神秘而奇妙的幻方(上)
1957年，在西安市东郊元代安西王府遗址出土的元朝文物——铁板幻方在国内电视娱乐节目《最强大脑》某一期里，就挑战成功与否，选手与专家展开了激烈争执，甚至引发了场下的微博大战。他们所争执的内容即是神秘而奇妙的幻方。
什么是幻方？幻方有哪些独特的魅力？就让我们通过下面的文章了解一下。
幻方是一种起源于我国的传统数字益智游戏。即把从1到n2个连续的自然数不重不漏地填入n×n的方格里，使每行、每列和两条对角线上的n个数的和都相等，这样排成的数表称为n阶幻方，这个相等的和叫幻和。我国南宋著名数学家杨辉称之为“纵横图”，在其于1275年所著的《继古摘奇算法》中，不仅给出了构造3阶幻方的最简口诀，而且还记载了4～10阶幻方的构造方法。
图1
图2, http://www.100md.com
其后，这种古老且神秘的“纵横图”于15世纪初经东南亚国家、印度、阿拉伯流传到西方，在欧洲各国风行一时。就连欧拉和富兰克林等许多著名数学家和科学家，也对幻方产生浓厚的兴趣，并进行了有趣的探索。
由于“纵横图”具有变幻莫测、高深奇妙的特性，以至于西方把它称之为Magic Square，翻译成中文就是“幻方”。
千百年来，随着人们对于幻方研究的深入，幻方已经成为数学园地中的一朵奇葩。众多爱好者痴迷其中，追求更高阶、更特别的幻方，研究成果层出不穷。而且幻方的形式已经突破了原先n×n的方格模式，幻方中的元素也不再限定为从1开始的连续自然数，抑或并非每行、每列及对角线上数字之和相等，而是之差、之积、之商相等，各种稀奇古怪、趣味盎然的非正规幻方不断走入人们视线，其独特的构成和性质也引起人们强烈的好奇和关注。
幻方的起源
关于幻方的起源，中国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图。这就是“河图” (如图1)， 据说，伏羲氏凭借着“河图”而演绎出八卦。许多研究者认为，这是最早的幻方衍生雏形。后来，大禹治水时，洛水中浮出一只神龟，它背上的图文被称之为“洛书”(如图2)。
图3, 百拇医药
公元6世纪前后，我国南北朝时期的北周数学家甄鸾，曾对“洛书”进行了数学分析，使人们认识到蕴含其中的特性：在这个实际从1到9排成3行3列的“九宫”数表中，每行、每列以及每条对角线上的3个数字之和都相等(等于15)，也就是如今的3阶幻方(如图3)。由此，“洛书”成为世人公认的最原始、最低阶的幻方，亦被称为“九宫图”。
幻方的构作
对于3阶幻方的构作，南宋数学家杨辉给出了4句要诀：“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出。”按序操作，任何人都可以轻而易举地完成。图解如下：
即先将1～9这些数字按序连续排成菱形位置;然后，将上下两头的数字1和9对调，再将左右两端的数字7和3对调;接着，将紧缩在里面的4个偶数2、4、6、8沿正方形对角形方向挺出到四角，则3阶幻方大功告成。
, 百拇医药
现代数学推导构作3阶幻方的步骤是：
先求幻和：幻和=n×(n2+1)÷2，则3阶幻方的幻和=3×(32+1)÷2=15;
确定中心数：根据每行、每列和两条对角线上的幻和相等，以及中心数是第二行、第二列和两条对角线幻和的公共数，可求出中心数为5，这是关键步骤;
定四角数：通过假设法和奇偶性判定四角上的数必为偶数，即2、4、6、8;
定其他数：接着稍加试验就很快得出完整的3阶幻方。
对于更高阶的奇数阶幻方和偶数阶幻方的构作，研究者给出许多奇妙的方法，在此就4阶幻方和5阶幻方分别介绍一种简易构作方法。
4阶幻方的构作方法——对称交换法：先将1～16依次按序填入4×4方格中，两条主对角线上的8个数不变，其余各数按中心对称交换(即把2和15，3和14，5和12，9和8交换)，这样，就得到了一个4阶幻方。
图45阶幻方的构作方法——平移补空法：先画一个如图5的阶梯式图表，把1～25按倾斜行从右上到左下依次填入图中;再以中间5×5方格为基础，画出一个5阶方阵来，按照对称原理，把方阵外的数按上移下、下移上、左移右、右移左的方法，平移到对应部分的空格中，即得一个5阶幻方(如图6)。, 百拇医药(林革)