趣话“悖论”(2)
悖论带来了什么
接下来的问题是研究悖论有什么意义呢？回答是，悖论对人类的认知能力和科学发展将起到积极的推进作用。下面两个著名事例应该能够说明这一点。
毕达哥拉斯悖论。毕达哥拉斯是古希腊最杰出的数学家，这位西方理论数学的创始人创立了著名的毕达哥拉斯学派。“一切数均可表成整数或整数之比”是这一学派的数学信仰，并被人们普遍接受。该学派最为自豪的数学成果是发现了“勾股定理”，因为宰杀了100头牛大肆庆贺，所以又称“百牛定理”。而正是由于这个定理的发现导致了“毕达哥拉斯悖论”的产生，从而动摇了大众的数学信仰。
该学派中的一个成员希帕索斯在思考“边长为1的正方形的对角线长度”时遇到了让他困惑不解的情况。因为这等同于求直角边为1的等腰直角三角形的斜边L。根据“勾股定理”， L2=12十12=2，而12=1，22=4，12为一既约分数，则n和m互质，有L2=()2=2，可推知m2=2n2……①，即m2是偶数，m也为偶数(否则的话，m2就会是奇数导致矛盾)；不妨设m=2P，代入①式得4P2=2n2，即n2=2P2，即n2是偶数，n也为偶数，所以这就与n和m互质矛盾，即L也不是分数。
, 百拇医药
L既不是整数也不是分数，显然与毕氏学派的信仰直接相悖，“肇事者”希帕索斯为此付出了生命的代价，但这并不能阻碍人们重新反思，并引入一种新数——无理数。现在人们轻松地用来表示这个结果时，谁能想到这类数曾引起人们的极大恐慌呢？
落体悖论。亚里士多德是古希腊落体研究的代表人物。他的落体运动定律——不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比，因接近于日常生活的事实而得到人们的普遍认可。
16世纪，意大利著名天文学家和物理学家伽利略对此“权威定论”产生疑问，于是就出现了1589年的“比萨斜塔实验”。众目睽睽之下，伽利略让两个重量不同的铁球同时自由下落，结果两个铁球同时落地。除此之外，伽利略还进行了如下的假设推导：
, 百拇医药
假设“物体越重，下落越快”的论断正确。那么，现在有两个物体A和B，A的重量超过B，根据假设可得，A下落比B快；接着，把A和B两个物体固定在一起得到物体C，显然C的重量更大，仍根据假设，C应该下落得最快。
而分析C落下时的情形可发现：C由A和B两部分组成，下落时较重的A速度要快过较轻的B。这样，较快的A在前面拉着较慢的B，较慢的B在后面拖着较快的A，那么受B的影响，A和B一起(即C)下落的速度应介于A和B单独自由下落速度之间。也就是说，C下落的速度比A慢。这与前面得出“C下落最快”的结论矛盾。
伽利略采用“以彼之道，还治彼身”的方法，利用亚里士多德的判断作为前提进行严密推导，得出与前提矛盾的结论，从而在逻辑上推翻了亚里士多德深入人心的定论，为近代物理学的发展奠定了重要基础。
总而言之，悖论的出现让人欢喜让人忧。喜的是这种悖论之惑客观存在，它将激发人们的探索欲，并重新进行创造性的思考，而这种创造性的思考往往可以给人类带来全新的观念和认识；忧的是数学家面对悖论一下子陷入到逻辑的困境中莫衷一是，暂时还没有完善的解决方案。但我们有理由相信，悖论是打开新领域的“敲门砖”。事实上，数学史上的3次数学危机都是由悖论引发的，所以悖论或许会给我们打开新的世界之门。
【责任编辑】赵 菲, 百拇医药(林革)
接下来的问题是研究悖论有什么意义呢？回答是，悖论对人类的认知能力和科学发展将起到积极的推进作用。下面两个著名事例应该能够说明这一点。
毕达哥拉斯悖论。毕达哥拉斯是古希腊最杰出的数学家，这位西方理论数学的创始人创立了著名的毕达哥拉斯学派。“一切数均可表成整数或整数之比”是这一学派的数学信仰，并被人们普遍接受。该学派最为自豪的数学成果是发现了“勾股定理”，因为宰杀了100头牛大肆庆贺，所以又称“百牛定理”。而正是由于这个定理的发现导致了“毕达哥拉斯悖论”的产生，从而动摇了大众的数学信仰。
该学派中的一个成员希帕索斯在思考“边长为1的正方形的对角线长度”时遇到了让他困惑不解的情况。因为这等同于求直角边为1的等腰直角三角形的斜边L。根据“勾股定理”， L2=12十12=2，而12=1，22=4，12
, 百拇医药
L既不是整数也不是分数，显然与毕氏学派的信仰直接相悖，“肇事者”希帕索斯为此付出了生命的代价，但这并不能阻碍人们重新反思，并引入一种新数——无理数。现在人们轻松地用
落体悖论。亚里士多德是古希腊落体研究的代表人物。他的落体运动定律——不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比，因接近于日常生活的事实而得到人们的普遍认可。
16世纪，意大利著名天文学家和物理学家伽利略对此“权威定论”产生疑问，于是就出现了1589年的“比萨斜塔实验”。众目睽睽之下，伽利略让两个重量不同的铁球同时自由下落，结果两个铁球同时落地。除此之外，伽利略还进行了如下的假设推导：
, 百拇医药
假设“物体越重，下落越快”的论断正确。那么，现在有两个物体A和B，A的重量超过B，根据假设可得，A下落比B快；接着，把A和B两个物体固定在一起得到物体C，显然C的重量更大，仍根据假设，C应该下落得最快。
而分析C落下时的情形可发现：C由A和B两部分组成，下落时较重的A速度要快过较轻的B。这样，较快的A在前面拉着较慢的B，较慢的B在后面拖着较快的A，那么受B的影响，A和B一起(即C)下落的速度应介于A和B单独自由下落速度之间。也就是说，C下落的速度比A慢。这与前面得出“C下落最快”的结论矛盾。
伽利略采用“以彼之道，还治彼身”的方法，利用亚里士多德的判断作为前提进行严密推导，得出与前提矛盾的结论，从而在逻辑上推翻了亚里士多德深入人心的定论，为近代物理学的发展奠定了重要基础。
总而言之，悖论的出现让人欢喜让人忧。喜的是这种悖论之惑客观存在，它将激发人们的探索欲，并重新进行创造性的思考，而这种创造性的思考往往可以给人类带来全新的观念和认识；忧的是数学家面对悖论一下子陷入到逻辑的困境中莫衷一是，暂时还没有完善的解决方案。但我们有理由相信，悖论是打开新领域的“敲门砖”。事实上，数学史上的3次数学危机都是由悖论引发的，所以悖论或许会给我们打开新的世界之门。
【责任编辑】赵 菲, 百拇医药(林革)