大素数新纪录(2)
这种数也十分有兴趣，他感慨地说：“找到完美的数也跟找到完美的人一样困难。”他说得不错。他对完美的贡献在于他声称，欧几里得的必要条件也是充分条件：
如果一个偶数是完美数，则它具有2n-1(2n-1)的形式，其中2n-1是素数。
这样一来，找出偶完美数的问题，就归结为找2n-1型的素数问题。笛卡尔的同时代人梅森发现，如果2n-1为素数，则月必定为素数，因此，后来把这种素数称为梅森素数。正因为如此，找偶完全数的问题归结为找梅森素数的问题。这就是我们在前面所讲的。
虽说偶完美数问题归结为找梅森素数，但是从理论上我们还有两大难题，它们是至今数学上未解决的最古老的难题：
1、偶完美数是否有无穷多个，也就是梅森素数是否有无穷多个?
虽然我们至今才找到46个，我们很难断定偶完美数是有限还是无穷多个。不过一般认为它有无穷多，但找到一个证明决非易事。说到现在，我们只是考虑完美数问题的一半——偶完美数，但是，奇数有没有可能是完美数呢?经过长年搜索，至今没有找到一个奇完美数。因此，一般人倾向认为奇完美数不存在。
2、奇完美数是否存在?
这个问题比前一个问题更容易下手，因此，有不少人研究，有些甚至是学位论文。由于一般猜想奇完美数不存在，我们就要找一些必要条件，使得一个数很难满足。这种必要条件很多，而且逐年进步，下面也包括一些到2008年底的纪录：
(1)奇完美数要是存在，一定非常之大：1980年已知如果Ⅳ是奇完美数，则N>10100，也就是至少100位，1989年已知N>10200，1990年改进到N>10300，现在仍在改进之中。
(2)奇完美数的素因子的数目。
奇完美数显然是合数，可分解为多个素因子之积。人们发现，素因子的数目很多，1982年证明大于或等于23个，2005年改进为47个，2007年证明超过75个。
(3)奇完美数最大素因子。
奇完美数的许多素因子当中肯定有最大的，现在证明最大素因子也是相当大，2008年的最新结果说它超过108。不仅如此，次大的素因子和三大的素因子也非常之大，这也从另一方面证明，如果奇完美数存在，那么是它是极大的数。
(4)奇完美数的上界。1994年，英国数学家希斯布朗证明：如果奇完美数Ⅳ有七个素因子，则N<44z，换句话说，有七个素因子的奇完美数只有有限多个。这是一项重大突破，但还不足以最后解决第二问题。
(责任编辑 蒲 晖), http://www.100md.com(胡作玄)
如果一个偶数是完美数，则它具有2n-1(2n-1)的形式，其中2n-1是素数。
这样一来，找出偶完美数的问题，就归结为找2n-1型的素数问题。笛卡尔的同时代人梅森发现，如果2n-1为素数，则月必定为素数，因此，后来把这种素数称为梅森素数。正因为如此，找偶完全数的问题归结为找梅森素数的问题。这就是我们在前面所讲的。
虽说偶完美数问题归结为找梅森素数，但是从理论上我们还有两大难题，它们是至今数学上未解决的最古老的难题：
1、偶完美数是否有无穷多个，也就是梅森素数是否有无穷多个?
虽然我们至今才找到46个，我们很难断定偶完美数是有限还是无穷多个。不过一般认为它有无穷多，但找到一个证明决非易事。说到现在，我们只是考虑完美数问题的一半——偶完美数，但是，奇数有没有可能是完美数呢?经过长年搜索，至今没有找到一个奇完美数。因此，一般人倾向认为奇完美数不存在。
2、奇完美数是否存在?
这个问题比前一个问题更容易下手，因此，有不少人研究，有些甚至是学位论文。由于一般猜想奇完美数不存在，我们就要找一些必要条件，使得一个数很难满足。这种必要条件很多，而且逐年进步，下面也包括一些到2008年底的纪录：
(1)奇完美数要是存在，一定非常之大：1980年已知如果Ⅳ是奇完美数，则N>10100，也就是至少100位，1989年已知N>10200，1990年改进到N>10300，现在仍在改进之中。
(2)奇完美数的素因子的数目。
奇完美数显然是合数，可分解为多个素因子之积。人们发现，素因子的数目很多，1982年证明大于或等于23个，2005年改进为47个，2007年证明超过75个。
(3)奇完美数最大素因子。
奇完美数的许多素因子当中肯定有最大的，现在证明最大素因子也是相当大，2008年的最新结果说它超过108。不仅如此，次大的素因子和三大的素因子也非常之大，这也从另一方面证明，如果奇完美数存在，那么是它是极大的数。
(4)奇完美数的上界。1994年，英国数学家希斯布朗证明：如果奇完美数Ⅳ有七个素因子，则N<44z，换句话说，有七个素因子的奇完美数只有有限多个。这是一项重大突破，但还不足以最后解决第二问题。
(责任编辑 蒲 晖), http://www.100md.com(胡作玄)