神秘而奇妙的幻方(下)
莫斯纳幻方
根据前文所述，我国南宋著名数学家杨辉是世界上第一个对幻方进行详尽数学研究并取得丰硕成果的学者。在杨辉所著的《续古摘奇算法》两卷中，除了呈现3阶幻方的研究成果之外，还构造出4阶至10阶幻方。书中，杨辉称4阶幻方为“花十六图”或“四四图”，并给出了两个实例(阴、阳两图)及阴图(图1)的具体构造法，令人叹为观止。
后人经过研究发现，杨辉构作的4阶幻方中，数字分布的对称性和均匀性不仅表现在数字之和，甚至还体现在数字的平方和以及立方和方面。
1947年，德国学者阿尔弗雷德·莫斯纳在《数学评论》上发表文章《一个神奇幻方》。在这篇文章中，他给出了一个4阶幻方(图2)，宣称这个幻方存在独特奇妙的性质：
, http://www.100md.com 首先，第1行和第4行上的数字的平方和相等，即122+132+12+82= 92+162+42+52 =378。类似的，第2行和第3行上数字的平方和也相等，即62+32+152+102= 142+72+22+112=370。因此，幻方上半部和下半部8个数字的平方和相等，即：378+370=748。
其次，第1列和第4列上数字的平方和也相等，即 122+62+72+92=82+102+112+52=310。类似的，第2列和第3列上数字的平方和也相等，即 132+32+22+162=12+152+142+42=438。因此，幻方左半部和右半部8个数字的平方和也相等，而且也等于748。
第三，两条对角线上的8个数字以及非对角线上的8个数字的平方和也都等于748。与此同时，两条对角线上的8个数字以及非对角线上的8个数字的立方和都等于9248。
, 百拇医药
最后，两条对角线上的数字的平方和以及立方和分别相等;而且，对角线上4个数字的立方和4624竟然还是一个平方数。这个特性是杨辉幻方所不具备的。
对“莫斯纳幻方”稍加分析，就可发现，它其实是杨辉4阶幻方之阴图(图1)的一个变形：把杨辉4阶幻方从左侧开始算的第2列变为图2右侧第1列，图1左侧第1列变为图2右侧第3列……再把第1行和第4行、第2行和第3行互换。因此，许多专业人士都认为，“莫斯纳幻方”源自杨辉4阶幻方。尽管这一说法尚无定论，但应该承认，经过变换以后的“莫斯纳幻方”确有过人之处。
素数幻方
所谓素数幻方，是指幻方中出现的数全都是素数。因为元素必须是素数的限定，所以这种幻方显然无法满足从1～n2个连续自然数的要求。这种非连续数幻方是由著名科普大师杜德尼在1900年首先提出的。可以想见，素数幻方的苛刻要求致使其构造起来非常困难。当然，这并不意味着构造素数幻方无迹可循。杜德尼自己就给出一个3阶素数幻方(图3)，幻和为111。其后，又有人构造出4阶素数幻方(图4)，幻和为102。
, 百拇医药
必须指出，在20世纪初，1还被当作素数，所以这两个幻方中都包含1。自从明确1不是素数以后，人们又重新构造了3阶和4阶的素数幻方(图5、6)，幻和分别为177和120。颇有意趣的是，不管是否把1当成素数，能构成3阶素数幻方的幻方常数总是大于4阶的。
除此之外，幻方研究者还成功构造出一些特别的素数幻方(图7、8)。在图7的这个3阶素数幻方中，最小的素数是59，最大的素数是659，其他素数的末位数字都是9，仿佛珍品标签一般饶有趣味。图8中的素数末位数字不仅和图7一样，而且9个元素还构成等差数列，公差为210，这就更难能可贵了。
不难看出，这些幻方中的素数并不连续，所以人们又开始琢磨能否用9个连续素数构成3阶幻方。难度可想而知，世界数学科普大师马丁·加德纳还曾为此悬赏100美元，奖给首位成功者。这笔奖金最终被一位名叫哈里·尼尔逊的计算机专家获得。他利用美国加利福尼亚大学的一台克雷超级计算机，通过程序设计攻克了这个难题，而且一次性提供了22个答案。
, 百拇医药
图9就是其中和常数最小的一个3阶素数幻方。在这个幻方中的9个连续素数，每个都已经超过14.8亿。更叫人瞠目的是，日本著名幻方研究家寺村周太郎经过长期不懈努力，于1979年11月7日终于构造成一个高达10阶的素数幻方，其中的元素竟然全是连续素数，中间也没有跳过一个。如此难得的机巧，简直可以用玄之又玄和匪夷所思来形容。也难怪此幻方一经问世就震动业界，被公认为是幻方研究中的一个重要里程碑。
玉挂幻方
1986年，在上海浦东陆家嘴附近发现的古墓中，出土了一块玉挂。玉挂的反面刻着16 个古代阿拉伯数字。经过专家破译还原，人们惊讶地发现，这竟然是一个4阶幻方(图10)。
看起来，这个玉挂中的数字秘密——构成4阶幻方已然揭晓;但数学家研究发现，其中充满玄机的神奇特性远不止于此。只要稍加计算验证，就能领会“玉挂幻方”超凡脱俗和奇妙独特的个性：, 百拇医药(林革)
根据前文所述，我国南宋著名数学家杨辉是世界上第一个对幻方进行详尽数学研究并取得丰硕成果的学者。在杨辉所著的《续古摘奇算法》两卷中，除了呈现3阶幻方的研究成果之外，还构造出4阶至10阶幻方。书中，杨辉称4阶幻方为“花十六图”或“四四图”，并给出了两个实例(阴、阳两图)及阴图(图1)的具体构造法，令人叹为观止。
后人经过研究发现，杨辉构作的4阶幻方中，数字分布的对称性和均匀性不仅表现在数字之和，甚至还体现在数字的平方和以及立方和方面。
1947年，德国学者阿尔弗雷德·莫斯纳在《数学评论》上发表文章《一个神奇幻方》。在这篇文章中，他给出了一个4阶幻方(图2)，宣称这个幻方存在独特奇妙的性质：
, http://www.100md.com 首先，第1行和第4行上的数字的平方和相等，即122+132+12+82= 92+162+42+52 =378。类似的，第2行和第3行上数字的平方和也相等，即62+32+152+102= 142+72+22+112=370。因此，幻方上半部和下半部8个数字的平方和相等，即：378+370=748。
其次，第1列和第4列上数字的平方和也相等，即 122+62+72+92=82+102+112+52=310。类似的，第2列和第3列上数字的平方和也相等，即 132+32+22+162=12+152+142+42=438。因此，幻方左半部和右半部8个数字的平方和也相等，而且也等于748。
第三，两条对角线上的8个数字以及非对角线上的8个数字的平方和也都等于748。与此同时，两条对角线上的8个数字以及非对角线上的8个数字的立方和都等于9248。
, 百拇医药
最后，两条对角线上的数字的平方和以及立方和分别相等;而且，对角线上4个数字的立方和4624竟然还是一个平方数。这个特性是杨辉幻方所不具备的。
对“莫斯纳幻方”稍加分析，就可发现，它其实是杨辉4阶幻方之阴图(图1)的一个变形：把杨辉4阶幻方从左侧开始算的第2列变为图2右侧第1列，图1左侧第1列变为图2右侧第3列……再把第1行和第4行、第2行和第3行互换。因此，许多专业人士都认为，“莫斯纳幻方”源自杨辉4阶幻方。尽管这一说法尚无定论，但应该承认，经过变换以后的“莫斯纳幻方”确有过人之处。
素数幻方
所谓素数幻方，是指幻方中出现的数全都是素数。因为元素必须是素数的限定，所以这种幻方显然无法满足从1～n2个连续自然数的要求。这种非连续数幻方是由著名科普大师杜德尼在1900年首先提出的。可以想见，素数幻方的苛刻要求致使其构造起来非常困难。当然，这并不意味着构造素数幻方无迹可循。杜德尼自己就给出一个3阶素数幻方(图3)，幻和为111。其后，又有人构造出4阶素数幻方(图4)，幻和为102。
, 百拇医药
必须指出，在20世纪初，1还被当作素数，所以这两个幻方中都包含1。自从明确1不是素数以后，人们又重新构造了3阶和4阶的素数幻方(图5、6)，幻和分别为177和120。颇有意趣的是，不管是否把1当成素数，能构成3阶素数幻方的幻方常数总是大于4阶的。
除此之外，幻方研究者还成功构造出一些特别的素数幻方(图7、8)。在图7的这个3阶素数幻方中，最小的素数是59，最大的素数是659，其他素数的末位数字都是9，仿佛珍品标签一般饶有趣味。图8中的素数末位数字不仅和图7一样，而且9个元素还构成等差数列，公差为210，这就更难能可贵了。
不难看出，这些幻方中的素数并不连续，所以人们又开始琢磨能否用9个连续素数构成3阶幻方。难度可想而知，世界数学科普大师马丁·加德纳还曾为此悬赏100美元，奖给首位成功者。这笔奖金最终被一位名叫哈里·尼尔逊的计算机专家获得。他利用美国加利福尼亚大学的一台克雷超级计算机，通过程序设计攻克了这个难题，而且一次性提供了22个答案。
, 百拇医药
图9就是其中和常数最小的一个3阶素数幻方。在这个幻方中的9个连续素数，每个都已经超过14.8亿。更叫人瞠目的是，日本著名幻方研究家寺村周太郎经过长期不懈努力，于1979年11月7日终于构造成一个高达10阶的素数幻方，其中的元素竟然全是连续素数，中间也没有跳过一个。如此难得的机巧，简直可以用玄之又玄和匪夷所思来形容。也难怪此幻方一经问世就震动业界，被公认为是幻方研究中的一个重要里程碑。
玉挂幻方
1986年，在上海浦东陆家嘴附近发现的古墓中，出土了一块玉挂。玉挂的反面刻着16 个古代阿拉伯数字。经过专家破译还原，人们惊讶地发现，这竟然是一个4阶幻方(图10)。
看起来，这个玉挂中的数字秘密——构成4阶幻方已然揭晓;但数学家研究发现，其中充满玄机的神奇特性远不止于此。只要稍加计算验证，就能领会“玉挂幻方”超凡脱俗和奇妙独特的个性：, 百拇医药(林革)