神秘而奇妙的幻方(下)
在这个幻方中，每行、每列及对角线上4个数字之和都等于34。更为特别的是，即便包括“折断”后连成的对角线，每条对角线上的4个数字之和仍是34。比如：14+12+5+3=34，13+16+4+1=34;5+9+12+8=34，11+13+4+6=34等。显然，只有在这种情况下，对角线才真正同行、同列平起平坐，取得了完全平等的地位。因此，具有这种性质的幻方被称为“完全幻方”。任何一个3阶幻方都不具备这个特性，这是由于完全幻方最起码要4阶。
在这个幻方中，取出任何一个2×2的小正方形，其中的4个数字之和竟然也都等于34。要达成此点殊为不易，从而更显卓尔不群。
在这个幻方中，任何一个3×3小正方形，其四角数字之和也都等于常数34。如此一而再、再而三的非凡特性，简直叫人拍案叫绝。
, http://www.100md.com 如若将此幻方看成象棋棋盘进行飞“象”，那么，不管“象”从哪一点出发飞到哪一点，这两个点所对应的数字(同左下或同右下)之和都等于17。这就更如天外飞仙，妙不可言了。
无独有偶，伦敦的南凯星顿大英博物馆里，也收藏了一件在印度传教的弗洛斯特牧师的特殊遗物——一块精美的玉挂。据称，他难得闲暇中的唯一消遣就是研究幻方。
这块玉挂上的咒语和图案尽管晦涩难懂，但经过破译，确认了其为由1～64组成的幻和为260的8阶幻方(图11)。但当初，人们并没有完全领会其中的精妙，其中最为玄妙和神奇的特性，竟然与国际象棋中马、象的走法有关。为直观说明，把幻方扩倍延展并截取如下(图12)：
(1)国际象棋中马的走法是“一直一拐”，类似于中国象棋中的“马走日字”;而且同样，上下左右不受限制。也正因为此，马可以从任一起点出发，沿着一种固定跳法走下去，最终必定跳回出发点。当然，这也需要把单个棋盘不断扩倍延展。
, 百拇医药
令人惊奇的是，玉挂幻方竟然也有类似“马步还原”的特性。即在玉挂幻方中任取一数作为起点，按马步前进，经过8步必然回到起点数，经过的8个数字之和与幻和相等。
(2)国际象棋中的象走直线，长短不受限制。若在玉挂幻方中任取一数为起点，按象步前进，仍只需8步就必然回到起点数，经过的8个数字之和同样与幻和相等。
反幻方
有位美国著名科普作家写到：“有些外星人正在做一道数学题：在4×4的正方形里填上1～16个自然数，不准重复，也不准雷同或遗漏。要求每行、每列、每条对角线上的4个数字之和都不相等，而且这些和必须是连续的自然数。假使你在它们之前先做出来了，你就可以获得100万美元的奖励。”姑且不论这位作家的文字是真实可信还是哗众取宠，其中提及的反幻方问题倒是实实在在，值得细细琢磨。
, 百拇医药
所谓反幻方，是指把n2个连续自然数填入n×n的小方格中，使其中每行、每列及对角线上的数字之和都不相等。这与幻方的基本要求刚好相反，所以它被人们称为“反幻方”。
需要说明的是，最简单的反幻方是3阶。因为把1～4填入2×2小正方形中，无论怎样排列，行、列或对角线总会出现1+4=2+3，始终不能符合反幻方的要求，所以2阶反幻方根本不存在。
稍加试验可知，符合条件的3阶反幻方屡见不鲜。有人曾做过统计，即使旋转后重叠的8种幻方算作同一个，3阶反幻方也有3120个。这表明，构造出3阶反幻方并非难事。于是，研究者又给它们增添了更为苛刻的要求，其中比较有趣的附加条件是：填入3×3正方形中的自然数1～9必须按顺序首尾相连，成为螺旋形状。美国数学科普大师马丁·加德纳经过研究发现，符合条件的反幻方只有两个(图13、14)。鉴于“物以稀为贵”，这样按序连接“一条龙”的螺旋反幻方又被称为“完美反幻方”。
, http://www.100md.com 需要指出的是，迄今为止的研究表明，反幻方的制作还没有简单的系统方法。因此，更高阶反幻方的构造仍具备相当难度。明白了这一点，现在回到前文的那则4阶反幻方问题，其难度显而易见，但也并非完全无解，至少作者给出了一个正确答案(图15)。稍加计算不难发现：各行、各列以及对角线上的和数分别为30、31、38、37、35、36、32、33、34、29， 刚好是从29到38的10个连续自然数。正所谓，不走寻常路，也得细琢磨。
六角幻方
随着幻方研究的深入，突破幻方常规要求的奇异幻方也开始出现，甚至打破了一般幻方在n×n方格中构成的限制，但仍保留了幻方最为本质也最为经典的要求，即相应连线上的各数之和必须相等。比如下面这个花费了52年光阴才与世人见面的“六角幻方”。
它的发明人是一位名叫克里福德·亚当斯的英国铁路职工。亚当斯是一个铁杆的幻方迷，从1910年就开始琢磨构造六角幻方(图16)，即把1～19填入六角形数阵中，使水平、右斜、左斜的各5根连线上的数字之和都相等。
当亚当斯开始动手尝试时才发现，完成构造并非自己想象得那么容易。于是，他认真刻苦地潜心研究，甚至随身带了19块纸板剪成的小六角形，把所有空余时间都用在数字纸板的摆弄上。这一摆就摆到了1957年。40年的努力依然一无所获，但无尽的失败和漫长的挫折并没有使他退却。退休后的亚当斯仍顽强坚持、勤奋钻研。之后，过度的劳累迫使亚当斯住进了医院，即便躺在病床上，他也没有停止琢磨摆弄。, 百拇医药(林革)
在这个幻方中，取出任何一个2×2的小正方形，其中的4个数字之和竟然也都等于34。要达成此点殊为不易，从而更显卓尔不群。
在这个幻方中，任何一个3×3小正方形，其四角数字之和也都等于常数34。如此一而再、再而三的非凡特性，简直叫人拍案叫绝。
, http://www.100md.com 如若将此幻方看成象棋棋盘进行飞“象”，那么，不管“象”从哪一点出发飞到哪一点，这两个点所对应的数字(同左下或同右下)之和都等于17。这就更如天外飞仙，妙不可言了。
无独有偶，伦敦的南凯星顿大英博物馆里，也收藏了一件在印度传教的弗洛斯特牧师的特殊遗物——一块精美的玉挂。据称，他难得闲暇中的唯一消遣就是研究幻方。
这块玉挂上的咒语和图案尽管晦涩难懂，但经过破译，确认了其为由1～64组成的幻和为260的8阶幻方(图11)。但当初，人们并没有完全领会其中的精妙，其中最为玄妙和神奇的特性，竟然与国际象棋中马、象的走法有关。为直观说明，把幻方扩倍延展并截取如下(图12)：
(1)国际象棋中马的走法是“一直一拐”，类似于中国象棋中的“马走日字”;而且同样，上下左右不受限制。也正因为此，马可以从任一起点出发，沿着一种固定跳法走下去，最终必定跳回出发点。当然，这也需要把单个棋盘不断扩倍延展。
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令人惊奇的是，玉挂幻方竟然也有类似“马步还原”的特性。即在玉挂幻方中任取一数作为起点，按马步前进，经过8步必然回到起点数，经过的8个数字之和与幻和相等。
(2)国际象棋中的象走直线，长短不受限制。若在玉挂幻方中任取一数为起点，按象步前进，仍只需8步就必然回到起点数，经过的8个数字之和同样与幻和相等。
反幻方
有位美国著名科普作家写到：“有些外星人正在做一道数学题：在4×4的正方形里填上1～16个自然数，不准重复，也不准雷同或遗漏。要求每行、每列、每条对角线上的4个数字之和都不相等，而且这些和必须是连续的自然数。假使你在它们之前先做出来了，你就可以获得100万美元的奖励。”姑且不论这位作家的文字是真实可信还是哗众取宠，其中提及的反幻方问题倒是实实在在，值得细细琢磨。
, 百拇医药
所谓反幻方，是指把n2个连续自然数填入n×n的小方格中，使其中每行、每列及对角线上的数字之和都不相等。这与幻方的基本要求刚好相反，所以它被人们称为“反幻方”。
需要说明的是，最简单的反幻方是3阶。因为把1～4填入2×2小正方形中，无论怎样排列，行、列或对角线总会出现1+4=2+3，始终不能符合反幻方的要求，所以2阶反幻方根本不存在。
稍加试验可知，符合条件的3阶反幻方屡见不鲜。有人曾做过统计，即使旋转后重叠的8种幻方算作同一个，3阶反幻方也有3120个。这表明，构造出3阶反幻方并非难事。于是，研究者又给它们增添了更为苛刻的要求，其中比较有趣的附加条件是：填入3×3正方形中的自然数1～9必须按顺序首尾相连，成为螺旋形状。美国数学科普大师马丁·加德纳经过研究发现，符合条件的反幻方只有两个(图13、14)。鉴于“物以稀为贵”，这样按序连接“一条龙”的螺旋反幻方又被称为“完美反幻方”。
, http://www.100md.com 需要指出的是，迄今为止的研究表明，反幻方的制作还没有简单的系统方法。因此，更高阶反幻方的构造仍具备相当难度。明白了这一点，现在回到前文的那则4阶反幻方问题，其难度显而易见，但也并非完全无解，至少作者给出了一个正确答案(图15)。稍加计算不难发现：各行、各列以及对角线上的和数分别为30、31、38、37、35、36、32、33、34、29， 刚好是从29到38的10个连续自然数。正所谓，不走寻常路，也得细琢磨。
六角幻方
随着幻方研究的深入，突破幻方常规要求的奇异幻方也开始出现，甚至打破了一般幻方在n×n方格中构成的限制，但仍保留了幻方最为本质也最为经典的要求，即相应连线上的各数之和必须相等。比如下面这个花费了52年光阴才与世人见面的“六角幻方”。
它的发明人是一位名叫克里福德·亚当斯的英国铁路职工。亚当斯是一个铁杆的幻方迷，从1910年就开始琢磨构造六角幻方(图16)，即把1～19填入六角形数阵中，使水平、右斜、左斜的各5根连线上的数字之和都相等。
当亚当斯开始动手尝试时才发现，完成构造并非自己想象得那么容易。于是，他认真刻苦地潜心研究，甚至随身带了19块纸板剪成的小六角形，把所有空余时间都用在数字纸板的摆弄上。这一摆就摆到了1957年。40年的努力依然一无所获，但无尽的失败和漫长的挫折并没有使他退却。退休后的亚当斯仍顽强坚持、勤奋钻研。之后，过度的劳累迫使亚当斯住进了医院，即便躺在病床上，他也没有停止琢磨摆弄。, 百拇医药(林革)