公理

    第十二章 界线与灰色地带

    第十三章 类比

    第十四章 等价

    第十五章 情感

    第十六章 智慧与理性致谢

    版权页致我的父母

    他们教会了我逻辑和直觉序言

    如果每个人都能更加清晰地思考，辨别真实与虚假、真相与谎言，是否会更有益处呢？

    但是，什么是真相？真相与假象之间的差异总是那么容易区分吗？

    事实上，这两者之间的差异曾经容易区分过吗？如果容易区分，为什么

    人与人之间会产生如此多的分歧？如果不容易区分，为什么人们又会认

    同彼此？

    这个世界充满了可怕的言论、冲突、分歧、假新闻、受害者、剥

    削、偏见、偏执、责难、呐喊和博人眼球的噱头。当猫模因获得的关注

    比谋杀案更多时，社会丧失逻辑了吗？当耸人听闻的新闻标题如病毒般

    扩散时，理智变得无关紧要了吗？在我们所处的世界里，无尽的资源无

    休止地争夺着我们的注意力。很多时候，人们制造简单的夸大的言论，就是为了起到一些效果，产生一些影响，赢得一丝赞誉，攫取一些关

    注。

    但是，过度的简单化将我们推向了人造的非黑即白的境地，而事实

    上所有的真实事物都存在于无尽的灰色空间，或者多彩的空间。因此，我们的生活中总是充斥着无穷无尽的冷嘲热讽、争辩以及相互攻击。即

    便事实不是字面描述的这样，也相去不远。

    所有的希望都破灭了吗？我们难道注定要非此即彼，再也无法取得

    共识了吗？

    不是这样的。对于任何一个在现代世界的逻辑缺失中溺水的人来说，都存在一个

    触手可及的救生圈，这个救生圈就是逻辑。但是和其他救生圈一样，只

    有在我们正确使用它时，它才能帮到我们。这就意味着，我们不仅要更

    好地理解逻辑，还要更好地理解情感，最重要的是理解它们之间的相互

    作用。只有这样，我们才能在真实的人类世界中真正有效地使用逻辑。

    数学可以仔细打磨逻辑的技巧。作为一个数学学者，我有这方面的

    经验。我相信人们可以从数学的技巧和见解中学到知识。因为数学的实

    质就是构建逻辑缜密的论证，并说服其他人接受这些论证。数学不仅仅

    包含数字和方程——它是一门辩论的学问。它提供了一个论证的框架。

    这个框架非常成功，人们在数学领域中确实经常能就某些结论达成一

    致。

    人们普遍认为数学是关于数字和方程的学科，而且在我们能够使用

    到数字的所有地方数学都是有用的。这个观点的错误之处是它认为数学

    的重点就是将现实生活中的情景转化成方程，然后用数学来解决这些方

    程。这确实是数学的一个侧面，但也是一个极为狭隘和片面的观点，它

    并没有全面地回答数学是什么以及数学能做什么。从这个角度出发，人

    们把“纯数学”当作一个关于深奥符号的纯粹领域。它远离真实世界，只

    能通过一连串的介质与现实世界产生互动：相反，我们应该从对数学的狭隘的、线性的、不完整的看法中跳出

    来，从广义上理解数学，从而在更大的范围内使用数学。在学校里，数

    学可能主要是关于数字和方程的，但是更高层次的数学是关于如何思考

    的。因此，数学适用于整个人类世界，而不仅仅适用于涉及数字的部

    分。数学可以帮助我们更清晰地思考，但是不会告诉我们应该思考什

    么。这本书的目的也不是教人思考什么。与很多人的理解恰恰相反，数

    学并不是非对即错的，很多观点也不是非对即错的。数学告诉我们，事

    物的对与错是依赖于世界观的。人们彼此之间的不赞同，往往是由不同

    的根本理念引发的不同观点造成的，并不代表一方是正确的，而另一方

    是错误的。

    如果对你来说数学和逻辑的概念既遥远又抽象，那么你是正确的

    ——数学和逻辑确实是既遥远又抽象的。但是我认为抽象是有目的的，更广泛的适用性就是其强有力的结果之一。数学的遥远也是有目的的，后退一步能够帮助我们专注于重要的原则，让我们在陷入烦琐的人为细

    节前更清晰地思考这些原则。

    之后我们会引入这些细节。我们将分析和阐明混乱的、有争议的、有歧义的问题，例如性别歧视、种族主义、特权、骚扰、虚假新闻等

    等。逻辑并不能解决这些问题，但是逻辑能理清我们应该讨论的条目。

    因此，我不会告诉你这些争论的结论应该是什么，但是我将会告诉你应该怎样进行争论。

    在本书中，我将展示逻辑的力量以及它的局限性，因此我们能够负

    责任地、有效地使用它的力量。在第一部分，我将介绍如何使用逻辑，通过建立清晰的、不可辩驳的观点来验证和确定真理。在第二部分，我

    将讨论逻辑会在何处崩塌，无法再为我们提供帮助。与对待其他工具的

    时候一样，我们不应该试图超越逻辑的极限来使用它。因此，在本书的

    最后一部分，我将阐明在逻辑之外我们应该做什么。最重要的是，我们

    还需要带入情感。首先找到通往逻辑的方法，然后将它传达给其他人。

    逻辑令我们观点缜密，而情感使这些观点具有说服力。在所谓的“后真

    相”的世界里，接近真理的方式更多地取决于情感而不是逻辑。这听起

    来似乎对理性不利，但是我认为只要让情感和逻辑相互协作而不是相互

    对抗，这就不是件坏事。

    情感和逻辑并不是敌人。逻辑在抽象的数学世界里完美运作，但是

    生活远比这复杂。生活涉及人类，而人类有情感。在我们这个美丽又烦

    琐的世界里，我们应该用情感支撑逻辑，用逻辑理解情感。我坚信，当

    我们同时使用情感和逻辑，并且发挥它们各自的优势而不超越它们的极

    限时，我们就能够更清晰地思考，更有效地沟通，并收获对人类同胞更

    深入、更富同情心的理解。这才是真正的逻辑的艺术。第一部分 逻辑的力量

    第一章 为什么要有逻辑？

    世界既广阔又复杂。我们如果想要理解它，就需要简化它。有两种

    方式可以让事物变得更简单，一种是忘记它的某些部分，另一种是让自

    己变得更加聪明。这样，原先看起来无法理解的事物对于我们来说就变

    得清晰明了了。本书论述了在理解的过程中，逻辑能够并且应该起到的

    作用；分析了逻辑如何帮助我们更加清晰地观察和理解这个世界；呈现

    了逻辑所闪耀的光芒。

    逻辑包含了让事物变得更简单的这两种方式。忘记细节是一个抽象

    化的过程，在这个过程中我们可以看到事物的本质，并且暂时将注意力

    集中在它身上。重要的是，我们一定不能忘记关键性的细节。如果忘记

    关键的细节，这个过程就会变成过度简化，不具有启发作用了。而且我

    们只是暂时这么做，所以我们并没有宣称已经理解了所有事物，而是认

    为自己理解了一个核心，所有进一步的理解都可以建立在这个核心上。

    在本章中，我们将首先讨论为什么逻辑是所有理解过程的良好基

    础，以及在一个不符合逻辑的人类世界中，逻辑可能发挥什么作用。

    获取真相

    所有研究和学习的领域都致力于揭示与世界相关的真相，内容可能

    包括地球、天气、宇宙、鸟类、电子、大脑、血液、数千年前的人类、数字或者其他事物。根据所学的内容，你需要用不同的方法来确定什么

    是正确的，并且说服其他人接受你的想法。任何人都可以宣称自己的想

    法是正确的，但是除非他们能以某种方式来支持自己的主张，否则没有

    人会相信他们是正确的。

    因此，不同的学科需要通过不同的方式来获取真相。

    科学真相是利用科学方法来确定的，科学方法是一个明确定义的框

    架，用来决定某件事物为真的可能性。它通常包括建立一个理论，收集

    证据，然后用证据来严格检验理论。

    数学的真理是通过逻辑来实现的。虽然我们可以利用情感去感受

    它，理解它，并且说服他人接受它，但是我们只能用逻辑来验证它。其

    中的差异是非常重要而且微妙的。在某种程度上，我们确实是通过情感

    来获取数学的真理的，但是在我们使用逻辑验证它之前，它都不能算是

    正确的。

    人们在分歧中有时会抛出“逻辑”这个词，试图给论点增添些分量。

    人们可能会说“在逻辑上，这是正确的”，或者“在逻辑上，这不可能是

    正确的”，或者“你就是不符合逻辑”。“从数学上讲”这种说法也常常会

    以这种方式抛出。比如，“从数学上讲，他们可能无法赢得选举”。不幸

    的是，这些用法常常是毫无意义的，这更像是人们试图支撑一个薄弱论

    点发出的最后一击。与此同时，人们对这些词语的滥用降低了它们的含

    金量，这令我感到悲哀。但我是一个乐观主义者，所以我也选择从中找

    到令人振奋的东西：我很高兴地认为，在某种程度上，人们知道逻辑和

    数学是不可辩驳的，所以它们的出现可以令人信服地结束一场争论。虽

    然人们用这类名词来击败对手是徒劳的，但是至少在某种意义上它们的

    力量是被公认的。

    我不是简单地哀叹人们对逻辑和数学的误解，而是选择解决这个问

    题，我希望它们的力量能被真正用于良好的目的。这就是我写这本书的原因。

    使用逻辑的优点

    利用一个明确的框架来获取真相，主要原因之一就是我们可以就某

    些事物达成一致。人们总是尽可能多地反对他人，并且沉醉于此，这似

    乎是非常激进的。在体育运动中就会出现这种情况，尽管裁判只是简单

    地运用了约定的规则，粉丝们还是会对裁判做出的裁决感到愤怒。

    记得有一年，我观看牛津—剑桥赛艇对抗赛。当赛艇发生危险的碰

    撞时，剑桥队被处罚了。作为一个剑桥人，我非常气愤，因为在我看来

    显然是牛津队蓄意转向剑桥队的，所以看起来应该是牛津队的错。我认

    为裁判与牛津队之间有阴谋，所以裁判故意偏袒牛津队。然而，我并没

    有一味地抨击这种猜测的阴谋，而是查阅了许多专家的评论，试图理解

    到底发生了什么。我了解到，在泰晤士河赛艇比赛中，人们会沿着河中

    心画出一条假想的分界线，每艘赛艇在自己这一侧河水中都具有优先

    权。这意味着一艘赛艇可以留下很多空间，也许在过弯道时，可以“引

    诱”其他赛艇越过这条线。接下来，拥有优先权的这艘赛艇就可以故意

    转向越线的赛艇，因为它们很清楚自己并不会受到惩罚。这在道德上是

    正确的吗？这到底是谁的错？我们将在第五章阐明责备与责任的问题。

    使用一个明确的框架来达成共识，这个观念也有点儿像医学诊断的

    工作原理。医学界试图制定一个清晰的检查表，以便做出的诊断是明确

    的，整个行业的不同人员都能够一致地做出这样的诊断。

    逻辑需要有明确的规则，以便不同的人能够明确地得出一致的结

    论。这在理论上是美妙的，也许这里的“在理论上”意味着在数学的抽象

    世界中。数学取得进展的能力是惊人的。哲学家迈克尔·达米特在《数

    学哲学》中写道：数学在稳步前进，而哲学则不停地挣扎在无穷无尽的困惑中，困惑

    于哲学一开始就面对的问题。

    为什么数学家能够就什么是正确的达成共识？为什么这些事物在几

    千年后仍然是正确的，而其他学科似乎在不断改进和更新它们的理论？

    我相信答案在于逻辑的稳健性。这是它巨大的优势。

    逻辑世界也存在一些缺点，其中一个就是只通过大声喊叫你是无法

    赢得争论的。当然，只有在你喜欢通过喊叫来赢得争论时这才是一个缺

    点。我通常不会这么做，但不幸的是，有很多人这样做，所以他们不喜

    欢逻辑世界。而且他们也不喜欢这个事实——在逻辑的世界中，他们无

    法在我这样一个不高大、轻声细语、不酷的人面前占上风。因为在逻辑

    的世界里，力量并不来源于大块儿的肌肉、大量的金钱或者过人的运动

    能力，而是来源于纯粹的逻辑思维能力。

    逻辑世界的另一个缺点是你不再真正地脚踏实地了，因为我们已经

    不在具体的世界里了。有时，你会感觉自己在四处飘荡。但我发现，一

    个人一旦习惯了这种状态，就会觉得这是一种非常愉快的感受。这就像

    把第一个人送入太空，其关键之处在于怎样使其回到地球上。在本书

    中，我们将在抽象世界中漂流，而这不仅仅是为了好玩儿。我们将回到

    地球上，使用强有力的逻辑技术，解决围绕社会状况的真实的、密切

    的、紧迫的争论。进入逻辑的抽象世界可以使我们在现实世界中走得更

    远，就像在天空中飞行可以使我们在现实生活中旅行得更远、更快一

    样。从本质上而言，这就是数学的全部意义。

    数学是什么，不是什么

    人们对数学有许多误解。这可能来源于数学在学校中被呈现的方式

    ——作为一系列规则，你必须遵循这些规则才能得到正确的答案。在学校中，数学的正确答案通常是一个数字。当证明终于进入数学课堂时，它通常以几何学的形式出现。在几何学中，“逻辑论证”的构成是使用特

    定的事实来证明其他无意义的结果。例如，有一些已经被设定条件的直

    线，在不同的位置彼此相交，然后这里的一个角会与另一个地方的角相

    关。

    证明角A是角B的一半

    (注意：这个例子是一个恶作剧，是不可能被证明的。)

    然后，你会面临一系列的测试和考试，在限定的时间内做一整套无

    意义的练习。如果你克服了这些困难，仍然相信自己喜欢数学，那么你

    就可以进入大学继续进行数学的学习。这时，所有事情都有可能重演，除了难度——大学数学更难。如果你完成了这一切，并且仍然认为自己

    喜欢数学，那么你可以攻读博士学位，开始从事相关研究。到了这里，数学终于变成我心目中真正的数学的样子了。它不再是一连串需要跃过

    的障碍，不再是为了获得“正确答案”而做出的尝试，而是一个需要探

    索、发现和理解的世界——逻辑世界。

    在这一点上，许多人意识到，他们之前对“数学”的喜欢在于越过这

    些障碍，获取正确的答案。他们喜欢这种能够轻松地获得正确答案的感

    觉，所以一旦踏入这个探索性的数学世界，他们就逃跑了。

    其他人在经历了不幸的学校生涯后，仍然保持着对数学的热爱。因

    为他们认为，当自己开始做研究时，数学会变得越来越好，越来越让人

    兴奋。教育学家丹尼尔·芬克尔称这种现象是对学校数学课程的“免

    疫”。我的妈妈为我接种了数学课程的“疫苗”，她向我展示了一个比我

    们在学校里所学的丰富得多的数学世界。很多人都是通过一位优秀的数

    学老师对数学免疫的——有时，我们只需要一个老师、一堂课，就能产

    生免疫效果，并且使学生相信，无论这堂课前发生过什么，以及这堂课

    后会发生什么，只要他们追随数学足够长的时间，数学的世界就会向他

    们敞开大门，让他们着迷。

    那么，当我们开始研究时才会遇到的这个“真正的数学”是什么？什

    么是数学？许多人认为数学就是“对数字的研究”，但是它远不止于此。

    我曾经在芝加哥的一所小学做过一个关于对称性的讨论，一个小男孩后

    来抱怨道：“数字在哪儿呢？”我解释说数学不仅仅与数字相关，于是他

    哭叫道：“可是我想要让它与数字相关!”

    科学发现的规则包括实验、证据和可重复性。数学发现的规则不涉

    及以上任何一项，但它涉及逻辑证明。数学真理是通过构建逻辑论证来

    建立的，而且这就是全部。

    我最喜欢的思考数学的方式是：它是对事物如何运作的研究。但这

    并不是对任何已有事物如何运作的研究，而是对逻辑事物如何运作的研

    究。而且，这不是对逻辑事物如何运作的任何已有的研究，而是对逻辑事物如何运作的逻辑性研究。

    ● 数学就是对逻辑事物如何运作的逻辑性研究。

    ● 任何研究型学科都包含两个方面：

    (1)研究的是什么。

    (2)如何研究它。

    这两者是有联系的，但是在数学中，它们之间的联系具有周期性。

    通常，我们正在研究的对象决定了我们如何研究它们，但是在数学中，我们研究它们的方式也决定了我们能够研究什么。我们使用的方法是逻

    辑，所以我们可以研究任何按照逻辑规则运行的对象。但是这些对象是

    什么呢？这是本书第一部分的主题。

    规则

    不同的游戏和运动采用不同的规则，它们都以一种非常明确的方式

    决定谁是最好的。就我个人而言，我更喜欢那些可以非常清晰地判定结

    果的游戏和运动，比如谁第一个冲过终点线，或者谁在不碰掉横杆的情

    况下跳得最高。像体操或者跳水这样的运动，如果需要一组评委根据已

    经确定的标准来做出决定，就会显得更加复杂、混乱和模棱两可。标准

    的设定应该是明确的，并且将人类的判断从当前的情况中移除。但是，如果标准真的是明确的，那么裁判之间就绝对不会有分歧，我们也就不

    需要整整一组裁判员了。

    但是，即使是看起来很容易判定的运动也有很多规则。如果更仔细

    地观察100米短跑或者跳高，我们就会发现，还有许多关于抢跑、使用

    药物、谁被允许作为女人参赛、谁被允许作为体格健全的人参赛等规则。

    和运动一样，逻辑有一个问题：你如果非常不习惯规则，就会为之

    感到困惑。我就对美式足球(橄榄球)的规则感到非常困惑。美国人通

    常认为这是因为我是一个英国人，我已经非常习惯“英式”足球。但事实

    上，我对英式足球的规则也感到困惑。但是，英式足球至少是用脚来移

    动球的运动，所以我理解得更多一些。

    在真正开始从事运动之前，我们需要清楚地知道运动的规则是什

    么。在能够真正开始运用逻辑之前，我们也需要清楚逻辑的规则是什

    么。就像运动一样，我们越想取得进步，就越要深刻地理解这些规则以

    及它们的微妙之处。这是一件费力的事，但是对逻辑的基本原理了解得

    越多，我们越能得到更好、更富有成效的论点。

    争论的理论

    互联网是有缺陷论点的一个丰富的、无穷无尽的来源。与气候科学

    和疫苗接种一样，非专家逐渐将专家共识视为精英阴谋，这种情况已经

    出现了惊人的增长。很多人对某事达成共识并不意味着存在阴谋。很多

    人都赞同罗杰·费德勒在2017年获得了温布尔登网球锦标赛冠军。事实

    上，可能每一个关注比赛的人都会赞同这个结果。这并不意味着这是一

    场阴谋，而是意味着温布尔登网球锦标赛是有非常明确的规则的，很多

    人都看着他比赛，并依据规则证实他确实赢了。

    在这方面，科学和数学的问题在于它们的规则更难以理解，因此，非专家更难验证规则是否被遵守。但是，这种理解的缺乏可以追溯到一

    个更基本的层面：“理论”一词的不同用法。在某些用法中，“理论”只是

    对某些事物的一个建议性解释。在科学中，“理论”是一种解释，它根据

    明确的框架被严格检验，并且在统计学上很有可能是正确的。(更准确地说，如果没有正确的解释，那么在统计学上结果是不可能发生的。)

    然而，在数学中，“理论”是根据逻辑被证明是正确的一系列结果。

    这不涉及任何可能性，不需要任何证据，也没有任何疑问。当我们询问

    这个理论如何为周围的世界建模时，疑问和问题才会出现。但是，在这

    个理论中，正确的结论必须在逻辑上是正确的，并且数学家们都赞成它

    是正确的。如果数学家们质疑这个理论，那么他们必须在证明的过程中

    找到错误，仅仅是大声喊叫是不会被接受的。

    数学有一个显著的特点，数学家们非常善于就什么是正确的、什么

    是错误的达成一致。有一些开放性的问题，我们还不知道答案，但是

    2000年前的数学仍被认为是正确的，而且依然在被传授。这一点与科学

    不同，科学正在不断地被完善和更新。除了在科学史的课堂上，在其他

    任何场景中，我都不确定2000年前的科学是否依然在被传授。出现这种

    情况的主要原因是，在数学中，用来证明事物正确的框架是逻辑证明，这个框架足够清晰，数学家们能够对此达成一致。这并不意味着有一个

    阴谋正在酝酿。

    当然，数学不是生活。在现实生活中，逻辑证明并不是十分奏效。

    这是因为真实生活中的细微差异和不确定性远比数学世界中多。数学世

    界是专门为消除这种不确定性而建立的，但我们不能忽视现实生活中的

    这一方面。更确切地说，无论我们是否忽视这种不确定性，它都在那

    里。

    因此，在现实生活中支持某个事物的论证不会像数学证明那样清

    晰，很明显，这就是分歧的来源之一。然而，逻辑论证应该与数学证明

    有很多共同之处，即使它们没有那么清晰明确。在现实生活中，一些围

    绕论证的分歧是不可避免的，因为它来源于对世界的真实的不确定性。

    但有些分歧是可以避免的，我们可以通过使用逻辑来避免这些分歧。这

    就是我们要关注的部分。数学证明通常比普通生活中的典型论证更长，也更复杂。普通生活

    中的论证有一个问题，它们通常发生得非常快，所以没有足够的时间让

    人们形成一个复杂的论证。即使有充足的时间，注意力持续的时间也会

    变得非常短。如果你在一次重要的论证没有抓住重点，那么可能很多人

    都不会再关注你了。

    相比之下，数学中一个简单的证明可能需要书写10页，花费一年的

    时间来构建。事实上，在写这本书的时候，我所做的筹备工作已经进行

    了11年，我的笔记已经超过了200页。作为一名数学家，我非常擅长规

    划冗长而复杂的证明。

    对于日常生活中的争论而言，一个200页的论证确实太长了(尽管

    对于法律裁决而言可能并不罕见)，然而280个字符太短了。解决日常

    生活中的问题并不简单，我们不能奢望在一句或者两句的论证中解决这

    些问题，或者直接通过直觉来做到这一点。我认为，建立、交流和遵循

    复杂逻辑论证的能力是聪慧、理性的人的一项重要技能。做数学证明就

    像运动员在非常高的海拔进行训练，这样，当他们回到气压正常的环境

    中时，就会感到做事更加容易了。但是，我们不是在训练自己的身体，而是在锻炼我们的逻辑思维，这些情况发生在抽象世界中。

    抽象世界

    大部分真实的对象并不依照逻辑来运作。如果你给小朋友一块饼

    干，然后再给一块，那么他会有多少饼干呢？可能会没有，因为他们会

    吃掉饼干。

    为了进入一个逻辑能够完美运作的世界，我们会在数学中忘记一些

    与情景相关的细节。因此，我们不再考虑一块饼干和另一块饼干，只需

    要考虑“1+1”，忘记“饼干”。只要我们注意处理饼干的方式是否符合逻辑，“1+1”的结果就适用于饼干了。

    逻辑是一个通过谨慎推理构建论证的过程。在复杂多变的普通生活

    中，我们可以尝试着这样做，因为正常生活中的事物在不同程度上是合

    乎逻辑的。我认为正常生活中的任何事物都不是完全合乎逻辑的。稍后

    我们将探讨事物是如何不符合逻辑的：或者因为情绪，或者因为我们有

    太多的数据要处理，或者因为太多数据的遗失，或者因为存在随机的因

    素。

    因此，为了从逻辑上研究事物，我们必须忘记那些令人讨厌的、从

    逻辑上阻碍事物运作的细节。在小朋友和饼干的案例中，如果允许他们

    吃饼干，那么情况的发展将不会完全符合逻辑。因此，我们需要强加一

    个条件，即不允许他们吃饼干。在这种情况下，研究对象可能不是饼

    干，而是任何不可食用的事物，只要它们能被分割成离散的小块。它们

    只是“事物”，没有任何可辨识的特点。这就是数字1的含义：它是一个

    清晰可辨的“事物”的概念。

    这一转变将我们从物质的真实世界带入想法的抽象世界。这会给我

    们带来什么呢？

    抽象世界的优点

    进入抽象世界，我们就处在一个所有事物行为均符合逻辑的地方。

    在抽象世界中，如果在完全相同的条件下一次又一次地计算“1+1”，我

    将始终得到2。(我可以改变条件，然后得到其他答案。但是接下来，在这些新条件下，我也总能得到相同的答案。)

    人们说，精神错乱就是一遍又一遍地做着相同的事，却期待着不同

    的事情发生。我认为逻辑(或者至少是一部分逻辑)就是一遍又一遍地做着相同的事，期待着相同的事情发生。拿我的电脑来说，它有时也会

    让我精神错乱。我每天都做相同的事情，然而我的电脑会周期性地拒绝

    连接无线网络。我的电脑是不符合逻辑的。

    抽象有一个很强大的功能，那就是当你忘记一些细节时，许多不同

    的情况就变得相同了。在抽象世界中，我可以把一个苹果和另一个苹

    果、一只熊和另一只熊、一名歌剧演员和另一名歌剧演员，以及所有这

    类情形都变成“1+1”。一旦发现不同的事物在某种程度上是相同的，我

    们就可以同时研究它们，这会更为高效。也就是说，我们可以研究它们

    的共同点，然后分别观察它们的不同之处。

    我们可以在不同的情况之间找到许多联系，这可能是出人意料的。

    例如，我已经发现，在巴赫的钢琴前奏曲和我们编头发的方式之间存在

    某种联系。在不同情况之间寻找联系，能够帮助我们从不同的角度理解

    它们。但从根本上讲，这也是一种求同的行为。我们可以强调差异，也

    可以强调相似之处。无论是在数学里，还是在生活中，我都热衷于寻找

    事物间的相似之处。数学是一个在科学的不同部分之间寻找相似性的框

    架，而我的研究领域(范畴论)是一个在数学的不同部分之间寻找相似

    性的框架。在第六章，我们将展示从关系的角度思考的有效性。

    在寻找事物之间的相似之处时，我们常常不得不放弃越来越多的外

    部细节，直到我们到达将事物结合在一起的深层结构。比如，从外表上

    看，我们每个人都并不完全相像。但是，如果我们将自己剥得只剩骨

    架，那么我们基本上是一样的。蜕去外壳，或者将争论归结为它的本

    质，有助于我们理解自己的想法，特别是有助于我们理解自己为什么不

    赞同其他人。

    抽象世界有一个格外有用的特点，即在你想起它的时候，它就存

    在。如果你有一个想法，而且你想要实施它，那么你可以立即行动起

    来。你不需要出去购买它(或者请求你的父母为你购买它，或者请求你

    的资助机构给你钱去购买它)。我希望我的晚餐在我一想到它时就会出现。但是，晚餐不是抽象的，所以它不会出现。更严肃地说，这意味着

    我们可以用自己对世界的想法进行思想实验，遵循逻辑推理，然后观察

    将会发生什么，而不需要为了获得这些想法，去做那些真实的、可能不

    切实际的实验。

    我们如何进入抽象世界？

    进入抽象的、逻辑的世界是通往逻辑思维的第一步。当然，在正常

    生活中，我们可能不需要如此明确地去往那里，以便逻辑地思考周围的

    世界。但是当我们试图在某种情况下找到逻辑时，这个过程仍然存在。

    最近，伦敦地铁推出了一个新体系。在这个体系中，站台的某些区

    域被涂上绿色的标记，指示车门将在那里开启。等候地铁的乘客按照指

    示站在绿色区域外，这样一来，那些想要下车的乘客就有空间下车，无

    须面对一排想要上车的人墙了。此举的目的是改善人流的移动，减少可

    怕的拥堵，特别是在高峰时段。

    这对我而言是个好主意，却遭到一些普通上班族的强烈抗议。显

    然，这个体系让有些人感到不安。他们经过多年的通勤和研究，掌握了

    车门将会在哪里开启，而这些标记破坏了他们积攒下来的“竞争优势”。

    那些从未来过伦敦的游客，现在也有了同样的第一个登上地铁的机会，这让上班族们感到非常难过。

    这些抱怨遭到了嘲笑，但我认为它提供了一个有趣的角度，让我们

    看到平权行动引起争议的一个方面：如果我们为那些弱势群体提供特别

    的帮助，那么某些没有获得这种帮助的人似乎会感到不公平。他们认为

    只有那些人得到帮助是不公平的。就像那些荒谬的、愤怒的上班族一

    样，他们很恼火自己失去了辛苦攒下的“竞争优势”，他们认为其他人也

    应该通过努力获得它。这不是一个明确的数学案例，但是这种进行类比的方法是数学思维

    的本质。在数学思维中，我们把注意力集中在一个情境的重要特征上，以阐明这个情境，并与其他情境建立联系。事实上，数学作为一个整

    体，可以被考虑成类比的理论。在整本书中，我们都将使用类比来串联

    明显不相关的情境，并将在第十三章详细分析类比的作用。要想找到类

    比，我们需要剥离一些与当前思考无关的细节，找到在核心处令其运作

    的想法。这是一个抽象化的过程，也是我们进入抽象世界的方式。在抽

    象世界里，我们可以更容易、更有效地应用逻辑，并在一种情况下检验

    逻辑。

    为了更好地执行这种抽象化，我们需要将固有的事物从偶然出现的

    事物中分离。逻辑上的解释来自事物深刻的、不变的含义，而不是来自

    事件的顺序或者个人的决定和品位。内在性意味着我们不应该依赖背景

    来理解事物。我们将看到，我们对语言的正常使用一直依赖于语境，因

    为同一个词在不同的语境中可能会有不同的意思。在正常语言中，人们

    不仅通过语境来评判事物，还会联系自己的经验来评判事物；而逻辑上

    的解释需要独立于个人的经验。

    理解一个情境中内在的东西，需要我们从根本意义上理解事情为什

    么会发生。这与一遍又一遍地询问“为什么”有很大的关系，这就像小孩

    子一样，不仅仅满足于眼前肤浅的答案。首先，我们必须非常清楚地知

    道自己在讨论什么。正如我们将要看到的，逻辑论证旨在揭示事物的真

    正含义，为了做到这一点，你必须非常深刻地理解事物的含义。这通常

    看起来像是在做一个围绕定义的论证。如果你尝试对“你是否存在”进行

    讨论，那么你可能会发现，这个话题很快就会退化成关于“存在”的意义

    的讨论。通常，我可能会选择一个意味着我的确存在的定义，因为比起

    说“不，我不存在”，这是一个更有用的答案。

    逻辑和生活我已经断言，世界上没有事物是完全依照逻辑运作的。那么，我们

    如何在周围的世界里使用逻辑呢？数学论证和辩解都明确而有力，但是

    我们无法使用它们来得出有关人类世界的、完全明确的结论。我们可以

    试着用逻辑来构建关于真实世界的论证。但是，无论我们构建的论证多

    么明确，如果从模棱两可的概念开始，我们就会得到模棱两可的结果。

    我们可以使用非常安全的建筑技术，但是如果使用用聚苯乙烯制成的砖

    块，那么我们永远无法得到一个非常坚固的建筑。

    然而，理解数学逻辑有助于我们理解歧义和分歧。它帮助我们理解

    分歧来自何处，是来自逻辑的不同用法，还是来自不同的构建单元。比

    如，两个人对医疗保险的意见不一致，他们可能对是否每个人都应该享

    有医疗保险有分歧，也可能对提供给每个人医疗保险的最佳方式有分

    歧。这是两种截然不同的分歧。

    如果他们之间的分歧属于后者，那么他们可能正在使用不同的标准

    来评估医疗保险体系，例如政府的成本、个人的成本、覆盖率或者结

    果。也许在一种体系中，平均保费增加了，但是更多的人可以获得保

    险。或者，他们可能正在使用相同的标准来评价不同的体系，例如，评

    估个人成本，一种方式是查看保费，另一种方式是查看在任何治疗中人

    们需要实际支付的金额。而且，即使我们只专注于保费，也有不同的评

    估方式，例如查看平均值、中间值，或者社会最贫困阶层的成本。

    如果两个人对如何解决问题意见不一致，那么他们可能对什么算是

    解决方案有分歧。或者说，他们虽然对什么算是解决方案意见一致，但

    是对如何执行解决方案存在分歧。我相信，理解逻辑可以通过帮助我们

    找到分歧的根源在哪里来消除分歧。

    在本书的第一部分，我们剖析了逻辑作为建立论证的准则、数学的

    一部分，它到底是什么。在第二部分，我们将看到逻辑的局限性。在第

    三部分，我们将看到，鉴于这种局限性，认真对待我们的情绪是多么重

    要。逻辑就像光源

    我们所做的一切都是为了照亮这个世界。如果过度使用逻辑，我们

    就有超越这个目标的风险，还有可能让自己面临迂腐的指责。不幸的

    是，数学家和极具逻辑性的人常常被非数学家和缺乏逻辑性的人视为迂

    腐的人。在这里，我冒着让自己显得很迂腐(以及变得非常自指)的风

    险，试着阐明迂腐和精准之间的差异。我认为，这两者的不同之处就在

    于阐释。我认为迂腐是以精准为特征的，但是在阐明一种情形时，精准

    度超出了必要的范围。我们有足够的精准度来阐明事物，这就像在使用

    定义建立论证前，我们要先知道正确的定义一样。然而，当额外的精准

    度对我们没有帮助时，我们就称之为迂腐。

    因此，从自指的角度来看，我对迂腐和精准的区分本身就是一个精

    准的例子，而不是迂腐的，因为我认为它阐明了情况。

    当然，人们可能会对这两者间的分界线在哪里产生分歧。一个人的

    精准可能是另一个人的迂腐。这取决于某人对精准的追求程度，以及他

    们对模棱两可的容忍程度。

    孩子在认知世界的过程中会遇到一个难点：如何处理语言的不确定

    性。他们更容易按照字面的意思待人接物，因为他们还没有学会使用情

    境来解释模棱两可之处，也没有培养出对细微差别的容忍(或者理解能

    力)。我的一个朋友讲述了一件趣事，她的小儿子正在吃一袋薯片，不

    一会儿小朋友说他吃饱了。我的朋友说：“你可以把薯片放在桌子

    上。”于是，小朋友听话地把薯片全倒在了桌子上。

    作为成年人，为了适应生活，我们培养出了更加轻松地应对比喻性

    语言的能力，以及更加轻松地应对事物所需精准程度的能力。例如，你

    在测量东西时需要怎样的精确度。当称量用于制作蛋糕的白糖时，我知

    道如果少称10克左右不会有太大问题。然而，当称量用于制作马卡龙的白糖时，我知道此时用量非常重要，所以我会利用电子秤来称取最接近

    标准用量的质量。如果有人在确定麻醉剂的剂量，以使某人处于全身麻

    醉状态，我格外希望他们能得到极为精确的结果。事实上，我有一次非

    常不安的经历，我需要在全身麻醉的状态下做一个膝盖手术。当麻醉师

    发现我是一名数学家时，她用非常欢快的口吻说：“哦，我的数学真糟

    糕!”当时，我一点儿也兴奋不起来。

    我承认，我常常发现自己会比其他人追求更高的精准度，而且确实

    有人指责我迂腐。但是我坚信，我只是单纯地想让情况更明朗一些。事

    实上，在实际生活中，我也更倾向于光亮。我喜欢书桌上明亮的灯光，也喜欢明亮的阳光，因为我喜欢把事物看得更清晰一些。在思考过程

    中，我也喜欢这样。有时，我们需要花费更长的时间来进行更全面的思

    考，撰写更大篇幅的解释，完成更多基础工作，以实现事物的精准度，但在如今这个充满花言巧语、模因和“扔麦”的世界里，这项工作常常是

    不受欢迎的。事实证明，说出有影响力的话往往比说出真话更重要。但

    是，应该存在一种方式，让我们在表达真相的同时不会牺牲影响力，在

    具备影响力的时候又不会牺牲真实性。在我们这个充满未知、情感、美

    好人类的复杂世界里，使用逻辑就是最好的方式。

    在我的想象中，有一束明亮的灯光正在照向我们试图理解的事物。

    如果我们把光源紧靠事物，光线就会很充足，但是照亮的区域很小。如

    果我们把光源移到更远的地方，就能照亮很大一片区域，但是光线会变

    得不那么明亮。最终，如果我们把光源放得太远，光线就会变得太分

    散，我们就看不到任何东西。但是，如果我们把光源恰好放在自己正在

    学习的事物上，那么我们同样无法看到太多东西。

    逻辑和抽象就像照亮事物的光源。当我们变得更加抽象时，光源就

    像从地面上升起一样。我们会看到更广阔的背景，但细节不再那么明

    显；然而，理解广阔的背景可以帮助我们理解细节。在所有的情况下，我们的目标都应该是各种形式的阐释。首先我们需要光源，然后我们可以决定让光照向哪里，以及如何去照亮那个地方。第二章 逻辑是什么？

    巧克力使你快乐？

    如果我吃巧克力，那么我会快乐。

    如果我在提到一些不祥的东西后摸一摸木头，那么我会感觉好很

    多。

    如果你乘飞机从芝加哥出发，在伦敦中转后飞往曼彻斯特，那么这

    会比你乘坐完全相同的航班只飞往伦敦，不再继续后面的行程还要便

    宜。

    如果你在大街上扔下一些钱，那么某些人可能会捡走它们。

    如果你是白人，那么你享有白人特权。

    这些事都符合逻辑吗？

    “如果”这个词看似无关痛痒，却包含了一系列略有差异的含义。其

    中一部分(并不是全部)囊括了逻辑论证最重要的结构单元——逻辑蕴

    涵。

    逻辑论证是一种方法，它可以用来证明或者检验你是正确的。在生

    活中，很多方法都可以证明你是正确的。其中一种是大声喊叫；还有一

    种是告诉那些不同意你的想法的人，他们是愚蠢的。虽然这些不是说服

    别人的最好方法，但不幸的是，这些方法却是最常见的。证明事物真假的科学方法包括仔细地收集证据，分析证据，然后完

    整地记录整个过程，我们只要按照相同的步骤去做，就能重现整个过

    程。重要的是，这样还能让我们发现自己的错误。

    数学是科学的核心，但数学与科学有一点不同。数学使用的是逻

    辑，而不是证据。数学使用逻辑判断何时事物为真，同时还使用逻辑检

    测何时事物为假。我们可以这样概括：

    逻辑之于数学正如证据之于科学。

    也就是说，逻辑在数学中的作用类似于证据在科学中的作用，但是

    逻辑和证据是完全不同的。不同于证据，逻辑告诉我们什么时候事物必

    须为真，这不取决于因果关系和可能性，也不取决于观察结果，而是取

    决于某些内在的、永远不会改变的事物。

    在本章中，我们将讨论建立逻辑论证的基本方法：运用逻辑蕴涵。

    逻辑蕴涵是你如何从一个真命题转移到另一个真命题。它并不会使更多

    事物变成真的，只是揭示出比我们之前见到的更多的真的事物。逻辑蕴

    涵表明，“如果”一个事物为真，运用逻辑后，“那么”另一个事物肯定为

    真。

    情况变得复杂了，因为在日常生活中，有些情况下我们说的“如

    果……那么……”是不合乎逻辑的。我们这么说，可能是出于个人的喜

    好，比如“如果我吃了巧克力，那么我会快乐”；可能是想表达一种威

    胁，比如“如果你再说一遍，那么我就大叫了”；可能是出于一种哄骗，比如“如果你吃了自己的那份西蓝花，那么你就可以吃冰激凌”；可能是

    想做出一个承诺，比如“如果你信任我，那么我保证不会告诉别人”；也

    有可能是想达成一个协议，比如“如果你帮我遛狗，那么我会付你20英

    镑”。有些情况下，它可能体现了一种因果关系，而不是逻辑，比如“如

    果你把杯子弄掉，那么它会碎”；也可能体现了一种规则，比如“如果你

    超过75岁，那么你在通过机场的安检时不需要脱掉鞋子”；也可能体现了一种对行为准则的个人看法，比如“如果你爱我，那么你不会说那些

    话!”这句话的真实意思是“我个人认为这不是一个爱我的人该说的

    话。”还有一个问题是，我们在日常对话中常常用“意味着”来表达“暗

    示”的意思，比如“你这么说意味着我很愚蠢吗？”我们将在本章中探讨

    这些例子，并且思考这些例子与真正的逻辑蕴涵之间的差异。在正常生

    活中，这些差异有一些模糊，但是通过思考这些例子，我们可以试着找

    出这些差异。

    正常生活中的实例

    正常语言比数学语言更含糊。因此，在正常语言中，“如果……那

    么……”可以表示一些其他的含义，就像我们上一段中描述的那样。所

    以，一个句子中包含“如果……那么……”，不一定意味着这个句子中存

    在逻辑蕴涵。

    正式的逻辑语言和非正式的现实世界语言之间存在差异，无论是在

    逻辑世界还是现实世界里，我们都经常遇见这些差异，它们是许多混乱

    的根源。正常语言主要用于交流，而逻辑语言可以消除歧义。二者之间

    并不是互相排斥的。我们想要尽可能地消除歧义，其实也是在试图更清

    晰地交流。但是，在使用正常语言进行交流时，我们还有语境、肢体语

    言、语调、人类认识等方面的帮助，而使用逻辑语言时就不具备这些事

    物的帮助，也不会产生困惑。因此，在逻辑语言中，“如果……那

    么……”只能表达一种含义，而在正常生活中，它的意思就取决于情境

    了。

    虽然“如果……那么……”的用法不都是严格符合逻辑的，但也不都

    是严格不符合逻辑的——它们不与逻辑矛盾，但也不受逻辑支配。在英

    语中似乎缺少表达这两者之间的差异的方法，所以我们可能会说“非逻

    辑的(non-logical)”(即使这有点啰唆)，或者“无逻辑的(alogical)”，类似于无政治意义的(apolitical)、无性别的

    (asexual)。我会一直强调一点：你可以是无逻辑的，但是不能不符合

    逻辑。因为无逻辑确实是不可避免的，并且在某些时候是有益的，甚至

    是至关重要的，但是不符合逻辑是不可取的。

    有太多事物是不属于逻辑蕴涵的。那么，哪些算是符合逻辑的呢？

    “如果你有白人特权，那么你有特权。”

    这就是一个逻辑蕴涵，因为它来源于固有定义：白人特权是特权的

    一种特定形式。下面这个句子就存在更多争议了：

    “如果你是白人，那么你有白人特权。”

    如果我们承认白人特权的存在，那么我认为这句话是符合逻辑的。

    只不过，为了使它成立，我们可能需要更具体的背景：

    “在欧洲或者美国，如果你是白人，那么你有白人特权。”

    或者，我们可能需要让背景更笼统：

    “在有白人特权的地方，如果你是白人，那么你有白人特权。”

    你们可能认为最后一个解构变得毫无意义了，而你想做有意义的

    事。我们越接近纯粹的逻辑蕴涵，就越能看清逻辑蕴涵。这就是在逻辑

    论证里发现逻辑的目的——让逻辑更明显。

    然而，虽然很多人认为最后那句话的意思是显而易见的，但是这句

    话仍有争议。有些人声称白人特权并没有惠及他们，只是惠及了较富裕

    的白人。这些人正在使用不同意义上的“白人特权”。在第六章关于关系

    的讨论中，我们将探究在哪种意义上，所有白人都有特权，而在哪种意

    义上，一些白人仍会因为其他原因缺乏特权。因为语言可以以多种不同的方式被使用，所以其本身就是有问题的。

    我们如果继续使用正常的日常语言，就注定会有完全符合逻辑这样

    的困扰，因为我们使用的词语本身就不是完全从逻辑上来定义的。我们

    可以足够接近它，然后称其为逻辑之外的任何事物，但是在我看来这将

    是迂腐的，而不是精准的。现在，我们将尝试在一个不同的、有争议的

    论点中寻找逻辑蕴涵。

    社会福利

    一些人认为应该扩大社会福利，为弱势群体提供更多的帮助。另一

    些人认为应当缩减社会福利，以节省开支并且停止助长懒惰。这两种论

    点中都存在逻辑吗？逻辑更支持哪一种论点？

    一种合乎逻辑的方法是把这两种论点抽象成两个实质——错误否定

    和错误肯定。这个案例中的错误否定就是那些应该得到帮助的人没有得

    到帮助；错误肯定是不应该得到帮助的人得到了帮助。于是，下面的蕴

    涵就变得合乎逻辑了：

    ● 如果你更关心错误否定而不是错误肯定，那么你就会支持扩大

    社会福利。

    ● 如果你更关心错误肯定而不是错误否定，那么你就会支持削减

    社会福利。

    这是对论证的一种简化，但是在简化的过程中，我们更加明确了这

    些立场之间的差异。我们发现，更加关心错误否定的人不会轻易与更加

    关心错误肯定的人达成共识。在这种情况下，要想达成共识，关键是要

    改变某些人对核心原则的看法，而不是对其他部分的看法。错误肯定和错误否定是造成许多分歧的核心。所以在这种情况下，抽象不仅能澄清论证，还能帮助我们与其他论证建立联系。

    例如，生活中有一句励志名言：“你不会因为做某事失败了而后

    悔，却会因为不敢尝试、一无所知而悔恨。”这句话是在鼓励我们做一

    些自己本不应该做的事情(错误肯定)，不是在鼓励我们放弃自己应该

    做的事情(错误否定)。事实上，我更喜欢“我们放弃了自己应该做的

    事情，却做了自己不应该做的事情。”这句话既包含了错误否定，又包

    含了错误肯定。

    这种抽象的方法还帮我解决了时差的问题：我发现，比起在完全清

    醒的时候睡觉(错误否定)，我更擅长在困的时候保持清醒(错误肯

    定)。因此，对我来说，解决时差问题的良策就是让自己提前处于睡眠

    不足的状态。因为我知道，到达目的地后，我可以在必要的时候保持清

    醒，这样晚上会非常疲倦，我肯定能睡得着。然而，如果某些人不擅长

    这种错误肯定，那么他们最好先睡足觉，在到达目的地后他们可以睡得

    更多。

    这里的逻辑蕴涵如下所示：

    ● 如果比起在不困时入睡，你更擅长在困倦时保持清醒，那么你

    应该在跨越时区前减少你的睡眠。

    ● 如果比起在困倦时保持清醒，你更擅长在不困时入睡，那么你

    应该在跨越时区前睡足觉。

    解决时差的问题和解决社会福利的争论居然有一些相同之处，这看

    起来可能令人惊奇，但这还只是抽象力量的一个方面。抽象能够将看似

    没有关联的情况联系起来，并更高效地发挥我们有限的思维能力。在第

    十一章关于公理的讨论中，我们将探究如何使用抽象来揭示更多个人

    的、根本的信念。逻辑和发现

    如果一个命题遵循纯粹的逻辑，那么这个命题自然为真。将这个命

    题大声说出来并不会增加新的信息，但是会增加新的见解。这就是为什

    么在平常语言中，逻辑论证常常听起来有点儿愚蠢，因为即刻产生的新

    见解往往是非常显而易见的。例如，“如果你有白人特权，那么你有特

    权。”句子中“你有特权”这部分是逻辑推论，那么它自然为真。这部分

    没有增加任何新信息，但是针对同一个事物提供了不同的观点。在这个

    案例中，新观点拓宽了不同类型的特权的背景。

    通过这种方式，逻辑其实是将新的光芒照向了事物，而不是发现了

    新的事物。从某种程度上说，这与考古学家挖掘古代艺术品没什么区

    别。那些古物已经在那里了，只是需要人们挖掘才能重现天日。我们收

    获了新的见解，只是因为在此之前，我们有一点儿无知。如果我们挖出

    的是几百年前的陶罐或者几百年前建筑的地基，那么有可能某些人已经

    知道这些事物了，只不过他们已经去世很久了。

    在国外度假时，有时你会在后街“发现”一间可爱的咖啡馆。当然，你并没有真的发现新事物——很多人(店长和所有去过咖啡馆的人)都

    已经知道这家咖啡馆了。但是对你来说，它却是新事物。有时，某些人

    认为他们“发现”了令人惊叹的新歌手，但事实证明这些歌手已经非常有

    名了，只是对于那些刚刚发现他们的人来说，他们并不出名，于是其他

    人在听到这种感叹时翻起了白眼。

    逻辑推论并不是新的事实。比如，在白人认为他们“发现”了美洲新

    大陆之前，它已经在那儿了。无论人们是否注意到它，逻辑推论都是正

    确的。“如果你有白人特权，那么你有特权”这个推论是非常明显的，但

    是如果把一系列逻辑推论一个一个地串联起来，那么你渐渐会到达远离

    起点的某个地方，这时逻辑的力量就建立起来了。例如，我们可以将这

    些蕴涵串联起来：(1)如果你是白人，那么你有白人特权。

    (2)如果你有白人特权，那么你有特权。

    我们现在有了这样的蕴涵：“如果你是白人，那么你有特权。”

    有时，启示是突然发生的，这就像你一铲又一铲地挖着土，突然就

    碰到宝藏一样。有时启示又是循序渐进发生的，有一个著名的案例——

    一个人用一枚回形针渐渐交换到了一幢别墅。

    当一小步一小步累积时

    凯尔·麦克唐纳是一位互联网传奇人物，他为自己设置了一项挑战

    ——用一枚回形针交换一套房子。他不是一次性交换完成的，而是通过

    与很多人进行一系列的交换完成的，这些人在交换过程中并没有觉得遇

    到不公平交易。确实，凯尔·麦克唐纳在开始时使用的回形针是相当大

    的(而且是红色的)，它不只是一个平凡无奇的标准办公用回形针。

    这件事听起来完全让人难以相信，但是凯尔·麦克唐纳通过一系列

    交易确实达到了目的。每一次交易中，都有人觉得交易过程涉及的两件

    物品是等价的，是值得交易的。但是在这个过程中，凯尔·麦克唐纳距

    离最初的回形针已经越来越远了。

    抛开这些交易已经发生的事实，最令我着迷的事情是为什么涉及这

    些交易的人们都觉得公平。当凯尔·麦克唐纳用雪球交换与爱丽丝·库珀

    共处一个下午时，他已经在网上拥有了一大批追随者，这场交易引起了

    一些恐慌。但也许他知道自己在做什么——难道他知道电影导演柯宾·

    伯恩森正在收集这些东西，所以他可以与导演好好进行一场交易？

    最后一次交易发生了，因为吉卜林人决定让他们镇上的某个人参与电影的拍摄，所以在城镇里为麦克唐纳提供了一幢双层别墅。2006年秋

    天，麦克唐纳和他的女朋友搬进了别墅。这个故事有很多吸引我的地方，特别是它让我想起了那个互联网还

    没有被辱骂和欺凌所笼罩的时代。但是我真正着迷的是这种视觉错觉的

    心理层面，在这里你前进的一小步并没有很让人惊奇，但是到达某个地

    方后，那里距离你开始的地方已经远得惊人了。这就是逻辑的运作。你

    走出的每一步都应该完全由逻辑驱动，这意味着这些步骤有可能仅仅是

    某些定义的拆解，这看起来似乎显而易见，甚至毫无意义。但是，当你

    成功地将它们串联在一起时，你将会到达一个看起来全新的、距离你的

    起点非常远的地方。凯尔·麦克唐纳的一系列交易是精湛而巧妙的，一

    长串的逻辑蕴涵也是精湛而巧妙的，它们体现了数学的进步。之后我还

    会证明，它们是强大的智者应该具备的基本技能。

    建立一长串的逻辑蕴涵来到达某个新领域是逻辑证明的概念，也是

    数学中逻辑证明运作的方式。现实生活不是数学，但是，我们在现实生

    活中仍然应该以相似(并不是完全相同)的方式建立逻辑论证。论证中

    的每一步都应该是逻辑蕴涵。

    一长串的逻辑蕴涵还有一个更严肃的例子，那就是查尔斯·杜希格

    在《习惯的力量》中描述的关于婴儿为什么会有先天缺陷的研究。研究

    表明，先天缺陷是由母亲体内营养不良造成的。但这并不仅仅指怀孕期

    间——它是指长期的营养不良。研究发现，长期营养不良是由营养不足

    造成的，而营养不足又是由在校期间科学教育不足造成的。教育不足是

    由教师不具备足够良好的科学背景造成的。由此产生了一个惊人的推

    论：如果教师有更高水平的科学成就，那么最终会减少婴儿的先天缺

    陷。顺便说一下，杜希格写道，领导这项研究的人是年轻的保罗·奥尼

    尔，他后来成为著名的首席执行官，之后成了美国财政部长。这就是一

    个在现实生活中巧妙建立一长串逻辑蕴涵的案例。

    正式地蕴涵虽然我们的目标是在现实生活中更好地使用逻辑蕴涵，但是我认

    为，更多地了解在数学中如何使用逻辑蕴涵也是很重要的。数学语言是

    枯燥而又正式的，这使它看起来既格格不入，又令人敬而远之。但是，它的枯燥是有极为充分的理由的——让事物变得清晰明了，不拖沓模

    糊。数学语言的枯燥还有助于让事物更加简洁，从而帮助我们建立更庞

    大、更复杂的论证。它就像真空袋，你先把衣服放进真空袋里，然后用

    吸尘器把袋子里的空气抽走。这样，一整堆衣服就压缩成了一个坚实的

    方块。

    “如果……那么……”还有一个更简洁的说法就是“意味着”。所以，我们可以用“A意味着B”来代替“如果A，那么B”。数学家使用符号“”来表示“意味着”。那么上述蕴涵表明：只要A为真，B就绝对为真。当

    A为假时，蕴涵就不会告诉我们任何信息了。

    例如，“成为美国公民意味着你可以合法地在美国生活”，这句话表

    明任何一个美国公民都可以合法地在美国生活。但是，当某个人不是美

    国公民时，这个蕴涵并没有告诉我们任何关于他们的事情：这些人可能

    可以合法地在美国生活(比如，他们有签证或者永久居住权)，或者他

    们可能不可以。不幸的是，有些人在这里失去了逻辑，他们认为任何一

    个非美国公民在美国生活都是非法的。我们将在下一章讲到这个严重的

    逻辑错误。

    证明基本上就是将一系列蕴涵串联在一起，如下所示：

    A B

    B C

    C D

    然后，我们可以得出A D。这是因为，在第一个蕴涵中，如果A为真，那么B也为真；在第二个蕴涵中，如果B为真，那么C也为真；最

    终，在第三个蕴涵中，如果C为真，那么D也为真。因此，整体的连锁

    效应就是，如果A为真，那么(经过一些思考)D也为真。

    这里的关键之处就是“经过一些思考”——比起单个蕴涵，一连串的

    蕴涵需要在遵循逻辑的过程中保持更高的关注度和控制力。遗憾的是，这些也是论证中常常会缺失的部分。

    这里有一些更长的蕴涵链，它们要遵循的不仅仅是一个基本的逻辑

    指令：

    (1)如果你说女性是低人一等的，那么你是在侮辱女性。

    (2)如果你认为用“女性化”形容一个男人是侮辱他的方式，那

    么你是在说女性是低人一等的。

    (3)因此，如果你认为用“女性化”形容一个男人是侮辱他的方

    式，那么你是在侮辱女性。

    还有一个例子：

    (1)如果你不支持那些受打压的少数民族，那么你就是在助长偏

    执。

    (2)如果你助长偏执，那么你就和偏执狂串通一气。

    (3)如果你和某些坏人串通一气，那么你就跟他们一样坏。

    (4)因此，如果你不支持那些受打压的少数民族，那么你就和偏

    执狂一样坏。

    值得注意的是，如果你不支持那些受打压的少数民族，那么上述推

    断就是正确的，但无论你是否支持少数民族，上述蕴涵都是正确的。我可能不知道你是少数民族的忠实盟友，所以我可能会对你说，“如果你

    不支持那些受打压的少数民族，那么你自己就和偏执狂一样坏”。即使

    你个人实际上并不是偏执狂，我这个命题仍然是真命题。这就是蕴涵的

    奇妙之处。无论实际上你是不是美国公民，或者无论你是否拥有永久居

    住权，命题“如果你是一个美国公民或者你拥有永久居住权，那么你需

    要有健康保险”都为真。蕴涵并没有告诉我们某些人是否需要健康保

    险，我们只知道如果他们是公民或者他们拥有居住权，那么他们肯定有

    健康保险。

    我们可以从逻辑蕴涵中建立庞大的论证，而且论证仍然具有这样的

    特征：只有在满足开放性条件时，推断出的命题才会被认定为真命题。

    但是，论证本身已经告诉我们，如果满足了开放性条件，那么推断出的

    命题是真命题，而且这个论证也往往是正确的。在数学中，这种类型的

    推理就是证明。

    我将更进一步证明，把长串的蕴涵串联在一起会赋予我们逻辑的力

    量。正是它使我们像凯尔·麦克唐纳一样，从显而易见的事情开始，努

    力去做一些复杂而又不明显的事情。构建和遵循如此复杂的论证是很困

    难的，但它能充分利用我们人类大脑的关键部分。我相信，正是这一点

    将我们与单纯的动物和幼小的孩子区分开，而他们只能处理眼前的需

    要，完成直接的观察。长串的蕴涵常常需要将许多相互关联的观点压缩

    成一个简单的单元，这样我们就可以更容易地在它上面构建论证了，就

    像对我们的衣服进行真空包装一样。在这个过程中，我们获得了新的领

    悟和更深的理解。

    证明是什么样子的？

    在进行数学证明之前，我们必须非常仔细地奠定基础，这就像为一

    项运动制订规则一样。这么做的原因有很多方面，我认为思考这些问题是具有启发性的。现实生活中，许多论证最终都走向了错误，不是因为

    论证本身有问题，而是因为论证的基础有问题。在现实生活中，我们常

    常在论证的最后阶段才意识到，我们使用了不同的定义或者假设。

    (1)我们应该仔细定义我们所讨论的概念。

    (2)我们应该仔细表述我们所做出的假设。

    (3)我们应该以一种明确的方式仔细地、精确地表述我们所要证

    明的内容。

    数学中的假设与生活中的假设有一点儿不同。在数学中，假设与我

    们决定工作的条件有关，或者与使结论成立的条件有关。所以，我们在

    运用结论时，首先应该检查我们将要运用结论的情境是否满足这些条

    件。

    例如，我们可以假设自己生活在一个球体的表面，然后证明在这个

    条件下，某些事物是正确的。关于我们是否真的生活在一个球体的表

    面，这里并没有传达任何判断。它只是说，如果我们确实生活在一个球

    体的表面，那么这件事是正确的。

    在生活中，人们也应该按照相似的方式运用假设。但不幸的是，人

    们往往不这么做。例如，在关于女性的平均收入为什么比男性低的争论

    中，有时人们会假设女性并不像男性那么在意收入的多少。现在，在这

    个假设下，女性的收入比男性少似乎是合理的结果。当我们把这个结论

    运用到现实世界中的时候，我们需要观察这个假设是否正确：女性真的

    没有男性那么在意收入的多少吗？

    请注意，我认为这个蕴涵并不是正确的：即使女性真的不像男性那

    么在意收入，我也认为在相同的职位上支付女性较少的工资是不合理

    的。我认为这是剥削。在任何情况下，如果我们清楚自己的假设是什么，那么我们至少可以清楚地知道自己赞同争论的哪个方面，或者反对

    争论的哪个方面。

    一旦我们奠定了基础，一系列的命题就会组成真正的证明，其中每

    一个命题都从逻辑上遵循了我们已经证实的事物。这个事物可能是关于

    我们所处世界已知真相的假设，也可能是证明中的前一个命题。这一系

    列命题创造了一个有始有终的逻辑链，起点是我们做出的假设，终点是

    我们想要证明的东西。当然，有时这个逻辑链会崩溃，特别是在正常生

    活中，这就是为什么世上糟糕的论证会多于精彩的论证。这些失败大体

    上分为知识的问题和逻辑的问题。

    知识的问题

    如果一场论证因为知识的问题而崩溃，那么它可能遇到了以下情况

    中的一种：

    ● 使用了未阐明的假设，或者错误地使用了已经阐明的假设。

    ● 使用了错误的定义，或者错误地使用了定义。

    使用一个未经阐明的假设，是掩盖你不知道某个事物的一种方式。

    使用一个错误的定义或者错误地使用定义，是使一场论证变得比原先更

    容易的一种方式，但是这会导致大量的稻草人谬误和错误的等价论证。

    这些数学证明中出错的方式往往也是现实生活中论证出错的方式。

    未阐明的假设常常出现在关于福利的争论中，此时一些人心照不宣地假

    设，只有人们太懒惰而不努力工作时，他们才会贫穷；或者出现在关于

    堕胎的争论中，此时一些人会假设，只有人们生活不检点时，才会发生

    意外怀孕；又或者出现在关于临床抑郁症的争论中，此时一些人会假设抑郁症是由境遇引起的，因此一个成功人士应该是没有任何理由抑郁

    的。

    错误定义的问题常常出现在关于移民的争论中，此时有些人会

    把“移民”定义为“非法移民”。在正常生活中，这种问题时常发生，因为

    有些事物没有明确的定义。这种情况经常在发生在以下争论中：某些行

    为是不是“爱国的”；某件事是不是“性别歧视的”；某些人是不是“女权

    主义者”；某些事是不是“民主的”。

    逻辑的问题

    在证明中，逻辑的问题包括以下几种：

    ● 逻辑裂缝：不经验证就从一个命题跳到下一个命题，或者两个

    命题之间遗漏了太多步骤。

    ● 错误推论：这是指推导出的逻辑步骤实际上不正确的时候，根

    据这个步骤你认为某个事物在逻辑上符合另一个事物，但它其实是不符

    合的。

    ● 手舞足蹈：结论并不是通过真的使用逻辑，而是充分运用象征

    性的肢体动作得出的，这让别人误以为你使用了逻辑。

    ● 错误逻辑：错误的逻辑可以通过很多微妙的方法“溜”进论

    证，成为逻辑谬误。在本书的后半部分，我们将从细节上分析一些著名

    的逻辑谬误。

    在现实生活的争论中，吼叫和辱骂常常成为手舞足蹈的有力支撑。

    例如，“任何人只要有半个脑细胞，就应该理解这件事!”这种言论往往

    就是一个信号——某个人实际上不知道该如何证明某件事了。“科学家之间彼此认同，这表明存在一个阴谋”，这个观点就是一个

    错误推论的例子。就像先前我举的温布尔登网球锦标赛结果的反例，这

    里的推论(存在一个阴谋)并没有在逻辑上遵循人们彼此认同的事实。

    人们因为某件事指责一个人，而忽略所有其他的因素，这就是一个

    逻辑裂缝的例子。我们来考虑一种被称为“狼来了”悲剧的情况：警方接

    到一个恶作剧电话，于是冲进一个无辜者的家里，并枪毙了他们。警察

    如果经常把所有的责任都归咎于恶作剧者，就会忽略一个事实，那就是

    他们在掌握极少的证据或理由的情况下，射杀了一个无辜的人。

    你只有充分理解了逻辑，理解了逻辑错误背后的情感因素，才能直

    接驳斥那些使用错误逻辑的论点。在本书的最后部分，我们将回到这一

    点上。

    蕴涵从哪里开始？

    霍金在《时间简史》中提到了一个故事：在一场宇宙论的报告后，一名听众走到“知名科学家”面前，声称“你告诉我们的都是垃圾。世界

    其实就是背在一只巨大的海龟背上的平板”。科学家问：“那海龟站在什

    么上面呢？”随之观众推测说：“你非常聪明，年轻人，非常聪明，但是

    海龟下面还是海龟!”

    即使我们不是使用海龟，而是使用逻辑来支撑自己的论证，我们仍

    然需要知道是什么在支撑我们每一个层级的论证。重要的是，逻辑蕴涵

    只能帮助我们从某个事物推断到另一个事物。“X意味着Y”只能告诉我

    们，如果X为真，那么Y为真。它并没有告诉我们X是否为真。为了清楚

    X是否为真，我们需要再找到一个事物推断出X，也许W意味着X。但

    是，什么能告诉我们W为真呢？也许V意味着W。然而，什么意味着V

    呢？这些蕴涵的起点在哪里呢？正如我提到的，我认为这种倒推的过程很像小孩子一遍又一遍地

    问“为什么”。每次你给了他们一个答案，他们又会对此进一步追问“为

    什么”。孩子们显然有无穷的好奇心和无限的耐心来一遍又一遍地重复

    相同的事。所以，在成年人感到挫败并且终止这场对话之前，小朋友会

    一直问“为什么”。在抽象数学领域开展自己的研究之前，我本人在科学

    和数学的道路上也始终坚持着刨根问底的精神，因为我一直会问“为什

    么”。实用主义和世俗责任导致成年人(至少是大部分成年人)不再询

    问为什么。他们接受某些事物，然后平凡度日。我乐于认为还是有无穷

    的好奇心藏在我们的内心之中的，这就是为什么维基百科那么受欢迎，也是为什么我们那么多人轻易地掉进了维基百科的虫洞里。你会不停点

    击更多的链接，阅读更多的文章，了解更多的事物，大家对此都心知肚

    明。(对于猫视频虫洞，我确实也做出了自己的那部分贡献。)

    我们在哪里停止？

    知道我们从哪里开始是很重要的。但是从某种程度上说，这取决于

    知道我们什么时候该停止。也就是说，知道我们什么时候该停止追

    问“为什么”，什么时候该停止更进一步地为自己辩解。我们应该在什么

    时候停止填补逻辑裂缝呢？最终，我们关闭了维基百科的页面，开始做

    其他事。最终，我们告诉那些好奇的孩子，他们该去睡觉了，或者该去

    上学了。如果我想象出了一个成年人，他没有培养出停止追问“为什

    么”的能力，就这么过着日常的生活；或者我想象出了一个饱受折磨的

    哲学家，他不吃饭，不睡觉，也不赚钱，只是不停地质疑所有事物，追

    求各种意义。那么，我存在吗？生活的意义是什么？我们为什么在这

    里？为什么世界上有那么多苦难？什么是爱？为什么人们彼此怨恨？为

    什么人类彼此伤害？作为一个适可而止的成年人，我们应该在某个时刻

    ——不一定是永远的停止，但至少在每天的某个时刻——停止询问这些

    问题。在逻辑中，我们也必须在某些点停止提问，同时接受一些事实，否

    则我们就永远不会有结果。我们可以推断出Y由X蕴涵，X由W蕴涵，W

    由V蕴涵，以此类推，但是在某一点，我们需要停止倒推，并且意识到

    现在我们已经解释得足够多了。你停止进一步倒推的地方，就是你确定

    基本假设或者基本观念的地方，无论是对于假设还是观念，此时你都不

    需要再做论证了。但这并不意味着你永远不再尝试论证，或者也没有其

    他人再去尝试论证。只是在当下，你决定这里就是自己的起点，这里就

    是你逻辑体系或者观念体系的基础。

    在逻辑和数学中，这些起点被称为公理，我们将在第十一章进一步

    讨论它们。在逻辑中，我们需要一个起点，因为我们只能从一些事物推

    断出另一些事物——我们不能凭空推断出什么。我们不是魔术师，而且

    即使是魔术师也不是真的能凭空创造出某些东西，他们只是成功地骗过

    了我们。如果逻辑学家声称他能凭空推断出某些事物，那么他们也是在

    欺骗我们。

    在我自己的观念体系中，寻找公理或寻找起点，能够使我对自己的

    思想有更清晰的了解，具备确定基本观念的能力。而这一点有些人是无

    法做到的。例如，当涉及偏见的时候，我从根本上认为，拥有较多权力

    的一方对拥有较少权力的一方持有偏见比相反的情况更有害。这意味

    着，如果我在追溯其他人的公理时发现它与我的公理是不同的，那么接

    下来我就会清楚地知道，我们的分歧从一开始就出现了。如果不解决这

    个起点上的分歧，仅仅尝试处理之后的蕴涵，那将是毫无意义的。但至

    关重要的是，从不同的基本观念出发，在严格地、完美地运用逻辑之

    后，我可能会得出不同的结论。也就是说，即使两个人都遵循逻辑，他

    们也会对某些事物产生分歧。

    找出论证中的基本出发点是从逻辑上分析论证的重要组成部分，也

    是理解分歧本质的重要组成部分。逻辑必须从这个出发点出发。在下一

    章，我们将讨论逻辑流的方向性。和时间一样，逻辑是有方向的，而且我们不能试图违背它。第三章 逻辑的方向性

    快乐会让你吃巧克力吗？

    吃巧克力能立刻让我感到快乐。虽然它必须是好巧克力，但是它每

    次都能奏效。

    难道是快乐让我吃巧克力的吗？这是一个完全不同的问题。

    我们来关注一个更严肃的例子：成为美国公民意味着你可以合法地

    在美国生活。你可以合法地在美国生活，就一定意味着你是美国公民

    吗？这是一个完全不同的问题。有些人错误地认为，成为公民是合法居

    住的唯一途径。但其实有许多其他的方式，包括拥有工作签证，拥有永

    久居住权，或者作为难民被接纳。

    时间和因果关系只能向一个方向流动，逻辑也是如此。我们必须小

    心，不要犯方向上的错误。在上一章，我们描述了凯尔·麦克唐纳完成

    的交易链，从一个回形针开始，以一幢别墅结束。我常常在想，这个交

    易链可逆吗？如果他改变了主意，比如说关于雪球的交易，那么最初的

    主人是否会把它换回来呢？我也不知道。

    在前一章的例子中，我认为，如果你不支持那些饱受欺凌的少数民

    族，那么你和顽固的偏执狂一样糟糕。如果我们把这个观点反过来呢？

    你和顽固的偏执狂一样糟糕，是否意味着你不会支持那些饱受欺凌的少

    数民族？不是这样的。即使你确实支持那些饱受欺凌的少数民族，并且

    认为这种支持可以为自己开脱，你仍然会有许多和偏执狂“一样糟糕”的

    方式。也许你在公开场合支持少数民族，然后私下里阻止他们晋升或者加薪，或者拒绝给他们提供工作机会，或者拒绝投票给他们。

    我们有这样一个蕴涵：

    不支持受到欺凌的少数民族 和偏执狂一样糟糕

    但是，我们不能调转箭头，让它变成：

    和偏执狂一样糟糕 不支持受到欺凌的少数民族

    蕴涵符号“ ”看起来像箭头这一事实并不是巧合。选择这个符号

    有助于我们了解逻辑只能向一个方向流动。调转箭头可能会彻底改变意

    义。以上一章的特权逻辑为例，最初形式为：

    你有白人特权 你有特权

    如果我们调转箭头的方向，那么它就变成了

    你有特权 你有白人特权

    这明显是错误的。因为即使不是白人，你也可能拥有许多其他类型

    的特权。例如生于一个富裕的家庭或者有权势的家庭为你带来的特权。

    再来看看下面的蕴涵：

    你是女人 你经历过性别歧视

    这是日常性别歧视项目的假设：每个女人都经历过性别歧视，即使

    这种歧视不是公开的。性别歧视可能会采取微侵略的形式，我们本应该

    摒除它们，但也许我们已经对其习以为常了，甚至不再意识到它了。可

    悲的是，我们把性别歧视视为生活的一部分并不意味着性别歧视不存

    在。相反，这意味它无处不在。现在，我们尝试将蕴涵中的箭头调转：

    你经历过性别歧视 你是女人

    这是一个完全不同的命题，但不幸的是，人们往往会把它与第一个

    命题混为一谈。如果你说“所有女人都经历过性别歧视”，那么很可能有

    人(通常是男人)会抗议说男人也经历过性别歧视。这可能是真命题，也可能是假命题。但无论在哪种情况下，这与第一个命题都没有逻辑上

    的联系。第一个命题表明，如果你是一个女人，那么你经历过性别歧

    视；但如果你是一个男人，那么它不会表明任何事情。[1]

    这些例子全都表明，在蕴含表述中，调转箭头方向会产生一个全新

    的、值得我们思考的命题。我们把这种通过调转箭头得到的命题称为原

    始命题的逆命题。

    关于西蓝花和冰激凌

    我最喜欢的一个关于蕴涵和逆转的例子是：如果你吃了自己的西蓝

    花，那么你就可以吃冰激凌。首先我承认，在日常生活中这句话可能会

    让人产生一些疑惑，这就是为什么数学家更喜欢使用字母和符号来保持

    事物清晰的原因。但是现在，我们要尝试使用词语。

    如果真的不想吃西蓝花，那么一个遵循逻辑和字面意思的小朋友可

    能会开始询问：“还有什么其他的食物，我吃了之后就可以吃冰激凌

    呢？”此时，他们的精准对于成年人来说就是迂腐，大人们可能会生气

    地说：“你知道我的意思!”但是，孩子们只是追求准确性，并且试图找

    出一个漏洞来避免吃西蓝花。(我不是那种小朋友，我一直很喜爱西蓝

    花。也许是因为大人们从不用它来威胁我，或者是因为我喜欢它，所以

    大人们从不用它当作威胁。)小朋友可能会说：“如果我用吃些鱼来代替呢？”等待他的答案可能

    会是“不可以，你必须吃西蓝花!”或者是“不可以，你只有吃掉西蓝花

    才能得到冰激凌!”这些都是逆转的例子，但是西蓝花的例子比较难看

    出来逆转。因为实际上这并不是逻辑蕴涵，更多的是一场贿赂。

    家长在这里做出了两个命题。首先，他们说：

    如果你吃掉自己的西蓝花，那么你就可以吃冰激凌。

    (西蓝花 冰激凌)

    家长向孩子保证，吃完西蓝花就会有冰激凌。也就是说，孩子如果

    吃完了西蓝花，就足以赢得冰激凌。

    然后家长继续说：

    你只有吃完西蓝花才能吃冰激凌。

    (冰激凌 西蓝花)

    这就向家长保证了孩子不能通过其他方式赢得冰激凌。也就是说，西蓝花是赢得冰激凌的必要条件，没有其他的途径。这就是第一个命题

    的逆命题。(如果觉得这个箭头的方向看起来很奇怪，那么你可以认为

    这个命题是说，如果我们最终看见孩子在吃冰激凌，那么我们可以从逻

    辑上推断他们一定已经吃完了自己的西蓝花。)

    所有这一切都是为了解释，为什么“只有”是“如果”的一种逆向表达

    方式——逻辑正在流向相反的方向。为了同时确保对孩子的保证和对家

    长的保证，这个承诺需要在技术上表达成“当且仅当你吃了西蓝花，你

    可以吃冰激凌”。麻烦的是，也许只有相当迂腐的数学家才会说得这么

    烦琐。所以，我们慢慢形成了一个模糊的感觉，即“只有”和“当且仅

    当”意味着相同的意思。在正常语言中，区分这两者可能是迂腐的，因为它超出了解释的目的。但问题在于，对于那些开始用逻辑正式思考的

    人来说，不区分“只有”和“当且仅当”会给他们带来混乱。在更严肃的情

    况下，这可能会导致更严重的后果。

    想象一下，如果你正在追捕一群银行抢劫犯，你知道犯罪团伙中的

    所有人都是白人。因此，你清楚：

    如果你遇到的某个人是犯罪团伙中的成员，那么他是一个白人。

    这相当于：

    你遇到的某个人，只有在他是白人的时候，才会出现在那个团伙

    中。

    因此，我们可以从寻找白人开始。但是，找到一个白人并不能确保

    我们已经找到了罪犯，因为逆命题是错误的。逆命题是这样的：

    如果你遇到的某个人是白人，那么他是犯罪团伙中的成员。

    “是白人”是“犯罪团伙成员”的必要条件，而不是充分条件。[2]

    在正

    常语言中，所有这一切都很可能让你感到困惑和头晕眼花，这也是数学

    家将事物缩减成字母和符号的原因，因为这样更容易看出模型。我们用

    箭头表示如下：

    ● 真命题：犯罪团伙成员 白人

    ● 假命题：白人 犯罪团伙成员

    在下一章中我们将解决谬误的问题。

    用箭头来帮助我们数学符号是造成数学难于理解和难以学习的事物之一。然而，使用

    符号有助于我们清晰地思考。蕴涵和逆转都证实了这一点。在日常语言

    中，由于语法的灵活性，我们如果把词语“如果”放在句中的不同位置，就会让人产生疑惑。例如：

    你可以吃冰激凌，如果你吃了西蓝花。

    它在逻辑上等同于：

    如果你吃了西蓝花，你就可以吃冰激凌。

    一般来说，我们看见“如果A是正确的，那么B是正确的”，会认为

    这句话相当于“B是正确的，如果A是正确的”。这看起来像是我们调转

    了逻辑的流向，但实际上，我们只是调整了语序而已。

    使用箭头符号的优点之一是，通过箭头的方向，我们完全可以弄清

    楚逻辑的流向。

    逆转后变为

    A B

    B A

    而且

    A B

    相当于

    B A

    在页面中，箭头的画法并不重要，重要的是它从谁指向谁。事实上，即使我们把箭头画成下图这样，它在逻辑上的含义也与在B A中

    相同(虽然其中可能有一丝可疑的情绪)：

    于是，我们得到这些可能性：如果我们再使用一次“如果……那么……”，那么“如果A，那么B”的

    逆命题就是“如果B，那么A”。

    新命题表面上看与旧命题是非常相似的，但是在逻辑上两者是完全

    不同的。

    用维恩图来帮助我们

    维恩图能帮助我们描绘逻辑的某些方面。在做数学研究时，我发现

    图片是非常重要的。我经常看起来像是在凝视某个地方，但我真正做的

    是在脑海中操纵图片。数学从抽象中获取力量，也就是说，它是远离于

    真实世界中我们能接触到的物体和事情的。麻烦的是，这意味着我们很

    难感受到它。用图片描绘你正在思考的事物的某些方面，将是非常有用

    的方法之一。图片就像类比(向元类比致歉)——它们虽然无法完全呈

    现你思考的事物，但是总结了其中一些重要的方面。图片有助于我们在枯燥的逻辑和自身的感受之间切换。特里斯坦·尼达姆在他的著作《复

    分析：可视化方法》中说道：

    虽然，比起做运算，找到一张图片需要花费更多的想象力和努力，但是这一切都是值得的，图片会将你带到更接近真相的地方。

    “我觉得这有点儿言过其实。”那些比起图片更喜欢符号和单词的人

    说道。但是，我发现图片真的对我很有帮助。维恩图对于基础的情形非

    常有用。在第五章中我们将看到，当事物变得确实很复杂时，流程图会

    更胜一筹，因为它们具有更多的可能性。如果你拥有的集合数量超过三

    个，那么维恩图就不太起作用了，因为它们变得过于琐碎，我们已经无

    法看清楚了。

    在第一个例子中，维恩图将帮助我们观察蕴涵的方向性。

    让我们来考虑这个逻辑蕴涵：

    如果你来自英格兰，那么你来自英国(大不列颠及北爱尔兰联合王

    国)。我们可以抽象地把英格兰画在英国里，如下图所示：当我说我来自英格兰时，这听起来很明确，但是有些人会觉得不舒

    服，因为我“看起来不英国”。但是他们并不介意我说我来自英国。在逻

    辑上他们肯定认为，我来自维恩图中英格兰之外、英国以内的某个地

    方。然而，我并不来自苏格兰、威尔士或者北爱尔兰。[3]

    我们可以为任何一个蕴涵的命题画出这样一幅图，即使它不是关于

    地理的，也不是描述物理位置的。例如：

    如果你有白人特权，那么你有特权。如果你是一个美国公民，那么你可以合法地在美国生活。通常情况下，我们可以这么表示：

    A B现在，这些圆圈呈现的事物更笼统了，所以它现在更像一个示意

    图，而不是一个严谨的图表。但是对我来说，这个图已经捕捉到了这样

    一个想法：A无论如何都无法避免成为B的一部分。

    维恩图还能直观地表明蕴涵是不能自动倒退的，因为内部的圆圈和

    外部的圆圈实际上扮演了不同的角色。A无法避免成为B的一部分，但

    是B可以避免成为A的一部分，因为在A的外面还有许多空间来承载B。

    这与逻辑事实相符合——即使A能推断出B，当A为假时，B仍然有可能

    为真。下图的内容在数学上是正确的，但是具有误导性。因为这个图看起来存在一种可能，即可以成为一名美国公民，却不

    可以合法地在美国生活；还存在一种可能，即不必成为美国公民，却能

    合法地在美国生活。事实上，现实中的情况不是如此对称的——右边区

    域是空白的。逻辑蕴涵并不是对称的。

    既奇妙又灵活得令人困惑的语言

    我们已经看到，人们可以用许多不同的方式来表达相同的逻辑蕴

    涵。这里有一套完整的不同表达方式的

    A B

    包括把A放在句首的说法，以及与之对应的把B放在句首的说法。

    ● A蕴涵B。B由A蕴涵。

    ● 如果A，那么B。

    B，如果A。

    ● A是B的充分条件。

    B是A的必要条件。

    ● A为真，当且仅当B为真时。

    只有当B为真时，A才为真。

    这8个命题全都表达了相同的意思，我认为这是难以置信的，我甚

    至预计有人会写信告诉我我错了(因此，我非常仔细地检查了这8句

    话，以防有什么拼写错误)。我觉得最后一组是最让人困惑的。这里就

    有一个悲哀的例子。

    在最近一场骇人听闻的事件中，仪表盘摄像机拍摄到一位来自佐治

    亚州科布县的警察，他在安慰一名惊慌失措的白人女性时说道：“我们

    只对黑人开枪。”这在逻辑上等同于说：

    我们对你开枪，当且仅当你是黑人时。

    这相当于

    只有当你是黑人时，我们才会对你开枪。

    或者可以用箭头的形式来表示：

    你是黑人 我们对你开枪

    这相当于我们对你开枪 你是黑人

    或者这么说：

    如果我们对你开枪，那么你一定是黑人。

    这就是当听说某人在美国的路检中被枪击时，你可能会相当确定他

    是黑人的原因。[4]

    这是我更喜欢使用符号的原因之一：它对我来说更快、更清晰，而

    且所有这8个说法都是相同的，我不必使用珍贵的脑细胞来思考这句话

    的意思是什么。

    逆转错误

    有些人错误地认为命题的逆转相当于命题本身，这时就会出现逆转

    错误。在某种程度上，出现这种错误是可以理解的，毕竟“A蕴涵B”就

    有8种表达方式，此外还有8种逆向表达的方式。当你告诉学生，为了取

    得好成绩，他们必须努力学习时，他们认为只要努力学习，就会取得好

    成绩。这时逆转错误就出现了。努力学习是取得好成绩的必要条件，而

    非充分条件。努力学习是不充分的，因为你还必须使用正确的方法。如

    果你不这么想，你就犯了逆转错误。

    事实上，一个命题的逆转在逻辑上是独立于原命题的，这意味着两

    者之间是没有逻辑联系的。也就是说，它们中的一个为真，并不一定意

    味着另一个也为真，也不一定意味着另一个为假。事实上，所有真命题

    和假命题的组合都可能出现，如下面的例子所示：

    1.如果你是美国公民，那么你可以合法地在美国生活。这是一个真

    命题。逆转后变成“如果你可以合法地在美国生活，那么你是美国公民”。这个命题就是假命题。因为你还可以通过获得永久居住权和拥有

    签证合法地在美国生活。

    2.如果你有大学学位，那么你是有才华的。我不相信这是真命题。

    我认为，许多学位授予了不那么有才华的人，及格线是非常低的。这个

    表述的逆命题为“如果你是有才华的，那么你会有大学学位”。这同样

    也不是真命题——我认为，许多有才华的人是没有大学学位的，特别是

    在过去那个年代，上大学并不是人生中必须经历的过程。

    3.如果你遭遇过偏见，那么你是一名女性。这不是真命题，男性和

    非二元性别的人也会遭遇偏见，而且非二元性别的人确实会遭遇这种情

    况。这个命题的逆命题为“如果你是女性，那么你遭遇过偏见”，无论

    你是否承认或者对此抱怨过，我认为这都是真命题。

    4.如果你支持奥巴马医改，那么你支持美国平价医疗法案。这是真

    命题，因为奥巴马医改只不过是美国平价医疗法案的非正式名称。这意

    味着该命题的逆命题也是真命题，“如果你支持美国平价医疗法案，那

    么你支持奥巴马医改”。不幸的是，有些人支持美国平价医疗法案，但

    是拒绝支持奥巴马医改，他们并没有意识到两者是相同的事物。他们强

    烈拒绝与奥巴马相关的任何事，以奥巴马名字命名的事物足以让他们拒

    之千里。这真让人大开眼界!我认为我们可以从中学到重要的一课——

    呈现事物的方式的确非常重要，甚至可以推翻非常明确的逻辑。

    我们将这些推断总结后列入下表：命题与其逆命题各有真假，这里列出了所有可能出现的组合，共有

    4组。这意味着，如果我们从一个新命题开始，发现它为真或者它为

    假，这并不能帮助我们掌握逆命题的任何信息。因为在理论上，逆命题

    可以为真，也可以为假。

    逻辑等价

    我们已经讨论了将命题与其逆命题混为一谈的错误，也讨论了仅仅

    通过一个命题为真，就推断其逆命题也为真的错误。然而，有些时候命

    题与其逆命题都为真。这时，我们就遇见了逻辑等价的情况。也就是

    说，如果A蕴涵B，同时B也蕴涵A，那么A和B在逻辑上是等价的——无

    论何时，只要A为真，B就一定为真；同样，无论何时，只要A为假，B

    就一定为假。

    这意味着，A和B在逻辑上是可以互换的，而且二者往往是看待同

    一事物的不同视角。至关重要的是，这并不意味着它们是完全一样的，就像之前列出的奥巴马医改和美国平价医疗法案的例子。在逻辑上，二

    者是相同的，但是在情感上，对于某些人是非常不同的。这些人觉得，支持令人心安的、充满同情心的、以“美国平价医疗法案”为名的事物是

    可以接受的，但是支持涉及奥巴马的事物就难以忍受了。另一些人的反

    应则刚好相反，他们会更加积极地对待涉及奥巴马的事物。当两个事物

    在逻辑上并非等价时却假设它们是等价的，例如认为拥有学位与拥有才

    华是等价的，这就是假等价的逻辑谬误。稍后，我们会讨论这一点。然

    而，奥巴马医改美国平价医疗法案的例子是另一种“假不等价”的情况，有些人认为二者是不同的，但实际上它们在逻辑上是等价的。尽管如

    此，我们还是应该接受它们在情感上并非等价的事实，而且我们应该顺

    应这个事实，而不应该仅仅因为它与逻辑冲突就简单地否定它。我们将

    在第十五章的情感部分讨论这些问题。

    当两个事物在逻辑上等价时，蕴涵可以向两个方向流动，所以我们

    使用如下符号表示：A B。关于这个命题有许多种说法，因为逻辑

    是流向两个方向的，所以这些说法往往是对称的：

    ● A为真，当且仅当B为真时。

    B为真，当且仅当A为真时。

    ● A是B的充分必要条件。

    B是A的充分必要条件。

    ● A在逻辑上与B等价。

    B在逻辑上与A等价。

    ● 如果A为真，那么B为真；如果A为假，那么B为假。

    如果B为真，那么A为真；如果B为假，那么A为假。

    最后一组说法揭示了一个事实，即当A为假时，“A蕴涵B”无法告诉我们任何信息。如果我们想在A为假时推断出某些事物，那么我们需要

    做逆转。虽然从表面上来看，逆转给了我们一种途径，让我们从真的B

    推断出某些信息，而不是从假的A来做推断。下一章我们还会讨论这一

    点，到时我们将进一步探究事物为假意味着什么。

    [1] 男性是否经历性别歧视这个问题要归结为性别歧视的定义。根据一些偏见理论，性别歧

    视和种族主义只适用于一些情况，即符合更大规格的体系性压迫的情况。这个理念表明，被压

    迫者受到压迫者的歧视，与施压者作为掌控方，受到被压迫者的歧视是不一样的。无论我们是

    否同意这些定义，我认为，注意被压迫者和施压者之间的差异是非常重要的。我们将在第十三

    章关于类比的讨论中再回归到这一点。利用这些抽象术语来思考问题，我们能够很清楚地看到

    事物之间的一些不同；为事物命名也有助于我们思考。

    [2] 如果你知道这个团伙有5个人，而且准确地知道在发生抢劫的国家只有5个白人，那么这

    种寻找白人的方法就是有意义的。如果你准确地知道该国有10个白人，那么这种方法也是可行

    的，因为如果你凑齐了这10个人中的5个人，那么你将有很大的概率抓到真正的罪犯。随着该国

    白人人口的增长，这种方法逐渐变得不像逻辑上的方法，更像种族主义的方法。实际上，这种

    分析很可能是针对非白人的，而不是针对白人的。当该国(或者城市)的少数民族人口增加到

    多少时，这种方法会从可行方案变成种族歧视呢？这是灰色地带的问题，我们将在第十二章讨

    论这一点。我们必须非常小心，这种渐进的论证并不会为我们提供关于偏见的逻辑辩解。

    [3] 我最近发现，从技术上讲，上述这些图表不应该被称为“维恩图”，而应该被称为“欧拉

    图”。一个图要想成为维恩图，它应该明确呈现出问题中可能出现的所有的逻辑组合。上述示意

    图没有达到这个标准，因为一个圆圈完全包含另一个圆圈，因此，不存在这样一个区域——你

    处于小圆圈中，而又不在大圆圈中。当然，这是那种特定示意图的所有要点。我个人认为，维

    恩图和欧拉图之间的差异更像是迂腐，而不是精准。因此，我还是会把这种情况称为维恩图，尤其是因为这个术语更加广为人知。

    [4] 请注意，这些命题在逻辑上等价并不意味着它们是真命题，当然也不意味着它们在道德

    上是合理的。这只意味着它们在逻辑上表达相同的意思。白人也会被警察枪杀，包括在路检

    中。是否黑人遭到了不成比例的枪杀？这是不是由种族歧视造成的？这些问题都是不同的问

    题，而且是更加复杂的问题。第四章 对立与谬误

    我们如何反驳

    对于学校辩论社期间的辩论，我至今记忆犹新的只有两场。一场

    是“我社认为玛格丽特·撒切尔应该下台”，这场辩论格外值得纪念，因

    为她在辩论的当天上午真的辞职了；另一场是“我社认为草莓比山莓

    好”，这是一个典型的毫无意义和内容的辩题。我们很容易认为，辩论

    的双方都面临着一个同样不可能完成的任务。你如何争论一种浆果比另

    一种好呢？这里的“好”意味着什么呢？然而，这种辩论的关键是，辩论

    社成员只决定他们是否支持这个辩题。因此，提议者必须论证草莓比山

    莓好，而另一方则要论证提议者是错误的。有许多方法可以证明他们是

    错误的。一种方法是，事实上，山莓比草莓更好。但是，如果草莓和山

    莓一样好，或者“更好”是不可能被定义的，或者整个想法都是愚蠢的，那么提议者也是错误的。

    大部分争论与辩论不同，但它们也表现为一部分人声称某些事物是

    正确的，另一部分人认为这些事物是错误的。如果他们试图以逻辑的方

    式争论，那么第一个人会努力通过构建逻辑论证来证明他们所说的是合

    理的。第二个人要么试着找出逻辑论证中的漏洞，要么尝试构建他自己

    的逻辑论证，以断言第一个人是错误的。

    逻辑学、数学和科学都是发现什么事物为真的方法，但它们同时也

    是发现什么事物为假的方法。我坚信，承认出错的可能性，并找到发现

    错误的方法，是一个理性人的重要组成部分。(但是我可能是错的。)

    否定就是我们反驳事物的方式。不幸的是，在日常生活中，这一点我们通常做得非常糟糕。争论总是很快变成侮辱、恐吓或者大喊大叫，特别是在网络评论这方面。我乐观地认为，这源于人们无法取得一致观

    点的挫败感，而并非源于每个人都喜欢侮辱、恐吓或者吼叫别人。我的

    乐观驱使我做一些事，比如写一本关于逻辑的书，因为我认为大部分人

    能做得更好，我甚至认为大部分人想要做得更好。或者退一步讲，大部

    分人能被说服去做得更好。

    在日常生活中，反驳某个事物并不非常顺利的一个原因是，我们往

    往不完全理解哪些事物是等价的，因此也不完全理解哪些事物属于真正

    的驳斥。我们一旦理解了否定，就可以开始构建逻辑的力量。首先理解

    针对同一想法的不同观点，然后理解它们之间是如何互相赞同或者互相

    反对的。

    否定与对立

    让我们来想象一场关于教育体系的辩论，就像某些人定期会做的那

    样，这些人声称亚洲的教育体系比英国的更好。有两种方式可以反对这

    个观点：

    (1)经过仔细斟酌并且冷静的：我不认为亚洲的教育体系更好。

    (2)极端而且激动的：不可能!英国的教育体系更好!

    抛开情感基调，从逻辑上讲，这是两种不同的反对原始观点的方

    式。第二种(极端的)方式是用正常的语言将我们思考的事物作为“对

    立面”表达出来。但这并不是逻辑上的对立。在逻辑学中，为了做出否

    定，我们会先引用最初的命题，然后简单地表明它是不正确的，上面的

    第一种(冷静的)反对方式——“亚洲的教育体系比英国的更好”的否定

    的说法为“亚洲的教育体系比英国的更好，这是不正确的”。或者，用更加自然的语言来说：“亚洲的教育体系并不比英国的更好”。就像草莓和

    山莓的问题一样，有许多方式可以论证亚洲的教育体系“没有更

    好”。“更好”意味着什么？教育体系的目的是什么？我们如何衡量它们

    的成就？我们想让教育体系达到什么目标？一些人似乎是根据数学和科

    学成绩，或者其他标准化的测试结果来衡量所有事物的，而另一些人想

    要根据对工作的准备程度来衡量所有的事物。训练人们在标准化的测试

    中取得好成绩以及把人们培训成一个优秀的员工，难道这就是我们期望

    教育做到的全部吗？

    这里还有更多的例子能够展示逻辑否定与日常语言中的“对立”之间

    的差异：

    ● 原始陈述：我认为欧盟很棒。

    对立：我认为欧盟很糟糕。

    否定：我认为欧盟并不是很棒。这与认为欧盟很糟糕是不同的。

    除“糟糕”之外，欧盟也有“不棒”的可能。例如，欧盟大体上很好，但是还有一些缺点。然而，这里会出现一个棘手的语言问题，因为用一

    种特定的语气来表达这句话，听起来可能是以一种嘲弄的、轻描淡写的

    方式来表达欧盟很糟糕。然而，这只是语言上的怪癖，并不是逻辑上的

    否定。

    ● 原始陈述：玛格丽特·撒切尔是最杰出的首相。

    对立：玛格丽特·撒切尔是最差劲的首相。

    否定：玛格丽特·撒切尔不是最杰出的首相。但可能她也不是最

    差劲的——她可能是第二差的，或者第十差的，等等。

    ● 原始陈述：气候变化一定是真实的。对立：气候变化一定是假的。

    否定：气候变化不一定是真实的。有什么事物是确定的吗？然

    而，这也不意味着气候变化一定是假的——因为有大量证据指向它，所

    以它很有可能是真实的。这里的“真实”意味着根据严格的科学框架得

    出的科学的、合理的理论。

    ● 原始陈述：糖对你有好处。

    对立：糖对你有坏处。

    否定：糖对你没有好处。但是糖也不是直接对你有坏处，因为每

    天吃少量的糖可能不会对你有任何伤害，只有在食用量非常大时它才可

    能对你有坏处。

    ● 原始陈述：我是男性。

    对立：我是女性。

    否定：我不是男性。我也可能不是女性，因为我是预计占人口

    1.7%的天生双性人之一。

    总体来说，否定是比对立更宽泛的表述。对立是严格的、极致的反

    对，或者就像我们强调的“极性对立面”一样。北极的极性对立面是南

    极，但是在这两个极点之间，还有非常非常多的世界。

    ● 原始陈述：奥巴马是黑人。

    对立：奥巴马是白人。

    否定：奥巴马不是黑人。事实上，他的父亲是黑人，他的母亲是

    白人。所以，可以说他既是黑人又是白人，或者两者都不是。用对立的方式思考，而不用否定的方式思考，是一种极端的、黑白

    分明的看待事物的方式。在奥巴马的案例中，大部分人对于称呼他为白

    人感到奇怪，所以即使他在某种意义上既是黑人又是白人，人们还是常

    常称他为黑人。那么，为什么称呼他为黑人比称呼他为白人似乎具有更

    多的意义呢？难道事实上真的有什么意义吗？这就涉及灰色地带问题

    了。

    灰色地带

    人们往往不擅长处理灰色地带。在现实生活中，许多论证最终会变

    为极端对立的争论。例如，两个人一起去听音乐会，一个人激动地

    说：“这真是太棒了!”另一个人反驳道：“你怎么会这么想？我认为它

    很糟糕。”再比如，政治决定常常会导致一些人说：“这真是伟大的决

    定!”而另一些人说：“这真是糟糕的决定!”

    人们争论某个领导人到底是优秀的还是糟糕的时候，其中一方会提

    到他做过的所有好事，另一方会提到他做过的所有坏事。在实际生活

    中，大部分人都会既做一些好事，又做一些坏事。事实上，大部分事物

    本身也既有好的部分，又有坏的部分。更加符合逻辑的否定是，如果一

    些人论证某个领导人做了一些好事，那么另一方应该论证这个领导人并

    没有做一些好事，也就是说领导人完全没做好事(这是非常极端的)。

    或者，如果一方论证某个领导人是穷凶极恶的，那么另一方应该指出这

    个领导人总体上是邪恶的，但在某些方面也做了一些好事。不幸的是，如果你不谴责那个人所做的每一件事，那么对一些(不合乎逻辑的)人

    来说，你就是在支持那个人。这就是非黑即白思维的问题之处。

    人们不是很擅长处理灰色地带，事实上逻辑也不擅长。我们在第十

    二章会重新讨论这一点，但是现在一定要注意到，灰色地带应该是包含

    在某个地方的，不然我们就忽略了现实的某个部分。在一场正式的辩论中，灰色地带的位置是可以被清晰指出的：它就

    包含在对立里。所以在草莓和山莓的辩论中，辩题是草莓“一定”比山莓

    好。那么对立中的所有灰色地带为：两种浆果可以是完全一样的，或者

    草莓有时更好、有时更糟，等等。

    如果我们正在考虑的是“好”的概念，那么灰色地带(平庸的)就包

    含在“不好”里，所以它就和“坏”归到一起了。如果我们正在考虑欧盟是

    否糟糕，那么灰色地带(一般)就包含在“不糟糕”里，所以它和“很

    棒”就归到一起了。

    如果我们着眼于(已经存在缺陷的)种族概念，并且考虑一下白

    人，那么所有灰色地带的“非白人”都包含在黑人里。20世纪美国的部分

    地方将这一想法制定成法律，当时只要带有一点点“黑人血统”的人就会

    被认定为黑人。在其他时期，这个任意的分界点被定为18血统或者14

    血统。

    我们如果只讨论黑人和白人，要么就像前文说的那样，选择一个任

    意的分界点，要么就从我们的讨论中删除其他人，包括混血儿、亚洲

    人、印第安人，以及所有既非黑人又非白人的人。

    在逻辑学中，这被称为排中律。排中律认为，此刻我们要处理的只

    有“正确”和“不正确”这两个选项。因此，所有类型的“不正确”都应该包

    含在内。这也意味着，如果某个事物不是不正确的，那么它一定是正确

    的。这并不意味着我们排除了中间部分，也就是说我们把它扔掉了或者

    忽略了，这只是意味着我们已经把它包括在一边或者另一边了，这样就

    再也没有中间部分了。

    这是一张从白色到黑色的渐变图：我们应该在哪里画一条区分白色和黑色的线呢？一种严格符合逻辑

    的方法是考虑黑色和非黑色：

    但是，另一种符合逻辑的方法是考虑白色和非白色。在这种情况

    下，分界线位于另一端：人们对这种方法有许多不满，因为在这两种情况里，分界线都被推

    向一个极端。但当考虑种族问题时，这个方法却能很有效地帮助我们讨

    论白人和非白人的问题。因为白人特权似乎不会延伸到混血人群，除非

    他们能“顺利通过分界线”，成为白人。然而，从另一方面来说，将所有

    非白人都称为某种“其他的人”，可能是白人至上和白人不愿让别人进入

    自己社会的症状。

    把分界线推向极端，这至少比只考虑极端和忽略整个灰色地带听起

    来更合乎逻辑。毕竟，如果我们表现得好像中间部分不存在，那么我们

    所说的就不是真实的。

    在现实生活中，另一个不那么极端，但也不太合乎逻辑的做法是我们把分界线放在正中间的某个地方：

    还有另外一种选择，就是明确指出中间的区域，并且为它命名，如“灰色”：

    当然，这仍然意味着我们需要选定一个地方来放置白灰之间的分界

    线以及灰黑之间的分界线。这在某种程度上与“异性恋”“同性恋”“双性

    恋”这些术语类似。一个极端由那些只被异性吸引的人组成，另一个极

    端由那些只被同性吸引的人组成，中间部分则是那些双向性取向的人。

    然而，我们在哪里划线呢？如果某个人被异性吸引，但又对某一个同性

    的人感兴趣，那么是否足以称他为异性恋？如果某个人被同性的人吸引，但又对某一个异性感兴趣，难道这种情况下他就不是同性恋了吗？

    对我来说，最简单的答案是，每个人都有权称自己为他们选择的那一类

    人。但是，就像对种族的考虑一样，总有一股潜在的、不均衡的力量将

    这些考虑推向一个方向：此时比例是不对称的。在经历了长期的压迫之

    后，黑人和同性恋在这种分类体系中面临更多的利害关系。是否需要公

    开或者隐瞒自己的身份，是否需要保护自己的群体，以及是否需要得到

    允许，像每个人应得的那样融入持有权力的群体。虽然，逻辑可以通过

    忽略不相关的细节来帮助我们简化情况，但是我们应该小心，不要因为

    忽略了重要的背景信息造成过度简化。

    在第十二章中，我们会再次讨论这个问题，并将看到，虽然在中间

    某个地方设置界线的方法不那么极端，而且没有忽略整个灰色地带，但

    还是会引起其他矛盾。我们将讨论更加微妙的处理灰色地带的方法，以

    避免极端、忽视以及矛盾。在涉及灰色地带的地方，总是说起来容易做

    起来难。

    将灰色地带吸收进一边或者吸收进另一边是一种简化，但至少不是

    错误或者矛盾。然而，完全否认它的存在常常是非黑即白思维出错的地

    方。

    维恩图

    为了思考如何看待否定，如何看待白人和非白人，我们画了一个带

    有白人区域的人类维恩图，如下所示：接下来，白人之外的部分就是所有非白人，在这里用阴影表示：非白人包括黑人、亚洲人、拉丁美洲人、印第安人等白人之外的所

    有人。

    一般来说，我们在考虑命题“A是正确的”时，可以画出下面的维恩

    图：在这种情况下，圆形之外的部分代表“A是不正确的”：现在，我们又遇到了灰色地带的问题。事实上，我们正在使用排中

    律：否定占据了圆圈之外的所有空间，在这些空间和圆本身之间没有任

    何事物。在集合和维恩图的语言中，这些空间被称为补集——可以与A

    完美结合在一起的部分。如果有灰色地带，它看起来会如下图所示：

    现在，如果我们考虑的概念是“白色”和“非白色”，那么分界圆会在

    中间：然而，如果我们考虑的是“黑色”和“非黑色”，那么分界圆就会在外

    侧，即深黑色开始的地方。[1]

    在下一章中，我们将看到更多带有集合的维恩图，届时我们会思考

    逻辑命题是如何相关联的。

    真值

    数学家们似乎一直在试图让事物变得更复杂，但是实际上，他们是

    在试图让事物变得更简单，以便我们更好地理解这些事物。简单化和过

    度简化之间有一个重要的区别，我认为这与阐释有关。如果将事物过度简化，你很可能会忽略重要的细节，而这些细节实际上是富有启发性

    的。而恰当简化的一个关键之处是保留一些相关的、富有启发性的细

    节，并且忘记其他事物——至少目前是；另外一个关键之处是，你要时

    刻意识到自己忘记了什么，这就像当天气预报说今天是晴天时，你会故

    意把雨伞留在家里，而不是意外地忘记了雨伞，也忘记了看天气预报。

    如果你意识到自己忘记了什么，那么你也会意识到自己所做事情的局限

    性，以及你不该陷入的处境。

    在某种程度上，排中律就是一种简化。稍后我们会发现，在不改变

    自己逻辑的情况下，我们真的会无法处理某些特定的情况。另外一种看

    待排中律的方式是我们将真相视为二元的，即“是”或“否”。数学家们更

    进一步，他们赋予真相一个值：如果某个事物为假，那么值为0；如果

    事物为真，那么值为1。你也许会认为数学家就喜欢把事物转化成数

    字，但请你记住：数学不仅仅是数字，还包括许多其他事物。然而，数

    字是我们非常熟悉而且易于推理的。如果我们能把情况转化成一些数

    字，那么这将对我们非常有益。

    排中律表明，0和1之间没有真值。你可能会在这一点上喊“犯规”，并且宣称这难道不是意味着我们要扔掉中间部分吗？毕竟，在0和1之间

    还有许多小数，这些小数可能是代表了部分真相。如果某些事物的真值

    为0.5，那么这是否意味着它是半真半假的？有一种逻辑形式采用了这

    个方法，称为“模糊逻辑”。在第十二章中，我们将回到这个问题上，到

    那时我们会讨论更多应对灰色地带的方法。

    仅使用0和1作为可能的真值，这很像在法庭上只允许回

    答“是”和“否”。律师在向某些人施压以使这些人说出一些置自己于不利

    境地的话时，最喜欢用这个工具(至少，小说中的律师是这么做的)。

    在逻辑学中，在法庭上，事物都只是简单的正确或者不正确，1或者0。

    这听起来很苛刻，但这就是记住“不正确”包括所有可能的灰色地带的原

    因。如果一个命题为真，那么它的否命题一定为假。同样，如果某个事

    物为假，那么它的否定一定为真。我们将这些总结成下面这个小型真值

    表。这里A为任意命题，“非A”为它的否命题：

    与维恩图类似，真值表是另一种囊括逻辑的有力途径。它们距离直

    觉更远一些。但是，当你远离直觉时，有时会发生两件事。一件是你能

    更好地运用自己的逻辑思维；另一件是你实际上开发了新的直觉——关

    于逻辑而不是其他事物的直觉。如果逻辑的直觉听起来像一个矛盾，那

    么我道歉。(这只是个承诺，而不是逻辑蕴涵。)

    最后，我应该指出，真值还有另外一种可能性：某个事物的真值有

    可能是无法确定的。我们将在有关悖论的第九章讨论这一点。有些悖论

    是由一些表述引起的，这些表述自相矛盾，无法在不引起矛盾的情况下

    赋予其任何真值(真或者假)。这意味着它根本无法具备任何真值。但

    这也不意味着它是假的，只意味着它是未知的。

    下面这些陈述的真值迄今为止还是未知的。但是，这只是由目前人

    类知识的局限性，而不是其内部的逻辑问题引起的。(1)宇宙是有限的。

    (2)总有一天，我们能治愈所有的癌症。

    (3)陨石导致恐龙灭绝。

    否定蕴涵

    我们既然已经对否定有了更多的了解，就可以试着把它应用于一个

    更复杂的陈述：一个蕴涵的表述。

    我们已经看到蕴涵“如果你是白人，那么你有特权”。我们还看到其

    逆转“如果你有特权，那么你是白人”是不正确的，因为即使你不是白

    人，也会有其他形式的特权，例如，作为男人、富有的人、正直的人、顺性别的人[2]

    、身体强健的人、高大的人、纤瘦的人、受过教育的人等

    等。因为这个逆命题是不正确的，所以我们应该可以否定它。

    否定蕴涵是很复杂的。它并不是简单地在表述中加个“不”字就能被

    否定的，虽然这么做很吸引人。我们可以说“如果你有特权，那么你不

    是白人”，但这也是不正确的。如果你有特权，那么你可能是白人，但

    也可能不是。

    我们可以说：“白人特权之外还有很多其他的特权。”这是迈向逻辑

    否定的很好的一步，但是我们还没讨论到“还有……”，以及这意味着什

    么。(我们将在第七章讨论。)

    直到那时，真正能够否定“意味着”的唯一逻辑方法就是“不意味

    着”，例如“拥有特权并不意味着你是白人”。或者，我们可以在命题的

    末尾加上“这是不正确的”。用这个方法进行否定是万无一失的，这只会

    导致句子听起来不够自然。“如果你有特权，那么你是白人，这是不正确的。”

    在符号方面，我们只需要把蕴涵箭头划掉，如下所示：

    A B

    不正确的蕴涵往往是分歧的根源。

    错误的蕴涵

    一些白种人曾经尝试争辩白人特权并不存在，下面就是一个错误的

    论点：

    许多黑人比我富裕，因此我没有白人特权。

    如今，即使你是白人，一些黑人比你富裕的情况也是真实存在的。

    例如，你是一个很不寻常的人，但贝拉克·奥巴马和奥普拉·温弗瑞比你

    富裕。然而，这并不意味着你没有白人特权。

    下面我会以更详细的方式来展现这个错误的论点是如何推进的：

    (1)即使我是一个白人，一些黑人也比我富裕。

    (2)如果一些黑人比我富裕，那么我就没有白人特权。

    (3)因此，我没有白人特权。

    从逻辑蕴涵推断出某些事物的过程叫作推理。推理规则对于逻辑的

    使用是非常重要的，而且它有一个非常奇妙的名字——肯定前件式，这

    是拉丁语，表示“肯定方式”。从本质上说，这个过程是我们从一个已知

    的真理发展到另一个真理的唯一途径。(在第九章，我们将研究卡罗尔的悖论。这个悖论探讨了如果不允许我们使用这条推理规则，我们将陷

    入的不可能的状态。)肯定前件式表明，如果我们知道“A蕴涵B”，那

    么我们可以由A推断B，如下所示：

    (1)A为真。

    (2)A蕴涵B。

    (3)因此B为真。

    在上一个例子中，结论是“我没有白人特权”。现在，结论有两种错

    误的可能：要么(1)是错误的，这意味着你比所有的黑人都富裕(或

    者你不是白人)；要么(2)是错误的。在我们的例子中，有些人认为

    (2)是正确的，但这是对白人特权意义的误解。这是一个稻草人谬

    误，也就是说，一个论证被另一个与其本身不同且更容易被击倒的论证

    (一个稻草人)替换，然后我们再适时地击倒这个替换之后的论证。

    (在第十四章中，我们将关于等价重新讨论稻草人的论证。)白人特权

    并不意味着每一个白人都比每一个非白人富裕；它意味着，任何指定的

    非白人处在完全相同的环境下，如果他们变成白人，那么他们将会更好

    地融入社会以及生活中。

    关键是要记住，只有把命题“A”和命题“A蕴涵B”结合在一起，我们

    才能推断出命题B。因此，如果命题B不为真，那么或者是因为A不为

    真，或者是因为“A蕴涵B”不为真。人们常常忽视这种蕴涵不为真的可

    能性。在下一章中，我们将更进一步地研究各种因素是如何结合起来产

    生结果的，以及一些因素是如何经常被忽视的，以至于责备不公平地集

    中在一个特定的人或者环境上。

    逆否命题我相信，大量的逻辑力量来自它的灵活性，而这种灵活性又来自使

    用不同但又等价的观点来观察事物的能力。理解否定是如何与蕴涵相互

    作用的，为我们提供了观察事物的途径。在之前的论证中，相信命题

    如果一些黑人比一个白人富裕，那么这个人就没有白人特权。

    相当于相信命题

    如果你有白人特权，那么你比所有黑人富裕。

    第二个命题在逻辑上是与第一个命题等价的。这意味着，不但第二

    个命题可以由第一个命题推断出来，而且第一个命题可以由第二个命题

    推断出来。所以，这两个命题在逻辑上是可互换的(但是，对于我们这

    些非逻辑人群，这两个命题强调的重点是略有不同的)。举个例子，假

    设我告诉你：

    如果你要出国旅游，那么你一定要有护照。

    这在逻辑上相当于：

    如果你没有护照，那么你不能出国旅游。

    然而，这两句话在情感上是有一些差异的——第一种说法更多的是

    关于为了旅行你要做什么，而第二种说法更多的是关于没有护照你不能

    做什么。虽然这两种说法在逻辑上是等价的，但对人们而言，这两者是

    略有差异的。

    这样的等价蕴涵对就称为“逆否命题”。在形式上，逆否命题是你可

    以做出的新命题，它从如下蕴涵开始：

    A B

    然后，逆否命题为B为假 A为假

    这个命题在逻辑上是与原始命题等价的。这意味着，无论何时，如

    果原始命题是正确的，那么逆否命题也是正确的。无论何时，如果原始

    命题是错误的，那么逆否命题也是错误的。请不要与逆命题相混淆，逆

    命题为

    B A

    它在逻辑上是与原始命题不相关的。此外，也不要与通过分别否定

    A和B得到的命题相混淆：

    A为假 B为假

    这个命题是逆命题的逆否命题，所以它与逆命题是等价的。

    当人们看见下面的表述时，容易犯下分别否定A和B的错误，如果你是美国公民，那么你可以合法地在美国生活。

    将其转变为如果你不是美国公民，那么你不可以合法地在美国生活。

    最后，不要将逆否命题与下述否命题相混淆：

    A B

    这个否命题在任何地方都不符合上面的图表。如果一个蕴涵为假，除非论证被击溃，那么你无法从任何事物中推断出任何东西。

    证据

    逻辑蕴涵比证据更有说服力。逻辑蕴涵意味着某个事物绝对为真。

    证据只是提高了事物为真的可能性。这是非常重要的区别。证据并不能

    促使某个事物逻辑上为真，只有逻辑证明能做到这一点。

    例如，假设你认为所有中国人都擅长数学。可能每当你见到一个长

    得像中国人的数学家(比如我)，你都会觉得这对你的理论有帮助。你

    正在思考如下蕴涵：

    具有中国血统意味着擅长数学。

    每当你遇见一个长得像中国人的数学家，你都会把他(她)保存为

    证据。这时出现的问题之一是你可能受制于证实性偏见，在这里你只注

    意到支持自己理论的证据。然而，另一个问题是这些证据对逻辑并无助

    益。掌握了处理逆否命题的新能力，也许我们可以更清楚地看清这一

    点。该命题的逆否命题为：

    不擅长数学意味着没有中国血统。

    依据“证据有助于逻辑”这个观点进行思考，意味着每当你看见一个非中国的非数学家，你都会觉得这有助于支持你的理论。例如，每当你

    看见加拿大的鹅或者法国的马卡龙，你都觉得这有助于支持你的理论

    ——中国人擅长数学。你可能会反对我的说法：我们在这里只考虑人

    类，不考虑动物或者食物。但这仍然意味着，一个美国歌手，或者一个

    英国足球运动员，都应该有助于支持你的理论：所有中国人都擅长数

    学。

    比起每遇见一个中国数学家都把他她当作支持你的理论的证据，上述思考在直觉上似乎更奇怪一些，但从逻辑上来说，这两种情况都没

    有什么意义。

    科学中的否定

    我们在思考证据的同时，也可以思考在科学实验中证据确实为我们

    做了什么，以及它是如何与否定相互作用的。毕竟，所有科学(如数学

    和所有领域)都有一个用来证明事物为真和不为真的框架。

    科学实验的过程通常从一个假设开始，也就是说，科学家认为某个

    命题可能为真，但是它的真值目前还是未知的。学校里的科学实验常常

    是非常简单的内容，现实中科学家已经知道这些实验很长时间了。这常

    常让我觉得，学校里的科学实验都是人为设计的。因为缺乏做实验的动

    力，所以我非常不擅长做实验。我希望实验更多地作为一种探索科学的

    方法以及一种学习如何验证已知事实的方法来呈现。

    记得有一个实验我确实做得很好，它是关于胡克定律的实验。实验

    的假设是：弹簧的伸长量与其悬挂的载荷成正比。

    接下来，科学家(或者在校学生)会寻找支持假设的证据。在这个

    案例中，一个实验内容包括选择各种弹簧，并测量当弹簧上悬挂不同的物体时它们的伸长量，然后分析数据。统计学研究的是支持各种假设的

    数据类型。你如果发现自己有正确的数据类型，就可以得出如下结论：

    有足够的证据表明这个假设为真，确定性在(例如)95%以内。

    如果你发现自己没有正确的数据类型，那么你的结论应该是上述结

    论的否定，如下所示：

    没有足够的证据表明这个假设为真，确定性在95%以内。

    重点是要注意，这在逻辑上与推断假设为假不同。推断假设为假是

    对立面，而不是否定。如果你没有足够的证据来支持一个假设，那么这

    个假设的值是未知的。此时，你可能需要更多的数据，或更好的实验。

    在上述例子中，我们真正需要的是一个改良的假设：

    在最大载荷范围内，弹簧的伸长量与其悬挂的载荷成正比。

    这就是胡克定律。一旦一个假设的真实性被科学地证实，它通常会

    被“提升”到定律的地位。科学定律就是在科学界可以接受的确定性等级

    内，被确定为可能正确的事物。这与逻辑真理不同。然而，逻辑真理与

    科学真理是相互作用的：我们可以从科学定律出发，从逻辑上推进。如

    果定律是正确的，那么我们可以通过它逻辑地推断出各种事物。

    有时，人们指出科学实验涉及确定性的百分比，并且声称这意味着

    它“只是一个理论”，因此我们有权不相信它。这是对科学方法、统计学

    和概率的误解。如果某个事物有50%的确定性被证明是正确的，那么我

    们真的无法裁断了，事物是可以向任何一个方向发展的。聪明的做法

    是，不基于它的正误做任何事，而是等待进一步的数据。然而，如果某

    个事物被证明是正确的，而且确定性为95%，那么它很可能是正确的，尽管仍然有很小的可能性它不是正确的。科学家根据情况的严肃程度来

    选择他们的百分比界线——这又是一个错误肯定和错误否定的问题。当事物错误的时候我们认为它是正确的，或者当事物正确的时候我们认为

    它是错误的，还会比这更糟吗？像药物副作用这种危及生命的情况，我

    们选择使用更高级别的确定性。由于在逻辑之外绝对确定性是永远不可

    能的，因此永远不会有100%的确定性。但是，如果我们的行动只基于

    那些已知确定性为100%的事物，那么我们几乎什么也不能做。

    另一方面，如果某个事物被认定为正确的，并且有1%的确定性，那么它确实很可能是错误的，但即使这样，它仍然可能是正确的。我优

    秀的数学老师马德尔先生告诉我们，如果你们没有正确的数据来支持自

    己的假设，那么正确的否定应该是：“由于没有足够的证据支持这个假

    设，因此，我们需要更多的资金来做进一步的研究。”

    [1] 在观察内部没有黑色圆圈的图片时，你可能会产生一种视错觉。在A的外部似乎有一个

    白色发光的圆圈，而中心部分看起来更灰一些。这是一种错觉：整个中心实际上是白色的，但

    是在某种程度上，外圈看起来更白一些，可能是因为外圈更靠近灰色。我感觉这里可能有一个

    隐喻性的解释：即使这里的色彩渐变的，我们的大脑也认为白色和非白色之间存在一个分界

    线，特别是当我们太习惯处于白色的中心的时候。由于这个问题与种族偏见有关，我们以后再

    来讨论这个问题。

    [2] 顺性别：自我认定性别与出生时的性别一致。第五章 责备与责任

    每个人和每个事物是如何逻辑地联系在一起的

    2017年4月9日，美国联合航空3411航班机票超售了。航空公司工作

    人员将一位特殊的乘客赶下了飞机。他并不是自愿离开的，而是被安保

    人员拖走的，还受了伤。这次事件引起了轩然大波，对于这是谁的错，人们的意见也有明显的分歧。针锋相对的观点有：

    (1)这是美国联合航空的错，因为安保人员不合理地使用武力。

    (2)这是乘客的错，因为被要求后他拒绝离开自己的座位。

    但其实这里有非常多的促成因素。促成因素和“错误”一样吗？让我

    们来直面这个问题吧，生活中的一切都不只由一个因素造成，只是人们

    倾向于把责备的矛头指向一个因素，通常是一个人。

    学生在一场考试中的成绩不佳，是因为学习不够刻苦，还是因为老

    师教得不够好？也许在某种程度上，这两种因素都有：一名真正优秀的

    老师会激励学生刻苦学习，但是这听起来像是在责备老师；一名真正优

    秀的学生，即使没有鼓舞人心的老师，也会刻苦学习，但是这听起来像

    是在责备没有受到良好教育的学生。有一部周期性播出的动画片，它会

    把“美好旧时光”(无论是什么时候)和今天做比较。在美好旧时光的画

    面中，家长和孩子在老师的办公室里，因为学生的糟糕成绩，老师正在

    斥责学生。在今天的画面中，场景是一样的，只不过现在是家长正在因

    为学生的成绩差而责备老师。唉，这是有一些道理的。责备的问题常常

    与责任的问题包裹在一起，反驳的观点经常是，如果我们不责备任何个人，那么是否意味着没有人应该为任何事情承担责任？

    另一个更普遍的例子就是关系破裂。有时，双方都承认这不是任何

    人的错误，这是相互的。但可惜的是，这种情况很少发生。通常情况

    下，某一方或者双方受到了伤害，每一方都会责备对方。但是，在许多

    情况下(除了虐待案件)，双方都有促成因素。理解关系破裂的关键是

    理解人与人之间的关系，以及他们各自对最终关系破裂的贡献。

    在所有这些情况中，我们更好地理解了所有的因素以及它们之间是

    如何联系的，这就是我们在这一章想要表达的。

    相互关联性

    让我们回到学生成绩糟糕的例子，试着找出该情况中的逻辑。问题

    的关键是，学生的贡献和老师的贡献结合在一起，导致了这样的结果：

    一些人可能会说：“好吧，如果学生更刻苦地学习，那么他们就能

    通过考试，所以这是学生的错。”另一些人可能会说：“好吧，学生已经

    尽了最大努力，但是他们没有好的老师，没有机会通过考试，因此这是老师的错。”最近，一名曾在牛津大学就读的学生因为失去的收入起诉

    牛津大学，理由是他受到的教育非常糟糕。他认为他没有获得一级学位

    是牛津大学的错，而这导致他在毕业后几年损失了收入。在不了解所有

    信息的情况下讨论这个案例是不明智的，但是我希望对于教学质量差的

    问题能有更好的补救措施，而不是通过数年后的一桩诉讼案件来解决。

    关键在于，当两个因素结合起来导致一个结果时，无论其中哪一个

    因素发生变化，都会引起结果的不同。但是，这并不意味着每个因素都

    该为这样的结果负责，因为导致该结果的是两个因素的结合。这种情况

    的逻辑是连接词的逻辑。

    逻辑连接词是将逻辑陈述连接起来，形成更大、更复杂的陈述的途

    径。理解复杂事物的一个好方法是将它分解成简单的组成部分，这是数

    学中的一个普遍原则。接下来，你只需要理解简单的构建单元，同时理

    解将它们连接在一起的方式。逻辑连接词可以将简单逻辑陈述连接成复

    杂的整体。

    例如，“学生学习不够刻苦和老师教得不够好”。这里的连接词

    是“和”。学生怎样才能通过考试呢？也许是在“学生学习更刻苦或老师

    教得更好”的时候。这里的连接词是“或”。“和”与“或”是逻辑中的两个基

    本的连接词。

    “和”与“或”都是无关痛痒的词，但它们却能引起逻辑错误，特别是

    在与蕴涵和否定结合的时候。在数学中，因为它们连接了不同的命题，形成了新的命题，就像建筑中将杆子连接在一起的连接件一样，所以它

    们被称作连接词。数学家钟爱由较小的事物搭建出复杂的事物。他们的

    想法是，理解了小事物以及将它们结合在一起的步骤，你就能真的理解

    庞大的、复杂的事物。一般来说，这是一个理解复杂情况的好方法：将

    它分解成小的部分，然后谨慎思考如何将它们连接在一起。

    一般的情况是，已知命题A和命题B，我们通过使用“和”与“或”得到两个新表述：

    (1)A和B都为真。

    (2)A或B为真。

    像往常一样，一些问题的出现与我们在日常生活中如何使用这些词

    有关。

    在现实生活中，“和”这个词可能不会明确出现在一个句子里，但是

    我们可以把这个句子转换成一个等价的句子，这个新句子中的连接词是

    非常明确的。例如，如果某人是一个白人男性，那么他就是白人和男

    性。同样，“这是种族歧视”，意味着“这是一个关于种族的和带有歧视

    性的陈述”。长版本在正常语言中听起来很迂腐，但是澄清了逻辑。所

    以，在逻辑的语境里，长版本可以算是精确的，而不是迂腐的。在正常

    语言中，偶尔的澄清也是必要的。我在美国的时候曾经说过“He’s a

    black car driver”，这句话引起了一些有趣的反应。因为人们以为我说的

    是“他是黑人和他是一个出租车司机”，而我真正的意思是“他是一辆黑

    色出租车的司机”。(在美国并没有黑色出租车的概念，所以用“和”来

    解释会更明确。)我第一次买约克郡的“霞多丽葡萄酒醋薯片”时，觉得

    它的配料很有趣。我发现它的配料是霞多丽葡萄酒和醋，而不是用霞多

    丽葡萄酒制成的醋。

    “或”的数学概念比“和”更棘手一些，因为它与日常生活中我们使

    用“或”的方式不太相同。如果你问某人：“你是否想喝茶或咖啡？”你也

    许希望答案是茶、咖啡，或者两者都不要。如果你问一个迂腐的数学

    家，他可能会回答是或者不是。这是因为在数学中，“或”是一个逻辑连

    接词，它将命题A和命题B连接在一起，制造出一个新命题“A或B”。如

    果A正确，或者B正确，或者两者都正确，那么新命题就是正确的。这

    与英文中正常的用法不同，英文中的“或”通常排除了两者皆可的可能性

    ——如果我在固定价格菜单上看见“茶或咖啡”，我希望选择其一，并且通常不会选择两种。这些差异使得“或”在逻辑上变得模棱两可，我们需

    要根据上下文推断其正确的含义。例如，如果你乘坐飞机时托运的行李

    过大或过重，那么你必须支付额外的行李费用。根据语境，我们很清

    楚，如果行李既过重又过大，那么你仍然需要支付额外的费用。这里

    的“或”就不同于“茶或咖啡”中的“或”。

    类似地，如果你是富人或者男性(或者两者都是)，那么你有更高

    的社会地位。如果你被定义为女同性恋(lesbian)、男同性恋

    (gay)、双性恋(bisexual)、跨性别者(transgender)、同性恋

    (queer)、双性人(intersex)，或者不只其一(例如跨性别者和女同

    性恋)，那么你就是LGBTQI。

    逻辑和数学要求事物非常明确，我们不需要根据语境来理解事物。

    所以，我们必须区别对待这两种“或”的用法。排除两者皆可的用法叫

    作“排他性的或”。提供茶或者咖啡(并不是两者都提供)就是排他性的

    或。包含两者皆可的用法叫作“可兼或”，如果你的行李超重或者过大

    (或者两者都有)，那么你必须支付更多的费用，这就是可兼或。在正

    常语言中，根据语境，这种差异是非常明显的，所以差异变得迂腐，而

    不是精准。然而，在逻辑中，我们必须在不需要猜测语境的情况下明确

    其中的差异。这时，差异就变得精准，而不是迂腐了。因此，当一个数

    学家面对茶或咖啡的问题时，他回答“是”，这意味着他想要茶，或者想

    要咖啡，或者两个都要。对此我会说他是迂腐的，因为他不但没有澄清

    情况，而且主动混淆了情况。

    在数学中，我们倾向于把“或”默认为可兼或，因为正如我们将要看

    到的，它使事物在逻辑上连接得更好。然而，在正常生活中，我们倾向

    于把“或”默认为排他性的或，即使有时我们还会用“两者其一”作为强

    调。和蕴涵、否定一样，我们也可以用维恩图来描绘“和”与“或”。维恩图

    假设我们考虑的是这样一些人，他们的平均收入比一般人要少。假

    设女性和黑人都面临这种劣势，那么处境最不利的就是那些黑人女性。

    我们用维恩图描绘如下：

    中间重叠的区域代表两个条件都符合的人群。在集合和维恩图的语

    言中，这个区域称为交集，在这个例子中，它是由黑人女性组成的。

    如果我们转而考虑那些处于某种收入劣势(不一定是最糟糕的)的

    人，那么我们需要把非女性的黑人和非黑人的女性也包括进来，当然还

    有那些两个条件都符合的人。在维恩图中这称为两个集合的并集，我们

    将这个区域表示在下图中：现在，我们来观察“和”与“或”是如何通过否定联系起来的。

    “和”与“或”的否定

    我们已经研究了一些例子，这些例子均由两个因素导致了一个结

    果，然后人们争论应该责备其中哪一个因素。问题在于，导致结果出现

    的逻辑与防止结果出现的逻辑并不相同。如果需要两个因素才能导致一

    个结果出现，那么我们只需要改变其中一个因素就能防止结果出现。在

    逻辑上，这是关于否定一个包含“和”的陈述。

    例如，如果你不是一个白人男性，那么你可能是一个非白人男性，或者一个白人女性(或者，更广泛地说是白人非男性)；如果同时否

    定“白人”部分和“男性”部分，那么会得到一个非白人非男性的人。这就

    是交集之外的区域，我们在维恩图中用阴影表示如下：这个区域由三部分组成：

    (1)非男性的白人；

    (2)非白人的男性；

    (3)既不是白人，又不是男性的人。

    也就是说，这部分人是由那些非白人或者非男性(或者既不是白人

    又不是男性)的所有人组成。总体来说：

    (A和B)为假意味着A为假或者B为假(或者两者均为假)。

    当我们都意识到自己正在讨论可兼或时，不必每次都加上“或者两

    者均为……”。那么否定“A或B”又会是怎么样的呢？我们也可以回到收入劣势的

    问题。在欧洲和美国，如果你是黑人或者女性，那么你本身就存在劣

    势。为了避免这种特定的劣势，你必须既不是黑人又不是女性。(当

    然，你可能还有其他劣势，比如贫穷或者体弱多病。)

    这就是维恩图中的外部区域：

    总体来说：

    (A或B)为假意味着A为假和B为假。

    我们总结之后如下所示：● 原始命题：你是黑人和女性。

    否定：你是非“黑人和女性”的。因此，你可以是黑人但是非女

    性，或者是女性但是非黑人，或者两者皆不是。

    ● 原始命题：你是黑人或女性。

    否定：你是非“黑人或女性”。因此，你是非黑人和非女性的。

    用更自然的语言说：你既不是黑人又不是女性。

    在所有的情况中，无论是否定“和”得到“或”，还是否定“或”得

    到“和”，为了让“和”与“或”之间的关系更舒服，我们默认这里的或都是

    可兼或。这就是数学家更喜欢把或默认为这种类型的或的原因之一，因

    为它使“或”与“和”之间的关系非常有条理。[1]

    以上这些维恩图实验上只能在最基本的情形里帮助我们，这些情形

    只涉及两个(或者最多三个)集合。我们很快就会发现，绝大多数情况

    都会有更多这样的组成部分，这时，画出逻辑流程图会更有利于阐明事

    物。

    到目前为止，我们掌握的逻辑称为命题逻辑。它包含命题(或者陈

    述)、连接词和真值。这虽然有点儿简单，但在人们分析责备和责任问

    题方面仍然非常强大，正如我们将要看到的那样。

    责备

    如果因素A和因素B造成了某种情况的出现，那么我们应该责备哪

    个因素呢？现在，我们知道了，否定一个含有“和”的陈述，我们只需要

    否定单个陈述中的一个因素。这意味着，在表述出现错误时，我们只需要“责备”其中一个因素，虽然这两个因素都必须对陈述有利，使其成为

    正确的陈述。

    如果我摔碎了玻璃杯，我可能会说有两个原因：

    A：我弄掉了玻璃杯。

    B：地板非常硬。

    这两个因素的结合造成了玻璃杯的破碎。现在，如果我没有弄掉玻

    璃杯，它就不会碎。但是，如果地板不那么硬，那么玻璃杯也不会碎。

    否定其中一个因素就否定了陈述“A和B”。但是，这并不意味着每个因

    素都应该自我反省。需要责备的是因素的结合体。

    实际上，玻璃杯破碎还有许多其他因素，包括玻璃的脆弱和重力的

    作用。我们可以用连接词“和”把想要的陈述都串联起来，否定也是用相

    同的方式来进行的：

    (A和B和C和D)为假

    意味着

    A为假，或B为假，或C为假，或D为假。

    也就是说，否定任何一个因素就否定了整个陈述。因此，举例来

    说，如果你不是一个异性恋的、白人的、富有的、顺性别的男性，那么

    可能是因为你是非异性恋的，或者非白人的，或者非顺性别的，或者非

    男性的人。失去了这些特征中的任何一个，都意味着你不具备所有的、完整类型的特征。但是，即使你具备了所有这些特征，也不意味着它们

    中的某一项会比其他项更值得“去责备”。

    我认为，当我们正在思考某个事物应该归咎于某人或者某物时，这是非常微妙、但又非常重要的一点。对于学生在考试中的失利，我们还

    要考虑一些其他因素：考试太难、阅卷老师不够宽松、及格线设置得太

    高、学生在考试那天生病了。由于改变其中一个因素就会改变结果，所

    以我们总是很容易把原因归咎于这些因素中的一个。但是，用逻辑连接

    词“和”相连的因素结合体，才是真正导致了这样的结果的原因。

    我听过软件开发人员杰西卡·克尔的一个有趣的演讲，她总结了这

    一点——理解体系而不是责备个体。因此，与其争论如何将责任归咎于

    个人，不如思考体系如何让所有因素相互影响从而产生这种结果。

    我最喜欢的一个该类型的案例来自约翰·博因顿·普里斯特利的作品

    《罪恶之家》。有一名女性被发现已经死亡。渐渐地，越来越多的人被

    发现以各种不同的方式——私人上的、职业上的或偶然的接触，牵涉进

    她的死亡案件中。他们开始争论谁应该真正被指责，但实际上这是一

    个“和”的情况。母亲和父亲，以及儿子和女儿，连同社会和世界，共同

    造成了他们之间的情况。也许，这也是一个杰西卡·克尔所说的理解体

    系的例子。这里有两个体系：家庭及其相互作用(例如，其中艾瑞克

    说：“你不是那种小伙子遇到麻烦可以去找的父亲。”)，以及社会对待

    贫穷女性的方式。

    离婚

    你可能没想到在一本关于数学的书中会看到与离婚相关的内容，但

    责备和责任是许多关系破裂的中心主题。如果分手是友好的，那么从根

    本上说这可能是缺乏责备策略的结果。

    让我们来思考一个简单但又典型的情况：某个人有外遇。这并不会

    自动导致一段关系的破裂，所以我认为“外遇意味着离婚”并不是一个完

    全符合逻辑的陈述。然而，如果一个人有外遇，而另一个人无法原谅他们，那么这段关系注定会破裂。我把主角叫作亚历克丝和萨姆。我们了

    解到以下几个因素：

    A：亚历克丝有外遇。

    B：萨姆无法原谅亚历克丝。

    X：亚历克丝和萨姆分手了。

    萨姆和他的朋友可能会责备亚历克丝出轨。亚历克丝(和她的朋

    友)可能会责备萨姆不原谅亚历克丝。也许他们认为有外遇是不好的，但没有人是完美的，难道你爱一个人不应该爱她的人、她的错、她的一

    切吗？

    事实上，当然是A和B共同导致了X。但是，也许还有其他因素，例

    如：

    C：他们都拒绝参加夫妻关系治疗。

    D：他们参加了夫妻关系治疗，但是效果不好。

    但是，我们首先要问的是，为什么亚历克丝会有外遇。也许因为亚

    历克丝是一个谎话精、骗子、一无是处的人；也许亚历克丝因为萨姆的

    疏忽而非常沮丧。那么为什么萨姆会疏忽？也许因为萨姆在这段关系里

    变得很随意，而且他就是一个懒散的、不贴心的人；也许因为萨姆遭受

    了家庭变故，沉浸在悲伤之中。或者因为亚历克丝生病了。那么为什么

    亚历克丝会生病？也许因为……

    同样，我们也可以问萨姆为什么不原谅亚历克丝。也许因为萨姆是

    一个自私的、心胸狭窄的人，他把不合理的标准强加在他人身上；也许

    因为亚历克丝出轨的方式实在太伤人，根本没有宽恕的可能；也许因为

    亚历克丝曾以其他方式伤害过萨姆，他已经用尽了自己的善意。但是为什么又会这样呢？也许因为……

    这里有一个普遍的原则：一个人做了让自己快乐的事，却给另一个

    人带来了痛苦。亚历克丝不开心，所以她出轨了，这给她带来了一些快

    乐，却给萨姆带来了痛苦。这是一种“零和博弈”，如果其中一方受损，那么另一方只能受益。我认为许多毒性关系最终都归结到这一点。也许

    因为亚历克丝做了一些对他们有帮助的事，但萨姆对此却只有抱怨，这

    让亚历克丝感到手足无措。萨姆责备亚历克丝伤害了他们，但是亚历克

    丝的快乐却伤害了萨姆，这又是谁的错？问题就在于这是一个零和关

    系。

    除了严重虐待和辱骂的极端案例，其结果是情况不大可能归结为一

    个因素，而是归结为一个由各种因素组成的复杂网络，这些因素相互蕴

    涵，相互依存。我们需要理解体系，本案例中的体系就是人与人之间的

    关系。

    教育体系

    在我的观念里，教育体系充满了问题：资金的问题、期望的问题、目标的问题、标准的问题等等。我相信，教育体系的问题就是数学恐惧

    症的来源。教授数学的方式让很多人在学校产生了数学恐惧症。这听起

    来像我在责备老师，但这真是老师的错吗？为了达到强加给他们的各种

    强制性标准，老师承受了各种各样的压力。这些标准是通过在一定时间

    内完成的考试来检验的，这意味着老师不可避免地将自己的传授方式变

    成“应试教育”，因为他们就是依据考试成绩进行考核的。另一个问题

    是，人们常常期望小学老师能教授所有知识。但是，如果老师在上学期

    间就不是很喜欢数学这个科目，那么他们是不可能轻松地用有趣的、开

    放的方式来教数学的。这常常导致在小学快要结束时，孩子们就对数学

    失去了兴趣。这时，对于普通的小学老师来说，数学已经变得非常难了，而专业的数学老师还没有被调用。严格来说这不是老师的错，而是

    将要求强加在老师身上的体系的错。

    家长自己对数学的态度，无论是过度地强迫还是表现出自己的恐

    惧，都会助长孩子的数学恐惧症。但我相信，这些态度都来自他们经历

    的教育体系。

    联合航空的乘客

    有了对关联因素的新理解，我们可以试着分析联合航空公司的乘客

    被拖下飞机的恶性事件。

    最简单的论点归结为以下两个因素：

    (1)这是联合航空的错，因为他们不合理地使用了武力。

    (2)这是乘客的错，因为当他被要求离开座位时他拒绝离开自己

    的座位。

    还有一种稍微有些不同的论点是使用暴力的是安保人员，不是联合

    航空的工作人员，所以应该是安保人员的错。有些人认为这实际上是联

    合航空的错，因为管理制度上要求乘客离开从根本上来说就是不对的。

    西蒙·詹金斯在《卫报》中写道：这是每个旅行者的错。在一定程度

    上，体系性地容忍航空公司的糟糕态度是我们的错。此外，是航空公司

    超售政策的错，是它使乘客错过了航班。

    我认为，以下论点中有一些论点更为微妙，但实际上，这又是一个

    所有论点都是促成因素的案例。情况是由以下因素造成的：

    (1)航班出人意料地超售了。(2)一些机组人员需要前往路易斯维尔，去另一架航班上继续工

    作，所以航空公司决定将乘客从航班上转移。

    (3)没有人愿意在接受赔偿然后离开飞机。

    (4)联合航空决定不提供更多金额的赔偿。

    (5)联合航空选择了一个特殊的乘客，要求他离开飞机。

    (6)乘客拒绝离开飞机。

    (7)联合航空工作人员呼叫了安保人员。

    (8)安保人员使用暴力带走了乘客。

    为了进一步分析这个情况，我们可能想要知道为什么航班会超售。

    难道当天是个假日？为什么航空公司急迫地需要将那些机组人员带去路

    易斯维尔？难道他们在工作人员的配置上没有留下足够的余地吗？为什

    么没有人愿意接受赔偿？是金额不够吗？还是人们太贪婪？为什么联合

    航空不提供更多的赔偿？是他们太吝啬吗？为什么联合航空选择那个特

    殊的乘客？他们说自己是根据航空公司精英地位和“其他因素”做出的选

    择，那么其他因素是什么？是种族歧视吗？他们选择一个亚洲人有什么

    意义吗？

    为什么乘客会拒绝离开飞机？他的理由是，他是一名医生，他需要

    去医院轮班。接下来我们要责备医院给他安排了那个时间的工作吗？还

    是我们要责备联合航空从所有人中选择了一个医生，而他按时到达开展

    工作按理说比其他许多人更重要。

    为什么工作人员会呼叫安保人员？是乘客受到了威胁还是联合航空

    反应过度？而且为什么安保人员要使用暴力？至于西蒙·詹金斯的论

    点，似乎是在试图给出航班超售和联合航空采用令人质疑的对策的原因。

    我们可以画出这个情况里的逻辑关联和流向图，如下所示：正如你看到的，仔细询问与情况相关的问题(“为什么……”)会揭

    示出一个复杂的因果关系网。由此我们可以看出，试图只责备一个因素

    是多么的过度简单化。然而，简单地指责一个因素与将情况简化为最重

    要的因素并不相同。我认为，识别重要的因素是强有力的理性思维的一

    个方面，这涉及在任何情况下，知道什么时候该停止询问或者解释“为

    什么”。如果要分析清楚那架航班上发生了什么，以及导致这些情况发

    生的所有因素，包括航空业如何在正确的时间将机组人员送往正确的地

    点的整个运作方式，超售航班的经济学和统计学，以及升级为暴力事件

    背后的心理学，那么可能会写出一整篇博士论文。然而，如果在聚会中

    有人问：“航班上发生了什么？我都没有听说过”，这时你列出所有的分

    析就不太合适了。事实上，在本章开始的部分我也没有这么做。我们都

    知道，如果某人讲述的故事过长，或者解释的细节比我们想要的还多，那么我们的眼神就会开始渐渐涣散。这么做虽然不是完全不合逻辑，但

    也不是很有用。另一方面，过度简化和忽略影响因素也不会很有帮助。

    在网上讨论中，一句话常常以“事实上”开始，或者以“其实就是这么简

    单”结束，而实际上它很少会这么简单。能对这类逻辑上的马虎起警示

    作用的还有一个短语——“仅此而已”，而这通常不是故事的结局。例

    如，我们来看看这些熟悉的评论：“这是那个人的错，因为他在被通知

    时没有按照要求做，仅此而已。”或者“你如果不想因为被拖下飞机而受

    伤，就在接到通知时离开飞机。其实就是这么简单。”或者“事实上，如

    果那个人遵循了机组人员的引导，他就不会受伤。”

    很多情况都比这个案例复杂。如果我们试图绘制一张图表，解释

    2016年美国大选的结果，那么我们将会看到一个更复杂的相互关联的因

    素网络：如果我试着画出一个图来解释我为什么会增重，那么这个图将更复

    杂，因为出现了恶性循环，正如图中相反的虚线箭头所示。当人们争论该为某事责备谁时，常常是“和”的情况：每一个参与其

    中的人的特有的、符合当时情境的行为都通过“和”相连，共同导致了某

    事的发生。而他们所做的事往往是由其他事物、体系或者社会中的其他

    压力导致的。

    因此，我们应该责备谁？即便尝试回答这个问题也可能是徒劳的。

    更好的问题应该是：谁应该为改变这个结果负责？在所有成因相互连接

    的情况里，任何一个因素都能改变最终的结果。

    在整本书中，我将不断重复这样的观点：作为一个聪明的、理性的

    人，其目标不仅应该是合乎逻辑的，还应该是有效使用逻辑的。当看到

    标志性语言“就是这么简单”时，我们能回答“不，不是这样的”，并提供

    如上所述的大型关联图。当我们理解周围复杂世界的重要一步是简化这

    个世界，以便更容易理解它时，这么做有使情况复杂的风险。然而，通

    过忽略重要因素进行简化是不公平的。让自己变得更聪明才是轻松理解

    事物的更好途径。我们如果变得更擅长理解互联关系和体系，就不需要

    再为了理解体系而将它缩减为一个简单的因素了，我们可以轻松地将整

    个体系视为一个单元，并且理解它。

    人类的互动并不像逻辑陈述那么干净利落。但是，因为我们生活在

    一个相互关联的社会中，所以，我认为将这些互动内容抽象成逻辑陈

    述，由此发现我们通常该为所有关联的事物负全责，是具有启发性的。

    除非你生活在山洞里。这种情况下你可能也不会读到这本书。人们很容

    易指责某个因素或某个人，尤其是在可以免除自己罪责的时候，但我相

    信理解这个体系内的联系将会更有收获。结果往往是整个体系造成的，但我们还是可以作为个体，为改变结果负责。

    [1] 为了否定排他性的或，我们必须使用“两者皆是或者两者皆不是”。例如，你也许会找到

    一个人群，他们全都喜欢茶或者咖啡，但并不是两者都喜欢；你也许会找到另外一群人，他们

    要么全喜欢，要么全都不喜欢。“或者……或者……”是一个更自然的概念，而“两者皆是或者两者皆不是”就有一点儿奇怪。第六章 关系

    在上一章中我们看到，考虑整个相互作用的体系，而不是将个人或

    者事件分离是多么重要。把事物联系起来进行思考，是现代数学重要的

    基本原理。虽然这一直不是重点，但20世纪中叶以来，相对较新的研究

    已经把它带到了最前沿。我们发现，理解一个情境的关键是观察事物或

    者人群如何相互联系，而不是观察那些事物或者人群的内在特征。这在

    许多不同的层次和规格上都是成立的，上至世界中的国家如何往来，下

    至一段关系中的人们如何互动。

    恶性循环

    正如我们从上一章“我为什么会增重”的图表中观察到的，在恶性循

    环中检查相互作用是非常重要的。我们分离出图表中的一小部分，集中

    观察我的情绪和增重之间的相互作用。我绝对是一个情绪化的食客，当我感到压力过大、心烦或者愤怒

    时，我会吃得过饱。但不幸的是，暴饮暴食会使我感到压力过大、心烦

    和愤怒。因此，我和很多人一样陷入了恶性循环。有些人不会受到双向

    箭头的影响：心情不好不会导致他们吃东西，而且，他们在吃得过饱时

    也不会为此心情不好。只承受一个箭头也是不幸的，但这至少不会引起

    双向箭头共同造成的状况的升级。破坏其中任何一个可以被归类为“情

    感”和“行为”的箭头，都能打破循环：

    我试过破坏这两个箭头。当感到心烦时，我试着做些吃东西以外的

    事。此外，如果发现自己确实吃得过饱，我也试着让自己不要为此心情

    不好。我发现后者比前者更容易实现一些，特别是在我处于试图完成某

    些工作的压力下时：我可以阻止自己吃东西，但是接下来我也不会完成

    工作。而我对于在最后期限前完成工作太过执着，我是无法接受这样的

    结果的。

    恶性循环中可能有更多的箭头，比如说，在典型的家庭破裂类型

    中，两个人之间的需求是有一些细微不同的。也许萨姆需要感受爱意，亚历克丝需要感到被尊重。当感觉到被尊重时，亚历克丝就会充满爱

    意；当感受到爱意时，萨姆就能对亚历克丝表达出足够的尊重。但是如

    果一开始就出现问题，那么情况会在下图的恶性循环中迅速升级。如果他们想要打破恶性循环，一种方式就是观察哪一个箭头是最容

    易破坏的。如上所述，箭头有两种类型：情感和行为。

    他们可能觉得情感很难控制，但是行为很容易改变。这个案例的关

    键之处就是，要么亚历克丝表达爱意，即使她感到不受尊重；要么萨姆

    表达尊重，即使他感受不到爱意。当然，关于谁应该首先打破循环可能

    还存在争论，因为这会导致倍感委屈的人觉得自己并没有那么多过错，不应该由他们负责打破这个循环。最好的答案是，两个人都应该努力打

    破循环。爱默生·艾格里奇博士所著的《男人需要尊重，女人需要爱2：

    爱与尊重的语言》中有一句话——谁更成熟，谁就应该打破这个循环。

    也许这是一个更好的答案。

    同一原理的一个更具煽动性的例子牵扯到警察对美国黑人的暴行。

    我们用高度简化(但是可能很具启发性)的方式，将这种恶性循环总结

    如下：这是一个完全不同的情况，但问题是类似的：如果我们想打破循

    环，应该击碎哪个箭头呢？在这种情况下，改变行为是不是仍然比改变

    情感更容易呢？许多人认为，黑人应该简单地“做警察要求的事情”。但

    悲惨的是，有许多证据确凿的事例显示，即使黑人做了警察要求的事

    情，还是会被警察射杀。

    另一些人认为警察应该接受培训，以削弱所有的暴力情形，而不是

    用反击作为回应。有一个观点是：谁掌握权力，谁就应该负责打破循

    环。一些成功的项目侧重于通过促进警察和黑人群体之间的关系来改变

    两个“情感”的箭头。

    在所有案例中，这都是一个循环，声称只有一个根本原因是将其过

    度简化了，除非我们知道这个循环本身是根本原因。我认为理解这一点

    是非常重要的。

    范畴论范畴论是现代数学的一个领域，它把事物之间的关系带向了前沿。

    在这种理论中，思考的框架是从决定我们要关注的对象和关系开始的。

    例如，当考察公司里的员工时，我们可以考虑年龄，或者服务的年限，或者他们在公司层级中的位置。这里的每一个因素都会让我们产生一种

    不同的思考方式来考虑相互作用。然后，我们就可以思考我们从这些不

    同的“透镜”里发现了什么。例如，我们可能会发现，当某人处于公司的

    高层，但年龄却较小时，其他人就会产生敌意。

    在范畴论里，数学家发现，重视事物间的联系往往比孤立地思考事

     ......