目 录

    序一

    序二

    自序

    一、快点儿，快点儿

    二、真话与假话

    三、找规律

    四、逻辑的力量

    五、合作才好

    六、无穷无尽的数

    七、奇妙的分形

    八、斐波那契家的兔子(Ⅰ)

    九、斐波那契家的兔子(Ⅱ)

    十、叠纸叠到太阳上去

    十一、我们的宇宙是个大爆竹

    十二、勾股定理的奇葩证明

    十三、费马的陷阱十四、爸爸上学

    十五、会计妈妈

    十六、为什么一小时是六十分

    十七、卜卦可以算出未来吗

    十八、圆周率的故事

    十九、河图洛书

    二十、优等生总是少数人

    二十一、北京的汽车

    二十二、和谁比赛

    二十三、捡树叶与中大奖

    二十四、倒霉的理发师

    二十五、人若犯我

    二十六、施了魔法的数字

    二十七、一笔画

    二十八、美丽的雪花与恐怖的病毒

    二十九、蚂蚁上树

    三十、扭麻花的空间

    三十一、数字黑洞

    三十二、狮子座流星雨三十三、密码

    三十四、风语者

    三十五、孙子点兵

    参考文献

    附录

    后记

    一位妈妈读者的话【欢迎加入罗友书社，微信：15535237487，罗辑思维，得

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    ISBN 978-7-303-20925-5

    Ⅰ. ①爸… Ⅱ. ①谢… Ⅲ. ①数学—青少年读物 Ⅳ. ①O1-49

    中国版本图书馆CIP数据核字(2016)第158829号

    营销中心电话 010-58805072 58807651

    北师大出版社学术著作与大众读物分社 http:xueda.bnup.com

    出版发行：北京师范大学出版社www.bnup.com

    北京市海淀区新街口外大街19号

    邮政编码：100875

    印 刷：保定市中画美凯印刷有限公司

    经 销：全国新华书店

    开 本：730mm×980mm 116

    印 张：15

    字 数：245千字

    版 次：2016年8月第1版

    印 次：2016年8月第1次印刷

    定 价：35.00元策划编辑：谢 影

    责任编辑：刘文平 王玲玲

    美术编辑：袁 麟

    装帧设计：尚视视觉

    责任校对：陈 民

    责任印制：马 洁

    版权所有 侵权必究

    反盗版、侵权举报电话：010-58800697

    北京读者服务部电话：010-58808104

    外埠邮购电话：010-58808083

    本书如有印装质量问题，请与印制管理部联系调换。

    印制管理部电话：010-58805079谨以此书

    送给我可爱的女儿

    愿你永远快乐健康序一

    谢永红学长是北京大学数学系83级的学生，比我高一个年级，由于我们班有几

    个同学提前一年保送研究生，跟他是研究生同学，所以我们学生时代就认识。2013

    年北京大学数学学科百年时成立了数学校友会，永红和我都是数学校友会理事，因

    此我们接触的机会又多了一些。2016年5月永红告诉我，他把平时给女儿讲的数学故

    事整理成了一本书，希望我写几句话，我自然就答应了。【欢迎加入罗友书社，微

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    拿到《爸爸教的数学》这本书的电子版，我爱不释手，两个晚上就看完了，既

    被书中趣味数学故事吸引，更被永红的拳拳父爱深深感动。

    数学是人类智力的体操，是每个孩子必须学习的课程，而很多孩子认为数学枯

    燥无味，学习没有兴趣，家长因此伤透脑筋。《爸爸教的数学》这本书把高深的数

    学跟日常生活、天文、地理、历史人物等结合起来，编成一些非常有趣的故事，把

    这些故事讲给孩子听，不仅可以增强孩子们学习数学的兴趣，还可以增加孩子们的

    知识面。

    永红学长是北京大学数学系的高才生，数学修养很好，这些故事中涉及的数学

    有一些是很深奥的，通过他的演绎而变得易懂且有趣，可以说《爸爸教的数学》也

    是一本高水平的数学科普读物。

    兴趣可以是天生的，更多的时候是需要培养的。一个人如果对学习有兴趣就很

    容易学习好，做的事情如果有兴趣，工作再累也不会觉得累。《爸爸教的数学》对

    培养孩子学习数学的兴趣非常有帮助，不仅适合爸爸们阅读，孩子们也可以自己

    看，相信大家都会跟我一样喜欢的。数学以简洁为美，《爸爸教的数学》不仅有趣而且很美!

    张平文

    北京大学数学科学学院教授

    中国科学院院士

    2016年6月 蓝旗营序二

    写给孩子和父母们的书

    1983年9月，北京大学数学系迎来了来自全国各地的152名学子。他们满怀着憧

    憬和希望，汇聚未名湖畔，寻求知识，探求真理。老谢(本书作者)和我就是这

    个“83数学”群体中的两个。我们大学同班四年，私交不错，毕业后，也联系甚

    密。现在我们都早已做了父亲(老谢有了个宝贝女儿妞妞，我也有了个宝贝儿子亮

    亮)。当然见面的话题总少不了孩子的教育。【欢迎加入罗友书社，微信：

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    孩子上小学了，特别是三年级后，挑战也就来了。这个挑战居然来自我们钟爱

    的数学。北京大学数学系毕业的学生(虽然不敢自诩为数学系的高才生，但是成绩

    绝对不差)，居然要接受小学生的数学挑战。不用猜也知道，具体的挑战项目，既

    不是泛函分析，也不是群论，而是小学奥数。

    现在许多奥数题目，我都做不出来。有些题目实在是太偏了，完全超出了孩子

    们的智力发展水平。它让许多孩子对数学望而生畏，失去兴趣。数学界、教育界有

    不少著名的教授、学者反对以奥数作为小学生升学、选拔、竞赛的参考依据，认为

    目前“全民奥数”的做法是完全不可取的。

    数学应该是有趣的，学习应该是好玩的，儿童应该是快乐的。为什么有些孩子

    对数学不感兴趣？甚至对数学有畏惧感？其实最重要的是老师没有把数学的有趣之

    处挖掘出来，或者是没有针对学生的智力发展水平来进行教学。

    我们在北京大学数学系学习期间，先生们给我们展示的是数学的美。推导过程是美的，结论也是美的。每每看到先生们在讲堂上陶醉于数学的美，我们也深受感

    染。我觉得现在对于孩子们，需要老师展示的是数学的乐趣，而不是数学的困难。

    数学，应该是趣味无穷的。为了孩子的健康成长，我在孩子五年级下学期，主

    动停止了孩子奥数课外班的学习，自己选择合适的内容与孩子共同学习。老谢却身

    体力行，努力去改变，亲自设计构思了适合他女儿的趣味数学读物。

    在聚会的饭桌上，在香山的鬼见愁，我们经常讨论孩子教育的“愁”事。2007

    年8月，在毕业20年聚会上，老谢抛出了专门为他家妞妞写的一本趣味数学书(当时

    还未完稿)，大家一致认为非常必要，写得很好。我也因此有机会先睹为快，并和

    我儿子一起分享。

    老谢的文章，其实也就是一个个发生在父女间的小故事，从中我们可以感觉到

    数学原来是如此有趣；又被一个细心尽职的父亲和一个乖巧伶俐的女儿之间的亲情

    交流深深感动。所以从这个意义上说，这不仅是一本趣味数学书，也是洋溢着浓浓

    爱意的“爱的教育”。

    过不了多久，我们将庆祝毕业三十年，我们的孩子都已上大学。把我们的孩子

    们读过的好东西成文出版，给更多的孩子们阅读，是件极有意义的事。学习本身就

    应该是快乐的。还快乐给孩子，我们所有为人父母者都有责任!还原数学本来的乐

    趣，我们所有数学系的毕业生都有责任!所有教育工作者都有责任!

    郭宗明 博士

    北京大学计算机科学技术研究所教授

    2015年4月燕北园自序

    我家的孩子小时候对音乐有特别的灵性，不管是手舞足蹈的节奏感，还是摇头

    晃脑哼哼歌曲的陶醉都证明了这一点。我和她妈妈都以为她会一直这样下去，成为

    一名音乐家，没想到只是在家里留下了一部簇新的钢琴和她自己对流行歌曲的酷

    爱。【欢迎加入罗友书社，微信：15535237487，罗辑思维，得到APP，樊登读书

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    她还是个小财迷，很小就表现出对钱的敏感和热情。不管是每年的压岁钱，还

    是平时爷爷奶奶、爸爸妈妈给的零花钱，她都会以极大的热情收藏好，放在自己秘

    密的地方，即便是她还数不清自己到底有多少钱。照她自己的计划，她将来是要做

    赚大钱的工作的，其实到底是什么工作她自己也不知道。这一点可能来自她妈妈在

    银行工作的影响。照爸爸的理解，数学不好恐怕不太好实现这个理想，可像大多数

    女孩子一样，她并不特别喜欢数学，尤其是到小学高年级之后，而这更像她妈妈。

    为激发女儿学习数学的兴趣，于是我写了这本原计划只给她一个人看的趣味数

    学小故事书。断断续续，一边讲给她听一边写。有时候出差飞机上偶然想到一个好

    的主题，随手一定要记下线索，回到家里紧赶慢赶完整地写出来，也是一乐。因为

    博客同时上传发布的缘故，这本书在同龄人中慢慢流传。很欣慰的是许多孩子看过

    这本书后都觉得有趣好玩，数学兴趣大增。

    整理出来的这本书是写给好奇的小学高年级和初中学生课外看的，好玩、易懂

    又有教益。这些故事都在我家讲过，也在我的亲朋好友之间广泛传播过。它能提高

    孩子们对数学的兴趣，管中窥豹展示数学的美妙，润物无声引导孩子们开始对数

    学、对其他自然科学、对人生进行思考和探索。

    这本书完全不同于以往的趣味数学书籍。首先，书中大都是真实发生的事情，我们家的食物、孩子的作业、全家的旅行等，和大众熟悉的日常生活没有距离，同时也记录了我家孩子的一段充实的成长岁月。其次，这本书不干巴巴地讲数学题

    目，也不大讲理论，而是用趣味故事的方式把高深的数学，用浅显的语言慢慢讲给

    孩子听。最后，这本书的内容极为丰富，就数学来讲，覆盖了代数、几何、概率

    论、博弈论等许多话题，也涉及物理、天文、历史、哲学等有趣的知识。

    这本书充满了一位父亲对自己孩子的爱，加上孩子的聪慧话语，构成了一幅动

    人的景致。这也是作者时时涌上心头的点滴美好记忆。书中的话题是普通小学生接

    触不到而又极开心智的趣味点。每个话题背后的道理，如果灵慧的孩子愿意深入探

    究，肯定受益无穷。

    假如你有无穷的财富，那么你分给地球上的每一个人，每一个人都会拥有无穷

    的财富。这是不是很奇妙？这里我们通过博爱之行讲述了高等数学最重要的无穷的

    概念。

    如果你能把一张纸重复折叠64次，它的厚度相当于地球到太阳之间1万多条路的

    总长度。是不是不可思议？通过这个惊人的事实，孩子们能感知非线性世界的夸张

    和宇宙的宏大。

    假如有一个人是无所不能的，那么他一定可以制造出一个自己都搬不动的石

    头，对不对？绕得过来的孩子可能真正是逻辑天才。

    说起来让人难以置信，数学还能指导孩子们交朋友。如果有人这次对你不友

    善，下次相似情形你就对她回报不友善；如果别人对你好，你下次也要对别人好。

    这种做事的原则在社交行为中最为有效!数学家证明了这一点，这样的博弈策略能

    为你赢得最多朋友、最多友善。

    书中还谈到了斐波那契家的兔子如何繁衍形成神秘数列，指向黄金分割；我们

    的宇宙可能是巨人放的一个爆竹!啊!真的吗？还有孙子点兵、数字黑洞、密码、神秘的太阳系轨道等好玩又新奇的故事。孩子们可以连续看，也可以分开单独看。

    这些内容以故事呈现，很值得阅读。

    这是一本充满爱的书，可以为青少年打开奇妙的数学之门!一、快点儿，快点儿

    “你看，我们只需要思考一下，把工作的顺序排好，别的都不变，就可以快9

    分钟吃饭!还是很神奇的吧？”

    妞妞在上小学四年级，像其他小朋友一样，她是独生女。爸爸在企业工作，妈

    妈在银行工作。外公外婆都是退休医生，两家人同住在一个小区，互相照顾，十分

    幸福圆满。【欢迎加入罗友书社，微信：15535237487，罗辑思维，得到APP，樊登

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    每天早上是大家最忙的时候，一般是妈妈督促妞妞洗漱、整理房间，帮助妞妞

    梳头，爸爸准备早点，一般是煎鸡蛋、烤面包、热牛奶之类的，有时也做面条，蒸

    蛋羹，热包子、豆包。外公外婆有时候也过来一起吃早点，不过他们最重要的事情

    还是送孩子去学校，学校离家五站地，而爸爸妈妈都要走不同的两条路去上班。

    妞妞是个聪明的小女生，学习成绩一流，不过她有一个缺点，就是做事比较慢，早上起床慢吞吞的，作业经常也要到晚上十一点才做完。

    这天早上，眼看就是应该出门的时间了，妞妞刚洗脸刷牙，妈妈在帮睡眼惺忪

    的妞妞梳头编小辫，早点热气腾腾的放在桌子上还没有吃。

    爸爸告诉妞妞时间快到了，应该上学了。妞妞扭头看看大挂钟，一下子就急

    了。跺着脚带着哭腔说：“妈妈，快点!妈妈快点!”

    妈妈说：“妞妞别哭啊!谁让你赖床的。下回早点起来就好了!”

    爸爸心里知道起不来床是因为昨天又是十一点多才爬上床的。把煎鸡蛋用面包

    片裹好，加入一些酱料，做成三明治，送到妞妞手里，说：“你妈妈梳头的同时你

    就可以用早点，别着急的，梳完头咱们就出发，应该是来得及的。不过咱们不能老

    是这样匆匆忙忙的，得想办法，晚上咱们商量一下怎么办，好吧？”

    这天早上妞妞没有迟到，不过也是踏着铃声进的教室。晚上一家人回来了，像

    往常一样妞妞兴奋地和爸爸诉说着各种学校的趣事。

    说一个同学拿着作业本对小叔叔抱怨作业太多，做都做不完。叔叔年轻气盛，拿着作业本立马潇洒地就给撕了，边撕边说：“太多做不完就不做了，就说是家里

    的小狗给咬烂了!”同学一脸茫然，眼泪直往下掉：“叔叔，这是我刚做完的作业

    啊!”

    沉默片刻，一家人同时都笑了。

    爸爸说：“其实妞妞的作业经常要拖到很晚才做完，不知道妞妞有没有想过是

    为什么？”

    妞妞歪着头稍微想想：“因为作业太多啊!”

    “是啊，作业确实不少，不过还有一些其他的原因。”爸爸招呼大家吃

    饭。“妞妞开始写作业时时间就比较晚，如果一回家就开始写，会好得多。不要等

    到吃完饭，再休息一会儿后开始。”妞妞点点头。

    “再有就是妞妞写作业的时候不能左顾右盼，一大堆零碎事。一会儿喝水，一

    会儿吃妈妈送来的苹果，一会儿上厕所，一会儿和养的龙猫玩，更加不好的是玩爸

    爸妈妈的手机，写作业时听音乐。”

    妞妞喜欢听音乐，最近还喜欢一边听音乐一边写作业，妈妈说了好几次还偷偷

    听。

    妞妞噘着嘴，不开心。

    “写作业时听音乐一心二用，会明显影响作业速度，如果养成习惯，爸爸觉得

    会更加麻烦。”

    妞妞不服气，“哪有什么麻烦？难道老师会来批评我？”

    爸爸心里暗笑，“比如，学英语的时候，眼睛耳朵和嘴都是要一致的，可不能

    眼睛看英语课文，耳朵里听歌啊，你想想看？”

    爸爸稍微停了一会儿，“其实最重要的影响是让你思想不集中，一走神就不知

    道思想飞到哪里去了。”

    妞妞稍微思考，“那我什么时候听歌啊？同学们也都喜欢听歌啊!我不会都不

    知道如何跟他们打招呼。”

    “爸爸可以给妞妞买一个MP3，但是只能上学下学在公共汽车上听，学校里也不

    能拿出来，更不能在教室里听，不然被老师没收爸爸可不管了。”

    今天的晚餐有红苋菜、蒜苗、咕咾肉和蘑菇汤。一家人围坐在餐桌前吃饭。

    妞妞很开心，因为能有自己的MP3，认真地点头表示同意。

    “其实数学方法也能帮助你更快完成任务，这就是运筹学，也叫最优化。”妞

    妞瞪大眼睛，一口菜都没有送到嘴里。爸爸从来没有给孩子讲过更深的数学，不过觉得现在是时候了。

    “比如，今天早上，你梳头的时候吃早点，而不是梳完头再吃，这样就节省了

    时间。”

    “我在公交车上听音乐是不是也节省了时间？公交车上好多人都在听音乐或是

    看手机，他们也是节省时间？”

    “倒不全是!他们很多是在打发时间，不过妞妞不一样啊!你那么喜欢听歌，每天都得听才开心，这就是一个任务了，所以你是在节省时间。”

    “哦。”妞妞表示理解。

    “还有更高级的数学方法来解决如何最快最好地完成任务。你想学吗？”

    “当然了，我的数学100分呐!”

    爸爸说：“家里做饭，红苋菜洗干净要8分钟，炒好要4分钟。蒜苗洗净切好要5

    分钟，炒好上桌要6分钟。准备好肉要11分钟，做好咕咾肉12分钟。最后做汤的材料

    准备好要5分钟，上火做好汤需要15分钟。妈妈怕油烟只会准备菜不炒菜，爸爸手不

    小心破皮了不能见水，只炒菜不洗菜。为简单起见，我们假设家里只有一个火眼，米饭可以单独用电饭煲焖。爸爸妈妈怎么做才能在最短时间吃上饭呢？”

    妞妞有些抓不住重点，眼神有些茫然。“爸爸妈妈快点做啊!”

    “你看，如果按照顺序来做。妈妈收拾红苋菜，爸爸就先等待8分钟。洗好了，妈妈再准备蒜苗。爸爸4分钟之后，已经做好了第一道菜。可是蒜苗准备需要5分

    钟，爸爸再等1分钟。”爸爸稍微等了等，让孩子思考一下。

    “接下来，蒜苗做好了，可是6分钟后肉还没有准备好，爸爸需要再等5分钟，因为肉菜准备时间稍长些。等咕咾肉完成，妈妈早就把蘑菇准备好，咱们需要再等

    待15分钟，才能一起吃饭，时间总共是8+5+11+12+15=51分钟。”

    妞妞还是不太明白，爸爸接着说：“8分钟时妈妈洗红苋菜，爸爸等。5分钟是

    爸爸完成炒好红苋菜再等1分钟，妈妈需要时间准备蒜苗，对吧？”

    妞妞点点头。

    “11分钟里面爸爸炒好蒜苗，但是还得等待5分钟，因为妈妈准备肉需要11分

    钟。”妞妞频频点头，表示同意。

    “再之后，爸爸12分钟做完咕咾肉。而妈妈在此期间已经完成蘑菇食材准备，15分钟后所有菜蔬做好。”

    妞妞好像有些明白，“要是先准备蘑菇做汤，会最快，爸爸不用等久。”

    “是吗？肯定快了，对吧？因为爸爸不用等那么长时间，但是你怎么能肯定就

    是最短的呢？有没有更好的安排呢？”晚饭一结束，爸爸和妞妞就开始研究做菜问题，一个大脑袋和一个梳小辫的小

    脑袋挤在爸爸书桌前。爸爸拿出一张纸，画了两条线。

    一条线是妈妈的时间安排，分别是第一段8分钟，第二段5分钟，第三段11分

    钟，第四段5分钟。

    另外一条线是爸爸的时间。第一段4分钟，空出1分钟。之后是第二段6分钟，接

    5分钟空当。第三段12分钟和第四段15分钟紧跟之后。

    “你看我们每一段都是取的最大值。第一段妈妈洗菜，爸爸等待，8分钟。第二

    段5分钟，妈妈洗菜时间长于爸爸做好第一道菜的时间，爸爸等待。第三段11分钟，爸爸早就把第二道菜做好了，但妈妈还在准备第三道菜的材料还是需要爸爸等

    待。”爸爸看着妞妞的眼睛，“这显然不是最好的办法，对吧？”

    妞妞说：“对呀，妈妈先准备蘑菇就好了。”

    爸爸再画两条线。一条代表妈妈准备蘑菇的5分钟，此时爸爸等待。“好的。这

    样的话爸爸只需等待5分钟，确实是最短的。我们找到了一个最短的时间，是准备蘑

    菇的时间。妈妈最先准备蘑菇可以使爸爸的等待时间减少到最短。很正确!妞妞说

    说妈妈应该准备的下一道菜是哪一道呢？”妞妞有些懵懵懂懂的，不知从何说起。

    “一开始是爸爸等待妈妈准备材料，最后是全家人等待最后一道菜上桌，对不

    对？如果做最后一道菜的时间最短，是不是也是缩短整个事件了啊？”

    “对呀，做汤的15分钟，没有充分利用。”

    “很好的思考。如果我们把最短时间能炒好的菜放到最后做，就能最大限度地

    降低等待时间，也就是缩短任务时间，对吗？”

    爸爸画了一个4×3的格子。第一列写上汤、5、15，第四列写上红苋菜、8、4。“方法就是找到最短的时间，如果是准备菜时间最短，就放在最前面；如果是做

    菜时间最短，就放在最后面。想一想，是不是很有道理？接下来的蒜苗和咕咾肉其

    实可以用一样的思维方法来分析。找出最短的时间，如果是炒菜时间，就放到后

    面，如果是备菜时间，就放到前面。”

    妞妞很认真地想了想，说：“就像只有这两道菜，如果先准备肉，11分钟，肯

    定爸爸等待的时间长，对吧？这个方法好像很有道理。”

    汤 蒜苗 咕咾肉 红苋菜

    5 5 11 8

    15 6 12 4

    爸爸在第二列写下蒜苗、5、6，第三列写下咕咾肉、11、12。然后再画出两条

    线段。第一段是妈妈的时间安排，5分钟、5分钟、11分钟、8分钟，中间没有空当。第

    二条线是爸爸的时间安排。等待5分钟后，是15分钟、6分钟、12分钟和4分钟，居

    然也没有空当等待!总时间是5+15+6+12+4=42分钟。

    “你看，我们只需要思考一下，把工作的顺序排好，别的都不变，就可以快9分

    钟吃饭!还是很神奇的吧？”

    “其实我们先做汤还是先做蒜苗，时间是一样的，对吧？”

    爸爸非常高兴，这说明妞妞在自己动脑筋思考。“完全正确，这是因为他们准

    备的时间一样长，而完成一道菜另外一道已经准备好，不会产生等待的时间。妞妞

    真棒啊!”

    爸爸觉得妞妞该去写作业了，于是开始总结。

    “这种问题解决的方法就是看所有时间里最短的，如果是第二道工序时间最短

    就把这件小任务放到最后，如果是第一道工序时间最短就放到最先。这个方法是可

    以证明的，里面包含非常重要的运筹学知识。不过现在妞妞还小，记住方法就好

    了。”

    妞妞点点头，有些兴奋也有些迷惑。爸爸看出来了，接着说：“在你每天的学

    习生活中，运筹的思想会给你巨大的帮助。比如，考试的时候先把容易的题目做完，难题留到最后，以免会做的题没时间做；在公共汽车上等待的时间听喜欢的音

    乐，回到家里就开始写作业；累的时候休息玩耍，状态好的时候学习，等等。”

    说到这里，爸爸内心惊叹孩子的成长真的是快，叼奶瓶到处乱跑的小人，现在

    也开始探究人类智慧的奥秘了。这样的交谈今后应该多一些，系统一些。

    “如果我们把问题简化为两个程序两道菜，比如，红苋菜和蘑菇汤。准备红苋

    菜要8分钟，炒好它要4分钟，蘑菇汤料要准备5分钟，做好它要15分钟。先做哪道最

    省时间呢？”

    “当然是先准备蘑菇!爸爸等的时间最短嘛!”妞妞觉得问题太简单。

    “对的，你看总体时间是准备第一道菜时间+做好最后一道菜时间+准备第二道

    菜和做好第一道菜两个之中时间最长的，对吧？”

    妞妞稍作思考，点头表示同意。

    “所以先做红苋菜后做蘑菇汤的时间就是8+15+5(4，5两个中较大的)=28分

    钟，而先做蘑菇汤后做红苋菜的时间是5+4+15(15，8两个中较大的)=24分钟。这

    种问题一般性的解答方法就是四个时间中找出最短的，如果是第二道工序，就把它

    放到最后，这样最后妈妈等待时间可以最短；如果最短时间是第一道工序，就最先

    做，这样爸爸等待的时间最短。如果是多个任务多个工序也以此类推，可以得到最

    优答案。做菜只是爸爸想出来的一个简单问题，在实际的工作中这种问题要复杂得

    多，比如，制造一种工具需要很多部件，部件的数量不等，同时每个部件制造也需

    要许多道工序，而每个工序的时间也不一样，在完成工序的设备有限的前提下，如

    何安排顺序对生产效率是有根本性的影响的。”

    妞妞好像懂了。“更复杂的题目我还不知道怎么做，不过爸爸妈妈做菜的问题

    我明白了。”

    爸爸很高兴，“那我们做一个小练习，好不好？”

    爸爸看到妞妞点头同意，接着说：“肉饼店来了三位饥肠辘辘的顾客，急于要买肉饼去赶火车，限定时间不能超过16分钟。几个厨师都无能为力，因为要烙熟一

    个饼的两面各需要5分钟，一口锅一次可放两个饼，那么烙熟三个饼就得20分钟。这

    时来了聪明的小苹果厨师，他说只要15分钟就行了。你知道该怎么来烙吗？”

    “小苹果厨师!”妞妞嘴里嘟囔着，拿起笔在纸上画了两个圈代表肉饼，慢慢

    想，嘴里又嘟囔些什么。

    “哈，知道了!”妞妞的纸上留下了一长串的圆圈和打了叉的圆圈。“主要是

    最后的一个饼浪费了时间。最快的做法就是先烙两个肉饼一面5分钟，接着只烙一个

    肉饼的第二面，拿一个新肉饼替下已经烙好一面的肉饼。5分钟后，烙好一张肉饼，加入第一次烙好一面的肉饼。5分钟后第二个肉饼和第三个肉饼都烙好了。一共15分

    钟!”

    “妞妞好聪明!”爸爸非常高兴，轻轻拍拍孩子的头，“那么留一道小题目你

    来思考，好不好？”

    “好呀，好呀!”妞妞抬起头，看着爸爸很高兴地说。

    “有一个农夫，带着一头狼、一头羊和一筐白菜过河。可是船太小，一次只能

    带一样东西过河，如果他不在的话，狼就要吃羊，羊就要吃白菜，应该怎样过

    河？”

    妞妞咯咯笑出声来，“羊吃菜，狼吃羊，灰太狼和喜羊羊!让我想想啊!”二、真话与假话

    “数学最精确了，怎么会说谎？”妞妞瞪大眼睛，一副难以置信的样子。

    今天妞妞回家不太开心，小脸红红的，噘着小嘴。经爸爸询问，才知道班上有

    一个淘气男生叫妞妞‘小猪叫’，因为数学老师表扬了数学课代表妞妞，说妞妞是

    她的小助教。

    “他下课了就指着我喊‘小猪叫’。”妞妞还是一脸的气愤，一脸的不高兴。

    “那你告诉老师了吗？”

    “老师批评了他，可是他趁老师不在的时候，对着我不出声地说‘小猪叫’!

    我一看他口型就知道他在说什么。”

    “那可真是讨厌啊!男孩子有时候就是这样淘气。”爸爸说，“他为什么对你

    这样不好呢？”

    “因为他说谎，抄别人作业，我告诉老师了。”

    “那你这样做是对的，他不敢说出声，就是胆怯啊!这种人你不理他，他反而

    没趣。你越是生气，他反而越来劲，因为他伤害你了，他觉得成功了呀!”

    妞妞似懂非懂，爸爸想起自己小时候的种种淘气，不觉嘴角带出一丝笑意。

    “爸爸帮我揍他。”妞妞拉拉爸爸的手。

    “这可不好，真要挨揍也得告诉他家长，让他家长揍他。”爸爸说，“不过我

    很好奇你是如何发现他撒谎、抄作业的呢？”

    “他上语文课的时候到处找同学借作业，上课就开抄，大家都看见了!抄作业还是好的啦，他晚上回家要去上游泳课，有时候还逼他的同桌写两份作业，自己一

    个字都不写。同桌家长都到学校来过。”妞妞很气愤。

    爸爸心里想这是一个体育特长生啊!难怪如此。

    晚饭后妞妞坐在自己的小书桌前准备写作业，上次爸爸和她谈过运筹和效率的

    话题后，她回家第一件事就是写作业。爸爸走过来，想继续今天的话题，也希望孩

    子刚吃完饭能休息一会儿。

    “你知不知道数学也会说谎啊？”爸爸想起来一个有趣的数学话题。

    “数学最精确了，怎么会说谎？”妞妞瞪大眼睛，一副难以置信的样子。

    “比如说，有一个商人，100块钱进的毛衣，卖200块钱。有人就说他是奸商，赚取一倍的利润。而他自己却说：‘生意不好做，衣服能有50%的收益也就勉强能

    过。’妞妞觉得谁在说谎？”爸爸故意把问题提给小学生，希望她能有所思考。

    “好像都对吧!没有说谎啊!”妞妞微微低下头思考，嘴里喃喃说：“怎么回

    事呢？”

    爸爸微微笑，“他们说的确实都对，投入100块，拿回来200块，确实是一倍的

    利润。销售200块，利润100块，毛利润率确实是50%。着眼点不同，一个是指投入

    产出，一个是算销售利润，说出来的数字就不同，听的人也似乎有不一样的感受，对吧？但是事实却是同一个。你说数学计算在这里是不是有点怪怪的？虽然不是一

    般意义上的说谎，不过也差不了多少，至少是隐藏曲解了某些事实。”

    妞妞点点头，“嗯，听50%的收益还合理，一倍的利润就好像是暴利。”

    “有很多这样的例子，尤其是在需要刻意隐藏或曲解某种事实的时候，数字游

    戏就花样百出了。”这时候爸爸的脑子里闪现出了一句名言，“你首先要掌握事

    实，然后才可以使劲地歪曲它。”不觉又是一笑。

    “数字骗人经常是统计量，如平均数。举一个简单的例子，就像姚明到咱家

    来，咱家三口加上姚明，平均身高一下子就超过一米八了。”妞妞对姚明印象深刻，在篮球馆看篮球比赛时看到过小巨人姚明和其他篮球队

    员们，小小的孩子非常惊讶人能长这么高。

    “平均值高了，我们并没有长高啊!”

    “是啊，这就可能会用来遮盖修饰某些事实。这样的事情可能会误导部分人的

    判断，也可能会蒙骗大家一段时间，不过没法长时间欺骗所有人。爸爸再给你讲一

    个故事。”

    爸爸停了一下，喝了口水。

    “从前有一个国王，决定要为自己修建一座巨大的宫殿，当他询问臣子这样的

    工程如果需要增加百姓的赋税，老百姓是不是反对的时候，一位睿智的大臣出了一

    个妙计。

    “‘陛下不可能听取天下所有人的意见，不妨让大家吹喇叭来表达自己的意

    见，哪边的声音大，哪边就是人民的意愿。’

    国王觉得这个主意实在是太好了，又简单又明了。

    “‘让所有希望对国家大事发表意见的人，每人准备一个金喇叭!一旦国家有

    重大事项需要民众意见，就以哪方声音大来决定!’

    “结果可想而知，这个王国只有最富有的那些人才有能力准备一个金喇叭，广

    大的平民还是对国家大事毫无发言权。该不该加征税赋有钱人说了算，于是穷人越

    穷，富人越富。”

    妞妞听完，觉得挺好玩，听喇叭声音大小做决定，只是金喇叭就不好了，穷人

    怎么可能买得起，这样就把穷人排除在外了。

    “那要是一般喇叭就好了吧？”

    “是啊，会好很多，不过还是有连一般喇叭也买不起的人啊!还有不会吹、吹

    不响喇叭的人呀!总之，增加难度是一种有偏向的抽样，不会得到真实的意见，而这种错误还常常在我们这个世界里发生。”

    “是吗？”妞妞不太相信。

    “比如，手机电话调查，首先就限定了对象是有手机和有电话的人。其实我们

    这个世界没有电话、没有手机的人还是很多的。美国历史上一次总统选举就发生过

    类似的事情。电话调查中某位候选人的支持率很高，但最后却落选了，就是因为有

    电话的家庭相对富裕，而没有电话的家庭更多、更贫穷，电话调查只调查少数有钱

    的家庭，当然缺乏完整性、真实性了!”

    “我也有一个数字说谎的故事，说给爸爸听吧!”

    “太好了，爸爸最喜欢听妞妞的故事!”鼓励孩子讲故事是提高孩子语言能力

    和沟通交流能力最好的办法。

    “游泳健将告诉他爸爸说他是游泳季军，过了一段时间又告诉他爸爸说现在是

    亚军了!爸爸很高兴，觉得孩子进步很快。不过事实是游泳队就三名受训学员，刚

    转出去一名同学。”妞妞说完，抿着嘴，微笑望着爸爸。

    爸爸笑了，觉得孩子在理解这个复杂的世界。

    “妞妞讲的故事很有意思，说明妞妞已经开始分辨那些有意识的歪曲了。爸爸

    最后讲一个问题，然后妞妞开始今天的作业，好吧？”妞妞小手拍了好几下，表示

    同意。

    “飞机飞行有危险，飞机在高高的天空上，一旦出问题掉下来就大大的不妙

    了。火车在陆地上飞驰，也有危险。比如，脱轨。哪个更危险呢？”

    “飞机更可怕。”妞妞脸上露出害怕的神情，“不过飞机上有吃有喝还是不错

    的。”

    “统计表明飞机更安全，按每百亿乘客公里数计算，飞机3人遇难，而火车是9

    人。如果你出去旅行，坐火车要比坐飞机危险!可是你觉得这个对吗？”爸爸望着妞妞，妞妞不说话。

    “这和我们的直觉是有些矛盾的，也有许多人争辩飞机失事死亡率高等，其实

    问题并不在此，飞机事故死亡率是比火车高，但是统计时死亡人数一个都没少算

    啊!实际上飞机完全毁坏，全机人员死亡的事故只占所有飞机事故的一半。问题在

    哪里呢？问题在时间上，如果我们计算每一亿乘客每小时死亡数就大不一样了。飞

    机每一亿乘客每小时有24人遇难，火车是7人。旅行者的感知是和时间更加关联。”

    妞妞说：“同样的事实，不一样的计算就会有完全不一样的结论啊!飞机速度

    快，用里程计算，事故率就低。火车慢，以时间来计算就显得火车安全。好神奇

    啊!”

    “是啊，最后爸爸给你出一个小思考题。第二次世界大战期间有一个航空专家

    需要统计出轰炸机机身哪些部位容易被地下的炮火击中，以及各种损害对飞机的致

    命程度，这样就可以有针对性地加固装甲保证飞机安全。他记录了几乎所有从战场

    飞回来的飞机被地下炮火击中的部位，机翼机尾密集分布有弹着点。让他有些奇怪

    的是飞机油箱附件几乎没有看见击中痕迹。你想想这位航空专家应该如何加固飞

    机？”三、找规律

    数学家会根据已经发生的事情，建立模型来预测未来的事情。

    网络上流传一张图，据说是香港小学入学测验题。有一组写在地上的数字，数

    字间都用长长的白线区隔开，每个数字代表一个停车位。数字分别是16，06，68，88，空格，98，问空格中应该是什么数字？

    这天是周末，在书房里爸爸就把下面这道题出给妞妞做。

    妞妞知道小学数学课是讲找规律的，不过看见这个题却不知道从哪里下手，加

    减乘除，甚至平方立方都看不出规律。

    “你想想，这是入学儿童的题目，他们不会你说的这些高级计算啊!”爸爸启

    发妞妞。

    “哦，原来是倒过来看啊!86，87，88，89，90，91啊!空格地方是87。”妞

    妞大声报告自己的发现。

    “对!完全正确!找规律是在考验你的洞察力和推断力，如果我们能够对规律

    敏感，我们就能预测未来哦!”“那我不是神仙了!前知五百年后知五百年。”妞妞咧开嘴笑，“不过我将来

    要赚好多好多钱。”

    现在的小孩子很早就接触大量的信息，有自己的想法不奇怪，爸爸倒是确实好

    奇孩子将来会是怎么样。想想自己从一个湖南乡下的顽童，到今天远离家乡在北京

    成家立业，哪里是当时能想象的？自己小时候最大的梦想就是做一个汽车司机，开

    大卡车，像公社袁师傅一样，那该多么威风!

    “你们课堂上是不是讲过找规律填空的例子啊？”

    “对啊，像等差数列、等比数列都讲了，老师说这是一个叫高斯的数学家小时

    候发明的求和公式，确实是又简单又神奇!”

    “像1，2，4，7，11，( )，22，29，37，你能找出规律吗？”爸爸写下一

    列数字。

    妞妞托腮凝视，想了好一会儿，突然大声说：“我知道了!他们的差是1，2，3，4，5，既不是等差也不是等比，也不是平方立方，是等差的等差!哈哈，填16

    啊!”妞妞高兴地差不多要手舞足蹈了。

    “妞妞太厉害了!再出一个，看你行不行!”爸爸在纸上又写下一串数字：3，49，18，6，36，17，9，25，16，12，16，15，15，9，14，18，( )，( )。

    这回妞妞可是有些被难住了，想了好久，草稿纸用了好多也没有看出来是啥规

    律。

    爸爸看妞妞确实困难，就提醒道：“把它按三个一组、三个一组看看有什么规

    律。”原来如此!妞妞心里感叹。妞妞很快找到了规律，原来是一个三个一组循环排

    列的数列。第一个是3的倍数3，6，9，12，…；第二个是平方数49，36，25，16，…；第三个是一个下降的数列18，17，16，15，…。这样就简单了，括号里的数字

    应该是4和13。妞妞写下答案，长出一口气说：“这个有点难，周期重复规律有时候

    看不出来。”

    “周期规律是我们最需要重视的，人类社会许多重大的事件都可以找到周期规

    律，比如，工业革命，蒸汽机带来了火车和纺织机械，电气革命带来了灯泡和照

    明，石油化工带来了塑料、化肥和化纤织品，更近代的电子信息革命带来了拥有互

    联网、电脑和智能手机的数字世界。这样的技术进步实际上已经是我们这个世界进

    步的最主要的推动力。每一次都会产生一个蓬勃的新行业，产生伟大的企业家，整

    个社会的资源包括金钱资本和人员智慧都向这个方向流动。等到你参加工作进入社

    会的时候一定也有新兴的行业产生，尽管我们现在还不知道是什么，创新的规律总

    会起作用。掌握社会发展周期律，能让你站得高看得远，知道应该做什么不应该做

    什么，不犯错不说，也更容易取得成功。”

    爸爸一番宏论估计妞妞没听懂多少，不过能明白一点点也是好的!

    “数学家会根据已经发生的事情，建立模型来预测未来的事情，这很常见。比

    如，天气预报，就是根据温度、气压、湿度、空气流动等，使用超级计算机建立非常复杂的数学模型，来预测今后的天气，像是刮风下雨天冷天热。”

    “那有什么能预测一个人的命运呢？扑克牌能算命吗？看手相是真的吗？”

    爸爸心里想现在的孩子知道的可真多，估计孩子班上也有“半仙”了。

    “这些都只是游戏，但是人的命运确实有一些是可预测的。比如，认真学习成

    绩就好，勤奋坚持一定会有成就。某种程度上个人性格是决定命运的一项重要因

    素，外界环境，如教育、朋友、机会构成另外的部分。不过很多人不愿意相信这也

    是命运预测，不愿相信这是一种逃不脱的必然，总想鸡窝里飞出个金凤凰，癞蛤蟆

    吃到天鹅肉这样的美事、这样的奇迹，却不知道这个世界实际上没有奇迹，只有你

    不知道的艰辛和苦功夫。”

    “爷爷上次就说吃得苦中苦，方为人上人啊，是不是就是这个意思啊？”

    “是呀，有的人吃一点苦就哇哇大叫，这样的人不会成就事业的。”爸爸点点

    头，很欣赏孩子还记得爷爷的话，“不过对未来的预测再聪明的人也经常有犯错

    误、闹笑话的时候。爸爸给你讲一个故事。”

    “20世纪60年代，这也是爸爸出生的年代，欧洲10个国家中大约30名科学家、社会学家、经济学家和计划专家，在罗马召开了会议，成立罗马俱乐部，希望通过

    对人口、粮食、工业化、污染、资源、贫困、教育等全球性问题的系统研究，提高

    公众的全球意识，敦促国际组织和各国有关部门采取必要的行动，以使人类摆脱所

    面临的困境。他们的观点认为人类的未来极为灰暗。”

    爸爸等了等，接着说：“由于人口繁衍加速，不可抑制的人口增长将会迅速消

    耗完地球上所有的自然资源，粮食危机即将到来。那时，他们计算出地球上的可耕

    地面积大约为33亿公顷，而21世纪地球人口将超过60亿，大饥荒不可避免。”

    “并且，由于自然资源的不可再生性，比如石油、煤炭等化石资源几乎不可能

    在人类可认识的时间内再生，地球矿藏金、银、铜、铁、锡等储量有限，越用越

    少，数十年后必将面临枯竭，之后的人类将面临资源极度短缺、发展乏力等问题。

    再有就是由于碳排放加剧，地球将产生温室效应，洪水泛滥，殃及人类。”“总之是灾难即将来临，战争、瘟疫、饥荒马上就要在全球泛滥，人类对此无

    能为力。”

    “他们说的不对吧，爸爸？”妞妞有些害怕，如果是真的，那可如何是好？

    “不能说完全不对，不过他们的大多数结论已经被今天的事实所否定。

    “比如，现在地球人口超过70亿，并没有发生全球性的饥荒，这是因为粮食产

    量得到提高，人们获得食物的渠道更加多样，石化工业的发展使得不需要种植那么

    多的棉花，化学纤维提供给了人们更多的衣物纤维来源，粮食种植面积也大大增

    加。”

    “人类发现了许多新的石油储量，发现了新的开采技术使过去不易开采的石油

    可以高效地被开采出来，比如页岩技术。同时新能源像太阳能、核能、风能、水电

    等占越来越大的份额，新能源对自然资源的消耗几乎可以忽略。”

    人们对于自然矿藏的消耗速度也变缓了，这是由于电子信息技术的高速发展，人们只需要消耗单晶硅就可以完成信息交流，对能量的消耗并没有直线上升。”

    妞妞长出了一口气，总算不是真的，不过爸爸接着又说：“罗马俱乐部的许多

    分析和结论还是极有价值的。比如，他们让地球人对环境尤其是温室效应的关注极

    度增强。他们预期的人口增长和环境资源约束之间的矛盾在某些地方和某段时期还

    是有明显的影响的，比如，在中国20世纪的七八十年代，人口造成的社会问题非常

    严重。工作、住房、交通甚至幼儿园、小学、初中等资源极度短缺，人们的基本生

    活要求都得不到保障。这个问题直到今天还在影响中国。”“所以我的同学们大多都没有兄弟姐妹，我好羡慕有姐姐妹妹的人。”妞妞

    说。

    独生子女确实是有些孤独感，希望她们的下一代能拥有兄弟姐妹，那是一种多

    么亲密友善而又极为珍贵的情感!

    “爸爸可以给妞妞养一只小龙猫，怎么样？”上次孩子在宠物店看到各种宠

    物，兴奋异常，看看小狗，摸摸小猫，兔子啊、花栗鼠啊个个喜爱得不得了，久久

    不愿意离开。不过家里实在是不愿意养麻烦的宠物，更加害怕宠物养不好得病或死

    去，小龙猫或许是一个选择。

    “啊!真的呀!太好啦!爸爸太好啦!”妞妞非常高兴，“那我们一会儿就去

    啊!”

    “好啊，我和妈妈已经商量过了。你还想听故事吗？关于股票预测的故事，你

    不是喜欢赚钱吗，股票可是赚钱的人经常买卖的哦。”爸爸故意逗孩子。

    “好吧!”尽管非常希望马上看到小动物，不过故事还是可以听的，何况还是

    赚钱的股票故事，反正一会儿就去买小龙猫。

    “股票的价格变化很快，也常常出人意料，不过也有基本的规律。比如，新购买的资金多，价格上涨；资金流出股市，价格下降，这是供需规律在起作用，股票

    就像一般的商品一样，买的人多就贵，卖的人多就降。”

    “那为什么买的人多或卖的人多呢？”妞妞问。

    “妞妞提了一个非常好的问题。这就取决于人们对于股票价格涨跌的预期了，买涨不买落是一般的行为。而对股票的价格预期取决于一些基本因素，比如宏观经

    济，也就是国家总体经济形势，再加上行业兴衰和企业的经营状况，而这些都有一

    些已经发生，是事实和数据可供预测用。”

    “那买股票怎么会有人亏钱呢？这不是很明白简单的事情吗？”

    “说起来确实是简单，我们的股票从大周期上来看有非常明显的周期规律。比

    如，上证指数从2005年6月的约1000点上涨到2007年的6100点；2008年10月的

    1600点上涨到2009年8月的约3500点。也就是说2005年当时的1万块钱，2009年可

    以是12万块，上涨12倍，这远大于平均收益率。不过前提是能清晰地分辨出牛市的

    起点和高点，而这就是几乎不可能的事情了，没有人能做到这一点，当然部分做到

    这一点也需要极大的智慧。”

    “牛市是卖牛的吗？”妞妞似懂非懂，不过看得出十分有兴趣。

    “牛市就是股票价格上涨，因为牛眼朝上看，股票下跌就叫熊市，因为熊的眼

    睛朝下看。是不是很好玩啊？”

    “我也喜欢牛!我是属牛的!mie——!”妞妞长长的学了一声牛叫，还夸张

    地用两只手模拟牛角，边叫边晃动脑袋。

    爸爸也笑了，“道理很简单，实践很复杂，这就是股票乃至商业的有趣之处。

    你觉得涨，他人觉得跌，这就需要看大部分人的判断是什么了，一般人是很难知道

    大部分人的判断的。现在的互联网大数据技术可以做到这一点。这也是数学。”

    “什么是大数据呢？是数据很大吗？”妞妞一脸不懂的样子。

    “大数据是指用数学方法，把互联网上收集到的数据进行整理、分类后根据需要回答的问题来做统计。比如，需要知道某只股票大家看涨还是看跌，就需要对网

    上最新的言论、数据统计做一个判断，也就能看到大家的预期了。不过这个还是可

    能不准，因为还不能完全判断实际交易时资金的流进流出总量。”

    “挺好玩的，可以用电脑自动买卖股票挣钱吗？”

    “可以啊，最早发明这种方法的是纽约大学一位数学系教授，现在是数百亿美

    元的大富翁!他基于丰富的数学知识，发明了机器交易的算法，一般称之为量化交

    易。依据交易数据和营利目标决定交易策略，并完全交由电脑来交易，很成功!不

    过他的数学方法是不能让别人知道的，一旦泄露就赚不到钱了!”

    “数学还能赚钱啊!真好!”

    “机器也只是实现了人的智慧!人的智慧才是最重要的。”爸爸微笑着看着孩

    子。

    “爸爸最后给你留一个小思考题，我们就去买龙猫。”爸爸说完，在一张白纸

    上写下下面的计算：9×9×9×…×9，一共99个9相乘，问个位数是什么？四、逻辑的力量

    如果问两个武士中任何一个人如下问题“如果我问另外一位武士哪道门是自

    由之门，他会指向哪道门？”会怎么样？

    妞妞期中考试时班上出了两件事情。

    第一件事是一件有趣的事。考数学的时候，数学老师总站在邓雨颀的小桌子

    边，还低头看她答题。这让邓雨颀很紧张，可是又不好直接请老师离开，别站在边

    上。鬼灵精的邓雨颀拿出餐巾纸，很夸张很大声地擤鼻涕，然后把纸团放在桌子

    边。老师一下子就觉得不好了，赶紧离开，而且整个考试再也没有站在她的边上。

    考试完了，几个小朋友在教室的角落里咯咯笑了半天。

    第二件事就不太好玩了。语文考试的时候班上的超级学霸居然被发现作弊!事

    情大致是这样的：这次语文考试期间，她被老师发现在看写满古诗文的纸张，然后

    就被带到校长那里去了，放学的时候都没有出来。同学们传八卦可厉害了，甚至都

    怀疑她过去几年的成绩都是抄袭的，要知道大学霸独来独往，朋友不多，几乎所有

    的同学都在叽叽咕咕传她的事情。

    下学后妞妞当然会向爸爸说这些学校的事情。第一件事妞妞说得绘声绘色，还

    模拟出擤鼻涕的声音，把爸爸逗得大笑。第二件事爸爸听完后就变得比较严肃。

    “学霸之前有过考试作弊的事情吗？”爸爸问。

    “没有啊，我们觉得好奇怪。她整本书都能背出来耶!”

    “那你想一想，她有抄袭作弊的理由吗？”爸爸又问。

    “没有啊!就是奇怪嘛!”“那爸爸觉得这应该是一个误会，你不是有时候也很烦恼同学们背后说闲话

    吗？爸爸觉得你还是先不要认定她作弊，说不定明天就会有合理的解释哦!”

    第二天下学，妞妞等不及放下书包，就和爸爸说：“爸爸，你好厉害哦!果然

    学霸不是作弊，她把嘴里的口香糖用废纸包起来，废纸刚巧就是她平时默写古诗文

    的草稿纸。老师看她低着头，以为她在偷看。后来在校长办公室老师让她独立完成

    了考卷，当场打分。她的考分是100分耶!”

    “果然不出所料，她没有理由作弊嘛!这就是逻辑推理的作用。”爸爸小小的

    得意。

    “今天还有同学传这些乱七八糟的话，学霸很不开心。不过今天我去安慰了她

    一下，我们两个一起跳绳了。她其实很不错的!”

    “爸爸很高兴妞妞能独立思考。逻辑推断就是通过深度思考来推断出隐藏的结

    论，不受表面的东西迷惑，非常有趣也很有用!今天也给你出一个逻辑推断的小题

    目你来想想看。

    “有一个珠宝店发生了一起盗窃案，被盗走了许多珍贵的珠宝，经过几个月的

    侦破，查明作案的人肯定是A、B、C、D中的一个，把这四个人当作重大嫌疑犯进行

    审讯，这四个人有这样的口供：

    A：‘珠宝店被盗那天，我在别的城市，所以我是不可能作案的。’

    B：‘D是罪犯。’

    C：‘B是盗窃犯，他曾在黑市上卖珠宝。’

    D：‘B与我有仇，陷害我。’

    “因为口供不一致，无法判断谁是罪犯，经过进一步调查知道，这四个人只有

    一个说的是真话。你知道罪犯是谁吗？”

    妞妞开始分析，“如果A说的是真话，那么B、C、D说的都是假话。B说D是小偷，那么D肯定不是，但D说B和他有仇陷害这句话就为真，矛盾。所以A说的不可能

    是真话，那么A一定说假话，A是小偷!”

    爸爸非常吃惊妞妞的思考方式，“妞妞太棒了!太棒了!你看，爸爸是这样考

    虑的。根据B、D两人的话矛盾，可知两句话中必有一句真话，一句假话。假设B说真

    话，那么D是罪犯，而A也说了真话，产生了矛盾，所以只有D说真话，其余三人均说

    假话，则A偷了珠宝。”

    妞妞说：“我的方法也一样啊!好像还简单些。这种题目很好玩，还能破案。

    爸爸再给我出一个。”妞妞摆了一个拿枪的姿势，“我是名侦探柯南!”

    “好吧，我给妞妞讲一个恐怖的破案故事，别害怕哦!

    “杰克先生喜欢看侦探小说，家住在新泽西，到纽约上班要坐地铁路过纽约中

    央车站，每天总能看到一个胡子拉碴、又脏又臭的流浪汉坐在靠墙的转角处傻傻地

    笑，奇怪的是流浪汉对每个给他施舍的人都会大声说一个词。

    “一位妇女给他一枚硬币，流浪汉大声说：‘菜花!’对着她傻傻地笑。

    “杰克先生的邻居马克先生给了流浪汉一枚硬币，流浪汉大声喊：‘人!’不

    过没有一点儿笑容。杰克先生心想，马克先生当然是人了，难道还是猪？他怎么也

    不喜欢马克先生呢？好像马克先生身上有一些奇怪的味道，而且从不让别人到他家

    里去。

    “杰克先生自己也给了流浪汉一枚硬币，流浪汉喊道：‘牛!’咧开大嘴又

    笑。牛也不错!

    “接下来的一位胖大婶也给了流浪汉一枚硬币，流浪汉喊道：‘猪!’胖大婶

    不太高兴，不过也没啥办法，尴尬地笑了笑就走过去了。

    “杰克先生觉得非常好奇，就稍微慢下来脚步。又有一位年轻人给了流浪汉一

    个三明治，流浪汉喊道：‘面包!’

    “杰克先生略微思考之后十分震惊，立即找了一个安静的地方打电话报警，请问这是怎么回事？”

    妞妞很迷茫，这有什么值得报警的呢？一个疯子，流浪汉……哎，等等，流浪汉

    说的话是什么意思呢？妞妞大脑在飞快思考。他是在骂人吗？不应该也没理由。流

    浪汉最关心的是吃饱和保暖，或许是食物，啊!我知道了!

    “流浪汉说的词语是给他施舍的人吃的早餐，他有特异功能能识别他人刚刚吃

    过的食物是什么。有人吃人肉？啊!好可怕!”妞妞用手捂住嘴，眼睛睁得大大

    的。“马克先生早餐吃人肉!太可怕了啊!”

    “妞妞回答很正确啊!太厉害了!别害怕啊，这不过是个故事。不过这类恐怖

    智力故事就是有些可怕。我们还是不要讲的好，好吧？”

    可妞妞觉得破案的故事实在是刺激好玩，一会儿反过来又央求爸爸再讲破案的

    故事。

    爸爸说：“破案的故事有些确实是有非常血腥恐怖的东西，今天咱先不讲了，讲上学的题吧!

    “数学考试满分是100分，A、B、C、D、E这5个同学都参加了这次考试。

    “A说：‘我得了94分。’

    “B说：‘我在5个人中得分最高，我第一!’

    “C说：‘我的得分是A和D的平均分，且为整数。’

    “D说：‘我的得分恰好是5个人的平均分，我是中不溜!’

    “E说：‘我比C多得了2分，并且在5个人中排第二。’

    “问这5个人各得了多少分？”

    妞妞拿出纸把几个条件记下来，托着腮自己思考。“这怎么做啊？”妞妞皱着眉，试图看出什么却又不知从何处下手。

    “就是用推理的办法，依据已经给出的条件，一点一点地把每个人的分数推断

    出来。”爸爸想可能题目的类型有点生疏，“你先试试能不能先把名次排出序来，而后再推断每个人的分数。”妞妞点点头，再次思考起来。

    B、E分别为第一、第二名，C介于A、D之间，这有两种可能，A比D大或D比A

    大。

    则当A为第三时，C为第四，D为第五，但是D的得分是5个人的平均分，D显然不

    可能是最后一名，这个判断不成立。

    于是D必须是第三名，D、C、A依次为第三名、第四名、第五名。A得分最低。

    于是排名出来了!B、E、D、C、A依次为第一名、第二名、第三名、第四名、第

    五名。

    A为94分，C为D、A得平均分，且为整数，所以D的得分一定为偶数!这可能一

    般人想不到哦!逻辑的厉害就在这里体现，而且它只可能为98或96(如果为100，则B、E无法取值)，D、C、A得分依次为98、96、94或96、95、94。

    由于E比C高2分，则E、D、C、A得分依次为98、98、96、94或97、96、95、94。

    对应5个人的平均分为98或96，而B的得分对应为104或98。

    显然B得不到104分，所以B、E、D、C、A的得分只能依次是98、97、96、95、94。

    妞妞高喊了一声：“我做出来了!做出来了!”一只手举着笔，一只手举着写

    有答案的纸，围着客厅转了一大圈。

    “爸爸，我觉得这个比破案还难啊!”妞妞很是有些感叹。

    “是啊，今天讲最后一个逻辑故事，然后就去游泳。“《唐·吉诃德》是西班牙小说家塞万提斯的名著，讲了一个不讲时宜的破落贵

    族梦想自己是旧时代的骑士，到处行侠仗义却又处处碰壁的有趣故事，在北京大学

    的校园里还有一尊西班牙政府赠送的塞万提斯铜像，很精致很好看的。

    “小说中有一个好玩的故事。说在一个遥远的国度，有一位残酷的国王，任何

    外来的人都要向他说明来的理由，如果理由不正确，就要被绞死。一位聪明的旅行

    者同样被问到来的理由，旅行者说：‘我是来受绞刑的。’

    “国王有些发愣，无法判断这句话是对还是错。如果说这位旅行者的理由不正

    确，那么这位旅行者就要被处以绞刑，这样一来旅行者的理由就正确了。可是如果

    认为旅行者的理由是正确的，那么旅行者就应该被释放，这样一来旅行者说的理由

    就是不正确的了。

    “国王前思后想，无法判断，也就只好释放了旅行者。”

    “这个故事很好玩，《唐·吉诃德》这个小说哪里有哇？我想看看。”妞妞说。

    “好啊，爸爸给你买一本少儿插图版，可好玩了。他骑一匹老马，拿一支破

    枪，带着一个有点呆呆的仆人到处寻找行侠仗义的机会。他还和大风车作战!”

    “好想看看哦。”

    爸爸接着说：“最后爸爸再给你出个特别好玩的逻辑思考题，你来想。你一觉

    醒来，发现自己被关在一间密室里面。密室有两个门，一个门框上写着‘死亡之

    门’，一个写着‘自由之门’，门口由两位武士分别把守。有一个声音告诉你，这

    两个武士一个从不说谎，另外一个从不说真话，但是不知道谁诚实谁说谎。你只能

    问其中一个人一个问题来决定要打开哪道门逃生，请问你怎么办？”妞妞想了半天也想不出来，爸爸提醒道：“如果问两个武士中任何一个人如下

    问题‘如果我问另外一位武士哪道门是自由之门，他会指向哪道门？’会怎么

    样？”五、合作才好

    别的财产都好办，就是家里的17匹骆驼不好办。怎么分都分不尽，难道真的

    要杀骆驼分肉吃？

    妞妞班上有两个好朋友，一个叫刘佳怡，一个叫邓雨颀。这天是妞妞的生日，又是周末，两个小同学加上小区里的好朋友戴明琪、戴金宇都到家里来吃蛋糕。

    刘佳怡同学戴着眼镜，白白净净、斯斯文文的，说话细声细气，总是面带微

    笑。邓雨颀同学个子比较高，长头发高鼻梁，大眼睛水灵灵的，一副机灵古怪的样

    子。戴家是新加坡华人，是我们的邻居。家里两个孩子格外可爱，姐姐戴明琪小妞

    妞两岁，乖巧伶俐，和妞妞特别要好。弟弟戴金宇还没有上学，淘气的不得了，一

    进门就在地上爬，把小龙猫赶得到处跑。

    三个大孩子围坐在桌子旁吃蛋糕，边吃边聊，很是热闹。桌上摆着的一个大大

    的巧克力蛋糕已经切下一半多了，蛋糕上的字已经不完整了。蛋糕边上放着几盘水

    果，葡萄、苹果和白兰瓜。爸爸妈妈也在桌边坐着，一边吃蛋糕听小孩子们交谈，一边还要送吃送喝做服务。邓雨颀说：“陈晶晶同学上科学课，老师拿来一张鸟的图片让她回答是什么

    鸟，还把鸟的大部分都遮住，就留下两条腿。晶晶回答不出来，就说：‘老师您看

    桌子底下的腿，能认出是哪位同学吗？’”大家都笑了。

    刘佳怡说：“通过鸟毛可以认识鸟啊，人又没有毛。”一边说一边用手捂住

    嘴，眼睛眯成一条缝，小脸因为笑而红扑扑的。

    戴明琪说：“人有毛啊，可是同学穿裤子啊!”大家笑得更厉害。

    “陈晶晶好像是有些搞怪，净说一些奇怪的话。有一次我看见她书包里居然有

    几只卤鸡爪，下课的时候拿出来啃，还吧唧吧唧咂摸滋味。啃完了又把小鸡爪骨头

    按原来鸡爪的样子排列在作业本上。下一堂课科学老师看见，问她这是干什么？她

    说：‘请老师猜猜这是什么鸟？’”

    “那是鸡鸟啊!”邓雨颀大声说，大家笑得前仰后合，不可开交。

    爸爸看孩子们吃得差不多了，就问大家一会儿上哪儿玩。大家商量后决定到院

    子里面跳绳。

    爸爸说：“刚吃完东西不要剧烈运动，因为会影响消化。我给大家出一道题，大家一起想一想，做一个游戏，好不好？”大家纷纷表示赞同。

    爸爸说：“我给你们出一个关于腿的数学题。‘鸡兔同笼’是我国古代算术书

    《孙子算经》中最有名的数学问题，原文说‘今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五

    头，下有九十四足。问雉兔各几何。’意思是：有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？”

    邓雨颀马上说：“鸡腿和兔腿完全不一样啊!不用算了，看看鸡腿和兔腿不就

    行了？头都不用看!”大家哄堂大笑。妞妞拿苹果的手指着邓雨颀呵呵大笑，说不

    出话。

    戴明琪说：“鸡会啄兔子吗？它们在一起会打架吗？”

    “估计兔子打不过鸡。兔子又没有爪子，鸡啄起来可厉害了!”妞妞养过兔

    子，知道兔子的温顺。“不过还是可以做朋友吧？”

    刘佳怡也笑着说：“这是叔叔出的数学题啊!我们先想想。”

    爸爸很喜欢小姑娘的善解人意。“大家先不要纠结这些细节，我们的兔子和鸡

    都是最温顺不打架的品种，而且它们穿一样的鞋戴一样的帽。”

    大家笑得更厉害，想象穿鞋戴帽的公鸡母鸡，还有白兔花兔会是什么样子，不

    过也明白爸爸是为了把大家拉回算术题上来，一会儿也就安静了。

    “《孙子算经》的方法是这样的：脚的数量的 减头的数量数，即

    12就是兔子的数量；头的数量再减去兔子的数量，即35-12=23为鸡的数量。”戴明琪不明白，立即问道：“这是为什么啊？”

    大家也纷纷表示不明白是什么原理，怎么算的？

    爸爸说：“原来孙子先生是这样想的。他假设可以命令动物抬起一半的脚，则

    每只鸡就变成了‘独脚鸡’，而每只兔就变成了‘双脚兔’。这样，‘独脚

    鸡’和‘双脚兔’的脚就由94只变成了47只。最重要的是这个时候鸡的头数与脚数

    之比变为1:1，兔的头数与脚数之比变为1:2。由此简单推断出每多出一只‘双脚

    兔’，脚的数量就会比头的数量多1。对吧？”

    大家思考一会儿，纷纷点头。

    爸爸接着说：“所以，‘独脚鸡’和‘双脚兔’的脚的总数与它们的头的总数

    之间的差，就是兔子的只数。对吗？”

    “对呀，对呀!”这回大家都明白了。

    爸爸还想多教一些东西给孩子们，于是拿来纸和笔写下一个方程组。

    “我们古人是不会现代数学方法的，用现在列方程的方法，这个问题就更容易

    解决了。设鸡有x只，兔有y只，则根据题意有：x+y=35，2x+4y=94，解这个方程组

    得x=23，y=12。列方程是你们马上就会学到的东西，我们即使是不会，也可以用解

    答‘鸡兔同笼’问题的思想方法解决许多问题。“我再出一道应用题，你们都想想，看看谁会解答？

    “班主任张老师带四年级(2)班40名同学栽树，张老师栽5棵，男生每人栽3

    棵，女生每人栽2棵，总共栽树105棵，问几名男生，几名女生？”

    这回妞妞最先想出来。她慢慢说：“如果全班都是女生，每人栽两棵树，一共

    栽80棵，每一名男生就多种一棵，所以男生的数量是105-5-80=20人，女生20

    人。”

    戴明琪急切地说：“啊!原来我忘了把老师栽的减掉了!”

    大家都表示妞妞的算法很正确，验算也是对的。

    “刘佳宜和邓雨颀也想出来了？”看到大家意犹未尽的样子，爸爸说：“你们

    学过分数，我们今天再出一道分数题，好不好？我先问问你们有多能吃。”

    大家都有些莫名其妙，不过还是很期待地看着爸爸。爸爸说：“你们都说说这

    个巧克力蛋糕好吃吗？你们一次可以吃多少蛋糕？”

    戴明琪年纪小，说：“好吃，我能吃这么大的蛋糕的十二分之一块。”

    刘佳怡说自己可以吃十分之一块，邓雨颀说自己可以吃九分之一块，妞妞说自

    己可以吃八分之一块，戴金宇听到大家都说几分之一几分之一，趴在龙猫笼子边也

    高喊了一句：“七分之一!六加一等于七!”

    戴明琪说：“弟弟，不淘气啊!”

    戴金宇站起来，一脸坏笑，“我没有淘气啊!刘佳怡!邓雨颀!”一边用手指

    着两位小姑娘。

    大家恍然大悟，原来小娃娃在一边琢磨上了两个女生的名字，谐音像六加一等

    于七，于是大家又一起大笑。

    爸爸妈妈也在笑。爸爸说：“我们把戴金宇也算一份吧!就好像蛋糕是一个工

    程任务，我们有五个施工队，第一个施工队是戴明琪队，每天进展十二分之一，也就是要十二天完成；刘佳怡队十天，邓宇颀队九天，妞妞队八天，戴金宇队七天。

    如果大家一起做，要几天完成这个工程呢？”

    “好像就是把他们每天完成的分数加起来，然后用1来除。计算的方法我知道，可是就是不知道为什么。”刘佳怡有些不好意思的样子。

    “我们把任务看作一个整体，比如，设为A好了。五个队一起工作的时候，可以

    完成 。这个分数求和有点复杂，不过也就是复杂而

    已，并不难，我来算算。”

    爸爸在纸上很快就计算最小公倍数是2×2×2×3×3×5×7=2520。

    于是分数之和就是

    这也是大家一起工作的任务完成速度。

    最后任务A按共同参加来算完成时间，需要时间 。

    大家安静地看着爸爸计算。

    “这样看起来就比较好理解了，分子分母中同时都有A，可以约掉。这也就相当

    于是用1来除分数之和。用任务量除以完成速度得到时间，这个大家应该是懂的。

    “为了照顾小学生还没有学习方程，我们经常就假设任务为1，意思是一项任

    务，这只是为了简化整个计算，用小孩子们的知识更加好懂一些。”

    “我懂了!我懂了!再出一个好玩的吧!”刘佳怡高兴地说，大家也嗯嗯地表

    示自己也同意。

    “好吧，我给大家出一道好玩的小思考题，大家就可以去跳绳了。”爸爸清清嗓子，“从前有一位财主，要给自己的孩子分财产。三个孩子，老大得全部的 ，老二可以得到剩下部分的 ，最后再在剩下的部分中取 给小儿子。别的财产都好

    办，就是家里的17匹骆驼不好办。怎么分都分不尽，难道真的要杀骆驼分肉吃？你

    们有时间就都好好想想，出出主意好不好？”六、无穷无尽的数

    假如你有无穷的财富，那么你分给地球上的每一个人，每一个人都会拥有无

    穷的财富。这是不是很奇妙？

    在“十一”黄金周青岛的海滨，天气晴朗，海风阵阵，海滨浴场还有人在游

    泳。午饭后，爸爸和妞妞在海边散步。爸爸四十多岁，一身休闲装，浓眉下目光炯

    炯，头发有些过早的斑白，将军肚也不知道什么时候开始出现了，不过身体看上去

    还是非常匀称、健壮。

    “什么东西是无穷无尽的？”妞妞望着大海，轻声地问爸爸。

    妞妞十一岁了，已经上小学六年级了，是一个十分聪慧的小女生，身材高挑，有着一双充满好奇和探索光芒的大眼睛，嘴角有些顽皮地向上微微翘起，总希望能

    提出一些有趣的问题把爸爸难住。

    妞妞问：“大海那边是什么呢？”

    茫茫大海的尽头，只看见海天分隔的一条线，线上面是蓝蓝的天空，挂着几丝

    白云；线下面是深蓝色，甚至有些深绿色的大海。海上有几条大货船，似乎凝固在

    海中。

    “海是有尽头的，海的那边近一点说是日本，远一些说是美洲大陆。”爸爸回

    答道。

    “那么沙子是不是无穷无尽的呢？”妞妞问道。

    “当然不是，沙子到底有多少粒，我们不太容易数得清，但是它肯定是有数

    的。”爸爸沉吟了一会儿，想着如何把这个问题讲得更加清楚一些。“地球的重量是一个固定的数，尽管它很大，但它所包含的物质是有限的。所以地球上的沙子肯

    定也是有限的。”

    “我知道，数字是无限的。”妞妞眨巴着明亮的眼睛继续说，“1，2，3，4，5，6，7，…没完没了，直到无穷无尽。”

    “妞妞真是个爱动脑筋的好孩子。的确，自然数是没有穷尽的，但是你想过没

    有是自然数多，还是偶数多呢？”爸爸有意挑战妞妞的思维。

    “当然是自然数多，因为偶数没有1，3，5，7这样的奇数嘛!”妞妞微笑，觉

    得这是一个很容易回答的问题。

    “那么现在假设你那有一副无穷无尽的扑克牌，上面都是自然数。我也有一副

    扑克牌，上面都是偶数，我们比一比看看谁的牌多好不好？”

    “好呀!”妞妞觉得这个游戏不会有什么意思，但是爸爸平时都不让她玩扑克

    牌，这样的扑克游戏玩一玩也不错。

    “你每出一张牌，我都出一张它的两倍数。比如，你出1，我就出2；你出2，我

    就出4。这样你出任何一张牌，我总有牌和你对应。我的牌还比你的牌大呢!”爸爸

    含笑看着妞妞，“这样看来，我的牌怎么会比你的牌少呢？”

    “可是我有你没有的牌呀，你怎么能够和我的牌一样多呢？”妞妞十分困惑。

    “我们说的个数的这个概念，在无穷的世界里，失去了度量的意义。这好像有

    些奇怪，而且过去也让许多数学家们困惑过。”爸爸希望能用尽量简单的语言把这

    个问题说清楚。

    “比如，自然数是一个无穷的数字队列，把其中特别的任意多个数字拿掉，这

    次我们拿掉的是奇数，剩下的数字依然是一个无穷的数字序列，我还能和你玩扑克

    游戏。你出一张，我就能出一张，让我的偶数和你的自然数一个一个对应。”“在无穷的偶数中拿掉有限的数字，比如，把从2开始一直到1000000000(十

    亿哟!)的偶数都拿走。从1000000002开始，你出任何一张牌，比如，n，我就出

    1000000000+2n，怎么样？我依旧是总有牌出的。”

    “那么一个无穷数列里去掉一个无穷数列后，也会剩下一个无穷数列吗？”妞

    妞似乎开始有些明白。“从我的自然数队列里面把奇数列拿掉，剩下的是偶数列，奇数列和偶数列都是无穷的数列。”

    “这不一定总能成立，比如，在自然数数列中，从1000开始我们把之后的无穷

    数列去掉，剩下的就是一个从1到1000的有限数列了。”妞妞点了点头，表示自己已

    经明白。

    “一般而言，无穷数列的奇数项和偶数项各自单列，是能够构成两个无穷的数

    字队列的。实际上按照这样的方式，可以分出任意有限个无限数列。这个特点和有

    限队列均分之后数量减少的性质完全不同。一百个士兵，均分为十队，每队就只能

    有十个人，对不对？”爸爸希望这些没有让十几岁的小脑袋瓜糊涂。妞妞点点头，爸爸接着说。

    “但是无穷数字队列就不一样了。比如，无穷的自然数数列，按顺序均分为

    1000000000个数列，每一个数列都可以是无穷的数列。我们可以把第K个数列表示

    为n×1000000000+K，其中n表示自然数。也就是说每隔10亿抽出一个数，可以形成10亿个无穷数字队列。”

    爸爸和妞妞慢慢往前走。沙滩上有许多孩子放风筝，五颜六色的风筝高高飞

    翔，光脚的孩子们欢笑着奔跑，可妞妞似乎一点都没有注意到。“就像孙悟空的分

    身法术，能变出许多的孙悟空，而自己一点都不受损失。”

    妞妞抬起头，若有所思地说。“尽管它们每一个数列要经过1000000000次之后

    才能得到一个数字，但是它们居然还都是无穷多的数列!太不可思议了!齐天大圣

    孙悟空？”

    “这只是一个比方!想一想，假如你有无穷的财富，那么你分给地球上的每一

    个人，每一个人都会拥有无穷的财富。这是不是很奇妙？可惜这种事情只能在无穷

    数列的世界里才能发生，因为人们还没有办法找到拥有无穷无尽现实财富的方

    法。”

    妞妞点点头，表示自己有些明白了。“这确实太奇妙了!可是，爸爸，吝啬鬼

    故事里面的鸡生蛋，蛋孵鸡，算不算是无穷无尽的财富呢？”

    有个故事是说吝啬鬼偶然捡到了一个鸡蛋，非常高兴。回家后对妻子说：“我

    们家发财就靠这个蛋了，蛋孵鸡，鸡生蛋，蛋再孵出更多的鸡。”前些时候爸爸给

    妞妞讲过这个故事。

    爸爸回答说：“如果我们考虑无限长的时间，的确是可以有无穷多的鸡和蛋。

    如果这就是财富的话，就是无穷的财富。可惜我们无法找到能够永远不死的人来管

    理和分享这样的财富。换句话来说，这不是现实的财富。再说地球是有限的，地球

    上能够养活的鸡也会有限度。”

    妞妞看上去有些失望。

    爸爸接着说：“按照我们刚才说的扑克游戏，我们也可以拿平方数和自然数一

    一对应，对不对？你出任何一个自然数，我就出它的平方。”

    “对，但是这还是两个一样无穷的数列呀!”妞妞这次不再上当了。“我们没有办法比较它们的个数多少，但是我们可以比较它们变大的快慢，对

    不对？妞妞，如果一个自然数比另外一个大，那么它们的商有什么特点？”爸爸问

    妞妞。

    “商应该大于1。”妞妞回答。

    “n和n2都可以变得无穷大，但是它们跑向无穷大的‘速度’是不一样快的，显

    然n2要跑得快些。数学家们是这样定义的，如果 还是一个无穷大的量，那么

    我们就把n2叫作比n高阶的无穷大。如果这个商是一个常数，那么我们就称这两个无

    穷大量是同阶的无穷大量；如果它们的商是一个一次项，就称分子为高一阶无穷

    大；商是二次项，就称分子为高两阶的无穷大，依次类推。”爸爸慢慢地说，不想

    说得太快，让小孩子反应不过来。

    “自然数列和偶数列是同阶无穷大量，可是自然数列不是比偶数数列变大快一

    倍吗？为什么它们还是同阶呢？是不是因为它们的差距还不够大？”妞妞很是为自

    己的数列不能比爸爸的数列高一阶而不平。

    “这也没什么难理解的，快一倍是没错，但是只是相差常数倍，对不对？在无

    限的世界里，常数倍意味着没有实质的改变。就像你上小学，一年级、二年级，直

    到五年级、六年级都是小学生，但是过了六年级，你就升初中了。中学生和小学生

    就是根本的变化。”看见妞妞陷入了深深的思考中，爸爸慢慢地说：“无穷的概念可以类似地推广

    到负无穷大。我们把自然数扩展到负数，那么-n2和-n(n代表自然数)相比，依旧

    是要快一阶的负无穷大量。还可以把它推广到无限接近某一个数。比如，无限靠近0

    的数列 ，当n变大时，它与0的差距变小，而且越来越小，可以比你拿出的任何数

    都小。我们就说当n趋近于无穷大时， 趋近于0。显然我们可以说 是比 高一

    阶的无穷量，它跑向0的‘速度’要快很多，对不对？只是我们把无限趋近于0的无

    穷量叫作无穷小量。实际上，这些结论当我们把自然数n换成实数时，也都是成立

    的。”

    妞妞说：“这些有点儿难了，不过我知道了当我们进入无穷世界时，会发生许

    多神奇的事情。今天是不是就先到这里，我还要去捡一些好看的贝壳。”沙滩上间

    或能看到五彩斑斓的贝壳，看来妞妞低头思考的时候也还是没有忘记一个孩子的天

    性。

    “没问题，只是你能不能在找贝壳的时候想一想，除了数字和时间之外，世界

    上还有什么是无穷的，好不好？”爸爸微笑地看着往海边跑的妞妞。

    “当然，没问题!我真希望我有无穷的贝壳!”妞妞跑得老远了，还在大声地

    喊。“只是希望你拥有了无穷的贝壳之后，不要太失望!”爸爸喃喃地说，面带微

    笑。七、奇妙的分形

    树木花草的分枝、山峦的尖锥、河湾的圆弧岸、云团的球形构造、闪电的曲

    折、海岸线的圆弧海湾，所有这些自然结构都具有不规则形状，它们都是自相似

    的分形。

    “嫦娥一号”飞到了月球，成功发回来了许多照片，报纸、电视上的宣传非常

    多。今天妞妞看到晚报上的月球表面的照片，惊奇万分，原来月亮上面是这样的!

    通过家里的天文望远镜能看到月亮表面的坑坑洼洼，不过由于大气层的缘故，总是

    看不确切。在图上现在看起来却是如此的真切，如此的细腻。

    “爸爸，这些陨石坑有多大呀？”妞妞抬起看晚报的头，瞪大眼睛问爸爸。

    “确切的大小是不知道的，不过据说月亮上的陨石坑大的能有上百公里宽，小

    的也有数十公里。”“这么大呀!爸爸你看，大圆坑边上还有一些很小的坑，小圆坑边上还有更小

    的圆坑!”妞妞用手指着图高声说，“它们看上去好奇怪!”

    “如果我们能够直接清晰地观看月亮，放大的倍数越大，就可以看到更加细致

    的东西。这实际上是我们这个世界的特征——自然物体是无限细致的。这就是说无

    论你怎么放大，都可以看见更加清晰和细小的细节。”

    爸爸突然想起前些时候准备的分形知识来，这也是一个很好的趣味数学话

    题。“你能计算出月亮表面有多少个陨石坑吗？”

    “大的还可以，小的就算不清了。”妞妞眼睛一转，“如果你先告诉我多大的

    陨石坑才算，我就能计算出来。”

    “妞妞真的很聪明，确实如此。如果不告诉你一个标准，你是无论如何都难以

    数清的。月亮上没有空气，所以哪怕是最小的宇宙颗粒都会在月球表面砸出一个小

    坑来。这个标准实际上就是我们观察一个事物的尺度。用妞妞的学生尺来测量万里

    长城，就嫌太短，对不对？可是要用妞妞的学生尺来测量细菌，就嫌太大了，对不

    对？”

    “对呀，要合适才好。”妞妞回答道。“妞妞知道海滩都是弯弯曲曲的。如果我们测量一段海岸线的长度，它的结果

    和我们测量时所使用的尺度有直接关系。比如，如果我们用公里作测量单位，从几

    米到几十米的一些弯弯曲曲的地方就会被忽略掉。如果改用米来做单位，测得的海

    岸线的总长度会增加，这是因为有更多的细小的弯曲被测量到。不过这个时候一些

    厘米量级以下的弯曲还是没有能计量到，如果我们用厘米来计量，肯定我们又能得

    到更加大一些的数据。”

    “那么这个数据会不会变得无穷大呢？”

    “不会，海岸线的实际长度会因为测量的精度增加而增加，但是这是一个逼近

    的过程，并不是一个生长的过程。还记得爸爸给你算的圆周率吗？它们会越来越逼

    近某一个数字，只不过精度会越来越高。”

    “它会没有限度地提高精度吗？”

    “肯定不会，因为到了原子电子这种层面之后，我们人类的测试仪器已经无法

    保证测试结果的精度了。你想我们需要测试一个微小的粒子的时候，必须与它接

    触，对不对？一接触就改变了微粒子的状态，也就谈不上测量的准确了。”

    略思考了一会儿，爸爸接着说：“当我们不断地提高观测精度，相当于把整体中的一部分放大之后，我们非常惊奇地发现，看到的局部几乎就是整体的复制品。

    比如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极。不断分割下去，每一部

    分依然都具有和整体磁铁相同的磁场。你再看蕨的枝叶。”说着爸爸拿出一张画。

    “蕨的枝叶主干和大分枝的形状，与大分枝上枝干和枝叶的形状有惊人的相

    似。再比如雪花，由于水分子的结构，使得雪花普遍的以六边形的构造存在。总体

    形状是六边形，每一个细部也都是六边形。这种自己与自己相似的层次结构，适当

    的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。如果一个图形的部分以某种方式与其整体

    本身相似，这个图形我们就称之为分形。”

    “月亮表面的照片也是分形，对吗？”妞妞还是在想嫦娥一号绕月飞行的事。

    “对，因为我们放大这张图之后，看到的是尺寸小一些的圆圆的陨石坑，与大

    图的特征相似。我们看到的树、竹子、花草、山峦、河流、云彩、闪电、海岸线、星星，等等，这些自然物体和现象都是某种意义上的分形。它们看上去是杂乱无

    章，但实际上都严格遵守自己的规律。”妞妞看着爸爸，似乎有些不相信。爸爸看出了妞妞的疑惑，于是接着说：“树木花草的分枝、山峦的尖锥、河湾

    的圆弧岸、云团的球形构造、闪电的曲折、海岸线的圆弧海湾，所有这些自然结构

    都具有不规则形状，它们都是自相似的分形。”

    爸爸说着，拿出了好多张艳丽的图片，给妞妞看。

    “这是一位学生使用计算机根据自相似的原理，也就是每一个枝在相应比例的

    地方分出四个分支，不断重复，设计出来的一棵树，你看是不是很像一棵真正的树

    呀？”“哇，确实很像!爸爸，这些都是计算机做的分形图吗？”

    “是呀，还有些人把分形的概念用到诗歌等文学创作里面，分形还为文学的表

    现提供了一种新的模式，英国的幼儿园里教的分形韵律诗就是这种分形模式很好的

    例子。你看：“它们都是歪的!”妞妞忍不住笑了。

    “其实这和我们的故事很相像。从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚讲

    故事，讲的什么呢？从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚讲故事，讲的什么

    呢？从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚讲故事，讲的什么呢？从前有座

    山，山上有座庙，庙里有个老和尚讲故事，讲的什么呢？……”

    妞妞的小嘴不停地张合，爸爸也忍不住笑了。八、斐波那契家的兔子(Ⅰ)

    黄金分割似乎隐含着某些生命的秘密……

    昨天告诉妞妞今天晚上要讲的故事是“斐波那契家的兔子”。妞妞晚饭的时候

    就兴奋得不行。写完家庭作业，躺到床上却不听爸爸讲趣味数学，反而开始央求爸

    爸让她养兔子。

    妞妞这个孩子天性善良，非常喜欢小动物，曾经养过两次兔子。第一次养兔子

    时，刚上一年级。一次从农贸市场带回家两只小白兔，柔软的白色毛发，眼睛水汪

    汪的，怯生生的互相挤靠在一起。

    妞妞照顾兔子仔细极了。菜叶子必须洗净，还不能带水珠，兔子笼子下面的报

    纸每天要换好几次。可惜不到两个星期，一只兔子就被院子里的大野猫晚上偷吃

    了，留下许多暗色的残血和肮脏的兔毛。而另外那只兔子没过几天也郁郁而亡。妞

    妞大哭了两场，每次眼睛都哭得像兔子眼睛一样红。

    去年儿童节，妈妈熬不过妞妞的请求，再次买回了两只兔子。兔子一样的可

    爱，妞妞也一样的用心。可惜有一只福分太浅，没过几天就拉稀而亡了。另外一只

    看来是个没心没肺的，同伴死了也不在意，饭量大得不得了。没几个月就被妞妞养

    得身强体胖，小笼子都装不下了，还换了一次大笼子。

    到了冬天，兔子的一条腿突然不会动弹了，加上兔子的气味实在是太大，奶奶

    又生了场大病，爷爷就悄悄把兔子送给了院子里的保安，估计当天就成了一盘红烧

    兔肉。妞妞知道后大哭了一场，好些天都不和爷爷说话。

    “爸爸，你快些讲故事吧!啰哩啰唆的，我才没哭呢!”妞妞有些不好意思爸

    爸又提起她哭的事情。“好，故事开始了!列昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)是一位意大

    利数学家，家在比萨城。就是有那个传说中伽利略做铁球落地试验的斜塔的城市，估计这也是比萨饼的故乡。你不是喜欢吃比萨饼吗？”妞妞笑着点点头，自己确实

    是喜欢。爸爸却觉得比萨饼味道怪怪的，每次去比萨店也就是吃些沙拉，说还不如

    吃奶奶做的韭菜盒子。不过妈妈和妞妞都喜欢那里的海鲜比萨，好像叫什么夏威夷

    风光。

    “在他小的时候，他的爸爸被比萨市的一家商团聘任为外交领事，派驻到外地

    也就是当今北非的阿尔及利亚地区长驻，所以列昂纳多不得不远离家乡，陪伴他的

    是他喜欢的数学和兔子。”

    “他现在有多少岁了？爸爸。”妞妞以为他和自己一样还是个小孩子。“他生于1170年，大约在1250年去世，活了80岁，要是算起来，他有840多岁

    了!不过他养兔子的时候和你现在差不多大，也就十几岁。他在数学界的名望主要

    是因为他发现了一个十分神奇的数列，而且是养兔子的时候想出来的。”

    “养兔子还能有数列？不太可能吧!”妞妞很是不信。

    “其实数学都是和我们的日常生活、科学研究密切相关的，斐波那契数列也被

    叫作兔子数列，是不是很有趣？”妞妞点点头。

    爸爸接着说：“数列是这样的，先假设斐波那契家的兔子都永远不死。注意这

    可不是吝啬鬼家没完没了的鸡和蛋哦，只是为了计算方便。”妞妞听了都乐出了

    声。

    “所有的兔子在长大之后，每隔一个月每一对兔子生一对兔子，而且新生出来

    的兔子成熟之后也是每隔一个月生一对兔子，兔子的成熟期是两个月，也就是说刚生下来的兔子，需要两个月后才能生小兔宝宝。”

    妞妞心里想：要是兔子不死该多好呀!噢，我的小兔子!多么可爱的小兔子!

    爸爸这个故事还是挺有趣的，原来数学家也养兔子。

    “斐波那契家先有一对小兔子，现在是第一个月的第一天，我们记下1，表示斐

    波那契家有一对兔子。

    “到第二个月第一天，还是一对兔子，因为才过去一个月，兔子还不能生小兔

    宝宝，我们再记下1。

    “到第三月第一天，兔子生了一对小兔宝宝，斐波那契家总共有了1+1=2对兔

    子，我们记下2。

    “到第四月第一天，老兔子再生一对小兔，而上个月出生的小兔由于还没有长

    成熟，还不会生小兔。这个时候斐波那契家有2+1=3对兔子，我们记下3。

    “到第五月的第一天，生小兔的有两对了，对不对？老兔子和那对最先生出的

    兔子，现在斐波那契家有3+2=5对兔子了，我们记下5。

    “到第六月的第一天，要生小兔的有三对兔子，第四月第一日出生的那对小兔

    也可以做兔爸兔妈了，对不对？斐波那契家的兔子有5+3=8对兔子，我们记下8。

    “我们注意到每个月的兔子数量是上两个月的兔子数量之和。这个道理实际上也并不复杂，上上个月的所有兔子这个月会生小兔子，所以新增加的兔子数就是上

    上个月的兔子数，这个月的兔子总数等于上两个月的兔子对数之和。

    “把我们记下来的兔子对数排起来，我们有如下的一个数字队列：

    1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，…”

    爸爸一口气说了好多，担心妞妞没全听进去，停下来静静看着妞妞。不想妞妞

    兴趣很高，一点都没有不明白的神情。看见爸爸停下来，妞妞赶紧说：“这个兔子

    数列很好记耶!只是不知道它有什么神奇之处？”

    爸爸放心了，接着说：“小说《达·芬奇密码》中还提到过这个斐波那契数列，法国巴黎卢浮宫美术博物馆的馆长雅克·索尼埃临死之前在身边留下了这样的文字：

    ‘13 3 2 21 1 1 8 5

    啊，严酷的魔王!

    噢，瘸腿的圣徒!’

    “注意到了吗？第一行的数字就是斐波那契数列的前几个数字，不过它们的顺

    序已经乱了。一个人临死之前都能写下，说明它确实是很好记忆的。小说中所有的

    人都不知道这组数字的含义，只有一个数学知识很丰富的女密码分析员发现了这一

    点，并且最终揭开了它隐含的惊天大秘密。等你长大一些，你会有兴趣看看这本很

    有趣、很神秘的书的。”妞妞轻轻地点了点头，心里觉得揭开密码也没什么难的。

    “这个数列最有趣的特点是随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越

    逼近一个常数0.6180339887…，这不是一个循环小数，它是一个无理数，我们称之

    为黄金分割点。”

    “黄金分割是什么意思？是要切割黄金吗？一个数字如何切割黄金呢？”妞妞

    很着急，似乎有什么重要的东西要离开，她应该赶紧把它抓住。“说它是黄金分割点，是因为这个数字极为神秘，似乎隐含着某些生命的秘

    密，比如，肚脐眼就在人体的0.618处。”妞妞嘴里发出长长的感叹，眼睛也瞪大

    了。

    “黄金分割点也神秘地包含着美的信息。我们最常见的五角星，人们都觉得它

    的图案极其和谐，而他相邻两个顶点的连线，和隔一点的顶点连线长之比居然就是

    黄金分割数!所以许多设计师都会有意识地使用这个比例分割空间，人们看起来也

    最容易接受。”“好好玩耶!我的美术老师给我们讲过人的肚脐眼在人的0.618处，还给我们看

    了她的肚脐眼!所有的男生都闭眼睛。”妞妞想起当时的情景忍不住大笑，过了一

    会她又瞪圆了眼睛看着爸爸问道：“还有什么地方有这个数列呀？”

    “花瓣的数量都是斐波那契数列中的数，如兰花是五个花瓣，雏菊是十三瓣，甚至松果的种子也是排成八条或十三条!大自然里的神秘还没有人能解开。”爸爸

    坐在妞妞的床边和她交谈，这是一个从孩子小时候讲睡前故事就形成的习惯。

    “还有哇!钢琴琴键最左边一个黑键对应两个白键，两个一组的黑键对应三个

    一组的白键，而琴键最右边的三个黑键对应五个白键，1，2，3，5这也都是兔子数

    列中的数字呀!”妞妞学过钢琴的，可是自己从来都没有注意过这一点。

    “数列的第3，6，9，12，…项能够被2整除；第4，8，12，16，…项能够被3整

    除；第5，10，15，20，…项能够被5整除，第6，12，18，…项能够被8整除，这个

    规律可以依次推广。”

    “太玄妙了，有点怪怪的感觉。”妞妞还希望听到多一些有趣的东西，于是接

    着问道：“这个数列还有什么神奇的地方吗？”

    爸爸说：“今天说的东西是不是已经很多了？我们明天再说好不好？”妞妞抓住爸爸的手不放，“还要说一个嘛!再说一个!”

    “好吧!这个数列中任何连续10个数的和，必定等于其中第7个数的11倍。你也

    可以自己试着算一算。比如，1+2+3+5+8+13+21+34+55+89=231=21×11。这就算

    是我们今天的思考题，好不好？”九、斐波那契家的兔子(Ⅱ)

    我要设计一个“妞妞数列”，让我们的数学老师大吃一惊!

    今天天气非常好，碧空如洗，微风吹拂。北京的秋天是她最美的季节。妞妞下

    午三点就回到了家里，因为今天是星期二，学校放学早，加上妞妞肚子里有好多的

    问题要问爸爸，等不到爸爸下班，书包一扔，妞妞就打通了爸爸的电话。

    “爸爸，昨天的计算我做了5组10个数，真是神奇耶!确实等于第7个数的11

    倍。你是如何发现的呀？”

    “爸爸并不是自己发现的，是爸爸学习别人的发现才知道的。现在，爸爸在上

    班，时间不会太多，不过我今天也可以早些回家，而且已经为你准备了今天的趣味

    数学话题了。”爸爸的声音里都带着微笑。

    爸爸一回家，妞妞放下手头的作业，就要爸爸开始讲。

    “我们还是先继续昨天的话题，说说兔子数列的特点吧。你看，它从第二项开

    始，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1，每个奇数项的平方都比前后两项之积

    多1。比如，第六项是8，8×8=64，而8的前后两项是5和13，5×13=65，64刚好比

    65少1，这是偶数项。13×13=169，而8×21=168，169刚好比168多1。13是第七

    项，奇数项。”

    妞妞试了21这个数，她写道：21×21=441，而13×34=442，441刚好比442少

    1!太神奇了!

    爸爸接着说：“这实际上是很容易证明的，但是证明你可能还不能听懂，需要

    用到数列的数学表达式。“如果设F(n)为该数列的第n项(n是自然数)。那么兔子数列可以写成如下

    形式：

    F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3)。

    “显然这是一个线性递归数列。而经过一些简单的证明我们还有一个复杂得

    多，但是更加有用的通项的表达式：

    “其中 读根号5，表示是平方得5的那个数字。这是一个无理数。

    “从这个表达式里面我们能看到最有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。”

    妞妞有些皱眉头，“爸爸，我有些不明白。线性递归是什么呀？根号我都没学

    过!”

    “好吧，线性递归简单说就是用数列本身项之间的关系来表达自己。前面说过

    的分形，就是递归最好的例子，自己和自己相似。”

    爸爸想了想，让孩子明白递归函数有些困难，于是爸爸说：“递归的数学表达

    不明白也没关系。简单地说吧，用后边这个表达式可以很容易证明F(n)2和F(n-

    1)×F(n+1)之间的关系。”

    妞妞还是摇头，“明天我来试试算一算吧。”

    爸爸说：“那我们再说另外一个神奇的巧合吧。你知道杨辉三角吗？”说着，在一张纸上写下了以下数字。“你看，”爸爸拿起笔，画了几条斜线，“它们的和刚好是兔子数列!”

    “杨辉三角好像是多项式(a+b)n打开括号后的各个项的系数。这怎么也和兔

    子数列有关系呢？太不可思议了!”

    爸爸点点头，心里暗暗高兴。这也是爸爸给孩子讲趣味数学的目的，希望这些

    奇妙的东西能够引起孩子对数学的兴趣，进而对知识、对学习产生兴趣。学习本来

    就应该是件有趣的事情。

    “妞妞知道了一些兔子的数学了，现在爸爸要讲讲其他动物的数学才能怎么

    样？”

    “动物还有数学才能？”妞妞不信。

    “有哇!说不定有些方面比人类还强呐!”爸爸笑着说。

    “知道吗？蜜蜂的蜂房是严格的正六边柱状体。它的一端是平整的六角形开

    口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的

    钝角为109°28'，锐角为70°32'。经过科学家的计算，这样的设计既坚固又省料，是最优选择，而且蜂房的巢壁厚0.073毫米，精度都不是人类手工能达到的。”

    “是吗？蜜蜂可真了不起。它们可没有量角器，也没有直尺啊!”妞妞心里想着那些忙碌的小小飞行精灵。

    “苍蝇的眼睛是由4000个可独立成像的单眼构成的复眼，能看清几乎360°范围

    内的所有物体。小单眼的构造非常精巧，它的顶端是一个正六边形凸镜，下面连着

    圆锥形的晶状体，这些“集光器”下面连接着苍蝇的视觉神经。正六边形是可以获

    得最大类球形物体表面积的方案。苍蝇正是靠这样精致的复眼，才获得比人眼好得

    多的视力。科学实验表明，人看清一个物体需要0.05秒，而苍蝇只要0.01秒就能看

    清，比我们人类快五倍耶!而且众多的‘小眼’从不同的视角扫描，经视中枢分析

    能很快确定目标位置和速度，对运动着的目标有极好的探测和跟踪本领。”

    苍蝇的复眼显微图

    “恶心的苍蝇身上居然也有数学？”妞妞很明显不太欣赏爸爸的这个例子。

    “实际上昆虫大多有复眼，比如，蜻蜓、蚂蚱、蜜蜂，等等。”爸爸接着说。

    “那我们下次还是说蜜蜂这样可爱的动物吧!”妞妞说。

    “下面有可爱的动物啊!美丽的丹顶鹤在春天秋天总是成群结队迁飞。它们很

    守纪律，严格地排成“人”字形飞翔。由年轻力壮的轮流担当领头鹤。“人”字形的角度总是110°左右。更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——每边与鹤群

    前进方向的夹角为54°44'8″!金刚石是钻石的原石，而金刚石结晶体的面夹角正好

    也是54°44'8″!你觉得这仅仅是种巧合还是某种大自然的秘密？”

    “看来这个角度有些神奇的东西我们还不知道。”妞妞心里想钻石和丹顶鹤都

    是好美的东西，它们懂数学还是很让人舒服的事。

    “小猫咪睡觉时总喜欢把身体抱成一个球形，这中间也有数学，因为球形使身

    体的表面积最小，从而散发的热量也最少，也就最保暖。刺猬受到攻击的时候也会

    把自己卷成一个球，把刺都竖起来。这个好不好玩？”

    “真好玩!”妞妞咂咂嘴，好像吃到了美味。“鸡蛋是扁圆的，我用两个手指

    头捏住两头，不管如何使劲都捏不破，是不是数学？”

    “妞妞的问题可真让爸爸高兴。”爸爸惊讶于孩子丰富的联想，“鸡蛋是不规

    则的椭圆形。不规则是为了防止它滚得太远，而椭圆蛋壳是最省料又最坚固的设计

    方案。你可知道我们人类在建设体育馆、机场等大跨度屋顶的时候，学习的就是鸡

    蛋壳的原理。”

    “既然滚不远，那为什么还要说滚蛋呢？”妞妞说完，眼神古怪地看着爸爸，两人不约而同地放声大笑。“可能是说你千万别走远的意思!”爸爸和妞妞会心一笑。妞妞从小拿筷子都

    拿得很靠上，照奶奶的说法，小孩将来会远行。这句话也只有他们父女两个心里明

    白。

    “真正的数学‘天才’是珊瑚虫，每天都写下‘成长日记’——生长层。它们

    每年在自己的体壁上‘刻画’出365条斑纹。夏天的生长层宽，冬天的生长层窄，就

    像树木的年轮。不过它们可比树木长寿得多，而且留存更容易，所以可以记载远古

    的事情。奇怪的是，古生物学家发现史前珊瑚虫的‘成长日记’写的明显密集。经

    过科学分析，三亿五千万年前珊瑚虫每年要‘画’出400条‘水彩线’。天文学家据

    此确定，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天。按此进行推算，13亿年前，一年是507天。珊瑚虫是证明地球自转变慢的重要证虫。”爸爸和妞妞还

    在笑。

    “噢，原来地球自转在变慢啊!”妞妞的笑容稍稍收回来一点。

    “是呀，”爸爸接着说，“人们已经发现每一百年，我们每一天的时间长度大

    约增长1~2毫秒，而引起的主要原因是潮汐摩擦。”

    “哎，老师布置的作业太多，也是每天变慢的重要原因。”妞妞学校的老师习

    惯于布置大量的家庭作业，有时候孩子要忙到11点多才能做完。没有时间听爸爸讲更多的有趣故事，也不能自己看喜欢的课外书，妞妞和她的同学们都很失落。

    “好吧，那我们再说一道有趣的图形题目。你到爸爸的书桌上去拿一张图，好

    吗？”

    “是这张带箭头的花格子图吗？”妞妞发现爸爸桌子上有一张图。

    “对，某人把一个边长分别为5和13的直角三角形，就是上面的那个三角形，拆

    散打乱之后，重新拼成一个同样形状的三角形，就是下面的这个三角形。让他十分

    吃惊的是似乎多出一个方块不能覆盖，为什么会这样呢？这可能吗？”

    妞妞仔细地看，认真地想，在纸上写道：而S1+S2+S3+S4=5+12+7+8=32。

    妞妞一脸的迷惑，慢慢地说，“好像它们不能这样拆分开!”妞妞用小手指着

    箭头的这两个点，“好像这个地方并不是格子的相交点。”

    “太好了!”尽管妞妞低着头没看见，爸爸脸上的微笑变得更加灿烂。“其实

    这就是利用了斐波那契数列的性质：2，3，5，8，13都是数列中的项。如果线条通

    过格子点，那么考察直角三角形的底边和侧边的边长之比就应该是一样的。

    上面那个点是由于3:5和8:13之间的相差很小，弦线擦点而过。不精确的作图

    使人误以为刚好通过了这个点。还记得吗？它们都是黄金分割的近似值。下面这个

    点是因为2:5与5:13近似，很容易把它误认为是通过了你指的那个格点。事实上它

    是在点下面一些通过的，两个三角形S1、S2的面积和S3区域的面积多算了，一般人

    不仔细是不容易注意到的。”

    “原来是这样，我还得好好想想。”妞妞放下了笔。

    做完了这道题，两人谈话的时间已经将近两小时了，爸爸觉得今天的话题已经

    非常丰富了，对妞妞说：“其实如果任意挑两个数为起始，比如，5，-2.4，然后两

    项相加作为第三项，一直这样相加下去，形成5，-2.4，2.6，0.2，2.8，3，5.8，8.8，14.6，…这样的数列。你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来

    越逼近黄金分割数，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。要是不信你可以自己试一试。这就算是给你留的作业吧!”

    “那我要设计一个‘妞妞数列’，让我们的数学老师大吃一惊!”十、叠纸叠到太阳上去

    如果你能把一张纸重复折叠64次，纸的厚度将会超过0.171光年!

    第二天放学，妞妞拿出了自己的数列。这个数列是以10开头的，因为10是她的

    幸运数字，第二个数字是100，因为她喜欢考试得这个分数。数列如下：

    10，100，110，210，320，530，850，1380，2230，3610，5840，9450，15290，…

    妞妞计算了两组相邻数之比，给爸爸看的时候，妞妞很得意，原来数学家也并不难做。妞妞今天在学校得到

    了数学老师的表扬，因为最近的几次数学练习完成得非常好，老师还要求同学们向

    妞妞学习。【欢迎加入罗友书社，微信：15535237487，罗辑思维，得到APP，樊登

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    爸爸说：“妞妞数列非常有趣，它也说明兔子数列的两个相邻数之比为黄金分

    割数是由它们的形成规律决定的，和最初的两个数字是什么无关。还记得我们说到

    过的吗？有限的改变对于无穷世界来说，常常可以忽略。爸爸也希望妞妞能够在生

    活中多发现妞妞数列中数字的用处。考试得100分是我们的共同愿望，爸爸会帮助你实现的!今天我们要讨论的是巨大的数字和极小的数字，妞妞能够给我们各举一个

    例子吗？”

    “当然，这太容易了，小蚂蚁的身长是不是一个很小的数字？”

    “那蚂蚁的卵是不是比蚂蚁更小？”爸爸开始挑战妞妞的例子。

    妞妞有些不好意思，“是的，我觉得纸的厚度会比蚂蚁卵更加小。”爸爸点点

    头。妞妞接着说：“最大的比如对面的四十层的大楼，是不是很大？”

    “那它能比北京市还大吗？”“当然不能，北京市也没有地球大呀!”妞妞不

    服气，有些脸红。“地球不是在太阳系吗？太阳系不是在银河系吗？银河系还只是

    我们浩瀚宇宙中的一个星系而已。”爸爸笑着继续说：“天文学里面经常用到数目

    巨大的数字，所以我们也把巨大的数字称之为‘天文数字’”。

    妞妞说：“那我的例子就是太阳到地球的距离，和一张纸的厚度，怎么样？”“很好，我们先看一张纸有多厚吧。”爸爸打开电脑，连接上互联网，在网站

    上搜索‘纸张厚度’，很快找到了合适的材料。爸爸把它打印出来，是一张写满了

    字的表格。妞妞看了一眼就问：“什么是50gm2呀？”

    “这是纸张的重量指标。一般而言，纸张越重越厚，质量也越高。50gm2的意

    思是每平方米的纸重50克。你看，纸张的厚度差距也很大耶!最厚的纸0.225mm约

    是最薄的纸0.065mm的3.5倍。我们现在来做一个惊人的游戏，让你更深地理解大数

    和小数之间的关系。”

    爸爸交给妞妞一张白纸，“这是一张70克的16开复印纸，所谓16开就是

    大小。它的厚度大约是0.088mm。相对折叠，撕开再叠在一起，厚度会增加一倍，即厚度变为2×0.088mm。再撕开叠放一次，厚度再增加一倍，变为2×2×0.088mm。如此下去，妞妞能不能帮我计算一下，折叠64次之后，纸张的厚度是多少？”

    妞妞开始计算。2×2=4，2×4=8，2×8=16，…。

    爸爸等了许久，妞妞还没有把64个2乘完，爸爸说：“这里面的简便计算妞妞还

    没有学。10个2相乘称之为2的十次方，结果是1024，60个2相乘就等于6个1024相

    乘，这应该是一个19位的巨大数字对吧？再乘上2的4次方，也就是16，这个数字应

    该是一个20位的数字!爸爸把64个2相乘的近似结果告诉你吧，用科学计数法表示结

    果约为1.84467E19，E19代表小数点后要右移19位。”

    妞妞嘴张得老大，但是没有讲话，继续算数。过了一会，妞妞告诉爸爸：“结

    果是1.62331E18mm=1.62331E15m=1.62331E12km!天呐!这到底是多厚呀？个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……”

    爸爸笑着说：“这大约是16000亿千米!太阳到地球的距离大约是1500万千

    米，即1.5E8千米，已经是很大的距离了。世界上跑得最快的是光，光每秒钟能走

    299792458米，我们常常简约为30万千米，也就是3E5千米而已!而太阳光从太阳到

    地球都走8分多钟呐!光一年才能走9460730472580800米即约九万四千六百亿千

    米，科学计数约为9.46E12千米。这说明如果你能把一张纸重复折叠64次，纸的厚

    度将会超过0.171光年!”

    妞妞一脸困惑说：“那一光年不是很容易达到？拿一张纸就可以了。”爸爸笑

    了，“其实这种计算只有纸面上的意义，一张十六开的复印纸能被重复裁开叠放八

    次就不错了，往下实际上不可能用手工裁开叠放的，不信你试试。”

    “用一张纸，折叠64次，它的厚度相当于地球到太阳之间的1万多条路的总长

    度!”妞妞用1.62331E12千米除以1.5E8千米，对结果大为惊叹。

    “爸爸，我觉得这个和我们听到过的印度国王奖励国际象棋发明者麦粒的故事

    很像。为什么两倍、两倍地增加会有让我们意想不到的巨大的数字出现呢？”

    “这真是一个非常好的问题!这是因为每次增加两倍长度，越往后面涉及的长

    度越大，与我们的直接感觉差距也越来越远，这也说明指数是一个增长超快的无穷大量。”

    爸爸望着孩子稚嫩的小脸，接着说：“一光年已经是非常大的距离了，想想我

    们人类刚刚能够走出太阳系，太阳系的范围在一光年以内。我们已知距离太阳系最

    近的恒星为半人马座比邻星，它相距我们约4.22光年。我们所处的星系——银河系

    的直径约有七万光年，目前天文观测范围已经扩展到200亿光年，这个广阔的空间我

    们称之为总星系，这是我们目前能够了解的宇宙的范围了，从距离的数量级来说在

    10的27次方米这个级别。”

    妞妞听的很认真，不过窗外小朋友叫妞妞的声音也很大。“今天就到这里吧!

    没有作业，下面是滑轮滑的时间。”

    就听到“ ”的欢呼声。一转眼，妞妞就跑得没影了。十一、我们的宇宙是个大爆竹

    一粒沙子也是一个世界，一朵鲜花就是一个天堂。

    今天妞妞回家的心情不太好，因为她的作业里面居然出现了两个非常让她懊恼

    的低级错误，一个是10+6算成了60，还有一个是计算阴影部分的面积，她却忘了把

    非阴影部分减掉。

    这样莫名其妙的错误让妞妞很难过，老师鼓励说没关系，以后注意就好。妞妞

    心里却知道为什么，心里狠狠责怪自己因为昨天要参加同学的生日晚会，作业完成

    得太马虎了。以后再也不这样了，作完作业一定要检查一下，妞妞心里暗下决心。

    爸爸说：“我小的时候也粗心，不过后来认真了，注意力集中了，也就好了。

    妞妞不要着急，细心就是要注意细节，我们今天要从极其细小的数字开始讲

    起。”说着，用手慈爱地摸了摸妞妞的头。

    “你一定听说过纳米，1纳米等于十亿分之一米，也就是1E-9米，其中-9表示

    小数点要向左移9位。假设一根头发的直径为0.05毫米，把它平均剖成5万根更细的

    头发，每根的厚度约为1纳米。”

    “哇!这么小哇，头发比纸还薄的呀!”妞妞开始有兴趣，注意力也集中了，作业的事好像也忘记掉了。

    “我们的世界都是由不同的化学元素构成的，目前我们了解的元素是110种以

    上。它们大多数在地球上都以原子的形式存在，原子是由原子核和围绕原子核旋转

    的电子组成的。”

    “就像地球绕着太阳转吗？”妞妞问。“差不多是的。每一种元素的原子核和围绕原子核运动的电子数都是不一样

    的，比如，我们熟悉的氧气分子就是由两个氧原子构成的，氧原子有8个电子围绕原

    子核，原子核里有8个中子和8个质子。”

    “爸爸，我不是太明白它们到底是什么，它们有多大？”妞妞觉得有点难理

    解，也没什么大意思。

    “电子的质量很小，只有9.109E-31千克，体积更小，直径在1E-18米。原子也

    很小，不过比电子大得多，它的直径有1E-10米左右。原子的质量也很小，如氢原子

    的质量为1.67356E-27千克，原子中心为原子核，质量占原子质量的99%以上。原子

    核的直径介于1E-15~1E-14米。”

    “原子核就像是太阳，电子就像是行星，对吗？”

    “对呀!氢原子核的质量比电子的质量大1837倍，直径要大百万倍。这和我们

    的太阳系比较就很有趣。太阳的直径约为140万千米，地球的直径约为1.3万千米，太阳与地球相比，太阳的直径是地球直径的109倍。109的立方，约为1300000。那

    么，太阳的体积大约是地球体积的130万倍。太阳的质量为1.989E27吨，而地球的

    质量为5.975E21吨，太阳的质量是地球质量的33万多倍。”

    “你想想，你现在是在地球上面，你的世界不过是上学、回家，爸爸妈妈，老

    师同学，如果你现在是在一个电子上面，你的世界最大估计也不超过是一个原子的

    范围，对不对？”

    “我的世界确实还没有走出太阳系。”妞妞开始微笑。

    “或许你手里的铅笔，对于一个生活在铅原子里面的小人来说，就是他的银河

    系!”

    “这太好玩了，爸爸，这是不是说我们生活在地球上的人，能够观察到的所有

    宇宙，也可能是另外一个巨人世界里的一支铅笔？”妞妞眼睛里放着光。

    “完全是可能的呀!科学家们观察到所有的星球都在远离我们，换句话说宇宙

    在膨胀，可是却没有办法解释。所以科学家们假设我们的宇宙起源于很久以前的一

    次大爆炸，爆炸之后才有了时间、空间。可是人们还是在问，爆炸之前的世界又是

    什么呢？时间之前又是什么呢？爆炸是如何形成的呢？没有人能回答。”

    “爸爸，”妞妞觉得这个世界非常好玩，“这是不是巨人放的一个鞭炮呢？”“哈哈，真的是很形象，因为许多科学家们相信，宇宙也是有生有没的。在一

    个更大的时空里看，爆竹声应该是此起彼伏的。”

    爸爸笑得很开心，“如果是巨人放的鞭炮，那么这个巨人和我们的差距就在

    1E30倍以上，就像我们的世界和原子世界的差距一样巨大。我们勉强能够观察到原

    子的样子，如果原子里面生活着有智慧的生物，电子的直径在1E-18米，以人类的身

    高和地球的直径比例来推断，它上面的生物应当在1E-25米这个高度左右。”

    妞妞心里想：“这个世界真是奇妙哇!要是我们不过是巨人放的一个鞭炮，今

    天的作业错误又算得了什么呢？下次做好就是了。不过要是能够进入巨人的世界，或是小人的世界看看就好玩了。”嘴边不由自主地流露出微笑来。

    “《黑衣人》这个电影就有一个非常奇妙的想象，咱们这个宇宙就是一只巨大

    的花猫脖子底下吊着的一只铃铛，谁让咱这个宇宙充满了球状星体呢？”

    “是啊，这只猫在草地上玩耍，这个草地是一个高尔夫球场，巨人们在玩高尔

    夫!”妞妞也微笑地补充故事情节，“可真好玩!”

    “还有更加惊人的东西哦!”你看这两张照片，爸爸说着指着电脑上的两张照

    片说，“一张是老鼠大脑神经元的显微照片，后一张是宇宙中巨大星系的照片。像不像啊？”

    “太像了，是不是说我们这个宇宙就是一个大脑啊？”

    “当然不是，但是这种相似性中有许多值得深入研究的东西。微观世界和宏观

    世界在度量的角度上相差如此之大，但原子世界和星球世界又如此的相似，似乎还

    有许多许多我们无法理解的东西。”

    老鼠大脑神经元的显微照片 宇宙星系

    一粒沙子也是一个世界，一朵鲜花就是一个天堂，注意到妞妞的微笑，爸爸心

    里感叹!

    “我们对巨大的世界和微小的世界的理解实在是远远不够，数量级上的巨大差

    距限制了我们的能力，但是物理世界的差异并不妨碍数学科学上的一致。相信经过

    人类的长期努力，我们一定会对世界了解得越来越多。这就需要像妞妞你们这样的

    孩子们更加有创造力地学习前人留下的知识。犯点错误是不要紧的，重要的是不要

    犯同样的错误。”

    “好的，爸爸，我会做好的。”妞妞抿抿嘴，认真地点了点头。“下面我们去

    打羽毛球，好不好？”“好耶!”妞妞把笔往桌上一扔，就去拿羽毛球拍……十二、勾股定理的奇葩证明

    据统计，现在勾股定理的证明方法有近四百种，其中有一位证明者还是美国

    第二十任总统加菲尔德。他的证明也很简洁。

    答应孩子要讲讲勾股定理的各种奇葩证明已经大半年了。遗憾的是这段时间爸

    爸非常繁忙，周末不是开会就是出差，常常是早出晚归，和孩子见不上几分钟面，说不上几句话。孩子越来越懂事，身高都到了一米七了，平时住校，周末在家。好

    在学习成绩优秀，尤其是数学和英语的学习积极性超强。

    今天是周末，爸爸放下所有工作在家，因为这一天也是爸爸的生日，孩子早就

    说全家人这个周末一定要在一起的。

    爸爸今天准备的菜谱是水发云南鸡枞菇、红烧金昌鱼、蒜子豆腐和豇豆肉末，再加上一个海带大酱汤，都是家人喜欢吃的东西。

    妞妞给爸爸精心挑选了一个贺卡，贺卡正面是一只憨态可掬的烫金喜羊羊，贺卡上写着“爸爸生日快乐Happy Birthday”两行字。爸爸心里暖暖的。

    一家人有说有笑吃完饭，爸爸就把孩子带到书房，这里爸爸早就准备好了几张

    图。爸爸指着第一张说：“勾股定理是你们学数学遇到的第一个重要的数学公式，西方人叫毕达哥拉斯定理。据说是公元前五百多年前的古希腊数学家毕达哥拉斯在

    观察地砖的时候找到的证明，之后杀牛百头，盛宴庆祝，全城狂欢。不过中国人在

    更早的时候，至少在公元前1100年前就知道勾三股四弦五，但是缺乏证明，一直到

    公元3世纪才有一个证明。”

    “怎么证明的？”

    “你看，两个全等的正方形，除掉同样大小的四个三角形后，面积应该相

    等。”

    爸爸的两张图上都有正方形，分别除掉四个三角形。一个剩下小一些的正方

    形，另外一个剩下两个不同大小的正方形。

    “一个面积是c2，一个面积是a2+b2。好简单啊!”

    妞妞的手指在图上画来画去。“对啊，这是三国时吴国数学家赵君卿的证明。你们的教科书上经常使用的是

    毕达哥拉斯方法。”爸爸拿出第二张图。这张图要复杂得多。

    “我们可以很容易地证明△DAC和△BAI全等，边角边。”爸爸看着妞妞，“对

    吧？这样的话△DAC面积就是正方形DABE的一半，也等于△BAI的面积，也等于矩形

    AKJI的面积的一半。这样就证明了正方形DABE和矩形AKJI面积相等。同样可以证明

    正方形BFGC面积等于矩形CKJH，也就是说直角三角形直角边上的两个正方形面积之

    和等于斜边上正方形面积，也就证明了勾股定理。”

    妞妞点点头，在纸上写下a2+b2=c2。

    “据统计，现在勾股定理的证明方法有近四百种，其中有一位证明者还是美国

    第二十任总统加菲尔德。他的证明也很简洁。”爸爸拿出第三张图。“一个等边直角三角形向下形成一个直角梯形。容易证明△ADB和△BEC全等，所

    以这个梯形的面积就可以有两种表达方法，一是梯形面积公式，二是三个直角三角

    形面积之和。我们有如下等式：

    展开化简就得到了a2+b2=c2。”

    “这个证明确实也很简单!”

    “是啊，其实这个证明完全可以和赵君卿的证明等价，你看。”爸爸拿出第四

    张图。“如果在一个正方形中放一个小正方形，使小正方形的四角和大正方形各边相

    交。很简单可以证明四个三角形全等。我们可以设三角形三边分别是a、b、c。我们

    对正方形的面积有两种计算方法，一是直接使用正方形面积公式，二是分别计算四

    个三角形和小正方形面积之和。”

    爸爸一边说一边在纸上写下如下计算：

    化简就能得到。

    “总统的发现只是把这个图去掉一半还可以证明勾股定理而已，是不是很有

    趣？”

    “去掉一半还是不变，好神奇!连等式都是一半!”爸爸微笑着看着妞妞。“有的数学家说勾股定理可以不需要数学证明，只需要

    用拼图就可以证明。他们的证明是这样的。”爸爸一边说，一边拿出一张图。

    “用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，然后移动成这样。就证明了两个

    小正方形面积之和等于大正方形面积。”

    妞妞眼睛睁得好大，“这也算证明吗？”

    “当然，这种证明尽管缺乏严格的数学语言，但是也是一种初等数学中的证明

    方法。”

    “哦，这样啊!我们的几何思考题中还有用圆规、直尺等分角的题，是不是一

    样的意思啊？”

    “是啊，初等几何中使用工具或是画图直接证明命题是可以接受的，实际上也

    很容易用严格的数学语言来描述。”

    妞妞点点头，看得出不用写长长的证明过程这一点很吸引她。“勾股定理的扩展很有意思，比如，在三维空间中我们也有立方体的三条边和

    对角线的类似定理：a2+b2+c2=d2。”爸爸拿出一张立方体图给妞妞看。“你能证明

    它吗？”

    妞妞想了一会儿，“这个好像比较简单。在这个平面用勾股定理假设这条对角

    线长为t。就有a2+b2=t2。然后在这个矩形中用勾股定理，又有t2+c2=d2，代入就有

    了a2+b2+c2=d2。”

    “对，最后一个三角形是直角三角形需要一点点证明，不过这是高中的内容，也不复杂。你的证明是正确的。我们还有一种扩展勾股定理的方法。如果我们把勾

    股定理看成是三条边上三个正方形面积之间的关系，那么我们就可以考虑各边上的

    正三角形、正五边形、正六边形的面积是不是还是这种关系。”

    爸爸再拿出一张图，直角三角形的三条边上画了等边三角形、正方形、正五边

    形。“我猜他们也符合直角边上的两个图形面积和等于斜边上相应图形的面积。”

    “是的，这个证明起来就比较容易了。只需要你能用边长表达面积就成功

    了。”爸爸拿出自己的最后一张图，“最后要给你讲的扩展稍微复杂一些，不过也

    好理解。你看!”爸爸指着图接着说，“这是一个多边形A1A2A3…，中间任意一个点

    O向各个边做垂线，交于B1B2B3…，我们有。勾股定理只是这个等式的直角三角形特例。妞

    妞能想想如何证明吗？”

    妞妞想了好一会儿，从O点到每一个顶点都拉了一条线。“对每一个直角三角形

    都使用勾股定理，循环联立，消掉同类项可以证明。”爸爸非常开心，“妞妞的观察和推理的能力确实很棒!最后咱们稍微说说勾股

    数就结束今天的趣味数学。勾股数也就是满足勾股定理的正整数组。3、4、5自然不

    必多说，类似就有6、8、10，9、12、15，等等，这都不足为奇，只能算一组。5、12、13可以算另外一组；8、15、17一组；7、24、25一组；20、21、29一组。妞

    妞能再发现几组吗？”十三、费马的陷阱

    “如果你有一只生金蛋的母鸡，你该怎么办？”看着姐姐一脸的迷惑，妞妞

    得意地笑了。这个问题一直到姐姐离开我们家，也没回答得了。临睡前我问妞妞

    这个问题的正确答案是什么，妞妞坏笑着说：“赶紧给自己一个耳光吧!你在做

    梦呢!世界上哪有什么生金蛋的鸡!”

    天气越来越冷，昨天晚上的气温已经到零下5℃了，这个时候山上的枫叶都红过

    了。因为天天刮北风，天空极为蔚蓝，阳光明媚，空气也透亮，人们脸上的神情好

    像也被北风刮得更加的爽朗。

    妞妞的表姐在北京一所知名大学的附属中学上学，今年考大学。妞妞十分崇拜

    自己的姐姐，因为姐姐不但成绩优秀，妞妞的难题从来都难不住她，而且她还是班

    长。“可以批评不守纪律的同学。”妞妞说，觉得这样实在太神气了!而妞妞自

    己“只是一个卫生委员”，管管同学们的卫生，“远不如班长神气”。

    这个周末姐姐在我们家吃晚饭。爸爸妈妈在准备饭菜，姐姐在认真温书写作

    业。等妞妞写完了作业，很想和姐姐一起玩，但是姐姐不太愿意理她，只顾自己抱

    着本书看。

    妞妞一会儿跑过去问姐姐喝不喝水，一会儿问姐姐吃不吃水果，姐姐看书看得

    非常投入，头也不抬，就说声：“谢谢，不用!”就不理妞妞了。妞妞看实在不行

    了，就直接央求姐姐和自己玩一会，“和我打牌吧!求你了!”

    姐姐没办法，只好抬起头说：“妞妞，我出一个题，你做出来了我就和你打

    牌，好不好？”

    妞妞有些犹豫，迟疑了一会儿，还是说：“好吧，不过你不许反悔哟!”“3的平方加4的平方等于5的平方，对不对？”姐姐说。

    “对呀，不会就是这个问题吧？”妞妞得意地鼓了鼓腮帮子，“我早就知道这

    个勾三股四玄五的直角三角形了。”

    姐姐一点都不慌，接着说：“那你能不能找到这样的三个数字，其中两个数的

    立方之和等于另外一个数的立方？”

    “这有什么难的，看我的!”妞妞微笑着说完，拿了一张白纸，坐在客厅里开

    始写。

    姐姐得意地笑了，回到自己的书桌旁又开始埋头学习，心里想：总算把她打发

    走了。

    妞妞一直到爸爸叫吃饭了，还没抬起头来。爸爸今天做的是蘑菇鸡汤，就是选

    土鸡煲出的浓汤，加入两三种新鲜蘑菇，今天还加入了奶油。要是往日这股浓香早

    就把妞妞的馋虫勾出来了，可是今天妞妞喝起来一点滋味都没有。

    放下小碗，妞妞看着爸爸问道：“爸爸，你能不能告诉我哪三个数字可以满足

    两个数的立方和等于第三个数的立方呀？”

    爸爸问清楚了原委，笑着对妞妞说：“这样的数字是不存在的，这是姐姐故意给你出的没有答案的难题。”

    “啊!臭姐姐，你敢害我!”妞妞说着就装出要用勺子打姐姐的头的样

    子。“给你可爱纯真的小妹妹设置陷阱!”

    姐姐也假装躲避，拿手护住自己的头，嘿嘿笑着说：“谁要你缠我的!姐姐的

    作业很多耶!写都写不完。”

    “孩子们先别闹，我们来讲讲这个话题吧!有些东西或许姐姐都不知道

    呢!”爸爸说：“这个陷阱可以叫作费马陷阱，因为这个问题是他最早提出来的。

    关于这个伟大的数学家，我们一会儿再介绍。”

    爸爸也喝了一口蘑菇汤，“我们都知道勾股定理对吧？x2+y2=z2，那么满足这

    个等式的自然数有多少呢？”

    “当然有无数多了，比如3、4、5满足，也就意味着3n、4n、5n都满足。3、4、5的倍数都满足，这已经是无穷多了。”妞妞的回答总是很快。

    姐姐想了想说：“我还知道一组勾股数5、12、13，注意到25+144=169，所以

    我们也可以说5n、12n、13n也是满足勾股定理的数组。”姐姐的回答让爸爸很满

    意。

    “我也知道另外一组数可以满足，20、21、29，”妞妞看上去有些着急，“可

    是为什么就没有自然数能够满足x3+y3=z3呢？”

    爸爸说：“别着急，你们慢慢吃饭，爸爸给你们讲。”说着，爸爸拿来了一张

    纸，在上面画了一个图，然后写下了一串算式。12=1，22=1+3，32=1+3+5，42=1+3+5+7，52=1+3+5+7+9，…

    N2=1+3+5+7+…+(2×N-1)。

    爸爸回到餐桌，把这张纸给两个孩子看。“最后面的公式是可以用高斯求和来

    简单证明的。这就是说，累计的奇数之和一定等于某个数的平方，我们看看图就可以特别简单地知道它的含义。”

    爸爸指着图说：“这就像是剥开的洋葱一样。如果这是一个洋葱的正方形切

    片。第一层就是1个小方块，第二层就是3个小方块，第三层就是5个小方块，以此类

    推。但是这样的各层一起总是构成一个正方形，各层之和应该等于正方形的面积，也意味着是某个数字的平方。这个数就是正方形的边长，恰好就应该是最外面一层

    小方形数量的一半取整再加一。”爸爸说完，姐妹两个都频频点头，面带微笑。

    “现在最外面的一层是9个小方块，9刚好是3的平方，而里面包的是一个面积为

    4×4的正方形。而4×4的正方形加上外面的一层又刚好构成一个5×5的正方形。”姐

    姐还是比妞妞理解得快。“这就是说32+42=52!”

    “寻找满足勾股定理的三个数，就是寻找三个正方形，使得其中的两个面积和

    等于第三个。不是任意拿两个正方形都可以拼成一个新的正方形的。”

    爸爸看着孩子们充满求知欲的眼神接着说：“而姐姐今天出的两个数的立方和

    等于某个数的立方，我们可以把它理解成寻找三个正方体，使得其中两个的体积之

    和等于第三个正方体的体积。也就是说把两个正方体按单位拆开，可以拼成一个新

    的正方体。”两个孩子频频点头。

    “我们还是拿3、4、5来试试。33+43=27+64=91，而53=125，显然不可能相

    等。倒是把它们三个都加到一起来，33+43+53=27+64+125=216，而216刚好是6的

    三次方!也就是说我们有33+43+53=63，这倒有点勾股定理的样子。”

    爸爸吃了点东西。“实际上1988年一位哈佛大学的著名数学教授还找到了一个

    非常复杂的等式，引起了数学界很大的轰动，没有人知道他到底是用什么办法找到

    这几个数字的，因为用笔来计算肯定是不可能的，计算机来算也依然有一个巨大的

    计算量。必须有巧妙的算法设计，可能还需要很好的运气才可能发现。你们看

    26824404+153656394+187967604=206156734。即使如此，还是没有人能够找到

    x3+y3=z3的整数解。”爸爸看着在吃饭的孩子微微笑了笑。

    妞妞抬起头，“真的有那么难找吗？”“经过数学家们的证明，这个方程就是没有整数解的。不但如此，当n>2时，所

    有xn+yn=zn都没有整数解。换句话来说，所有

    x3+y3=z3，x4+y4=z4，x5+y5=z5，x6+y6=z6，…

    都没有整数可以满足。”

    “原来是这样呀，坏姐姐你拿这样的题目来难我，我也要让你尝尝我的厉

    害!”妞妞夸张地瞪着姐姐。

    “还远远不止这些呢!这是一个世界性的难题，它的来源具有传奇色彩。”

    爸爸喝了口汤，缓缓地说：“16世纪的时候，法国有一位业余数学家，名字叫

    皮埃尔·费马(Pierre de Fermat)。他的职业是法官，由于平时的交际很少，数

    学就成为他消磨时间、赢得声誉的业余爱好。他在研究一本古代数学书的勾股定理

    (法国称之为毕达哥拉斯方程)的时候写下了这样的两行字：

    ‘不可能将一个立方数写成两个立方数之和，或者将一个四次方数写成两个四

    次方数之和。或者总的来说，不可能将一个高于二次方的数写成两个同样次方数之

    和。我有一个十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。’”

    姐姐听了哈哈大笑，妞妞有些莫名其妙地看着姐姐。“这肯定是骗人的，他没

    有解出来，却又怕别人占了先机。”

    “这种可能性确实存在。据说有一位著名的数学家哈代，每次出远门的时候，都会给家里发一封电报说：‘我已经找到了解决黎曼猜想的办法。’据说这样就可以让自己安全的旅行，因为上帝不会让其他人再费脑筋解决这样的难题。”两个小

    家伙高兴得哈哈大笑。

    “费马定理从十六世纪到现在，已经有三百多年了。直到358年之后的1995

    年，这个难题才被英国数学家安德鲁·怀尔斯解决。

    “从解决的办法上来看，费马当年不可能找到完整解决这个难题的办法，因为

    这里面使用到了许多现代数学工具，比如，模形式、椭圆方程、群论，等等，但是

    确实有证据表明费马本人成功证明了四次方程无整数解，而且他的解决办法对于最

    后解决这个难题有相当大的作用。”

    爸爸微笑地抬起头，“顺便说一句，这位伟大的数学家安德鲁·怀尔斯的证明据

    说世界上只有不到5个人能够完全看懂，嘿嘿。”

    “哇!太强了!姐姐，我也要给你出一个难题，你敢接受挑战吗？”妞妞盯着

    姐姐。姐姐说：“没问题，你说，我肯定回答得出来。”

    “有一样东西是你的，但是大多数时候都是别人在用，请问是什么？”姐姐有

    些发愣，半天都没回答，最后忍不住嘿嘿地乐，“是什么呀？”

    “哼，就是你的名字!”妞妞很是得意，“你也不会回答吧!再来一个，你还

    不会!如果你有一只生金蛋的母鸡，你该怎么办？”看着姐姐一脸的迷惑，妞妞得

    意地笑了。

    这个问题一直到姐姐离开我们家，也没回答得了。

    临睡前我问妞妞这个问题的正确答案是什么，妞妞坏笑着说：“赶紧给自己一

    个耳光吧!你在做梦呢!世界上哪有什么生金蛋的鸡!”十四、爸爸上学

    “哦，走过头了。”妞妞不好意思地挠挠头，“是一小时，这个题目有点像

    青蛙爬井的题目，青蛙白天往上爬三米，晚上溜下来两米，井深五米，几天爬到

    顶。”说完嘻嘻地笑。

    三月的北京已隐隐有些燥热，可是大多又不敢脱下冬装。每年的这个时候，北

    京都有沙尘暴，今年似乎好了许多，还下了场雨。天空尽管不那么鲜亮，空气却还

    清新。

    孩子马上要毕业了，爸爸今天特意请假来参加妞妞班的家长会。妞妞的学校是

    海淀区一所知名大学的附属小学。学校的建筑很宏伟，操场很大，学校的大门口还

    有保安站岗。教室里电脑、投影、音响很是齐全，看来现在的学校确实是不一样

    了。

    屈着腿坐在妞妞的小椅子上，爸爸很不舒服，一会儿腿就麻了。只好不断地变

    换姿势，扭来扭去一点都不安分。不过老师和家长们都很严肃认真，教室里很安

    静，只有老师的讲话声。

    语文、数学、英语三科老师先后都讲了话，谈到了孩子们的成绩，妞妞还得到

    了一个表扬，过去的一段时间进步很快，也谈到了存在的问题。最主要的一个普遍

    问题是粗心和浮躁，怕苦怕累。这或许是孩子们的天性所致。他们没有办法长时间

    集中注意力，没有经历过物质匮乏，但是老师也谈到学生的两极分化现象，好的越

    来越好，不好的越来越不好。这就严重了，因为差距会越来越大，将来考高中、上

    大学就不好赶上了。

    这让爸爸想起了自己的求学生涯。爸爸十岁就离开了自己的父母，到十几里外

    的另外一个村子上初中一年级。条件用现在的眼光看简直就是“非人的”。没有洁净的饮用水，学生们在学校边的一条小河里喝水、淘米、洗衣、洗脚。

    没有电，学生们用墨水瓶装上些煤油，点灯夜读。每天早晨，同学们都能在对

    方的鼻孔里看见黑黑的两条鼻涕。教室是村里的祠堂改的，高而空旷，冷得让人打

    战。

    住的地方是大通铺，就是竹片上面铺上稻草。小孩子两个一起，一个带铺的棉

    絮被和床单，另一个带盖的被子。晚上两个孩子就在一个被窝里睡。一周不洗澡，只有周六晚上回家才能洗澡。时间长了，孩子们个个都有虱子和疥疮，女生也不例

    外。

    当时学校只提供蒸饭服务，上学的学生除了要交5块钱的学费以外，还要每人交

    200斤柴火。钱可以向妈妈要，柴火却是自己暑假上山打下来的。每顿饭都是孩子们

    自己把装好米和水的瓷碗放到蒸屉里。学校只有一个老师傅，所以也不做菜卖，孩

    子们一星期都没有新鲜菜吃，只是用家里带来的辣椒酱、豆豉酱之类的东西就饭。

    当时有钱的家庭也不过是多出来一坛子猪油或酱油拌饭。一学期下来几乎所有的学

    生嘴角都因为缺少维生素而烂得流脓结痂。

    可是学习的乐趣无穷。现在看来就是因为学得不错，老师表扬，同学羡慕，因而自己的积极性极高，也就越来越好。我真的希望我的孩子也能进入这样的一个状

    态，似乎这是在我国这种考试制度下能脱颖而出的办法。或许爸爸应该考虑把孩子

    送到海外去，只是妞妞还真的不愿意。

    回到家里，爸爸给妞妞讲了一些家长会的事，妞妞就开始缠着爸爸要听趣味数

    学故事。爸爸想了想，说：“我们今天说说速度路程的问题吧!这是你曾学过的东

    西，不过爸爸先给你讲一个好玩的故事吧。”

    爸爸拿出纸和笔，“这其实也是一个悖论，被人称之为芝诺悖论。悖论是什

    么，我们以后还会专门找时间来讲。“芝诺(Zeno of Elea)是古希腊的数学家，他对于有限和无穷这些概念做了

    非常深入的研究。他说如果希腊跑得最快的人阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前面1000米开始跑。即使阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍，也

    永远追不上乌龟。

    “芝诺是这样解释的：比赛开始后，当阿基里斯跑到1000米时，乌龟又向前爬

    了100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然又向前爬了10米……所以，乌

    龟永远在阿基里斯前面，阿基里斯永远都追不上乌龟。”

    说完爸爸微笑地看着妞妞。“这怎么可能呢？”

    妞妞迷惑了。“快跑的人不是一下子就跑过了乌龟吗？可是你说的看上去也很

    有道理，好像有什么地方该突破一下才对。”说着眼睛骨碌碌乱转。

    爸爸高兴得哈哈大笑，“妞妞你可真的很聪明，芝诺的诡辩实际上就是把时间

    作了限定，要突破的是时间。只要把时间看作是一个无限的量的时候，阿基里斯跑

    到乌龟前面就很容易理解了。”

    接着爸爸又对妞妞说：“和芝诺悖论一样有趣的，还有一个我们称之为‘飞矢

    不动’的好玩的悖论，这也是芝诺的诡辩。所谓‘飞矢不动’就是说飞出去的箭是

    静止不动的，你说这怎么可能呢？”爸爸故意等了等，让妞妞有时间先想一想。

    “芝诺提出，由于箭在其飞行过程中的任何瞬间都有一个暂时的位置，所以它

    在这个位置上和不动没有什么区别。他的逻辑是这样的‘这支箭在每一个瞬间里都

    有它的位置，且占据的空间和它的体积一样大。那么，在这一瞬间里，这支箭是不

    动的。如果在这一瞬间是不动的，那么其他瞬间也是不动的。所以，射出去的箭是

    不动的。’”说完爸爸又看看妞妞，希望妞妞能说出这个诡辩中的漏洞。

    “时间是没有办法静止的。”妞妞想了一会儿，终于说出了她的想法。

    爸爸满意地点点头说：“这个悖论的错误在于它偷换了概念，即‘瞬间’的概

    念。芝诺所说的‘瞬间’是假设的没有长度的时间点，而这些没有长度的点是不可

    能组成飞矢飞行的全部时间的，全部时间中的每个瞬间都是有长度的，两个‘瞬间’的概念是不同的。”

    “是这样呀!”妞妞觉得自己说的理由也没错，心里很美。

    爸爸接着说：“爸爸再出一个题目，这个题目可是连人类历史上最伟大、最聪

    明的科学家爱因斯坦都犯过错误的哟!”

    爸爸一边说，一边在纸上画示意图。“爸爸小的时候上学要走10公里的山路到

    学校，一般用两个半小时的时间，每星期回家一次。有一次爸爸已经出发了两小

    时，奶奶发现爸爸没有把这个星期的辣椒酱带去，就让你的姑姑，也就是爸爸的妹

    妹给爸爸送过去。

    “姑姑当时才7岁，刚刚上二年级。一个人走山路，她很害怕，不过她也很勇

    敢。要是走路姑姑不如爸爸走得快，但是幸运的是这次有位骑自行车的叔叔刚好要

    路过爸爸的学校。姑姑于是就坐在这位叔叔的自行车上，希望能追赶到爸爸。如果

    自行车的速度是10公里每小时，请问多久能追上？”

    妞妞开始在纸上列式子计算。设t小时后追上爸爸，那么我们就有这个等式：

    这样的话t=1.5小时。

    “一个半小时之后能赶上。”妞妞抬起头，很肯定地回答。

    “不对，不对!”没想到爸爸又哈哈大笑，“你想一想自行车到爸爸学校只需

    要一小时，爸爸走到学校也不过是再需要半小时，自行车一个半小时走到哪里去

    了？”

    “哦，走过头了。”妞妞不好意思地挠挠头，“是一小时，这个题目有点像青

    蛙爬井的题目，青蛙白天往上爬三米，晚上溜下来两米，井深五米，几天爬到顶。”说完嘻嘻地笑。

    “要是想在路上赶上爸爸，自行车的速度最少要到20公里每小时，也就是必须

    在爸爸到达之前走完这10公里路，而爸爸到达只需要半小时，所以半小时走完10公

    里也就是自行车的速度要20公里每小时。”

    “你再给我出一个题，一定做好!”妞妞的积极性来了。

    “好，你听好了。两个小学生在操场上跑步，跑道长400米，如果他们同方向

    跑，那么3分20秒之后相遇，如果相反方向跑，40秒后相遇。你能算出他们的速度

    吗？”

    “还真不简单，”妞妞嘴里说着，手下开始写，“如果相反方向跑，也就是说

    两人一起跑过了400米，设他们的速度分别是v1和v2，就有(v1+v2)×40=400。

    “相同的方向跑，就是说它们两个人跑得路程差距是400米，也就是说(v1-

    v2)×(3×60+20)=400。哈哈!把它们简化一下就是：v1+v2=10，v1-v2=2。这样

    v1=6米秒，v2=4米秒。”

    “妞妞的确是很棒!爸爸今天的趣味数学就到这里了，妞妞得了满分!”

    “耶!”妞妞大声喊道，“我要去玩电脑游戏喽!”十五、会计妈妈

    攒钱是一个好习惯，不过攒钱只能把已经有的钱收藏好，更重要的是要学会

    赚钱。金钱不是用来攒的，要是这样那就是守财奴葛朗台了，做金钱的奴隶，有

    钱又有什么意义？钱是用来使用的，最好是用来赚钱的，这样你才是金钱的主

    人。不是钱指挥你，而是你使用钱。

    暑假妈妈带孩子去欧洲旅游，爸爸因为工作实在是太忙，就没有一起去。她们

    一路上去了《音乐之声》故事发生地奥地利美丽的萨尔斯堡，西西公主宫殿所在地

    音乐之都维也纳，去了《巴黎圣母院》故事发生地浪漫的巴黎，参观了满是艺术珍

    宝的卢浮宫，还有《罗马假日》故事发生地意大利罗马，去看了古斗兽场，还有宏

    伟的梵蒂冈，等等。一路上妞妞睁大眼睛，竖着耳朵，用小相机拍呀拍，生怕漏看

    了一样奇迹，少听了一句惊奇。

    一路上妈妈没少给妞妞讲故事，各种欧洲历史典故，各种经典电影。不过妈妈

    也讲到了许多和钱、数字有关的故事，因为妞妞的妈妈是一名银行会计，就是天天

    和钱、数字打交道的。

    这一天妈妈和妞妞两个人坐在旅游大巴上，车从萨尔斯堡开往慕尼黑。沿途天

    色湛蓝，有丝丝白云点缀。牛羊悠闲地在草地上觅食，天鹅在湖面上漫游，各色景

    致让人应接不暇，美不胜收。空气异常清新，青山绿水令人心旷神怡。

    一路上妞妞总是想买各种各样好玩的小东西，妈妈拦不住于是想出一个主意，就是规定妞妞这次旅行的零花钱是50欧元，买什么可以自己决定。这一下妈妈轻松

    了，不用劝孩子少买，妞妞自己手紧了许多。这才过奥地利，还有德国、法国、意

    大利、比利时好几个国家!她心里盘算德国只能花十欧元以内，最好5欧元。

    “妞妞将来赚了钱干什么？”妈妈问。其实爸爸妈妈商量过，都希望孩子树立正确的金钱观念。

    “攒起来啊，还给爸爸妈妈、爷爷奶奶用啊!”妞妞回答倒是快，“买房子，买车子，还有新衣服，还有出去旅行。”

    “爸爸妈妈倒不需要妞妞的钱来用，孝敬父母孝敬老人当然是好的，不过关于

    金钱，你还有一些东西需要知道。”妈妈身材娇小，性格温和，说话慢慢地，不过

    对于金钱有自己的独到看法。

    “妈妈觉得金钱是人生自由的保证，是把你的人生推高的动力。”妈妈觉得这

    可能太抽象，于是接着解释，“比如，不能把金钱当作唯一目的，为了赚钱而赚

    钱，这没有什么快乐。赚钱的目的是为了使用，比如，我们出来旅游，看看这个精

    彩世界的各个角落，也感受一下别人是如何生活的，没有钱是做不到的。再比如，你长大了上好大学，你喜欢的专业可能学费贵，爸爸妈妈赚钱供你上喜欢的学校就

    非常有意义。金钱只有在正确使用的时候才实现它的意义。”

    “那我多攒钱去买一个苹果手机也是有意义的啊!”妞妞一直希望有一个苹果

    手机，因为太好玩了。

    “当然，不过妈妈还是认为小学生不应该用这种高级智能手机，一是有点奢

    侈，再有就是它可能会让你沉迷于游戏、音乐和微信之类，影响你的成长，影响你的学习。等你长大了，能控制自己的行为的时候，妈妈肯定会支持你的。攒钱用来

    挥霍妈妈不太赞成，痛快一会儿的做法不太成熟。”

    “反正我喜欢很多钱，攒起来多开心!”妞妞好像明白又好像还没有全明

    白，“妈妈不是把我的压岁钱买了股票吗？今天涨了吗？”

    妞妞的压岁钱不少，家里的孩子少，爷爷奶奶、姥姥姥爷、伯伯姑姑、大伯大

    姨每年都给她不少压岁钱。之前孩子小，妈妈可以半骗半哄把压岁钱收走，不过孩

    子慢慢大了，对金钱有了观念，爸爸妈妈就用这笔钱给孩子买了一家比较靠谱的混

    合型基金。

    “今天早上妈妈看了，涨了一点哦!”

    “耶!”妞妞十分高兴，忍不住轻轻鼓掌。

    “攒钱是一个好习惯，不过攒钱只能把已经有的钱收藏好，更重要的是要学会

    赚钱。金钱不是用来攒的，要是这样那就是守财奴葛朗台了，做金钱的奴隶，有钱

    又有什么意义？钱是用来使用的，最好是用来赚钱的，这样你才是金钱的主人。不

    是钱指挥你，而是你使用钱。”

    “我们班的土豪拿自己的压岁钱买别人写作业。”妞妞想起来班上的“土豪

    生”。

    “那不是花钱让别人害自己吗？”妈妈觉得现在的孩子确实是早熟，社会不良

    影响也太大了。“妈妈问你个问题好不好？”

    “好啊。”

    “你说股票昨天下跌5%，今天上涨5%，是不是还是原来的价格？”

    “不是啊，跌了再涨要比原来的价格少一点。”妞妞回答不假思索。

    “你再好好想想啊!先下跌再上涨和先上涨再下跌哪个大？”妈妈拿出笔和小

    本，放到妞妞手里，“算算看!”因为妞妞的暑假作业需要她每天都写一点，所以纸笔是必须旅行携带的。

    妞妞仔细算了算。“妈妈，我说的对啊，就是比原来小一点，不过不管是先下

    跌还是后下跌，结果都一样，你看。”

    妞妞在小本上写下了一个算式：A×(1-5%)×(1+5%)。

    “大概会比原来小0.25%。我们老师讲过这道应用题的。”

    “妞妞数学真棒!好多人都搞不清这个小问题。妈妈再给你出一道题，好不

    好？”妈妈真心喜欢孩子的聪明。

    “妞妞的压岁钱买某个股票，去年三月份买了2000股，每股成本3.5元，今年

    四月份又用压岁钱买了1500股，每股成本5.5元。最近股票涨势不错，感觉可能会

    向下调整，于是把股票卖出了3000股，每股价格为6.8元。今天股票价格是5.2元，还剩余500股，请问妞妞赚了多少钱？剩余的500股股票成本是多少？为简单起见，不计算交易手续费等其他费用。”

    妞妞提笔埋头开始计算。

    2000股每股3.5元，共花了7000元。1500股5.5元共花了8250元。卖出3000股

    每股6.8元，共有20400元。剩下500股，每股值5.2元，是2600元。于是一共赚了

    20400+2600-7000-8250=7750元。

    剩下的500股成本就是平均成本 。

    妞妞把计算过程讲给妈妈听，妈妈说：“计算得很正确，真是太棒了!不过妈

    妈要是把题目小小修改一下，你再想想看。”

    妈妈接着说：“去年买的股票是A，今年买的股票是B，不一样的两种。出卖的

    股票是A卖光，B留下500股，出卖价格还是6.8元，B股这几天的价格是5.2元。请问

    赚了多少钱？”

    “哈，这个简单。”妞妞开始计算。

    A股股票赚钱为2000×(6.8-3.5)=6600元，B股股票赚钱为1000×(6.8-5.5)=1300元，可是目前剩下的B股股票500股亏损了，一共亏损500×(5.5-5.2)=150元。

    总共赚了6600+1300-150=7750元。

    妈妈夸奖妞妞计算非常正确，但是把题目又再修改了一下，剩下的股票是A股

    500股，其他都不变。要计算赚了多少钱。

    “妈妈，”妞妞有些不耐烦，这样算来算去好像没啥意思，“还算啊？”

    “就这次了，一会儿妈妈就给你讲好玩的事情。”妈妈安慰妞妞。

    妞妞接着计算。

    A股赚钱1500×(6.8-3.5)=4950元，B股赚钱1500×(6.8-5.5)=1950元，剩下的500股赚500×(6.8-3.5)=1650元，一共赚钱4950+1950+1650=8550元。

    妞妞把计算结果交给妈妈，望着妈妈，不知道妈妈会讲什么有趣的事情。

    “首先妈妈教妞妞，股票出卖变成钱之后交易才算完成，亏了或赚了才不可改

    变，对吧？所以还没卖出的股票，不管是涨了还是跌了，都是浮赢浮亏，也就是可

    能会变化的盈亏，这样的我们可以不计算，当然计算也是可以的，但是要不同对

    待，毕竟它还没有发生。”

    妞妞点点头，表示理解。“要是不计算浮亏浮盈，第二种计算实际赚钱总数是7900元，第三种赚钱6900

    元，对吧？”

    妈妈简单计算了一下。

    接着说：“第一种方法是经常使用的利润计算方法，叫总收益减去总成本。第

    二种和第三种计算的实质变化只是把先买进的先卖出和先买进的后卖出的不同，A、B股票还是同一种，但就是留下的股票是后买进的即第二种计算，是先买进的即第三

    种计算，别的都没有变化，对吗？可是利润计算结果却是不一样，这是不是什么地

    方出错了呢？”

    妞妞有些茫然，一下子还不能完全明白妈妈所说的全部，不过好像是什么地方

    出了问题。“怎么买进花的钱是一样的，卖出拿到手里的钱也是一样的，不同的方

    法计算出的赚的钱数却不一样呢？”

    妈妈看着妞妞微笑，“妞妞看到了问题的实质。妈妈学会计，就想教给你如何

    计算利润。这三种计算方法都是正确的，第一种叫平均成本法，第二种叫先进先出

    法，第三种叫先进后出法，都是用来计算库存货物的成本的办法，但是不同的方法

    一旦选定，就不能随便变化。很显然，如果股票的价格一直上升，先进先出，先买

    进来的股票先卖出，实现的会计利润就高，反过来就低。在实际交易不变的情况

    下，可以在某个范围内管控最终利润，实现利益的最大化。”

    “哦，可是实际的东西并没有变化啊？”妞妞还是不太明白。

    “随之而来的东西会变化，比如，不同的利润额本年度缴的税就不一样。”

    “哦，好像是不一样。我还以为算多的就好，其实不好啊!赚钱多缴税就多。

    实际不变，算的越少越好啊!”妞妞一下子就明白了许多。

    “妞妞真聪明!会计计算和我们日常的感觉有一些不一样，应该说是更加科

    学，更加规范和严格。会计利润和现金是不一样的，有些公司会计利润很低，现金

    却很多，相反的也有。”“这可能吗？哪些公司会是这样啊？妈妈？”妞妞第一次听说这些新奇的东

    西。

    “比如，出租车公司，司机每月都上交车费现金，但是出租车公司的会计利润

    却并不那么高，这是因为出租车公司在之前花了大量的钱购买汽车，购买出租车许

    可牌照。现在每个月收到的钱相当一部分要用来摊销之前的购车成本，支付出租车

    牌照费用。”

    “那还有什么样的公司现金收入不多利润却很高呢？”妞妞很好奇。

    “有哇，有的上市公司生产出来的货物卖不出去，就把货物大量发往中间商和

    销售公司，签署销售协议，实际上货物还是积压在库房，不过会计账上却成了应收

    账款，计入会计收益，形成虚高的会计利润。可坏了!”

    “啊!那我可不能买这样的股票啊!”妞妞很担心。

    “没事啊，妈妈厉害着啦!”妈妈轻轻拍拍妞妞小脸。“妈妈出一个小题目妞

    妞今晚思考，好吗？”

    “好啊!妈妈，你看奶牛!”妞妞指着路边山坡上一群黑白相间的奶牛。

    妈妈微笑着接着说：“有三个好朋友出去旅行，到了一个小山村的小旅店，只

    剩下一间房，房价300元，于是三个人每人出100元钱。老板看他们三个学生也没有

    多少钱，就让伙计退回三人50元，算是一点点优惠。伙计是一个坏家伙，把20元自

    己藏起来了，只给三人退回每人10元，一共30元，心里还想：50元你们没法分，我

    还帮你们的忙了呢!

    问题是：三个人每人最终出了90元，加上被坏伙计私藏的20元，一共290元，还有10元钱在哪里呢？”十六、为什么一小时是六十分

    人类手脚总共有二十个指头，为什么不是二十进制呢？你们还是低年级的小

    学生的时候，不是还经常脱掉鞋子，用手指头和脚指头一起来完成计算吗？

    妞妞今天很高兴，因为她的一篇作文被老师当作范文在课堂上朗读了，而且老

    师说在家长会上会把这学期的所有范文汇编成册，送给每一位家长。回到家里，妞

    妞急着要爸爸看她那篇作文，文章是写我们住过的几处房子，其中最出彩的地方是

    妞妞对几个小区的风景描写，准确又充满童趣。妞妞说：“我就觉得要写小区四季

    最美的地方，不但要写花草景物，更要写我的心情和我的朋友。”

    “是呀，一年三百六十五天，春夏秋冬就概括了，可每一天都有美好的事情，每一个地方都有可爱的东西，最让人感动的还是人的情感。”爸爸说这些话的时

    候，心里有些感慨时光太快，转眼自己就要过生日了。

    “爸爸，为什么时间是每小时分为六十分？而别的都是1米等于十分米呢？是不

    是设计时钟的人的幸运数字是六十呀？”写完作业，妞妞突然提问了。

    “妞妞的问题越来越有水平了!这说明妞妞的观察思考很细心，”爸爸很高

    兴，“这实际是一个进制选择的问题，时间用的是六十进制，而一般的记录中都使

    用的是十进制。我们古代的人对时间的认识是从太阳东方升起、西边落下，月亮的

    圆缺以及草木的枯荣开始的。最早记录时间的是插在地上的木棍，太阳的光照变化

    使得木棍的阴影在地上画了一个半圆，太阳当空照的时候，阴影最短而且在半圆的

    中间，对不对？古人在这个现象的基础上完善出来的计时工具叫‘日晷

    (guǐ)’。”说到这里爸爸想起前几天带孩子去清华的事。

    “你还记得我们在清华里看到的日晷吗？就是一块圆形的石头，中心有一根长

    长的铁指针，圆盘上有一条条的刻纹。”“记得，记得，当时我还说世纪坛也像是一个日晷呢!”妞妞兴奋地回答道。

    清华校园里的“行胜于言”日晷

    “一天没有分为10小时，是因为一个圆盘上等分为10实在不是件容易的事，你

    不妨试一试。而等分为8或者12就很容易，先把圆等分为四份，再一分为二或一分为

    三。一个圆分为12个小区而不是分为8个，和一年被分为12个月有直接关系，而一年

    12个月又和月亮的圆缺有直接关系，月圆一次大致就是一个月。一年就是一个圆

    圈，年年岁岁，循环往复。所以，先有一年分为十二个月，我们的古人把一昼夜分

    为十二个时辰，一个时辰相当于现在的两小时，不过时辰这个词现在已经不怎么使

    用了。时辰的名称分别是子、丑、寅、卯、辰、巳(sì)、午、未、申、酉、戌、亥，这也是我们中国的十二进制，也叫地支。”

    “原来子丑寅卯是从这里来的呀，这些字本身有什么意思吗？”妞妞好奇地

    问。

    “目前没有什么特别的意义了，只是在特定的场合下代表顺序，估计最早发明

    出来的时候是有自己的意思的，用得少也就忘了。为了更好地记住这些文字，我们

    古人就把它和老百姓熟悉的十二种动物联系在一起，这就是十二生肖，比如，子鼠丑牛。”

    妞妞很高兴地说：“我知道，我知道!小老鼠真神气，个头不大排第一，老牛

    第二虎第三，兔子老四跑得欢。龙第五蛇第六，马是老七不落后，羊第八猴第九，小鸡跟着快快走，狗排十一汪汪叫，老猪最后来报到。”

    爸爸听得哈哈大笑。“太好了!太好了!我们的古人经过长期的观察之后知道

    一年有365.25天，而最接近365，容易在一个圆环上刻度的数是360，所以把一个圆

    环分为360度就成为最自然的选择了。我们的一小时也可以分为360秒，可惜360秒

    不好度量，中间加入一个分，一小时=60分=3600秒也是为了合乎人的感知。其实我

    们在往下或往上就不再是60进制了。一秒钟被等分为10份或100份，而24小时才被

    称为一天。”

    妞妞十分惊奇，“原来这里也有道理呀!那我们的十进制也有什么道理吗？”

    爸爸反问妞妞：“你能不能够猜一猜呢？”

    妞妞想了一会儿，伸出自己的两只手，轻声说：“是不是因为我们十个指头

    哇？”

    爸爸笑了。“很有道理。人类的十进制确实是因为人类的十个指头，至于为什么人类的手指头、脚趾头都是十个，就只有老天爷知道原因了。不过人类学家说五

    个指头可以获得最佳的握力和最灵巧的自由组合。我们也观察到自然界里面的动

    物，四肢凡是 ......