非欧几何(1)
大家都知道，《几何原本》是数学史上的经典之作。几乎所有的人都坚信，欧几里得几何是物理空间的正确抽象，欧几里得的公设是不证自明的真理;有些数学家却不这么看，甚至还有点苛刻和较真。他们习惯于用怀疑的眼光去打量这些真理。对于欧几里得几何中的第五公设，即平行公设(如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于1800，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于1800的一侧相交)，这些数学家更是疑虑重重，由于第五公设的真理性不像其他的公设那样明显，所以缺乏绝对的说服力，必须加以证明。
欧几里得
非欧几何的诞生，就始于人们努力消除对欧几里得平行公设的怀疑这一过程中。
因怯弱而沉默的“数学之王”
数学家们认为，第五公设如果不作为公理，就应该作为定理可以从其他公理中推证出来。所以，从希腊时代到公元1800年的2000多年里，许多著名的数学家都加入到了证明第五公设的大军中。他们呕心沥血，试图证明该公设的正确性，但都徒劳无功。其中有不少数学家兴高采烈地宣布，自己已经证明了第五公设;但没过多久，就被他人指出其中的错误，使得结论无法成立。以至于1759年法国数学家达朗贝尔把平行公设问题称为“几何原理中的家丑”。
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直到18世纪，这一问题才有了突破性进展。
第一位从证明第五公设大军中觉醒的，是被誉为“数学王子”的德国著名数学家高斯。高斯是18世纪最伟大的数学家，也是数学史上最负盛名的大师之一。他在数学上的非凡造诣和杰出成就，使其享有“欧洲数学之王”的美誉。作为广受尊敬和称赞的数学巨匠，高斯一生中唯一为人所诟病的正是他参与求证第五公设后的表现。
当时，人们已经认识到第五公设和平行公理是等价的。平行公理是：“过直线外一点，只能作一条直线和给定的直线平行。”所谓等价，就是说，如果把第五公设作为公理，那么平行公理就可以由第五公设推证出来，这时平行公理就成了定理;反过来，如果把平行公理当成公理，同样可以把第五公设作为定理证明出来。由于平行公理的叙述比第五公设简单、明确，因此，证明第五公设实则上就是证明平行公理。后来，数学家又发现，平行公理和“三角形内角之和等于1800”也是等价的，如果能证明出“三角形内角之和等于1800”，也就等于证出了平行公理和第五公设，所以，大家又转向证明这个结论。
, 百拇医药
高斯起初也在这样的思维轨道上努力;可当他竭尽全力仍一筹莫展时，逐渐意识到平行公理是不可证明的。1817年，高斯在写给朋友的信中已经提到这个猜想;而且，更可贵的是，高斯在“不能证出”思路的启发下继续研究，竟发现了一种前所未有可谓惊人的新几何学。1824年，47岁的高斯给朋友写信时提到：“三角形内角之和小于1800，这个假定引向一种特殊的、和我们的几何学完全不相同的几何，这种几何是完全相容的，当我发现它的时候，结果完全令人满意。”
最初，他把这种新几何称为“反欧几何”;后来，改称“星空几何”;最后，称其为“非欧几何”。
遗憾的是，高斯终生也没有公开发表这种与欧氏几何迥然相异的新几何学发现。因为在当时，康德的唯心主义空间理论占据着统治地位。这种理论认为，人生下来就有空间观念，这个空间就是欧几里得空间，它是唯一的空间。所有的人包括数学家对此都深信不疑。高斯担心，自己石破天惊的发现会引发世俗的惊异和讥讽，令自己有丢失名誉的风险，所以一直不敢把研究结果公之于世，只是谨慎地把部分成果写在日记和书信中，直到他死后才被披露出来。
, 百拇医药
被无情埋没的年轻天才
当高斯保持缄默时，一位匈牙利数学天才小波约伊却率先提出了这一新几何学。
“数学王子”高斯
说起来，高斯与小波约伊二人独立研究的不谋而合似乎在冥冥之中早已注定。因为小波约伊的父亲老波约伊是高斯的同窗好友，这位数学家的毕生心血都倾注在平行公理的证明上，但是没有成功。当小波约伊知道父亲一生未果的事业是证明平行公理时，天生的基因、家庭的熏陶和强烈的好奇也把小波约伊吸引到证明平行公理的行列。老波约伊知道儿子的所为后非常紧张，害怕他也和自己一样，搭上一生求证，到头来竹篮打水一场空。所以，老波约伊不停地写信，劝阻小波约伊退出这一领域。
可父亲的苦口婆心并没有使小波约伊停下探索研究的脚步，天赋异禀的他很快就得出了与高斯相同的结果。他于1823年激动地把自己的发现写信告诉父亲，并决定发表自己的研究成果。当时的小波约伊只有21岁。
, 百拇医药
1832年，老波约伊出版了一本几何著作，这本书以附录的形式发表了小波约伊的一篇题为《关于一个与欧几里得的平行公理无关的空间的绝对真实性的学说》的论文，虽然全文只有24页，但其中关于非欧几何的观点已经非常清楚。
不过，这并非小波约伊的最终目的，他非常希望自己的观点能得到数学权威高斯的支持，所以他给高斯写信征求意见;可高斯在回信中只是赞扬他有数学天分，并没有对小波约伊提出的新几何学给予热情支持。这让小波约伊颇为失望，研究的热情受到极大挫伤。
到1848年，当他惊奇地读到罗巴切夫斯基的德文译著时，才发现，这位俄国数学家和自己几乎是同时发现了非欧几何。看到如出一辙的详尽内容和理解被公之于众，小波约伊失落痛苦的心情可想而知，他对自己的发现没有得到应有的认可非常恼怒，继而变得十分消沉沮丧，从此放弃了对数学的研究。, 百拇医药(林革)
欧几里得非欧几何的诞生，就始于人们努力消除对欧几里得平行公设的怀疑这一过程中。
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数学家们认为，第五公设如果不作为公理，就应该作为定理可以从其他公理中推证出来。所以，从希腊时代到公元1800年的2000多年里，许多著名的数学家都加入到了证明第五公设的大军中。他们呕心沥血，试图证明该公设的正确性，但都徒劳无功。其中有不少数学家兴高采烈地宣布，自己已经证明了第五公设;但没过多久，就被他人指出其中的错误，使得结论无法成立。以至于1759年法国数学家达朗贝尔把平行公设问题称为“几何原理中的家丑”。
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直到18世纪，这一问题才有了突破性进展。
第一位从证明第五公设大军中觉醒的，是被誉为“数学王子”的德国著名数学家高斯。高斯是18世纪最伟大的数学家，也是数学史上最负盛名的大师之一。他在数学上的非凡造诣和杰出成就，使其享有“欧洲数学之王”的美誉。作为广受尊敬和称赞的数学巨匠，高斯一生中唯一为人所诟病的正是他参与求证第五公设后的表现。
当时，人们已经认识到第五公设和平行公理是等价的。平行公理是：“过直线外一点，只能作一条直线和给定的直线平行。”所谓等价，就是说，如果把第五公设作为公理，那么平行公理就可以由第五公设推证出来，这时平行公理就成了定理;反过来，如果把平行公理当成公理，同样可以把第五公设作为定理证明出来。由于平行公理的叙述比第五公设简单、明确，因此，证明第五公设实则上就是证明平行公理。后来，数学家又发现，平行公理和“三角形内角之和等于1800”也是等价的，如果能证明出“三角形内角之和等于1800”，也就等于证出了平行公理和第五公设，所以，大家又转向证明这个结论。
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最初，他把这种新几何称为“反欧几何”;后来，改称“星空几何”;最后，称其为“非欧几何”。
遗憾的是，高斯终生也没有公开发表这种与欧氏几何迥然相异的新几何学发现。因为在当时，康德的唯心主义空间理论占据着统治地位。这种理论认为，人生下来就有空间观念，这个空间就是欧几里得空间，它是唯一的空间。所有的人包括数学家对此都深信不疑。高斯担心，自己石破天惊的发现会引发世俗的惊异和讥讽，令自己有丢失名誉的风险，所以一直不敢把研究结果公之于世，只是谨慎地把部分成果写在日记和书信中，直到他死后才被披露出来。
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当高斯保持缄默时，一位匈牙利数学天才小波约伊却率先提出了这一新几何学。
“数学王子”高斯说起来，高斯与小波约伊二人独立研究的不谋而合似乎在冥冥之中早已注定。因为小波约伊的父亲老波约伊是高斯的同窗好友，这位数学家的毕生心血都倾注在平行公理的证明上，但是没有成功。当小波约伊知道父亲一生未果的事业是证明平行公理时，天生的基因、家庭的熏陶和强烈的好奇也把小波约伊吸引到证明平行公理的行列。老波约伊知道儿子的所为后非常紧张，害怕他也和自己一样，搭上一生求证，到头来竹篮打水一场空。所以，老波约伊不停地写信，劝阻小波约伊退出这一领域。
可父亲的苦口婆心并没有使小波约伊停下探索研究的脚步，天赋异禀的他很快就得出了与高斯相同的结果。他于1823年激动地把自己的发现写信告诉父亲，并决定发表自己的研究成果。当时的小波约伊只有21岁。
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1832年，老波约伊出版了一本几何著作，这本书以附录的形式发表了小波约伊的一篇题为《关于一个与欧几里得的平行公理无关的空间的绝对真实性的学说》的论文，虽然全文只有24页，但其中关于非欧几何的观点已经非常清楚。
不过，这并非小波约伊的最终目的，他非常希望自己的观点能得到数学权威高斯的支持，所以他给高斯写信征求意见;可高斯在回信中只是赞扬他有数学天分，并没有对小波约伊提出的新几何学给予热情支持。这让小波约伊颇为失望，研究的热情受到极大挫伤。
到1848年，当他惊奇地读到罗巴切夫斯基的德文译著时，才发现，这位俄国数学家和自己几乎是同时发现了非欧几何。看到如出一辙的详尽内容和理解被公之于众，小波约伊失落痛苦的心情可想而知，他对自己的发现没有得到应有的认可非常恼怒，继而变得十分消沉沮丧，从此放弃了对数学的研究。, 百拇医药(林革)