图书在版编目(CIP)数据

    可以这样教数学：16个小学数学名师的教学智慧叶建云主编.—

    上海：华东师范大学出版社，2012.2

    ISBN 978-7-5617-9269-8

    Ⅰ. ①可... Ⅱ. ①叶... Ⅲ. ①小学数学课—教学研究 Ⅳ.

    ①G623.502

    中国版本图书馆CIP数据核字(2012)第020521号

    大夏书系·数学教学培训用书可以这样教数学

    ——16个小学数学名师的教学智慧

    主编 叶建云

    策划编辑 朱永通

    审读编辑 杨霞

    封面设计 大象设计

    责任印制 殷艳红

    出版发行 华东师范大学出版社

    社址 上海市中山北路3663号 邮编 200062

    网址 www.ecnupress.com.cn

    电话 021-60821666 行政传真 021-62572105

    客服电话 021-62865537

    邮购电话 021-62869887

    地址 上海市中山北路3663号华东师范大学校内先锋路口网店 http：hdsdcbs.tmall.com

    印刷者 北京季蜂印刷有限公司

    开本 700×1000 16开

    印张 14.25

    字数 240千字

    版次 2012年8月第一版

    印次 2012年8月第一次

    印数 6100

    书号 ISBN 978-7-5617-9269-8G·5549

    定价 35.00元

    出版人 朱杰人

    (如发现本版图书有印订质量问题，请寄回本社市场部调换或电

    话021-62865537联系)自序 让名师的智慧壮大我们

    它循序渐进，一步一个脚印：

    它始于你真心去做，它始于别人说了“不成”而你再去做，它始于你说“我们”，而你清楚“我们”是何人，且你一心要天天壮大“我们”。

    ——(美)玛吉·皮尔斯

    “名师出高徒”，在美国所有的诺贝尔奖得主中，有半数人曾同

    其他诺贝尔奖得主一同工作过或学习过，这充分说明了名师对其他人

    的示范与引领作用。

    名师的课堂，值得我们学习的东西太多了：巧妙的教学设计，灵

    动的教学流程，幽默的教学语言，超凡的教学智慧……

    一个名师，有时就是一个启人心智的学科世界，如德高望重的邱

    学华老师，他倡导的尝试教学法、尝试教学理论以及尝试学习理论，已经硕果累累。退休后，他仍以全新的活力展现其魅力，不断生成新

    的尝试智慧。

    本书中的名师，皆如邱学华老师一样，有着他们自己的教育思想

    与教学艺术，在教师当中具有广泛而深远的影响。你可能听过其中一

    些名师的公开课、讲座，或者拜读过他们的专著，激动之余，肯定也

    萌发过系统学习各个名师的智慧的想法。

    本书恰好汇聚了众多名师的智慧，为你奉上精神的盛宴——首先展示的是名师于深刻的课堂教学经历中提炼出的教学智慧，如邱学华老师的“上好课的两个基本准则：真实和创新”，华应龙老

    师的“融错教育”，徐斌老师的“‘进’与‘退’的智慧”，戴曙光

    老师的“‘简单教数学’的智慧”……他们没有生硬的理论说教，而

    是把思考融于一个个精彩的案例中。在你意犹未尽之际，为你备上最

    后的大餐——名师最新实践的课堂教学案例，每一个案例都是名师教

    学智慧的实践范本，也是你学习名师、汲取名师智慧的最佳范本。

    让我们与名师一道，品味智慧的芬芳。

    让名师智慧“壮大‘我们’”。

    让我们用行动生成教学智慧。

    下一个名师，就是你，就是“我们”!

    叶建云

    2012年5月10日1.上好课的两个基本准则：真实和创新

    2.让孩子们在“好吃”中享受“有营养”的数学

    3.师者若水

    4.学习“更好的数学”

    5.数学课堂：“进”与“退”的智慧

    6.留心处处皆资源：我如何开发和利用课程资源

    7.教学要以学生的学习为核心

    8.“画数学”真简单

    9.良好的开端成功的一半

    10.复习课可以这样上

    11.动态想象：培养学生空间观念中不可缺失的一个环节

    12.数学理解：知识有效建构之关键

    13.有效探究：小学数学生态课堂的应然选择

    14.数学课堂有效对话的思考与实践

    15.故事：让数学不再“冰冷”

    16.让学生做“儿童数学家”1.上好课的两个基本准则：真实和创新

    邱学华我从1951年到农村小学当代课教师起，就一直用心实践和

    研究小学数学教学，屈指算来，到现在已有60多年了。在这半个多世

    纪里，虽几经波折，道路坎坷，但我始终坚持在小学数学教学园地里

    耕耘，我和小学数学早已结下了不解之缘，而且它已成为我生命里极

    其重要的组成部分。2001年新一轮课程改革启动，我兴奋异常，庆幸

    自己有机会第八次参加课程改革，为此，我尽心竭力地奔波于全国各

    地，和老师们在一起，共同研究课程改革中的新问题和新经验。最

    近，我一直在思考这样一个问题：什么样的课才是好课，上好课的基

    本准则是什么？思来想去，我认为上好课的基本准则有两个：一是真

    实，二是创新。一、真实

    真实可以看成是“真”与“实”两个要素的结合，也就是做到

    “求真务实”。

    有不少一线教师听了某些名师的课后，不住地感叹：“名师讲得

    确实非常精彩，达到了艺术的境界。可是名师们天南海北，上来上

    去，不就是那几节课吗？”言下之意，名师的课缺少“真”，表演痕

    迹太深。这些老师的看法不无道理，很值得名师们反思。好课的

    “真”主要表现在以下几个方面：(1)不弄虚作假，不挑课题，按正

    常的教学进度教学，真真切切贴近教学的实际情况；(2)不搞形式，不耍花样，老老实实发展学生的数学能力，不让数学活动淹没在非数

    学的烟雾里；(3)不慕虚名，不以显示自己的高明作为上课的出发

    点，而是扎扎实实为学生在数学素养上的有效发展做好奠基工作。

    真正好的数学课是在特定的数学情境中展开的，是在丰富生动的

    数学活动中自然催生出来的。另外，我们还应注意的是，“真”意味

    着数学教学的真正起点是学生原有的认知状况，“真”意味着学生经

    历了真正有效的数学活动，“真”还意味着学生能从教师组织的教学

    活动中吸收丰富的数学营养。

    “真”是一堂课的主心骨，离开了“真实”还能谈什么呢？一个

    人要讲真话，一个教师要上真实的课，虚假的东西会害人，这是非常

    简单的道理。

    好课的“实”主要表现在：让学生扎扎实实学好数学知识，打好

    数学基本功，渗透数学思想，积累数学活动经验。一节课好不好，应

    当看将“水分”挤干后，究竟还剩下多少“干货”，看看学生到底获

    得了多少真正的发展。简单来说，我们的数学课就是要回归自然质朴

    的教学境界，在最益于学生数学素养终身发展的地方下大力气、做真

    功夫。

    在此，我要特别强调数学课堂上的“练”，因为只有练得好，才

    能夯实学生的数学基础，才能使学生打好可以继续向上生长的数学根

    基，“练”是达到“实”的必由之路。换句话说，只有通过练习，数

    学学习才能扎实。我主张：“学生在练中学，教师在练中讲。”学生只有通过练

    习，才能激发思维，才能掌握知识、技能和数学思想。学生在练中

    学，他们的各项数学素养才能激发、生成、跃迁，进而解决新的问

    题。教师在练中讲，他们才能根据学生练习的情况确切了解学生的所

    作所为、所思所想，从而找到最适合每个学生的引导方式和学习方

    法，有效提升数学课堂的教学效率。我明确提出一个观点：一堂没有

    学生动手练习的课，不算是好课。看看那些成功的教改经验(如洋思

    中学和杜郎口中学的教学改革经验)，我们不难发现：学生不是听会

    的，而是练会的。这让我想起俞子夷先生说过的一段话：“教学算术

    中的原理，多说明不如叫学生多做。说明，只能使他们强记。叫他们

    多做，才可以从实地经验中得到真理，不做，无从想起。”俞子夷先

    生是我国小学算术教学法的奠基人，他的这段话非常精彩，“不做，无从想起”，言简意赅，一语道破了练习的重要性、练习与发展的关

    系。当然，练什么、怎么练，还需要教师整体设计和规划，合理安排

    练习的层次和难度，使学生通过不断练习逐步到达教学目标的理想区

    域。以前常有人说“不动笔不读书”，在数学课上也应提倡“不动笔

    不上课”，即学生在数学课上一定要拿起笔来做题才行。二、创新

    创新可以看成是“创”与“新”两个要素的结合，有“创”才能

    出“新”。

    为了凸显自己的教学个性，某些名师一味在“新奇”二字上下工

    夫，大讲数学历史、数学文化，结果弄得课堂情境“别有洞天”，可

    学生的收获却“一盘惨淡”。这样的“创”，其实是剑走偏锋，脱离

    了教与学的实际，违背了教育的基本规律，一阵“新鲜”之后，并不

    能给学生留下受益终生的东西。

    首先，好课的“创”体现在学生主体精神的涌动上。执教者真正

    站在学生学的角度来设计教学活动，学生被教师设计的活动吸引，禁

    不住投入其中，潜能得到充分激发和释放，敢于表现自己的独特想

    法。

    其次，好课的“创”还体现在尝试探究活动的充实上。教师作为

    组织者，给学生规划目的明确、过程紧凑、开放性强的尝试探究活

    动，学生则通过独立思考，循着知识的阶梯自主发现新知、新法。因

    为有了自己的“探”和“悟”，学生的探究活动才真正起到砥砺思

    维、引发创新的作用。

    再次，好课的“创”还体现在教师教学思想的开放和教学行为的

    灵活上。教学活动复杂多变，学生状况各不相同，所以，单单依靠预

    设是不可能的。面对出人意料的课堂事件，不加分析地沿用自己的旧

    套路是不够明智的。唯有随机应变，方能在课堂上创出一方新天地。

    教学行为的千篇一律、课堂气氛的死气沉沉，其实是教师思想过

    于封闭和僵化的一种外在显现，暴露出教师教学观念上的因循守旧及

    其自我更新能力的欠缺。

    怎样让学生“创”？办法很多，最主要的是给学生机会，给学生

    练的机会、说的机会、提问的机会、上台当小先生的机会……教师应

    当记住：你给学生一个机会，学生就会给你一个惊喜。好课的“新”主要表现在渗透新思想、生成新方法、创造新形式

    上。有的教师上课，只能使学生“依葫芦画瓢”，把知识原原本本地

    记住；有的教师做得好一些，他们努力使学生在知识之外习得一些方

    法，知道知识是怎么被“制造”出来的；更高明的做法是，学生参与

    “创造”知识的过程，知识成了学生之间、师生之间心智碰撞的结

    晶，由此，知识从“结论”被改造成为“过程”，学生不仅收获了知

    识和技能，而且发展了思维，学会了学习，掌握了数学思想方法，其

    思维的触角得以向更大的范围伸展、更深的层次开掘。让学生获得对

    数学思想的崭新领悟，这样的“新”所发挥的影响是极其深远的。

    教学有法，教无定法，边教边思，常有新法。有些名师的课让人

    屡听不厌，就是因为他们的教学方法不是一成不变的。时间不同，地

    域不同，学生不同，方法也随之发生变化。教师要能够根据学生去调

    整自己用熟了的方法，虽然调整会带来风险，甚至有失败的时候，但

    这样的“新”方法，一定会引发出更成熟、更富有智慧的好方法。

    正确处理创新与继承的关系。在强调创新的时候，不能把其与继

    承中国数学教育的优良传统对立起来。中国数学教育的优良传统是立

    足的根本，是发展的源头。不能为了创新把中国数学教育的优良传统

    丢掉。例如，“加强双基”是中国数学教育的优良传统，这个根本不

    能丢掉，但对双基的内容及实施数学双基的形式和方法可以不断创

    新。

    大家应该注意，形式并不是可有可无的东西，它与内容是无法完

    全割裂开来的。有时候，形式上的革新也会引发内容上的突破，从而

    极大地推动教学活动质量的提高。所以，形式创新也是教学内容有

    “新”的重要体现。

    这里必须明确一个观点，形式是为内容服务的，形式的“新”是

    为了使学生更好地理解知识、形成技能、掌握思想方法以及积累数学

    活动经验。如果离开教学效果，一味追求形式上的新颖，是没有意义

    的，反而会陷入形式主义的泥潭。新形式的好与坏，判断的标准主要

    是看教学效果。正所谓“方法好坏看效果”。

    真实与创新是互相联系的，真实是为了更好地创新，真实是创新

    的基础，创新是真实要达到的目标。为了纠正当前课堂教学中形式主

    义和非数学化的倾向，有教师曾提出上“家常课”、“平常课”、“原生态课”等，意思就是上贴近实际的真实课，不过，这些提法容易引起误解。只提真实不行，要体现课程改革方向，还必须创新。有

    了创新，才能改革旧的课堂模式和教学方法；有了创新，才能创造出

    符合时代特征的新模式和新方法；有了创新，才能提高学生的数学素

    养；有了创新，才能提升中国的数学教育。因此，提“上真实创新的

    课”，比较全面，要求明白，通俗易懂。

    新课程改革经过近几年的反思和调整，一定会有新的发展，我们

    大家都应该上“真实创新”的课，为新课程改革的健康发展添砖加

    瓦。特别是名师要能够带头上“真实创新”的课，因为名师的课影响

    较大，能起到导向作用。另外，各种优质课比赛评课标准中也要鼓励

    参赛教师上“真实创新”的课。最好采用当场抽签选择课题、当场备

    课的办法，这样才能真正考查参赛教师的真实水平，对课堂回归朴实

    自然，拒绝急功近利、弄虚作假、形式主义，将会产生积极的作用。

    2008年11月底，“全国小学数学名师教学风采展示会”在山东济

    南举行。我受《山东教育》编辑部秦荃田主任的邀请参会，他们要求

    我除做讲座外，一定要上一堂课。我欣然同意。按照四年级的教学进

    度，我上了“除数是两位数的笔算除法”这堂课。在设计上，我强调

    “学生在练中学”，通过不同层次的几十道练习题，让学生自己理解

    和掌握除数是两位数的笔算除法，最后连口算卡片都用上了。我大胆

    让学生当小先生，先让学生在课前预习，上课时由他们上台讲解。这

    种方法对于学生来说是第一次，会有不尽如人意的地方。这样上课到

    底好不好，欢迎大家来评说。

    课堂智慧

    “除数是两位数的笔算除法”教学实录

    【教学背景】

    2008年11月底，在山东省济南市召开的“全国小学数学名师教学

    风采展示会”上，邱学华先生应邀做讲座，还亲自上了示范课。邱学

    华先生是大家熟知的著名小学数学教育家、“尝试教学”理论的创立

    者，以74岁高龄，能够亲自上台给小学生上课，令人肃然起敬，他的

    课既真实又富于创新气息，在与会教师代表中引起了热烈的反响。邱

    先生按照实际教学进度上了一节计算课，一般名师上公开课大都不愿

    意选择这类课题，因为很难发挥出彩。邱先生大胆地让学生预习，由小学生自己上台讲课，把这堂课上得自然朴实且有声有色。他这种大

    胆尝试、敢于实践的精神，得到了大家由衷的敬佩和爱戴。

    【教学实录】

    一、在对比中引入新课

    师：预习了吗？

    生：(齐)预习了!

    师：今天我们要学什么？

    生：(齐)除数是两位数的笔算除法。

    师：我们前面学习的除法和今天要学的有什么不同？

    (课件依次出示：①20 ②21 )

    生：以前学的是除数是整十数的口算除法，今天要学的除法算式

    中除数不是整十数了。

    师：像这样的题目，口算比较难，得学习笔算才能顺利解决。

    二、在尝试中建构新知

    师：(出示课本第84页的主题图)图上说了什么事情？生：买21

    本《作文选》，付给售货员84元钱。师：这样说题目，能算完整吗？

    生：不完整。

    师：条件该怎么说？看书上第(2)题，买《作文选》的老师姓什

    么？谁能补充完整？

    生：王老师买了21本《作文选》，付给售货员84元钱。

    师：问题怎么提？谁能把题目完完整整地说出来？

    生：王老师买21本《作文选》，付了84元钱。一本《作文选》多

    少元？

    (课件出示题目，学生齐读后，教师强调：这样的题目才算是完

    整的应用题。之后，学生在练习本上尝试计算，教师巡回指导。)

    师：好了吗？请第一组的同学来当老师，给我们讲讲这道题是怎

    样做的。

    [第一小组派出三名代表，一名负责贴白板纸(学生把解法用黑

    彩笔写在了上面)，一名负责给大家讲解，还有一名负责检查。]生：先用84除以21，把21看成20，想80除以20得4，商那里写4。

    21乘4等于84，84减84等于0。

    师：对不对呀？讲得怎么样？(学生鼓掌表示认同)

    (学生观看，教师用课件演示完整的计算过程)

    [教师出示第(2)题：王老师还有196元，要买39元一本的词

    典，可以买多少本？还剩多少元？]

    (学生读题后，开始动笔解题。在巡视中，教师要求各小组长在

    自己完成后去检查组内其他成员的做题情况，如果有同学不会做，小

    组长要帮助他学会解答。)

    (全班解题完毕后，第三组派三名代表到黑板前汇报讲解的做

    法。)

    (教师特意追问了第三小组的试商方法，并在与课本上的试商方

    法进行比较后，高兴地对同学们说：“书上先用4试商，太小，又换

    5，这是比较笨的方法。我们班有些同学运用口算，就能一眼看出商就

    是5，很不简单!”同学们听了之后，脸上露出了开心的表情)

    三、在练习中提炼方法

    师：课本第84页下面的“做一做”总共有6道题。这6道题，看谁

    做得又好又快!

    (学生独立完成课本第84页下面的“做一做”)

    师：做完的同学自己先检查一下。没问题了，再帮其他同学检

    查，看看别人做得怎么样。同学之间也可以互相检查。

    (等学生都完成后，教师利用课件直接出示各题的答案，由学生

    自己核对)

    师：6道题都做对的同学请站起来!(学生鼓掌祝贺)师：有错的同学请站起来。(有七八个同学不好意思地站了起

    来)有错不要紧，弄清楚错在哪儿、为什么错就行了。谁能和大家说

    说自己刚才做题时哪里错了？

    生：29 ，我试商时把29看成30，在商与除数相乘时也算成

    了乘以30。

    师：对啊，试商的时候用的是近似数，乘的时候还是应当用原来

    的数去算。这是很重要的学习经验!

    生：我把87当成78，写反了。我抄题时太不认真了。……

    师：马上改正!改过来也算你做对了。(做错的学生改正，已经

    做对的同学帮助检查把关)

    (教师用课件出示“病号”)

    师：下面我们来当当数学小医生，看大家能不能诊断出下面这几

    个“病号”的病因。(学生逐一作出“诊断”，教师每次都注意追问

    “病因”)师：你们都说说，做除数是两位数的笔算除法，哪个地方最容易

    出错啊？

    (学生踊跃发言)

    (在学生各抒己见的基础上，教师用课件出示)师：今后计算一定要注意这四个方面。为了使计算又快又准，我

    们需要练练基本功。那么，具体需要练哪些基本功呢？

    (学生认为应该练习一下退位减法、一位数乘两位数的口算、试

    商的方法等基本功。)

    师：最重要的是一位数乘两位数的口算，我发现有些同学做得还

    不够熟练。

    [教师以卡片的形式出示10道口算乘法题目(卡片是以除法竖式

    的方式呈现的，竖式中只出现了除数和商)，要求学生抢答出积，然

    后教师反馈正确答案]

    (随后，教师组织学生进行了试商训练，题目由教师用课件出

    示)

    四、在拓展中诱导潜能

    师：做了那么多道题，老师要奖励一下大家。奖励什么呢？(学

    生立刻瞪大了眼睛，紧盯着教师)奖励两道难题!(课件出示“智力

    大比拼”题目)

    (闻听此言，同学们都会心地笑了)师：这两道题比较难，除法算式中有空格，需要根据除数、商、被除数之间的关系推算出来，留给你们课后去思考，比一比，看谁能

    做出来。特别是第二道题，就是老师们做，也得好好动一番脑筋呢!

    【总评】

    邱老师选择这个课题来上课，仅仅是因为学生正常的学习进度刚好到这里。

    在教学过程中，邱老师没有加入令人耳目一新的各类拓展资料，也没有刻意打磨

    能凸显教师“匠心”的非常之举，有的只是“家常货”，用的都是“家常法”，说的都是“家常话”，充盈于课堂之上的是一种质朴自然的家常气息。这样的课

    堂教学，真正还原了数学课堂的本真面貌，是真正为了学生发展的数学课堂生

    活，学生真正成为课堂学习的主人翁。这样自然实在的课堂教学，放在时下诸多

    公开课中，确实显得有点另类，因为教师舍弃了原本属于自己的那份光彩夺目，心甘情愿地做起了幕后辅助工作，这样的退隐很容易被听课者误解为执教者不合

    时宜。我想，德高望重的邱学华老师敢于这样做，正是要提醒我们每一位数学教

    师：学生的有效发展才是课堂教学活动永恒的主题，“教”得精彩最重要的标识

    就是“学”得精彩!

    (本课整理者、总评者：张良朋)2.让孩子们在“好吃”中享受“有营养”

    的数学

    吴正宪

    2008年6月18日是个难忘的日子，“吴正宪小学数学教师工作站”

    经历了一年的筹备，终于正式挂牌启动。北京市教委副主任罗洁先生

    前来祝贺，他的一段即兴讲话深深地触动了我和队员们，引起了我们

    的关注与思考。触动——有营养的东西都不好吃

    “目前儿童教育面临的最大问题是童年生态被破坏，主要表现在

    儿童的身心发展和生活空间被挤压，孩子感受不到童年学习的快

    乐。”罗主任声情并茂地讲述了女儿与他的对话：“爸爸，小的时候

    您总是让我吃些有营养但我并不喜欢吃的东西。真不明白为什么好吃

    的东西都没有营养，而有营养的东西都不好吃呢!”

    女儿的话触动了罗主任，也触动了我们这个团队。

    由此我想到了我们的数学课。为什么那么多“有营养”的数学，学生却不喜欢、不爱学？我们能否让“好吃的数学”与“有营养的数

    学”在课堂中得到和谐统一，让孩子们在“好吃”中享受“有营养”

    的数学？

    我们常常以成人的眼光审视系统严谨的数学，并以自己多年来早

    已习惯的学习方式将数学“成人化”地呈现在孩子们面前。课堂上对

    孩子的“奇思妙想”、“异想天开”并没有太多的在意，忽视了儿童

    期的心理特点和学习规律，失去了儿童的情趣。正如罗洁主任所说：

    “我们现在的教学在拼命压缩孩子的儿童期，把它尽早地成人化。当

    一个孩子该享受儿童期特有的快乐生活时，在课堂生活中却享受不

    到。殊不知，孩子在失去儿童期应享受的幸福的时候，在成人期是永

    远也弥补不回来的。”是啊，我们教师要认真思考：如何才能让孩子

    快乐地度过人生中只有一次的幸福童年，且收获多多？坚守——“有营养”的数学

    什么是“有营养”的数学？“有营养”的数学就是在学生学习数

    学知识的过程中获得终身可持续发展所需要的基本知识、基本技能、数学思想方法、科学的探究态度以及解决实际问题的创新能力。总体

    来说：“有营养”的数学一定是有后劲的，是可持续的!

    要献给孩子们“有营养”的数学，我们就必须坚守多年来数学教

    学的规律，坚守儿童数学学习的规律；必须读懂数学，读懂教材，抓

    住数学的本质进行教学，为基础知识定好位、打好桩。要善于引导学

    生在观察、实验、猜测、验证、推理与交流的数学活动中，有机会真

    正经历“数学化”，获得数学思想和方法。要以数学知识为载体，培

    养学生思维的深刻性、灵活性、批判性和全面性，使学生会思考、长

    智慧。创造——“好吃”的数学

    什么是“好吃”的数学？“好吃”的数学就是把“有营养”的数

    学烹调成适合孩子们口味的数学，就是孩子们喜欢的数学、爱学的数

    学、乐学的数学、能学的数学，就是能给孩子们良好数学感受的数

    学。总体来说，就是孩子们喜欢的数学、孩子们需要的数学!

    要献给孩子们“好吃”的数学，就必须改变我们已经习惯了的教

    学行为，在教育理念和教学方式上有所突破。为孩子们奉献出“好

    吃”的数学，最重要的是真正读懂学生，读懂属于孩子自己的课堂。

    了解孩子的学习需求，是改善教学行为、设计课堂教学的重要出发

    点。好玩儿的数学、有魅力的数学一定是伴随着孩子们千奇百怪的问

    题开始的，让孩子们在发现问题、提出问题的过程中亲自尝试解决问

    题。教师要满腔热情地保护好奇心这颗“火种”，小心翼翼地呵护孩

    子的求知欲。教师要关注孩子的情感体验、行为体验，尊重每个孩子

    的个性品质，鼓励孩子用自己的方法诠释数学意义。

    “好吃”的数学可能不那么系统严谨，但是，只有属于孩子们自

    己的数学才是最美的数学。

    “好吃”的课堂可能不那么尽善尽美，但是，只有属于孩子们自

    己的课堂才是最有魅力的课堂。兼得——“好吃”又“有营养”的数学

    怎样创造既能使孩子们儿时学习幸福，今后又能长远发展的数学

    教育呢？我想，只有在真正读懂学生、读懂数学、读懂教材、读懂课

    堂的基础上，才有可能为孩子们的童年奉献出“好吃”又“有营养”

    的兼得数学。

    面对孩子们的需要，我们要一起行动。

    课堂智慧

    “搭配”课堂教学实录

    一、描绘生活情境，激发兴趣

    1.情境引入，设计陷阱

    师：同学们，每天起床第一件事做什么？(老师用动作提示)

    生：穿衣服。

    师：在上学之前，你还要作哪些准备？

    生：洗漱，吃早饭，背上书包去上学。

    师：今天，我们就一起来研究这些事中的数学问题。

    师：张小兰同学遇到了一些问题，我们来看一看。

    (教师在黑板上随意摆出三张卡片：一条裙子，两件不同的上

    衣)

    2.区分种类，规范名称师：一条是裙子，另外两件都是上衣，怎样区分？

    生：可以把长袖的叫长衣，短袖的叫短衣。

    师：(在黑板上随意摆出裤子与短裤的图片)这两件呢？

    生：可以叫长裤和短裤。

    师：为了我们交流方便，大家给这些服装起了不同的名字。

    二、独立思考，动手操作

    师：张小兰起床后，看到衣柜里有这些衣服。一件上装和一件下

    装穿在一起算一种穿法，这些衣服有多少种不同的穿法？

    (学生有的在思考，有的动手画，有的在小声交流)

    师：你认为有几种不同的穿法？

    (学生汇报出4种、5种、6种、7种、8种等不同的答案)

    师：不着急，下面请同学们先独立思考，再把不同的穿法用自己

    喜欢的方式记录下来，看看有几种不同的穿法。(学生们在独立思考后选用不同的方法记录，教师在巡视过程中

    找出不同的记录方式，请他们到展台前准备汇报)

    三、汇报讨论，探究规律

    1.汇报结果，交流方法

    师：我们一起讨论大家是如何进行搭配的，看屏幕。

    情况1

    生：我想把每种情况都写出来，但是还没写完。

    情况2

    生：我是用写的方法，写出了3种。师：很多同学都是这样写的

    (出示多个学生总结的搭配方法)。有的写出2种，有的写出3种或4

    种。情况3

    师：这是谁写的？你给我们读一读好不好？

    生：短衣配裙子，短衣配长裤，短衣配短裤……

    师：喘一口气好不好？休息一下。“哎!”接着读——生：(齐)长衣配裙子，长衣配长裤，长衣配短裤。

    师：再喘一口气。“哎!”这是几种？

    生：6种。

    师：刚才同学们展示出了不同的搭配方法，到底能搭配几种？

    生：6种。

    2.制定标准，探究规律

    师：对于前面几个同学的搭配方法，你有什么想法？

    生：前面几个同学在搭配的过程中，一会儿用长衣，一会儿用长

    裤，搭着搭着就糊涂了。

    师：“糊涂了”是什么意思？

    生：“糊涂了”就是弄乱了。

    师：他们是怎么弄乱的？

    生：他们一会儿用长衣和长裤，一会儿又用短衣和短裤，一点儿

    规律也没有，所以就弄乱了。

    (教师板书：乱)师：我们再来做一个比较，看看用第三种方法表示的同学乱不

    乱。

    生：不乱。

    生：他找齐了。

    生：他没有遗漏。

    师：也就是说，他找着找着就找“齐”了。(板书：齐)

    师：除了这6种之外还有没有其他搭配方法？

    (开始回答7种和8种的学生已经有所发现，不再举手)

    师：有的同学找着找着就找乱了，他又是怎么找乱的？有的同学

    能够一次性把各种情况都找齐了，他又是怎么找齐的？这就是我们今

    天要好好研究的问题。(在黑板上“乱”和“齐”的后面画上问号)

    师：通过观察这些同学汇报的结果，你发现了什么？生：一会儿拿长裤一会儿拿短衣，就会乱，如果把长衣搭配什么

    和短衣搭配什么挨着弄出来，就不会乱了。

    师：“挨着弄出来”是什么意思？

    生：“挨着弄出来”的意思就是把长衣拿出来，再一个一个地搭

    配；然后再拿来短衣，一个一个地搭配。

    师：这样搭配还容易弄乱吗？

    生：不容易弄乱了。

    (教师用黑板上的学具边演示边引导学生学习，然后把短衣拿出

    来)

    师：短衣与谁搭配？

    生：短衣与裙子搭配，再与长裤搭配，最后与短裤搭配。

    师：这就是你们所说的“挨着搭配”。

    (学生点头表示同意)

    生：“挨着搭配”就是拿出短衣以后一个一个地与下装搭配。师：短衣与下装都搭配完了，该做什么了？

    生：把长衣与下装再一个一个地进行搭配。

    (在黑板上放好长衣后，有的学生开始把三件下装挪到长衣下

    面)

    师：(笑)又挪过来了？那短衣怎么办啊？有没有更好的方法？

    生：可以用线连一连。

    师：刚才谁汇报了3种搭配方案？你来连一连看。

    (学生齐说：短衣配裙子，短衣配长裤，短衣配短裤。一学生连

    线。)师：短衣配完了，该做什么了？

    生：该配长衣了。

    师：请一名刚才搭配出5种情况的同学来连一连(换了一种笔)。(学生齐说：长衣配裙子，长衣配长裤，长衣配短裤。一学生连

    线)

    师：所有情况都搭配齐了吗？

    生：搭配齐了。

    师：这就是刚才你们说的“一个一个挨着搭配”。这样搭配还乱

    不乱？

    生：不乱了。

    师：我们回过头来再看一看，开始汇报的第三种情况是不是就是

    这样搭配的？

    生：是。他就是先拿出短衣配成3种，再拿出长衣配成3种的。

    师：我们再看其他几个同学，一会儿用短衣，一会儿用长裤，一

    会儿用裙子，这样的搭配方法有什么缺点？

    生：容易乱。

    师：那么我们是怎样从乱到不乱的？

    生：按照规律搭配就不乱了。

    生：按照一定的顺序搭配就不乱了。

    师：看来搭配的秘密让你们发现了，开始，老师在黑板上摆的是

    乱乱糟糟的，有些同学搭配起来也是没有规律的，现在我们让它们变

    得整齐了。从乱到不乱的过程，是按照一定的顺序，这个顺序也就是

    你们所说的“规律”。3.规范方法，引发思考，渗透符号化思想

    师：很多同学用文字叙述来表示不同的搭配情况，但也有同学的

    记录方法与他们不同。

    (出示两种记录方法)师：这两种方法怎么样？

    生：把图画出来的方法挺清楚的，但是第一个同学没有连线，第

    二个同学线画得有点乱。

    师：画图的方法确实挺好的，可是老师发现，有一个同学画图的

    方法与其他同学不一样。

    (出示)

    师：这种方法能不能表示搭配的不同情况？

    生：他表示得不清楚，不知道哪个是上衣哪个是下装。

    师：(请画图的同学)能说说每个圆代表什么吗？

    生：上面的两个圆一个代表长衣，一个代表短衣；下面的三个圆

    分别代表裙子、长裤和短裤。

    师：你自己知道，我们不明白。还有什么好的方法吗？

    生：她可以把上衣和下装用不同的形状来表示。

    师：怎样用不同的形状来表示？

    生：可以把上衣用三角形、下装用圆形表示。师：把它画出来好吗？

    (学生画图后出示)

    (有的学生发出“哇”的声音)

    师：“哇”是什么意思？

    生：我看出来这些图形不一样，就能很容易地区分出上衣和下装

    了。

    师：你能说说它们都代表什么吗？

    生：两个三角形代表上衣，三个圆代表下装。

    师：这样画图有什么优点？

    生：这样画图就能把上衣和下装分开，分开后就好搭配了。

    师：用这种方法分开后，就容易表示搭配的不同情况了。除了用

    前面两种方法表示外，还有其他方法吗？

    生：我是用数字加连线的方式表示的。我用1和2表示上衣，3、4、5表示下装。师：他的方法简便吗？

    生：简便。

    师：你们能给他提点儿意见吗？

    生：你的1和2为什么不画连线？

    生：1和2都是上衣，怎么能连线呢？

    生：但是你并没有把它们区分开呀？

    (用数字连线的学生在思考……)

    师：能帮他修改一下，让它们便于区分吗？

    生：可以用图形表示上衣。

    生：也可以用字母表示上衣。

    师：好极了，你来改一改。

    (学生动手把数字改成字母)师：这种记录方式有什么好处？

    生：用A、B表示上衣，用3、4、5表示下装，这样就能把不同的服

    装分类了。

    师：分类有什么好处？

    生：同类之间不能搭配，就不用连线了。

    4.声情并茂，初步渗透乘法原理

    师：同学们用了这么多不同的展示方法，大家用什么样的方法都

    可以，但怎样才能做到不漏也不多呢？

    生：要按照一定的顺序。

    生：要按照规律挨着搭配。

    师：刚才没有搭配全的同学，你们有什么想法？

    生：我发现搭配方式是有规律的，不能乱搭配。按照一定的顺序

    就能排好。

    生：只要按照规律搭配，就不会重复也不会漏掉了。师：刚才，通过讨论，大家又有了新的思考。我们可以用动作来

    表示一下。

    师：短衣与下装搭配的时候，一下子搭配了几种情况？大家和老

    师一起来，短衣——“刷”，几种情况？(语言与动作结合)

    生：3种。

    师：我把它记录下来。(板书：3)

    师：短衣搭配完了，再来用长衣搭配。长衣——“刷”，又搭配

    出几种情况？

    生：又多了3种。

    师：我再把它记录下来。(板书：3)

    师：有的同学好像又有了新发现。如果再来一件上衣，预备——

    齐——“刷”。

    (学生与老师同时用手势和语言“刷”来表示3种搭配情况)师：接下来我把这个同学的上衣借上来，预备——齐——

    生：“刷”，又多了3种。

    师：这回吴老师的上衣也上去了，预备——齐——

    生：“刷”，又多了3种。

    师：如果现在有9件上衣，能够搭配出多少种不同的情况？

    生：27种。

    师：你怎么这么快就得出结论？

    生：因为“三九二十七”。

    生：因为有9个3种。

    师：没想到，9件上衣和3件下装搭配，你们都可以这么快算出结

    果。

    师：我们再从下装与上衣搭配的角度来看一看。请你也用手势和

    声音表示出来。生：裙子和上衣——“刷”，2种。生：长裤和上衣——“刷”，又是2种。短裤和上衣——“刷”，又是2种。

    (教师依次板书：2，2，2)

    师：又来了一个短裤。

    生：“刷”，又多了2种。

    师：现在有10件下装，能和这2件上衣搭配出多少种不同的情况？

    生：2乘以10等于20种。

    师：看来，同学们在“刷，刷，刷”中又发现了规律。

    5.迁移拓展，发散思维

    师：每天我们上学前都要吃早点，如果把2件上衣分别改成“牛

    奶”和“豆浆”，3件下装分别变成“包子”、“面包”和“汉堡”，一种饮料与一种主食搭配算一种情况，有多少种不同的搭配方法？生：6种。

    师：你是怎么这么快得出结论的？

    生：这道题虽然是吃的问题，但是与刚才穿衣服的问题道理是一

    样的。

    师：很会思考问题。

    师：吃过早点之后，我们应该做什么了？

    生：上学去。

    师：上学路上还会有关于搭配的问题。

    师：张小东同学在上学的路上要路过一个图书馆，我们用字母A来

    表示小东同学的家，用字母B来表示学校。从家到图书馆有3条路，这3

    条路可以怎样表示？

    生：可以用1、2、3来表示。(教师标注)

    师：从图书馆到学校也有3条路，可以怎样表示？

    生：可以用4、5、6表示。

    生：用4、5、6表示不好，不容易与前面的路区分，应该用a、b、c表示。

    师：(问回答“用4、5、6表示”的学生)你觉得呢？

    生：我同意他的意见。(教师标注)

    (教师在黑板上画出示意图)师：小东同学从家路过图书馆到学校，有多少种不同的走法？

    (教师请一个对第一个问题只做了2种搭配的学生到黑板前，给其

    他同学进行讲解)

    生：可以走的路线有1a、1b、1c——

    师：一起帮他喘口气。

    生：(齐)哎!

    生：还有2a、2b、2c——

    生：(齐)哎!

    生：最后是3a、3b、3c。

    生：(齐)哎!

    师：一共几种？

    生：9种。

    师：你们有什么想法？

    生：只要有顺序地找，就能找得不多也不少。

    生：一个一个地挨着找，才不容易找错。

    生：找的时候一定要有规律，才能够把所有情况找齐。

    四、互相倾听，反思接纳师：同学们，就要下课了，你们有收获吗？

    生：我的收获是做什么事都要有规律，不能够没有顺序。

    生：我学会了可以用一个简单的图代表一件事情。

    师：今天学的穿衣服的事情，怎么吃饭、走路的问题，你们怎么

    解决呢？

    生：就是把穿衣服的道理拿过来，用在吃饭、走路上。

    生：我开始时做错了，后来和同学们一讨论，就学明白了。

    生：我觉得学习原来能够这样有趣，我非常开心。

    (本课整理者：李继东)3.师者若水

    华应龙一

    “上善若水”是老子的名言。

    40多年的所见所闻、所做所悟，让我体味到：师者若水。

    师者若水，宽容博爱。老子曰：“水善利万物而不争。”水不在

    深，有龙则灵；师不在名，有爱则灵。师者应有博爱的胸怀，容纳一

    切学生，容纳学生的一切。

    师者若水，和顺温柔。泰戈尔说：“不是槌的打击，乃是水的载

    歌载舞，使鹅卵石臻于完美。”抽刀断水水更流，师者至柔为上，温

    温恭人。

    师者若水，水滴石穿。李白吟：“君不见黄河之水天上来，奔流

    到海不复回。”学生反复100次，教师做101次转化工作，乃把懵懂无

    知的孩子培育成才。

    师者若水，随物赋形。苏辙诵：“圆必旋，方必折，塞必止，决

    必流。”水无定形，教无定法，因材施教，因地制宜。

    师者若水，善待时机。老子道：“动善时。”水遇热成气，遇冷

    结冰，遇风起浪，遇水相融。课堂教学亦当因时而变，水到渠成，行

    到水穷处，坐看云起时。

    师者若水，灵活自在。孔子说：“知者乐水，仁者乐山。”水有

    时细腻，有时粗犷，有时妩媚，有时奔放。师者知性，灵动清明，惹

    人喜爱。

    师者若水，公正无私。子曰：“至量必平，似正。”器歪水不

    歪，物斜水不斜。水不汲汲于富贵，不戚戚于贫贱。师者不跪着教

    书，心中一泓清泉。

    师者若水，心如止水。庄子说：“人莫鉴于流水，而鉴于止

    水。”静水流深，波澜不兴，师者淡泊名利，志存高远。师者若水，载舟覆舟。庄子说：“水之积也不厚，则其负大舟也

    无力。”海纳百川，有容乃大，师者自强不息，厚德载物。

    我以为，水最值得我们教师学习的，是“往低处流”。

    当我们“往低处流”时，才会真心倾听学生的发言，学生被尊重

    的需要才能得到满足；当我们“往低处流”时，才会好奇地想看看学

    生那边会有什么风景，而不再做摸象的盲人；当我们“往低处流”

    时，才会惊讶于学生的发现，明白“我的认识是对的，与我不一样的

    不一定就错”；当我们“往低处流”时，才会真诚地欣赏和夸奖学

    生，好学生是被夸出来的，这不是个传说；当我们“往低处流”时，才会从善如流，从容地与学生一起行走。

    而如今在课堂上，我们教师往往自以为是，往往认为老子“教

    室”第一，往往不肯放低姿态，往往不愿意蹲下来听听孩子们的心

    声，往往不愿意倒空自己杯子里的水。

    哲人语：“宇宙有多高？只有五尺高。”六尺之躯的我们要在五

    尺高的宇宙里生存就必须低头。

    只有师者低首往低处流，学子才会抬头往高处走，这才是新课程

    呼唤的充满生命活力的课堂的迷人景象。

    俗话说：“人往高处走，水往低处流。”其实，要往低处流，先

    得往高处走。

    师者若水。课前，师者要往高处走，提升、丰厚自我；课上，师

    者要往低处流，接纳、欣赏学生；课后，师者依旧要往高处走，反

    思、深化经验。这样，我们的人生修为才能渐臻至善——“水唯能下

    方成海，山不矜高自及天”。

    “君子见大水必观焉。”

    师者若水。

    上善若水。二

    “解决(连乘)问题”一课讲完了，在热烈的掌声中，听课老师

    们纷纷向我投来钦佩的目光。

    我接受着。

    一位老师走到讲台前，眼睛有些湿润，脸庞微红，声音有点颤

    抖：“华老师，您好!我十分佩服您，特别是学生出错以后您的处理

    方式。太感谢您了!”听得出，她是一位不善言辞的老师，感受得

    到，她是一位真诚的朋友。

    我猜想，这位老师可能不知道，我的研究方向就是如何对待学生

    的差错，如何“融错”，她的直觉太妙了。

    我享受着。

    这班学生太可爱了，非常地灵巧，虽然基础知识和基本技能掌握

    得不是十分扎实，一会儿这里错一点，一会儿那里错一些，但是他们

    一点就通。

    泰戈尔说：“当乌云被阳光亲吻时，它们就变成了天空中的花

    朵。”原初，学生的差错是课堂上空的片片乌云，当我们直面现实，以阳光的心态来观照时，就可以观照出这些差错所蕴涵的发展价值，当我们评价在对错之外时，那些差错就幻化成了课堂上的朵朵奇葩。

    我要讲“解决问题”，讲寻找条件，讲解题思路，学生却出现了

    计算出错的问题，出现了书写格式的问题，出现了小括号作用不明的

    问题，出现了不知道得数后面写不写单位的问题。那又有什么办法

    呢？课堂就是这样。就像医生不能要求病人只能生什么病、不能生什

    么病一样。

    继而，我想，教师是否也可以像医生那样专业和大气，当自己实

    在无能为力、回天乏术的时候，不妨邀请大家会诊，不妨指点病人另

    就高明。我们是否因为总想包治百病，反而妨碍了专业的发展，阻滞

    了有效课堂的进程？从课的结构看，开始的环节组织得不好，引导得不妙，经过班组

    求和、男女求和、差比求和、年级求和的漫长过程，耗时过多。

    预设的时候，我考虑帮助学生回顾一下两步计算问题的解决过

    程。因此，在学生试探性地回答“一组12人，二组12人，三组14人，四组14人”之后，我问学生，“还可以告诉我什么呢”，应该说，后

    面的发散环节是我主导的。如果在出现意料之外的小组求和之后，我

    就引导“假如4组都是12人，求全班人数，该怎么办呢”，那样就能一

    下实现一步乘法的过渡，同时又巩固了乘法的意义。

    不枝不蔓，可能更美。

    我反思着。

    不过，有时候教学的效果可能就是歪打正着，我们教师也许并不

    清楚哪一句动情的话语唤醒了学生的天耳，并不知晓哪一抹热情的目

    光点燃了学生的心灯。

    有意栽花花不发，无心插柳柳成荫。那么，我们教师的专业追求

    又是什么呢？又为什么要追求呢？

    孔子说：“从心所欲，不逾矩。”这，应当是我们修炼自身所要

    追求的境界。佛陀说：“应无所住而生其心。”这，应该是我们修炼

    的方法。不执著于自己的课前预设，保持一颗开放的心，向学生敞

    开，向课堂敞开，那么，我们就会走向自由和自在。

    课堂智慧

    当阳光亲吻乌云

    ——以解决(连乘)问题为例的融错教育

    在汶川大地震两周年前夕，北京市对口支援的什邡市邀请我去讲

    学，确定的教学内容是人教版小学数学三年级下学期第99页“解决

    (连乘)问题”，要求讲座的内容是“如何提高‘解决问题’教学的

    有效性”。

    接到任务后，我在思考——现在的“解决问题”教学与传统的应用题教学有什么不同？我们

    应该如何扬弃传统的应用题教学经验？

    问题情境是一节课的眼睛，设置得好，是可以顾盼生辉的。当

    然，情境最好是真的、自然的。教材中“3个方阵一共有多少人”的问

    题情境如何呈现？为什么要解决这样一个问题呢？针对这一情境，学

    生可能会提出什么问题？有更合适的问题情境吗？

    学生列式解答连乘问题有困难吗？如果在正确理解题意的基础

    上，学生都能解答，那么教学的帮助和提升作用又体现在哪里呢？为

    什么要上这节课呢？

    理想的课堂应当不仅传授知识，还要启迪智慧，更要点化生命。

    那么，这节课教学的智慧点在哪里？又如何点化生命？

    经过一个多星期的思考，我确定了本节课的内容，如下——

    教学目标：

    (1)经历解决问题的过程，学会用乘法两步计算解决问题。

    (2)通过解决具体问题，获得一些用乘法计算解决问题的活动经

    验，感受数学在日常生活中的作用。

    (3)渗透爱的教育，让爱在师生们的心间传递。

    教学重点：进一步熟悉解决问题的步骤，学会寻找条件。

    教学难点：学会叙述解题思路。

    课前了解：在灾后重建中，班上有没有被帮助的典型故事？班上

    有没有孤儿？有没有单亲家庭的孩子？有没有人收到过千纸鹤？会不

    会折？有没有为玉树的小朋友做些什么？

    在进行一番准备之后，我们12位北京市中小学教师代表一同前往

    什邡。到达什邡后，我们欣喜地看到一派新气象：宽阔的公路、崭新

    的民房、绿油油的庄稼、幸福的笑脸……学校的建筑在当地是最气派

    的。在地震遗址公园，我们被倾斜的楼房、下陷的地基、扭曲的管

    道、废墟中的书包深深地震撼：在大自然面前，生命是多么脆弱。带着非常特别的心情，我走上了什邡市朝阳小学的讲台。

    一、交谈引入，现问现解铺垫问题

    师：孩子们，我知道你们是三年级(3)班的同学，我们班一共有

    多少人？

    生：(齐)52人。

    师：假如不直接告诉我，该怎么办呢？

    (学生不明白老师表达的是什么意思)

    师：你可以告诉我什么，让我来算。那能告诉我什么呢？

    生：(怯怯地，不敢肯定)一组12人，二组12人，三组14人，四

    组14人。

    师：对!知道一组一组的人数，我就可以算出我们班一共有多少

    人。怎么列式呢？

    生：12+12+14+14=52(人)。

    师：还可以告诉我什么呢？

    生：我可以告诉您女生的人数和男生的人数。

    师：这样也可以，怎么做呢？

    生：只要合起来就可以了。

    师：也可以只告诉我男生的人数，再告诉我女生比男生多多少人

    或者少多少人，这样好不好算呢？

    生：(齐)可以，好算。

    师：谁会算？你能说一说怎么算吗？生：女生比男生少4人。

    师：想算全班有多少人，要先算什么？

    生：要先算女生有多少人。

    师：对，要先算出女生的人数，再把男生的人数和女生的人数合

    起来，就是全班人数。现在我知道了，我们全班有52人。我又有一个

    新的问题了，我们全校大概有多少学生，你们知道吗？

    (有的学生睁大眼睛，惊讶地扫视别人；有的孩子疑惑地看着老

    师)

    师：不知道的话，帮老师出个主意。我怎样才能知道全校有多少

    学生呢？

    生：(一口气说出)一年级人数+二年级人数+三年级人数+四

    年级人数+五年级人数+六年级人数。

    师：行不行？

    生：(齐)行——

    (孩子们脸上露出笑容，自觉地鼓起了掌)

    师：我很佩服这个小伙子!还可以怎么办？请动脑筋想一想。

    (教师板书：全校有？名学生)

    生：还可以问。

    师：问谁？

    生：(羞涩地回答)问校长。

    师：直接问校长全校有多少学生，多没意思。我只想知道大约有

    多少学生，可以怎么问？(学生面面相觑，不知如何是好。过了一会儿，一个孩子举起了

    手。)

    生：每个班大约有50人，50人乘以班数。

    师：真是好样的!所以，我们只要问校长我们全校有多少个班就

    可以了。(转头问校长)请问校长先生，咱们学校有多少个班？

    校长：有26个班。

    师：全校有26个班，你能不能算一算全校大约有多少名学生呢？

    (待学生们在练习本上计算后，教师从中拿出以下算式放在投影

    仪上)(有孩子边举手边说：错了)

    师：算错了没关系，我们看看哪儿错了。

    (学生们边看投影边议论)

    师：还是让他自己说说错在哪儿了吧!

    生：少算了，应该是1300。师：(带头鼓掌，由衷地感叹)真好!真好!这个小伙子真不

    错，开始说3000，大家有不同的声音，他思考之后说“少算了”。反

    应真快!哪儿少算了，你们发现了吗？

    (孤孤单单的一个声音说道：“没有。”其他同学议论：“不是

    少了，是多了吧？”)

    师：(笑着)我明白了，你们都同意多算了，多算有多算的道

    理，少算有少算的理由。说多算了，是结果多了；说少算了，是过程

    少了。哈哈哈!我们看看过程哪儿少了。

    生：“2”还没有乘呢。

    师：(指着投影上的错题)对，5×6=30，2×5=10，再加上——

    生：进位的3，就是1300。

    师：自己又算对了，多好啊!我们应该给他掌声。他能发现错

    误，并且能改正错误，这是华老师最欣赏的!(众学生鼓掌)

    师：现在我们算出来了，全校大约有1300名学生。(扭头面向校

    长)我们全校有多少名学生？

    校长：1280人。

    (学生们惊讶地“啊”了一声，一脸灿烂)

    师：大约有1300人，真准!

    二、顺水推舟，找准条件贯通思路

    师：我从刚才这么简短的交流中，发现我们三(3)班的同学都很

    会动脑筋。假如一个学校每个年级有4个班，每个班有50人，你能算一

    算全校有多少人吗？

    (教师边说边板书：每个年级有4个班，每个班有50人)

    (学生计算，教师巡视后，取来一位学生的练习放在投影仪上)(学生看后，有人说错了，有人说对了)

    师：认为错了的同学请举手(大部分同学举起了手)，认为对了

    的同学请举手(有五六个人举手)。哪位同学愿意做小老师，给大家

    讲一讲，为什么说他这道题错了？

    生：那个50是从哪里来的？

    生(被投影的练习的主人)：每个班有50人。

    生：24从哪里来的？

    生：有4个班啊!每个年级有4个班，有6个年级，所以4×6=24。

    师：我觉得你问的问题很厉害。我也问问，4×6=24求的是什么？

    生：求的是全校一共有多少个班。

    师：那24×50求的是什么？

    生：求的是全校共有多少人，结果是1200人。

    师：刚才说他错了的人呢？他哪儿错了？

    生：他写竖式时数位没有对齐，24×50，“0”应该和“4”对

    齐。师：我没有想到同学们对自己的要求这么严格，确实这个“0”既

    可以写在“4”的下面，但也可以把“0”放到后边。两个写法都正

    确，结果是不是一样的？

    生：是。

    师：如果把“0”放到后面怎么计算？哪位同学愿意做小老师，给

    大家讲一讲？

    生：如果把“0”放到后面，就先算24×5，然后再把“0”添上

    去。

    师：很正确!把“0”放在“4”的下面也可以，就是计算时麻烦

    了点儿。

    (孩子们纷纷点头，不再认为刚才的计算是错的了)

    师：现在我们知道了，全校有1200名学生。做错的同学想一想，刚才自己错在哪儿了。谁能勇敢地说一说？

    (没有学生敢举手发言)

    师：学习就是这样，正因为自己有不会的，才需要学习；要是都

    会了，我们也就不需要学习了。

    (渐渐地，有几个孩子举起了手)

    生：刚才我把我们学校的学前班也算进去了，所以乘的数是7，就

    是28个班。

    师：大家说说，他的算式有没有道理？对，问的是全校，我们学

    校有学前班，就得算。哈哈哈!他的解答也是有道理的。

    生：4×6这一步我没有列出式子，直接用24×50了。

    师：(笑着)同学们对自己的要求很严格。一会儿用横式，一会

    儿用竖式。这个怪我，我没有讲清要求。(指向“直接用24×50”的

    学生)你能都写成横式吗？你说我写。生：4×6=24，24×50=1200。

    师：要不要写单位名称？(开玩笑地)不写要扣分的哟——

    (同学们窃笑，气氛越来越活跃)

    师：24后面写什么单位？

    (有的学生说“班”，有的学生说“个”)

    师：哪个最好？

    (学生们还是各说各的)

    师：好的。让我说，我认为应该写“班”，因为那样可以突出全

    校有24个班。1200后写什么？

    生：(齐)1200“人”。

    师：你们知道如果上海的小朋友做这道题，他们会怎么列式吗？

    (学生们安静下来，认真地看着老师板书)

    4×50×5

    =200×5

    =1000(人)

    师：这个式子你看得明白吗？你说是对还是错？

    (学生们议论纷纷，有的说对，有的说错)

    师：为什么你认为是错的？请说明理由。

    生：他没有写括号。

    师：哪里要写括号？你过来添上。

    (孩子快步上前，把4×50括了起来)师：为什么要加括号？

    生：如果不加括号，就会被别人看做50×5。

    (学生们开始反驳：“不一定。”)

    生(另一名)：如果不写括号，就应该在第一步的后面写等于号

    算出结果。

    师：我很佩服我们三(3)班的同学，大家都很爱动脑筋，也能认

    真观察，还能大胆地猜想。是猜想就有可能是错误的，我们来看看这

    道题。我们以前学习过小括号，为什么要有小括号啊？因为加了小括

    号就要先算小括号里面的。现在这个连乘的式子没有小括号，我们就

    要从左往右一步一步地去计算，就是先算4×50，所以不用加小括号。

    好了，孩子们，你们知道为什么上海的同学会写出这样一个式子吗？

    生：(理直气壮地)我觉得这个式子是错的。因为有6个年级，不

    是5个。

    师：你的判断完全正确。

    (孩子们自己鼓起掌来)

    师：不过，他们这么做，还是有道理的。因为上海有很多小学就

    是5个年级(学生惊讶)。看来，与我们不同的回答，不一定就是错

    的。(学生们似有所悟)不管乘以5还是乘以6，我们都要先想一想：

    有几个年级呢？要想知道全校有多少人，(指着板书)我们该怎么想

    呢？(学生们没有反应)

    师：先去想——每个年级有多少人？(板书：每个年级有？人)

    再去想——有几个年级？(板书：有？个年级)

    师：要求出每个年级有多少人，该怎么计算呢？

    生：用全校的人数除以几个年级。

    师：真好，可现在我们就是要算全校人数呀，它是不知道的。

    生：4×50，4是每个年级有4个班，50是每个班有50人。师：所以，要求出年级人数，就要知道每个班有多少人，(板

    书：每个班有？人)这个年级有几个班。(板书：有？个班)

    要求出全校有多少人，我们应该怎么想呢？谁能看着板书说一

    说？

    (学生们坐在座位上自己试着说)

    生：(在老师的帮助下)要求出全校有多少人，就要用每个年级

    的人数乘以年级；要求出每个年级的人数，就要用每个班的人数乘以

    多少个班。

    师：我发现同学们都会做，但不怎么会说，所以我们要把这个思

    路再说一下。

    (教师指着板书示范，同学们跟着说)

    师：我们还可以从下往上想，根据每个班有多少人和有几个班，我们可以算出每个年级有多少人；再根据每个年级有多少人和有几个

    年级，我们就可以求出全校有多少人。(让同桌两人互说解题思路)

    三、巩固练习，自解自述例题思路

    师：(投影教材例1，如下图)你看到了什么？生：我看到有同学

    在做早操。师：你还看到了什么？

    生：每行有10个人，共有8行。

    师：你还想知道什么？

    生：有几个方阵？

    (教师把图片投影中的遮挡物挪开)

    生：(齐)3个方阵。

    师：如果让你算3个方阵一共有多少人，你会算吗？

    生：(跃跃欲试)会。

    师：既然你们都会，我就不教了，你们自己算。

    (教师组间巡视)

    师：(展示一学生作业)华老师看了一遍，确实非常佩服你们，同学们基本上都是这么做的：80×3=240(人)，但你们是怎么想的呢？列式解答，大家没问题；说思路呢，有些难。谁能勇敢地说一说

    解题的思路？

    生：有8行，每行10人。8×10=80(人)，就求出了1个方阵有多

    少人。共有3个方阵，就用80×3=240(人)。3个方阵一共有240人。

    师：说得特别清楚流利，给她掌声!

    (掌声中，该女生得意地坐下，迎来羡慕的目光)

    师：现在你会说了吗？

    生：(孩子们都点点头)会——

    (有不少同学举手，想试着再说一说)

    生：每排有10人，有8排，每个方阵80人，3个方阵就是

    3×80=240(人)。

    师：我们可不可以换一种说法？要想求出3个方阵一共有多少人，我们就要先算出什么？

    生：1个方阵有多少人。

    师：对，要求出1个方阵有多少人，那该怎么算呢？

    生：(学生都把小手举得高高的，喊道——)8×10=80人。

    师：看每行有多少人，有几行，这就需要我们自己去找。还有算

    式与这个不一样的吗？

    生：我的做法是3×8=24(人)，24×10=240(人)。

    师：想想他是怎么想的。谁能做小老师给大家讲明白？

    生：先求3个方阵的横排，再乘以有多少个这样的横排。

    师：我发现你真是他的知音，你完全明白，但你说的有些问题。

    孩子们，我们一起来看，3×8算的是什么？你们自己说一说。生：有3个方阵，每个方阵有8排，3×8=24。

    师：24表示的是什么？

    生：有24排。

    师：对，应该是“24排”，而不是“24人”。

    生：一排有10人，所以再乘以10。

    师：他思考的路子和我们的不一样，但也是对的。

    四、创设情境，传播美好大爱种子

    师：(神秘地取出红、黄、绿、蓝、粉色的一叠彩纸)这是老师

    从北京带来的。

    众生：(惊呼)太漂亮了!

    师：(拿起一张)一张纸把它对折，再对折，我们把它平均分成

    了几块？

    生：4块。

    师：每张小纸可以折成一个像这样的纸鹤。(展示自己折的纸

    鹤)

    众生：(由衷感叹)太棒了!

    师：我想问问，这么多的纸可以折多少只纸鹤，你怎么算出来？

    生：每张纸可以折4只纸鹤，有多少张纸就乘以多少。

    师：真好!那么这些纸一共有多少张呢？我告诉你，有5种颜色的

    纸，每种颜色的纸是一样多的，你想问我什么？

    生：每个颜色的纸有多少张？师：每种颜色的纸有50张。你还想问什么吗？(无人问)你能算

    出一共可以折多少只纸鹤吗？

    生：50×5算的是一共有多少张纸，再乘以4，结果就是可以折出

    多少只纸鹤。

    生：1000只。

    师：大家都会做了，下课后把这些彩纸拿回去自己折。想一想，折出来的千纸鹤准备送给谁？

    众生：(纷纷地)老师、华老师、现场的老师、爸爸、妈妈、小

    伙伴……

    师：真好，因为送出一只纸鹤就是送出一份心愿、一份祝福。有

    没有谁想到送给不是自己身边的人？

    生：我想送给玉树的小朋友。

    师：为什么？

    生：因为他们那里受灾了。

    师：她要把千纸鹤送给玉树的小朋友，我十分佩服她!这让我想

    起上周在报纸上看到的一篇文章——

    美国东部一个风雪交加的夜晚，推销员克雷斯的汽车坏在了冰天雪地的山

    区。野地四处无人，克雷斯焦急万分。因为如果不能离开这里，他就会被活活冻

    死。这时，一个骑马的中年男子路过，他二话没说，就用马将克雷斯拉出了雪

    地，拉到一个小镇上。当克雷斯拿出钱感谢这个陌生人时，中年男子说：“我不

    求回报，但我要你给我一个承诺。当别人有困难时，你也要尽力去帮助他!”在

    后来的日子里，克雷斯帮助了许许多多的人，并且将那位中年男子对他的要求同

    样告诉了他所帮助的每一个人。

    多年后，克雷斯被一场洪水围困在一个小岛上，一位少年帮助了他。当他要

    感谢少年时，少年竟然说出了那句克雷斯永远也忘不了的话：“我不求回报，但

    我要你给我一个承诺……”克雷斯的心里顿时涌起了一股暖流。

    (聚精会神听故事的孩子们脸上露出了会心的笑容)师：是啊，爱心是无价的，是不求回报的，它还可以在心和心之

    间传递，这就像是一个连乘的式子。

    (教师板书：一个人的爱心×你×我×他×……=美好的人间)

    师：只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间。这次来到

    汶川，让我感受到另一个连乘的式子。

    (教师板书：一个人的爱心×13亿×365=爱的海洋)

    (师生一起轻声朗读这个式子)

    师：爱的海洋可以解决任何问题。(板书课题：解决问题)

    五、回马一枪，点破问题解决关键

    师：(看表)孩子们，我们已经上了42分钟的课了，该下课啦!

    生：(全都不停地摇头)不好，不好，NO——

    师：按照老师的设计，是没有讲完，但时间已经到了。大家的表

    现都非常好，今天就上到这里。

    生：(依依不舍地)不好，不好。

    师：(迫不得已)那我们就再上一会儿？

    生：(齐刷刷地喊)好——

    师：看看谁最会动脑筋。打开数学书，最下面的一道题，看你能

    想到多少算式，咱们进行比赛，看看谁的方法多。(学生们写后，进

    行小组讨论，老师巡视)师：我看到好多同学的脸上都洋溢着笑容，也看到有的学生忙着

    动笔写。这说明了什么？

    生：有的对，有的错。

    师：哈哈哈!其实，不管是对了还是错了，你都会有收获。做对

    了的同学，可以说说你的经验；做错了的同学，可以分析分析是怎么

    错的。

    生：我数错了，我数成29个鸡蛋了。

    师：你真细致!他想一层一层地数出来，这个教训挺好的。不应

    该一个一个地数，而应该数有几行，再数一行有几个。这样“算”出

    一层，而不是“数”出一层。解决问题，需要智慧地选用策略，找准

    条件。谢谢他提醒了我们。为他鼓掌!

    生：我算错了，算成了30×80=2300(个)。(全班哄堂大笑)

    师：(也笑)孩子们，基本计算能力是解决问题的一个保证。大

    人们一般喜欢说“不管三七二十一”，(面向大家，指着该生)你可

    要记住“不管三八二十四”哦!(全班都笑了)现在我们可以下课

    了，孩子们!

    众生：(仍不依不饶)不可以。

    师：一堂课解决不了所有的问题。你们的心情我理解，我也觉得

    跟同学们一起学习很享受。但是老师们后面还有其他活动，我们不能为了满足自己的愿望，而妨碍了老师们的活动。大家说呢？

    众生：(点点头，又很不情愿地)嗯——

    (本课整理者：王红)4.学习“更好的数学”

    林良富

    我们该为学生准备什么样的数学学习，是每个数学老师经常追问

    的话题，每个人都会有不同的理解、不同的表述。一部分老师认为，教学内容是教材已经编排好的，教学目标是课程标准、教参已经规定

    了的，教学过程是执行教材；而我却一直在思考，怎样为学生准备

    “更好的数学”学习。当然，不同阶段、不同的人，对“更好的数

    学”会有不同的理解，但“更好的数学”应该有几个明确的标准：①

    有用的、人人都必须获得的基础数学，它能建立数学学习的平台，为

    后续学习、终身学习打下良好的基础；②形象、生动、富有挑战性的

    数学，它作为学生喜闻乐见的素材、活动场景，最容易被学生接受；

    ③能引领学生去尝试、去经历、去发现的思维的数学，它作为教学推

    进的活动主体，凸显了过程性、结构性和数学化，能引领学生逼近数

    学的本质；④应用、创新的数学，它作为一个学习整体，与人的生活

    世界息息相关，与其他学科紧密联系，凸显了数学的现实性与再创

    造，是数学学习的最高追求。

    教师要为学生提供“更好的数学”，还必须深刻认识数学教学的

    本质。首先，数学教学过程是师生共同发展的生命历程：通过师生的

    真情付出、激情演绎、有效互动，让学生在经历的过程中不仅获得知

    识与技能，形成方法和思想，同时也获得精神的生长；让教师在教学

    的过程中分享师生的成功、曲折、喜悦，同时获得专业上的成长与人

    生价值的提升，这正是数学的本质所在。其次，数学教学要充分尊重

    学生的数学现实(即已有的经验和知识)和认知心理的一般规律，通

    过有效素材的选择和合理活动的设计，让学生亲身经历对现实进行

    “数学化”的过程，使数学变成学生自己“再创造”的产物。这一过

    程正好吻合了弗赖登塔尔所认识的数学教育的主要特征——现实、数

    学化、再创造。再次，数学教学的本质也应该是以数学思维为核心的

    数学发生、发现、发展的过程教学，要在课堂中体现出“浓浓的数学

    味”，让学生学会数学地思维，形成以数学的视角去观察、分析、发

    现世界的意识。具体到每一个年级、每一个单元、每一节课的教学，我们需要考

    虑的更多。例如，如何解读教材、解读学生、解读课堂；如何基于学

    生的现实基础、认知心理年龄特点、课标的要求制定凸显数学本质的

    三维学习目标；如何基于学生学习的需要科学选取典型的学习素材；

    如何遵循各类事物认识的一般规律与本课时知识的学科特点，设计更

    吻合学生学习路径的板块活动；如何设计和提出具有挑战性的关键问

    题，促使学生不断思考；如何为学生搭建活动的平台，并在活动中展

    示、提升学生的思维水平；如何保证学生拥有更充分的思考、交流的

    时间和空间；如何优化练习的设计，处理基础与创新的关系，等等。

    为此，我在教学实践中积极尝试以下几点，通过优化学习目标、优化素材选择、优化活动和练习设计，引领学生自主探究、动手操

    作、合作交流，让学生学习“更好的数学”，取得了比较好的效果，现与大家一起分享。一、优化学习目标的定位，凸现“数学的本质”

    荷兰数学家布鲁诺·恩斯特对数学哲学及数学教学的实验研究表

    明：数学教师对数学本质的有意识或下意识的理解，就像一只无形的

    手左右着教学的决策。新课程标准提出从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度来定位教学目标，这一指导思想是我们制

    定学段、学期、单元学习目标的基本准则，不能有所取舍。但在具体

    的课时教学目标制定过程中，需要考虑课程目标、单元目标、课时目

    标之间的关系，根据学生的阶段特点、学习起点、学习内容、后续学

    习的需要综合考虑，不一定要面面俱到，但在取舍过程中一定要凸显

    “数学的本质”，不能本末倒置，关注了形式却淡化了本质。比如计

    算教学，除了要落实计算技能，更要关注算理的理解与算法的迁移；

    数学广角的教学，除了要让学生学会解决问题的策略，更要关注策略

    背后隐含的数学思想方法与活动经验的积累；统计教学，除了要让学

    生学会图表的绘制、回答问题，更要关注学生统计意识、统计精神的

    培养；几何知识的教学，除了要让学生学会基本的周长、面积、体积

    的计算方法，更要关注学生直观思维、空间想象等能力的培养。

    比如，人教版三年级下册“重叠问题”的教学目标定位有两种版

    本：一是教材考虑到集合思想的抽象性及三年级学生的认知水平，在

    目标定位上只要学生能够用自己的方法解决问题就可以了，把集合仅

    仅作为解决这类问题的一种手段。二是在分析了学生的现实基础、对

    比了多套教材、搜寻了大量资料、对学生进行了大量学情调研的基础

    上，将教学目标聚焦于数学的本质；让学生在亲历完整的集合思想方

    法形成的过程中，充分理解集合各部分的现实意义与关系，并利用集

    合思想解决生活中的问题。我在实践中，让学生充分经历集合从产生

    到完善的形成过程，取得了比较好的效果。

    [片段写真]

    (每一位同学课前都写好了两张卡片，卡片上写上自己的名字)

    1.现场调查，引发问题

    师：同学们，老师知道你们有很多兴趣爱好，有的同学喜欢电脑，有的同学喜

    欢美术，有的两样都喜欢。老师想进一步了解一下，请允许我对其中的两个小组进

    行调查，好吗？(老师在黑板上贴出：喜欢电脑喜欢美术)

    师：请你根据自己的兴趣爱好，把自己的名字贴在对应的位置上，如果两者都

    喜欢就两边都贴。

    (学生开始贴名单)

    师：我们一起来统计喜欢电脑和喜欢美术的人数。

    生：喜欢电脑的有10人，喜欢美术的有8人，一共有18人。

    生：我反对：喜欢电脑的有10人，喜欢美术的有8人，一共不是18人，被调查

    的两组只有12人。

    生：有重复的。

    师：(故作惊讶)是18人啊，我们只要数一数卡片张数就知道了!可被调查的

    学生是12人!问题究竟出在哪里呢？我们该怎么办呢？(学生争吵着：重复啦!重

    复啦!)

    2.排列整理，引出集合图

    师：谁有什么好办法，帮我们整理一下名单？

    生：把相同的名字排在最前面，一一对应。

    生：这样还是不清楚，我建议把重复的名字去掉。

    生：我建议把重复的名字叠在一起，放在两个兴趣班的中间。

    师：你们更喜欢哪一种排列方式？

    (学生回答第3个学生的)

    师：这样排列以后，怎样让人一眼就能看出中间的名字是两个都喜欢的？你有

    什么好办法？小组可以交流一下。

    生：标上两个箭头。

    生：中间再加上一句话：两个都喜欢的。

    师：那喜欢电脑的人在哪里？请用手势指出来。喜欢美术的人在哪里？也请指

    出来。两个都喜欢的在哪里？(学生一起用手势圈，个别学生上台用手势指)

    师：现在，你有没有更好的表示方法，让人把三部分人看得清清楚楚、明明白

    白呢？(学生思考)

    师：请你动笔画一画(学生画简图)——汇报个性画图表征。

    (师生一起引出规范的集合图)师：喜欢电脑的人在哪里，有几个人。喜欢美术的人在哪里，有几个人？既喜

    欢电脑又喜欢美术的人在哪里，有几个人？

    师：把学生名单隐去，同桌互相说一说各部分的人在哪里，有几个人。(学生

    同桌互相说、指)

    师：一共有多少人参加了本次调查？你会解答吗？

    生：10+8-6=12(人)。

    生：4+6+2=12(人)。

    师：谁能说说自己是怎样想的？10、8、6分别表示什么？为什么减6？4、6、2

    又分别表示什么？为什么不用减6？

    师：同桌说一说，只喜欢电脑的人在哪里？只喜欢美术的人在哪里？……以上环节的尝试实践更坚定了我的信念：学习目标的定位，只要凸显“数

    学本质”，基于学生，基于科学，基于教材，基于生命课堂，就能指引我们不断前

    行，不断收获，不断逼近真实的数学世界。二、优化学习素材的选取，凸现“数学味”

    当前教学实践中，有一部分老师在学习素材的选择上出现了两种

    偏差：一是拿来主义，不管是教材上的素材或资料还是从他人课堂中

    借鉴来的素材，一律拿来就用，没有选择意识、目标意识与科学组合

    意识；二是形式主义，素材的选择更多地关注了吸引学生和呈现的形

    式，而忽视了数学的本质与知识构建的需要，把数学课上成了欣赏

    课、演示课、实验课、手工课、说话课，缺少对素材结构的思考，缺

    少数学味。我在学习素材的选取过程中，遵循了以下原则：(1)素材

    的趣味性与适合性，小学数学学习的素材尽量生动、活泼一些，尽量

    减少枯燥的学习素材，选取最适合学生的素材；(2)素材的数学味，素材的选择要有利于学生学习、学生交流、学生思维、学生发现、学

    生质疑、学生探究；(3)素材的结构性，数学材料结构性特点是我们

    非常需要关注的，结构化的素材吻合了学生的认知结构与最佳探究路

    径，蕴涵了数学的本质方法或思想。

    比如在执教“用字母表示数”一课时，我在素材选择上力求通过

    自己的改造，凸显浓浓的数学味，让素材既具有形象、生动的趣味特

    点，又有良好的思维结构的数学特点；通过具有挑战性的问题，让学

    生的思维处于认知的最近发展区，进一步激发学生探究的欲望。

    [片段写真]

    (用多媒体形式出示《数青蛙》儿歌)

    一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；

    两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿；

    三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿；……

    (学生摇头晃脑地读个不停)

    师：同学们个个都是编儿歌高手，没有文字还可以继续往下读。

    生：我发现了规律，下一句和上一句增加了“一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条

    腿”。师：噢，同学们用数学的眼光发现了这首儿歌中还有数学规律!那我们用十只

    青蛙来编一句儿歌。

    生：十只青蛙十张嘴，二十只眼睛四十条腿。

    师：那我们再编一句一百只青蛙的儿歌。

    生：一百只青蛙一百张嘴，两百只眼睛四百条腿。

    师：你们发现了一种什么样的规律？

    (学生思考，之后小组交流)

    生：青蛙的只数和嘴的张数一样，眼睛是青蛙只数的2倍，腿是青蛙只数的4

    倍。

    师：根据你发现的规律，这样的儿歌编得完、读得完吗？(学生答：永远也编

    不完、读不完)

    师：你们能不能运用这节课学会的本领，想个办法把这首儿歌读完？请你试着

    用含有字母的式子编一句儿歌，编完后在小组内交流。

    生：无数只青蛙无数张嘴，无数只眼睛无数条腿。

    生：a只青蛙a张嘴，a只眼睛a条腿。

    生：x只青蛙x张嘴，2x只眼睛4x条腿。

    生：a只青蛙a张嘴，a×2只眼睛a×4条腿。

    生：a只青蛙a张嘴，b只眼睛c条腿。

    生：□只青蛙□张嘴，□×2只眼睛□×4条腿。

    生：n只青蛙n张嘴，n·2只眼睛n·4条腿。

    师：同学们真厉害，想出了这么多办法编写这首儿歌。大家觉得哪些编法比较

    接近，先归归类，再看看哪种编法既简洁又合理。(学生辨析、说理，教师追问、质疑、点拨)……

    以上片段凸显了素材的趣味性、形象性、生动性。通过教师的问

    题指引，凸显了儿歌的结构性特点，引导学生从小数目到大数目迁

    移，再通过变量统领这份结构性素材，凸显了素材的思维性，又让学

    生一直保持强烈的探究欲望。三、优化板块活动的设计，凸现“数学化”

    当前的很多数学课堂中，呈现的教学过程是线状的路线，缺少一

    种板块的结构活动设计，教学的流程比较单一，不具备课堂的生成性

    和可调整性。我在教学流程设计中，打破了线状的设计理念，采用板

    块活动的设计。所谓“板块活动”设计，就是把一节课的目标进行分

    解，以一个个既有联系又相对独立的活动板块构成一节课的教学流

    程。每一个活动板块都有自己明确的活动目标与基本流程，同时一个

    个独立的板块又组成一个紧密相连的大流程，大流程努力吻合学生的

    最佳学习路径，遵循科学的认知规律。每一个活动板块相对独立，可

    以在课堂中根据学生的现实状态进行序的调整、量的删减、时间的调

    控，从而构建网状的、可调节的、非线性的动态课堂。板块活动的设

    计是在教学目标、学习素材优化的基础上，科学研究、分析学生学习

    路径、教材编排路径、知识形成的一般规律之后，分解教学目标，设

    计几个活动的学习板块，以活动为载体，以问题为核心，让学生亲身

    经历对“现实”进行“数学化”的过程。

    比如几何知识的学习，需要体现做几何的过程：因为几何表象的

    深度构建需要通过大量的图式表象积累与直观感知积累。我在教学实

    践中积极尝试在板块活动中、在思辨中“做几何”，需要学生亲自体

    验的知识，创造一切条件搭建“做几何”的活动平台，让学生在“做

    几何”的活动过程中充分体验、感悟、交流，充分表达与表征，让每

    一位学生在“做几何”的过程中获得立体的体验、深刻的感悟、清晰

    的表象，为知识抽象概括奠基。

    在执教“圆柱的认识”一课时，我设计了四个板块活动：课始的

    想象、演示活动(从平面几何到立体几何)，课中的操作活动(从论

    证几何到实证几何)，课中的成果发布活动(从直观认识到抽象认

    知)，课后组装圆柱活动(从计算几何到推理几何)。通过板块活动

    的深度体验，促进学生对圆柱的更深层次的认识，构建更立体的表

    象，进而抽象出圆柱的本质特征。

    [片段写真]

    1.想象、演示活动(老师点击大屏幕，出现两个长方形，如下图)师：请同学们猜一猜，(1)号长方形向后平行移动后，会形成一个什么形

    体？(2)号长方形，以一条宽所在的直线为轴，旋转一周后，会形成一个什么形

    体？

    生：(学生展开想象后)长方体，圆柱体。(老师用多媒体动态演示)

    师：举例说说生活中哪些物体的形状是圆柱体。(学生回答)

    2.小组体验、操作活动

    师：老师给每个小组准备了一个学习包，请同学们打开学习包，看看里面有些

    什么材料。

    生：椰子汁罐、茶叶罐、纸水杯、纸做圆柱模型、一个装有纸片的信封……

    师：请同学们根据这些材料，采用看一看、摸一摸、剪一剪、拼一拼等方法，当然也可以采用自己喜欢的方法，先自主后合作开展研究，看看同学们能发现圆柱

    的哪些特征。

    (留给学生足够的时间研究，老师参与讨论并指导)

    (学生有序体验：看一看、摸一摸、剪一剪、拼一拼，将自己的感受、发现在

    组内交流)

    3.“研究成果发布会”——在交流中确认、辨析、提升认知

    师：刚才老师参与了同学们的研究讨论，知道大家有了很多研究成果。下面我

    们举行一次圆柱研究成果发布会。为了开好这次发布会，我有两个建议：发言介绍

    的同学可以在自己的座位上，更欢迎你到台前来，发言介绍时要说说你发现了圆柱

    的哪些特征，是怎样发现的；未发言的同学不仅要认真听，还要跟着介绍的学生一

    起看、摸、剪、拼等，当然，你可以补充，也可以向发言人质疑。生：(上台)我动手以后发现，圆柱侧面展开是一个长方形，还发现圆柱的两

    头面积相等。

    生：(上台并演示)我发现圆柱侧面展开还可以是一个平行四边形，而且还有

    可能是一个正方形。

    生：我发现杯子侧面展开的长方形的长是底面的圆周长。

    生：我有意见，纸杯不是圆柱体，它剪开后不像一个梯形，更不是长方形。

    (举杯演示)

    生：我把杯子修整过了，已经成了一个圆柱体。(也是举杯演示)(众人大

    笑)

    师：这个同学很有创造力，我们给他一个欣赏的眼神。

    生：如果要把一张梯形的纸片卷成一个圆筒，有些地方就要折叠起来。

    师：折叠后的梯形实际上已变成了什么形？

    生：长方形。

    生：我发现圆柱体上下两个面的形状是一样的。

    师：圆柱的上下两个面叫什么面？有什么特点？

    生：叫底面，两个底面面积相等，都是圆形。

    师：那圆柱体的侧面有几个？

    生：圆柱体的侧面有无数个。

    生：我认为圆柱体的侧面只有一个，因为它展开了以后是一个长方形，没有无

    数个侧面的说法。

    生：我是说没有展开以前的圆柱体的侧面有无数个。

    师：你怎么来说明白自己的观点？

    生：(上台示范)我沿着圆柱一侧往下摸，是一个面，再移过去从上往下摸又

    是一个面，这样绕一圈可以摸出无数个面。(全场大笑)

    师：现在同学们赞成哪一种说法？

    生：圆柱的侧面有无数个。

    师：看来同学们还很有主见。像××同学的摸法，这侧面还可以摸出无数个，那大家再摸一摸感觉一下，这个圆柱的侧面与底面有什么不一样。

    生：圆柱的两个底面是平面，而侧面是一个弯曲的面。师：这个弯曲的面叫曲面，所以我们一般说圆柱有一个侧面，这个侧面是曲

    面。请同学们再以不同的方式摸一摸。

    师：大家已经知道，圆柱的侧面展开是一个长方形，也有可能是平行四边形，那怎样展开会是一个长方形或者平行四边形呢？

    生：垂直于底面展开的是长方形，斜着展开的是平行四边形。

    师：这个展开的长方形和圆柱之间有什么关系？

    生：长方形的宽就是圆柱的高。

    生：长方形的长是圆柱底面的周长。

    师：请同学们摸一摸、比一比，圆柱底面的周长、高与展开的长方形是否存在

    这种关系。(学生活动)

    生：椰子汁罐的包装纸要去掉粘合部分，这样长方形包装纸的长才等于圆柱底

    面周长。

    师：观察得真仔细!在实际包装中会出现一个接口，去掉接口的重叠部分，余

    下的长方形的长等于圆柱的底面周长。为了加深印象，同学们还可以再看一下多媒

    体演示。

    在本环节中，教师让学生“做几何”的板块活动贯穿始终：从想

    象演示——自由研究、小组合作研究——伴随“研究成果发布会”的

    推进进行微观的验证研究等活动。多元多层的活动，凸显了学生的直

    观表象、个性表达与表征、几何的本质特征三者间的和谐统一。教师

    在板块设计中凸显了每一板块的目标细化，有明确的操作要求与思辨

    问题，在活动中凸显了数学化的过程，让想象——操作——表象——

    结构化认知的形成过程得到充分展现。四、优化创新性练习的设计，凸现“再创造”

    课堂练习，是学生获取数学知识的有效手段，是课堂教学必不可

    少的环节。在家常课上，教师十分注重模仿性练习和变式应用性练习

    的设计，设计过程中更多地关注练习形式的多样性、练习的层次性、知识的变式与运用。这样的设计可以有效促进学生对所学知识的理

    解、巩固和基本技能的形成，是落实基础目标的有效举措。而数学的

    学习除了落实基础目标，还要兼顾学生的长远发展与创造力培养。如

    何在保证学生扎实基础训练的前提下优化课堂练习的设计功能，在

    “发展性练习”和“创新性练习”设计上有所突破，是我一直在思考

    的问题。

    我们可以在保证学生基础性和变式性练习的基础上，适时设计一

    两道有利于激发学生潜能、促进学生认知结构变化的“创新性练

    习”。在“创新性练习”的设计过程中，我们可以从以下角度去思

    考：(1)具有开放、探究功能的练习，主要是激发学生的潜能、调用

    学生已有的知识、促进知识形成网络；(2)具有延伸、发展功能的练

    习，主要指向孩子学习的未来节点，为进一步学习指明方向，激发学

    生自主探究的热情；(3)具有“再创造功能的综合性练习”，可以把

    学生从新课中学习的一个点引领到知识整体结构的三维空间里，打破

    学生原有的认知结构，凸显知识的“再创造”。

    比如，在执教三年级下册“重叠问题”时，我最后设计了一道动

    态整体体验“集合”的练习，把“重叠问题”新课中学习的一个点扩

    展到“集合”思想的三维空间，让集合的直观图像统领学生已有的认

    识(两个数相加、加减混合)，打破学生原有的认知结构，重新构建

    认知网络，凸显知识的“再创造”。

    [片段写真]

    师：同学们对“韦恩图”已经有了初步的了解，并能运用“韦恩图”解决实际

    问题。下面，请你展开想象，动笔画一画，下面的算式可能是怎样一幅图。

    3+54+6-2

    (学生思考、画图)

    生：3+5我是这样表示的：生：4+6-2我是这样表示的：

    师：看着这两幅图，你想说些什么？

    生：原来一年级学的加法也可以用韦恩图来表示啊!

    生：韦恩图，你真伟大，法力无边!

    师：只要敢于想象，大胆画图，你还会有更惊奇的发现。还想挑战吗？(出

    示：三年级某班参加竞赛，其中参加数学竞赛的有8人，参加作文竞赛的有12人)

    请问，这个班参加数学、作文竞赛的总人数可能是多少人？

    (学生思考——动笔画图——思考——画图——脸上露出笑容)

    (展示学生的算式与图示)师：请你展开想象，从8+12的两个分开的集合圈到8+12-8的包含

    集合圈，会是怎样一幅动态的画面？(学生闭眼思考，大胆想象)

    (老师以课件展示运动中的图示：从并集——交集——补集，纠

    正8+12-8的图示)

    以上片段中创新性练习的设计，把知识从一个点引向了更广阔的

    三维空间。在练习的探究过程中，打破了学生原有的认知结构，走出

    了练习设计的瓶颈，从基础走向了数学学习的最高领域——“再创

    造”。

    我们从目标的定位、素材的选择、板块活动的流程设计、创新性

    练习的优化设计四个维度进行了大胆的实践与尝试，提出了自己的设

    计准则，分享了课堂的动态生成、课堂的精彩，促进了学生的深度感

    悟与再创造，促进了我对“更好的数学”的思考与研究。我们只有真

    正读懂生命、读懂教育、读懂学生、读懂教材、读懂课堂，才有可能

    为孩子提供“更好的数学”。面对孩子们的需要，让我们一起行动!

    课堂智慧

    优化“板块活动”设计构建“更好的数学”

    ——人教版五年级下册“轴对称”课堂教学案例

    人教版五年级下册“轴对称”是学生在二年级初步认识对称的基

    础上，进一步探索图形成轴对称的性质。在二年级时，学生就已经认

    识了日常生活中的对称现象，有了轴对称图形的概念，并能画出一个

    轴对称图形的对称轴和它的另一半。但学生的认知还停留在直观感性

    阶段，主要借助“对折完全重合”这一动作思维方式来理解对称，还

    不能上升到从“点的对应”这一理性思维角度理解。本课时要进一步

    认识两个图形成轴对称的概念，探索图形成轴对称的特征和性质，并

    学习在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。我在教学之前重点思考

    了以下问题：(1)采用何种方式才能有效唤醒学生原有的认知，丰富

    学生的表象，促进学生的语言表达，同时激发学生进一步探究的欲望？(2)如何有效突破“对应点所连的线段被对称轴垂直平分”这一

    认知难点，并把握好度？(3)如何落实“进一步增强学生的空间观念

    和发现美、创造美的能力，激发创造美的热情”的目标等？

    当我翻开教材，研究教学思路时，首先就被主题图中的对称图案

    深深吸引，从战国铜镜、唐代花鸟纹锦到瓷器、花边、剪纸等，无不

    闪耀着中国传统元素的魅力，这些素材的有效利用与整合，是我设计

    之初思考的第一个问题。本节课的重点与难点如何突破，设计怎样的

    活动体验最利于学生突破难点、理解“对应点所连的线段被对称轴垂

    直平分”这一特性，又不能太深，这是我设计之初思考的第二个问

    题。带着这份思考，遵循五年级学生的思维特点和认知规律，从学生

    已有的知识基础和生活经验出发，沿用教材编排的基本路径，兼顾学

    生学习的重难点与有效学习路径，凸显知识形成的过程与学生的深度

    体验，我大胆设计了五大核心板块活动：“汉字中的轴对称”、“画

    龙点睛”、“数格子”、“摆小草”和“设计轴对称美图”等。

    在本案例中，我以学生“做数学”、板块活动为依托，充分挖掘

    每份素材的最大利用价值。在素材选择上兼顾科学性、趣味性相结合

    的原则，并对相关素材进行整合，作为活动板块进行推进；每一个板

    块的活动设计都有明确的目的性和层次性，充分尊重学生原有的认知

    与学习心理。

    (1)“汉字中的轴对称”：由于学生之前的认知大都停留在感性

    经验阶段，加上二年级到五年级的时间跨度很长，如何有效唤醒学生

    原有的认知是教学成功的重要因素。在本设计中，我想到了利用“中

    国传统元素”——汉字作为学习素材，并巧妙地将教师姓名“林良

    富”融入教学。首先，林老师的姓名中的“林”字是对称的，而

    “富”字将“、”调整后也是对称的，这样的素材本身就是充满生命

    力的。其次，教师将自己的姓名作为学生的学习素材这一行为本身，无形之中就打破了师生之间的心理隔阂，激活了学生的学习兴趣，学

    生很自然地主动投入学习中。第三，教师在呈现手写和美术字“林”

    的同时，还提供纸剪的“林”字，在唤醒旧知的同时，更巧妙地为学

    生的语言表达提供了帮助，无形中还让学生体验了汉字之美。

    (2)“画龙点睛”：这一充满中国传统韵味的活动，激活了学生

    的探究欲望。同时，该活动又将本课时的经典学习难点巧妙地包融其

    中，使学生在“点睛”活动中自然悟出“两只眼睛到对称轴的距离要

    相等”，甚至有学生提出“两只眼睛要在同一水平线上”，这样的思维水平实际上已经离“垂直平分”无限接近了。其实，难点这么轻

    松、有效突破的根本原因，就在于“画龙点睛”这一充满中国元素的

    经典学习素材的有效利用，在使用过程中凸显了趣味性、活动性和思

    辨性。

    (3)“数格子”：在解读教材、把握学生认知特点的基础上，我

    们把书本中的例1分行分解，设计成两个层次的独立活动板块——数格

    子和摆小草。学生经历了“整体感知、动作认知(折叠、画对称

    轴)、体验感知(点睛)”等活动之后，找对应点、数格子就顺理成

    章了。延续前面练习中的松树图，衬托上方格，自然就把数格子凸显

    出来了。通过验证、数数等活动，把学生的认知引入更高层次——理

    解对称的性质，为后续八年级的学习奠定了直观感知的认识基础。

    (4)“摆小草”：很多老师在课堂实践中，对摆小草的认识比较

    浅显，对学生“关于图形的轴对称”学习困难预估得过于乐观。在充

    分的学情调查与研讨基础上，我们对“摆小草”活动进行了单列，分

    层突破本堂课的最大学习难点(方向相反、对应点到对称轴的距离相

    等)：先让学生想象，再出示三棵小草供学生选择，突出方向相反这

    一特性，然后运用对称的性质确定小草的位置，让学生对图形的对称

    有一个深刻的认识与整体的判别策略。

    (5)“设计轴对称美图”：在学生完成基本练习(一次判断、两

    次画图)之后，为了让学生学习“更好的数学”，关注学生发现美、欣赏美以及创造美等能力的培养，我们安排了“设计轴对称美图”这

    一活动。在课结束之前，教师让学生欣赏书法剪纸，又带领学生走进

    一个“中国传统元素”渗透对称美的世界，在加深学生对中国传统元

    素之美的认识的同时，激发了学生创造美的热情，使课的境界进一步

    升华。

    我在不同的城市、不同的学校实践，通过五大活动板块的教学，学生的知识、技能、审美、思维等各个方面都获得了长足的进步，教

    师在课堂上和孩子们一起享受“更好的数学”学习带来的快乐，享受

    愉悦的生命历程。详细教学过程如下：

    一、复习轴对称图形的特征

    1.“汉字中的轴对称”活动——激活原认知师：今天这节课，林老师要考考大家有没有带着数学的眼光来上

    课。(出示纸剪的“林”字)这个“林”字和黑板上的“林”字有什

    么不一样的地方？

    生：黑板上的“林”字不对称，林老师手中的“林”字是对称

    的。

    师：为什么说它是对称的呢？

    生：因为它是由两个“木”字组成的。

    生：因为它对折以后两边完全重合。(学生演示对折、重合)

    (老师板书：对折——两边完全重合轴对称图形)

    师：中间这条折痕叫什么？(继续板书：对称轴)

    师：(点击课件出示美术字“林良富”)你还有什么发现？

    (学生很开心地发现：“林”字就是轴对称图形)

    生：“富”字也是轴对称图形。

    生：(很多学生反对)不是!“富”字上面那一点是斜的，不是

    轴对称图形，除非把那个点摆正。

    师：“富”字现在还不是轴对称图形，你能把它变一变，让它变

    成轴对称图形吗？

    (师生一起演示，把“富”字上面的一点慢慢变正，“富”就成

    了轴对称图形)

    师：你能上来指一下，现在这个“富”字的对称轴吗？

    师：同学们找一下，在你们的名字中有没有轴对称的字？(学生

    举例)

    师：生活中还有哪些图案是轴对称图形？(学生举例)

    2.通过实例引出下一环节师：老师也收集了四幅美丽的图案(见下页)，请你画出它们的

    对称轴。(见练习纸第一题)

    (学生独立画图，个别学生汇报1、2、4幅图的对称轴画法，并说

    明理由)

    (争论的焦点落在了“龙头”图案上，自然引出下一环节)

    二、探究轴对称图形的性质

    1.“画龙点睛”活动——突破学习难点

    师：(用课件出示独眼龙图)这个龙头图案是对称的吗？

    生：不是，它只有一只眼睛里有眼珠。

    师：确实，这个龙头图案，同学们发现是一只独眼龙，下面我们

    就来做一次“画龙点睛”的游戏，让它变成轴对称图形。为了方便点

    睛，老师先画好对称轴。(课件演示)

    师：请同学们先想一想，同桌商量一下该怎么点睛。

    (指名上台进行“点睛”活动)

    (第一个学生画了之后，课件验证发现有偏差)

    (第二个学生上台“点睛”)师：你是怎么想的？

    生：最好用尺子来量一量。

    师：为什么想到用尺子来量一量？

    生：如果差一点怎么办？

    师：你能用数学的语言来说一说吗？

    生：用尺子量可以保证两只眼睛到对称轴的距离相等。

    生：两只眼睛要平行。

    师：“平行”是什么意思？

    生：(解释不清)……就是不能一只高、一只低。

    师：是的，两只眼睛应该在同一水平线上，而且到对称轴的距离

    要相等。(老师板书：同一水平线，到对称轴的距离相等)

    2.“数格子”活动——理解对应点到对称轴的距离相等

    师：(课件点击已经画好对称轴的松树图，下面衬托上方格，追

    问)你有什么办法检验你画的对称轴是对的？

    生：对折，看是否重叠。

    生：这个很难对折，除非剪下来，可以数格子，看两边是否一样

    大小。

    生：数点到点的格子数，比如……(学生上台指点到点的格子

    数)

    师：标上A和对应点A′，谁说一说A到对称轴、A′到对称轴的距

    离是几个小格子？

    (学生上台指，所有学生数练习纸上的格子)

    师：老师标出其中一个点B，请你找出对应的点B′，并数出两个

    点到对称轴的格子数。(学生开始找——数——交流)

    3.“摆小草”活动——图形的对称

    师：(点击：在对称轴左下角补充一棵小草)请你想象一下，对

    称轴的右边会有一棵怎样的小草与它相对应？(学生想象、思考)

    师：这里有三棵小草，你认为选择哪一棵更合适，理由是什么？

    生：我选择小草C，因为对称图形两边必须一模一样，这样才能重

    合。生：我选择小草B，因为对称图形对应点到对称轴距离相等，选C

    没办法重叠。

    师：你们谁愿意上来把小草摆摆看，究竟哪一棵适合？(学生移

    动小草，学生做评判员，统一认识选B)

    师：A为什么不行？(生争吵着说：变形了、多了一条边)

    师：这棵小草放在什么位置比较合适，理由是什么？

    (学生摆小草，说理由)

    师：说一说形成轴对称图形要具备哪些条件。(图形相反、对应

    点距离相等)

    4.举例

    师：请你判断方格中的图形是不是轴对称图形，理由是什么？

    三、尝试画、创造轴对称的美丽图案1.通过举例，归纳并应用本课时所学知识

    师：请在方格中画出小红旗的轴对称图案，并说一说你是怎样画

    的。(见右图)

    师：画出房子的另一半(书本第4页)。先思考：先画什么，再画

    什么，每条线段画多长？

    师：(全课小结)今天有什么新的收获？

    2.“设计轴对称美图”活动——激发创造美的欲望

    师：要成为优秀的设计师不仅要会画，还要有充分的想象力，老

    师考考你们如何？老师将一张纸对折对折再对折，然后在上面写一个

    木，剪下来之后结果会怎样？

    生：6个“木”字。生：不对，应该是8个“木”字。

    生：也可以说是4个“林”字。

    师：(演示课前准备的一串剪好的8个“木”字)观察一下，还像

    什么？

    生：像是8个人手拉手。

    生：像是在跳天鹅舞!

    师：你真有想象力!这样的图案美不美？

    生：美!

    师：(边说边展示)老师这里还有一串用篆书“木”字剪出的花

    边。

    全班学生：哇!

    师：(边说边呈现一些图片)其实，中国五千年历史中积淀的很

    多传统元素身上都有轴对称的影子，从中国书法、篆刻印章、青铜

    器、鼎、中国结、建筑、华表、京戏脸谱、剪纸、风筝到乐器、织绣

    等，无不闪现着中华民族对对称美的理解和追求。下面，就请同学们

    发挥想象力，运用对称的知识，画一画，剪一剪，创造出最美的图

    案。

    (整理者：杨开远)5.数学课堂：“进”与“退”的智慧

    徐斌

    “进”和“退”是一对反义词。然而，两者并不矛盾。在战争

    中，“以退求进”、“以屈求伸”的战略正体现了退与进、屈与伸的

    辩证关系。从某种意义上说，“退”是“进”的准备和基础，“进”

    是“退”的发展与提升。在课堂上，“进”与“退”体现的是一种行

    云流水般的从容节奏。因此，游刃于“进”与“退”之间是数学教学

    艺术的一种理想状态。一、“退”的策略

    首先，退到学生的生活经验。数学知识常常来源于现实生活。荷

    兰数学教育家弗赖登塔尔从数学教育的特点出发，提出了“数学现

    实”的教学原则，即数学来源于现实，扎根于现实，应用于现实。在

    教学过程中，老师如果能充分利用学生身边的生活现象引入新知，让

    数学教学符合生活实际、充满生活气息，会使学生对数学有一种亲近

    感，感到数学与生活同在，数学并不神秘，由此激起学生探求新知的

    强烈愿望，调动学生学习数学的积极性，使学生成为真正“自主的思

    想家”。

    其次，退到学生的旧知。利用学生的旧知来引进新知是一种类比

    迁移的策略。什么是类比？类比是一个形式逻辑的概念，就是类似比

    较。迁移是教育心理学的概念，就是将已学过的旧知和与之相联系的

    新知比较，使学生通过复习旧知识更快地学会新知识。美国心理学家

    奥苏贝尔说过，影响学生新知学习唯一最重要的是——“学生已经知

    道了什么”。可见，上课的开始阶段安排适当的旧知复习，能再现学

    生认知结构中的相关知识经验，激活新、旧知识之间的联结点，为新

    课学习做好铺垫。复习旧知识较之直截了当地讲述新知识，尽管形式

    上是退了，但学生更容易获得新知识，实际是一种进。

    第三，退到学生的思维起点。数学教学是数学思维活动的教学，小学生的数学思维发展遵循着从形象思维到抽象思维过渡的规律。为

    了使学生的思维得到有效发展，老师在学习新知之初就应该为学生的

    思维发展寻找合适的起点。对于不同年级的学生，教师应根据其年龄

    特征寻找适宜的思维方式：低年级的学生可以多一些操作和活动，以

    引发动作性思维；中年级的学生可以充分利用表象的作用，不断引发

    形象性思维；高年级的学生可以不断引导其归纳和概括，以逐步发展

    学生的抽象性思维。二、“进”的策略

    首先，进到学生的认知结构。数学教学的本质是学生在教师的引

    导下能动地组建认知结构并使自己得到全面发展的过程。知识只有形

    成结构，才具有稳定性和系统性。单一的知识只是散落的珍珠，而结

    构化的知识才如同美丽的珍珠项链。怎样帮助学生组建完善的认知结

    构，是我们在数学教学中研究的关键问题。认知结构由于是以一定的

    思维方式为指导构建起来的，所以其本身蕴涵着思维方法。我们在教

    学数学知识时，不能只停留在表面，而要提示知识所蕴涵的方法和思

    想，提高学生的分析、比较、归纳、概括、推理等能力。

    其次，进到学生的思维深处。“数学是思维的体操。”启迪学生

    思维，发展智力，培养能力，建立良好的智能结构，是课堂教学的重

    要目标。这就要求我们教师在教学实践中，要充分利用课堂中的生成

    资源，并善于交给学生思维的主动权，让学生在教师精心设计的问题

    情境中积极地观察、思考、发现、探究、创造，使学生的思维得到有

    效发展。在课堂学习的过程中，要能够做到层层递进、步步深入，学

    中求变、练中求活，鼓励学生创新求异，对学生的新发现、新观点、新见解能及时给予肯定，排除思维定势的影响，促使学生思维向纵深

    发展。

    第三，进到学生的实际应用。数学只有应用于实际，才会变得有

    血有肉、富有生气，才能真正让学生体验到学习数学的意义和价值。

    作为数学老师，我们要避免从概念到概念、从书本到书本，应该善于

    变数学练习的“机械演练”为“生活应用”。通过实际应用，引导学

    生用数学的眼光观察、分析、解决生活中的实际问题；通过在生活中

    应用数学，增强学生对数学价值的体会，强化学生应用数学的意识。

    总之，在数学教学中，教师要善于处理好“进”与“退”的关

    系。所谓“退”，就是教师要敢于在学习的起始阶段退一步，帮助学

    生寻找新知学习的生长点；所谓“进”，就是教师要善于在学习的动

    态过程中更进一步，探寻所学知识的数学本质。

    数学教学的智慧就在于教师能在“进”与“退”之间游刃有余。

    课堂智慧从简单出发，向本质迈进

    ——“分数乘法实际问题”教学设计

    【教学内容】

    义务教育课程标准实验教科书(苏教版)六年级上册第83页例2、“练一练”以及练习十六的相关习题。

    【教学目标】

    1.使学生理解用分数乘法解决一些稍微复杂的实际问题的方法，能够借助于直观形象的操作活动(画线段示意图)分析数量关系并体

    会解题思路。

    2.在解决稍微复杂的分数乘法实际问题的过程中，进一步体现算

    法多样化思想，增强学生的数学应用意识。

    3.在运用已有知识和经验解决实际问题的过程中，发展思维能

    力，进一步体会数学知识之间的内在联系与价值，从而提高学生对数

    学学习的兴趣和学好数学的信心。

    【教学过程】

    一、复习铺垫

    (在师生谈话中逐步出示课题：分数实际问题)

    1.提问：分数的意义是怎样的？例如 ，可以表示什么意义？

    2.由 这个分数你能想到什么？(教师结合学生的回答进一步提

    问1- 的含义)3.举例：“其中男运动员占 ”，表示什么意义？(教师板书)

    补充成：“岭南小学六年级同学参加学校运动会，其中男运动员

    占 ”，从中你能知道什么？

    再补充成：“岭南小学六年级有45名同学参加学校运动会，其中

    男运动员占 ”，从中你又能知道什么？能直接求出什么问题？(男

    运动员有多少人？)

    (教师结合学生的回答板书出45× )为什么用乘法计算？(求

    一个数的几分之几用乘法)

    [心理学思考]上课伊始，教师开门见山地揭示课题，通过几个

    关联性问题让学生复习了分数的基本意义，并联系实例初步理解了

    和1- 的实际意义，以及分数乘法45× 的简单应用。这样的复习

    与铺垫看似简单，实则对本课新知学习所需要的相关旧知进行了具有

    针对性的复习，激活了学生原有认知结构中可利用的经验，为接下来

    有效学习稍微复杂的分数乘法实际问题打下基础。

    二、学习新课

    1.出示例题，初步理解题意

    例：岭南小学六年级有45名同学参加学校运动会，其中男运动员

    占 。女运动员有多少人？

    学生完整读题后，教师提问：(1)题目中的已知条件和所求问题分别是什么？

    (2) 表示什么意义？把什么看作单位“1”？

    (3)能一步求出女运动员有多少人吗？

    2.画线段图，分析数量关系

    提问：只看抽象的文字来分析数量关系，你感觉怎样？

    如果画线段图的话，你想先画什么？(教师先画出一条线段)

    你能自己试着画一画吗？(学生在课本上完成线段图)

    在实物投影仪上展示学生画的线段图并讲述思路。(教师在黑板

    上逐步补全线段图)

    3.列式解答，完善解题思路

    提问：要求女运动员有多少人，可以先算什么？

    学生尝试列式解答。(教师指名到黑板上板演)

    学生可能出现的几种典型解法：请学生分别说出列式的理由和解题的思路。(教师在对应线段图

    上标注)

    4.比较异同，小结解题方法

    提问：这几种解法有什么相同点和不同点？

    指出：相同点——前两种解法都用了分数乘法和减法，第三种解

    法是整数运算。

    不同点——第一种解法是先算男运动员的人数，再用总人数减男

    运动员人数，得到女运动员的人数；第二种解法是先算女运动员占总

    人数的几分之几，再用单位“1”的量乘这个分数，得到女运动员的人

    数；第三种解法和第一种解法类似，只是用整数列式。

    [心理学思考]新课例题的出示，由复习铺垫的旧知变化而来，使得学生觉得新知不新，让学生在不知不觉中开始了新知的学习。新

    课的学习过程分四步进行：首先依据题中呈现的文字信息进行初步分

    析，了解已知条件和所求问题，理解关键信息“男运动员占 ”的实

    际含义，并提问“能一步求出女运动员有多少人吗”，为新知生长提

    供了必要的固着点；然后采用数形结合的方法，让每个学生动手画线

    段图，借助于直观形象的图示理解数量之间的关系，引发学生的解题

    思路；接着让学生根据先前的分析和图解尝试列式解答，并展示几种

    典型的解法；最后在比较几种解法的异同中小结解题方法，初步构建

    起运用分数乘法和减法解决实际问题的模型。这样的新知学习过程，顺应了学生的认知心理规律，能发挥学生的动作思维、形象思维和抽

    象思维的合力，初建了认知结构。

    三、巩固提高1.基本训练

    (看线段图，列出算式，解释思路)

    学生可能出现的列式主要有：100-100× 或100×(1-)。

    2.分组练习

    (如果学生有需要，可以先画线段图，再分析列式)

    学生从教科书上的“练一练”中，选择一道题列式解答，然后展

    示评价学生的算法。

    (1)李林看一本150页的故事书，已经看了全书的 ，还剩多

    少页没有看？

    (2)学校饲养组养白兔和黑兔共28只，其中白兔占 ，黑兔有

    多少只？

    3.对比练习

    (只列式不计算，列式后进行相关比较)(1)一堆煤20吨，运走 吨，还剩多少吨？列式为20- 。

    (2)一堆煤20吨，运走 ，运走多少吨？列式为20× 。

    (3)一堆煤20吨，运走 ，还剩多少吨？列式为20-20×

    或20×(1- )。

    (4)一堆煤20吨，运走一些后，还剩 ，还剩多少吨？列式为

    20× 。

    (5)一堆煤20吨，运走一些后，还剩 ，运走多少吨？列式为

    20-20× 或20×(1- )。

    结合学生的列式提问：为什么第(2)题和第(4)题列式是一样

    的？为什么第(3)题和第(5)题列式也是一样的？

    4.综合练习

    (1)补充条件。

    苏州园区科文中心上映电影《变形金刚》，共有300张票，______。还剩多少张票没卖完？

    (2)补充问题。阳澄湖蟹庄计划销售大闸蟹1400千克，结果第一个月销售了计划

    的 ，第二个月销售了计划的 ，_______？

    1)学生可能补充的问题有：

    ①第一个月销售多少千克？或第二个月销售多少千克？

    ②第一个月比第二个月少销售多少千克？或第二个月比第一个月

    多销售多少千克？

    ③两个月一共销售多少千克？

    ④还差多少千克可以完成计划？

    2)学生补充问题后相应出现的列式情况可能有：

    ①1400× 或1400× 。

    ②1400× -1400× 或1400×( - )。

    ③1400× +1400× 或1400×( + )。

    ④1400-1400× -1400× 或1400-(1400× +1400× )

    或1400×(1- - )。

    [心理学思考]课程改革后的教材中“解决问题”这部分不再单

    独成块编排，而是结合“数与代数”等知识教学分散出现。教师如果

    不能整体把握教材的前后联系，教学中就容易出现就题论题的现象。

    初建解题模型后，需要让学生在有序的练习中巩固新知、形成技能、发展思维。这部分练习，教师设计了“基本训练”、“分组练习”、“对比练习”、“补充条件”、“补充问题”等环节，引导学生在实

    际应用中对比、深化，归纳出解答稍微复杂的分数乘法实际问题的关键所在，从而将零散的知识“串联”、“结网”，并进一步拓展提

    升，形成认知网络体系。

    四、全课总结

    总结(略)

    作业是教科书上“练习十六”的1、2两题。

    【全课反思】

    本课在教学设计上力求体现数学无痕教育的思想，突出表现在以

    下两个维度。

    一、从简单出发

    为了让学生在不知不觉中开始对新知的学习，教师在上课伊始并

    没有直接出示例题，而是和学生谈心：“分数的意义是怎样的？例如

    ，可以表示什么意义？”“由 这个分数你能想到什么？”看似

    简单、随意的谈话，其实是让学生回顾之前学习的分数意义的旧知，并通过一个分数例子让学生把对分数意义的理解“外化”为具体模

    型，从而再现分数的本质含义，为新知介入提供良好的生长点。接下

    来的教学更是顺着刚才的谈话和回忆，进一步思考“1- 的含义”，并在学生熟悉的校园运动会情境中逐步出示：“其中男运动员占 ，表示什么意义？”“岭南小学六年级同学参加学校运动会，其中男运

    动员占 ，从中你能知道什么？”“岭南小学六年级有45名同学参加

    学校运动会，其中男运动员占59，从中你又能知道什么？”至此，随

    着已知条件信息的不断呈现，学生对题意的了解逐步深入，并运用已

    学的一步计算的分数乘法解决了实际问题。这样的复习铺垫和逐层引

    入，看似平常，其实符合儿童学习的心理规律，即由旧知到新知，由

    简单到复杂，由零散到整合。这样的设计起到了“先行组织者”(奥

    苏贝尔提出的一种提高教材可懂度的技术)的作用，是对教材的组织和呈现方式的有效改进，有助于为新的学习提供必要的准备知识，更

    有助于促进学习的正向迁移。

    二、向本质迈进

    数学教学的理想状态是通过学习使学生走进数学本质，进而通过

    数学学习使学生学会思维。本课在设计学生新知学习的过程和练习巩

    固的层次方面，力求体现以上观点。首先，在新知的建构过程中，教

    师没有直接让学生列式解题，也没有完全由教师直接讲解过程，而是

    精心设计了逐步深入的学习进程：理解题意→画图分析→尝试列式→

    比较异同→反思解法。这样的学习过程，通过对学习内容的探索、经

    历、反思与回顾，让学生进一步体验现实生活中有关稍微复杂的分数

    乘法实际问题的解决过程，感受解决问题策略的价值，积累解决问题

    的经验，鼓励学生从不同角度、用不同思路自主探索，倡导解决问题

    策略的多样化。学生在与他人的合作、交流过程中，共享解决问题的

    思维成果，思维的灵活性培养得到加强。同时，由于借助了几何直

    观，让学生直观理解不同解法的方法依据，从而对这类稍微复杂的分

    数乘法实际问题有了感性基础和理性认识，初步形成完整的认知结

    构。其次，在练习巩固中，循序渐进地设计了新知不断结构化的发展

    过程，并通过题组对比练习和综合应用练习，引领学生逐步向着本质

    迈进。例如在“对比练习”中，呈现一组类似的已知条件和所求问题

    信息，学生通过比较发现，相同的列式源于不同的情境，相同的情境

    产生不同的列式。学生在分析和比较中对运用分数乘法解决实际问题

    累积了更丰富的感性经验和理性思辨。最后的“综合练习”，通过补

    充条件和补充问题，针对学生的学习差异，设计了个性化和弹性化的

    学习要求，让每个学生都能在自己的学习基础上有所发展和提升，使

    每个学生都能走进数学本质，走向理性思维。

    从简单出发，向本质迈进，其实就是数学无痕教育观中的“退”

    与“进”的艺术体现。从简单出发，是一种“退”，退到学生的认知

    基础和生活经验，退到学生的思维起点和数学现实；向本质迈进，是

    一种“进”，进到学生的认知结构和问题解决，进到学生的思维深处

    和应用策略。“退”与“进”的过程，是学生在潜移默化中掌握知识

    技能的过程，也是学生在不露痕迹中培养思维能力的过程，更是学生

    在淡墨无痕中感悟数学思想的过程。6.留心处处皆资源：我如何开发和利用课

    程资源

    钱守旺

    随着课程改革的不断推进，老师们逐渐认识到：教材仅仅是课程

    的一种重要载体，而不是课程的全部。任何课程实施，都需要利用和

    开发大量的课程资源。

    老师们听完我的课后，都会提出这样的疑问：钱老师，您的课为

    什么资源总是那么丰富、那么鲜活，您是怎么得到这些资源的？下面

    就和老师们谈一谈除了教材资源，我是怎样用“数学的眼光”来搜索

    教学资源的。一、身边素材的及时引入

    当书本上的知识走向生活的时候，知识也会因生活的丰富多彩而

    更加可亲可爱。数学来源于生活，现实生活中的许多事件或现象都和

    一定的数学知识相联系。选择贴近学生生活的素材，不仅能唤起学生

    的生活经验，还能激起学生自主探究的愿望。其实，教师只要留心，生活中处处都是教学资源。

    1.选择学生现实生活中的事件或现象作为教学的资源

    例如，在教学“万以内数的读法”一课时，在上课的前一天，布

    置调查作业，请学生搜集他们在日常生活中见过的万以内的数。结果

    第二天汇报时，学生从报纸、杂志、超市广告单等材料中发现了许多

    万以内的数。在课堂上，组织学生分类读数，取得了非常好的教学效

    果。

    2.选择有意义的热点问题作为教学的资源

    热点问题是全社会普遍关注的问题，它与每个社会成员的利益息

    息相关，同样对学生也至关重要，更是学生渴望了解和知道的。例

    如，现在提倡建设节约型社会，在教学“大数的认识”时，就可以把

    一些由浪费造成的惊人数据展示给学生，让学生在读数的过程中心灵

    受到触动。

    3.选择振奋人心、激动不已的场面作为教学的资源

    振奋人心的场面往往蕴涵着丰富的教育意义，适当引入这样的场

    面，往往可以达到“一箭双雕”的效果。例如，刘翔夺冠就是教学

    “秒的认识”一课的极好素材。我在教学时是这样进行的：

    首先，组织学生观看刘翔奥运会夺冠的精彩片段。

    北京时间2004年8月28日凌晨2时40分，雅典奥林匹克体育场，这

    是一个值得所有中国人铭记的日子，中国选手刘翔在男子110米栏决赛

    中以12秒91的成绩获得金牌!他创造了中国乃至亚洲的历史，成为第

    一个获得奥运田径短跑项目世界冠军的黄种人。让我们共同回顾这一

    精彩瞬间吧!播放刘翔夺冠的视频。然后教师提问：刘翔夺冠用了多长时间？

    刘翔的速度非常快，用的时间非常短，像这样计量很短的时间，就要

    用到比分更小的时间单位“秒”。

    4.选择学生自身的生长发育过程作为教学的资源

    少年儿童对自身的生长发育充满了好奇，从人体的奇妙变化的话

    题入手，极易激发学生的探究欲望。例如，在教学几分之一时，从

    “胎儿图”、“少年图”、“成年图”中头与身体的比例，逐步认识

    12、14、18。经历分数的形成过程，使学生在认识几分之一的同

    时，也了解了自己的身体。

    二、课堂生成资源的及时捕捉

    《〈基础教育课程改革纲要(试行)〉解读》指出：“课堂教学

    不应当是一个封闭的系统，也不应拘泥于预先设定的固定不变的程

    式。预设的目标在实施过程中需要开放地纳入直接经验、弹性灵活的

    成分以及始料未及的体验，要鼓励师生互动中的即兴创造，超越目标

    预定的要求。”布鲁姆也说过：“没有预料不到的成果，教学也就不

    成为一种艺术了。”

    学生是活生生的学习的主人，在课堂上学生会提出哪些问题，会

    怎样回答老师提出的问题，很多情况下老师是无法预料的。学生已有

    的知识基础、学生的差异、学生的精彩发言、学生提出的问题、学生

    学习中出现的错误、学生的不同观点等，都是教师可以利用的教学资

    源。有研究证明：在错误产生的时候，学生头脑中的认知结构是处于

    “混乱”状态的。如果这时老师采用忽略错误、直接给出标准答案的

    做法，学生所获取的知识必然是死的、封闭的和支离破碎的。只有开

    放系统，才能在动态平衡中使系统结构不断处于有序状态，使“混

    乱”转化成有序。

    例如，在教学人教版课标教材三年级上册“数学广角”一课时，我出示了这样一道题目：2004年亚洲杯A组有4个球队参赛，每两个球

    队都要比赛一场，一共要比赛多少场？结果学生出现了三种答案：有

    说一共要比赛6场的，有说一共要比赛12场的，有说一共要比赛3场

    的。针对这种情况，我及时组织学生进行讨论、辩论，课堂气氛一下子活跃起来。学生各抒己见，最后，还是同意一共要比赛6场的同学说

    服了大家，使这一结果成了全班统一的结论。

    教师在捕捉教学资源时应注意以下几点：一是树立正确的资源观

    念，上课时不能过度依赖既定的教学预案；二是真正了解学生；三是

    创建平等融洽的师生关系；四是提高教师自身素质，教师要有随时捕

    捉和利用教学资源的能力。

    三、社区、家庭资源的合理利用

    社区、家庭中有大量与数学教学相关的课程资源，如果我们在教

    学时能够合理利用，对激发学生的学习兴趣、拓展学生的知识面将大

    有好处。由于新教材内容大多与生活、生产结合十分紧密，这就要求

    教师走出课堂和学校，走向社会，走向社区，掌握翔实的材料、确凿

    的数据。

    例如，在教学“利息”一课时，教师课前可以布置学生向家长或

    者到附近的银行了解有关利息的知识，课上进行汇报。在上课汇报

    时，学生从课外获得的信息，要远远多于教材中所介绍的知识。这

    样，学生不仅掌握了书本知识，对由此生发、拓展的生活常识也有了

    一定程度的了解。

    四、媒体、网络资源的合理开发

    随着社会的发展和人民生活水平的提高，电视、广播、报纸、杂

    志、计算机已经进入千家万户，学生获取信息的渠道越来越多，知识

    面也越来越广。当今社会是一个网络化时代、信息化社会，教师可以

    到网上收集一些与教学相关的题材来充实、丰富课本内容，这是活用

    教材的新途径。

    例如，在教学“路程、时间、速度”一课时，教师播放从电视节

    目“动物世界”中截取的“猎豹追捕羚羊”片段，在猎豹即将追上羚

    羊时，画面停止。

    教师提问：你们猜，猎豹能抓住羚羊吗？(学生猜测可能发生的情况)

    生：我认为猎豹会抓住羚羊，因为猎豹跑得快些。生：我认为猎豹抓不到羚羊，因为它体力不如羚羊好。

    (教师进一步追问)：那什么情况下猎豹会抓住羚羊呢？

    生：当猎豹比羚羊跑得快的时候就能抓住羚羊，它跑得比羚羊慢的时候就抓不

    到羚羊。

    教师很自然地说明：这里的快和慢，就是我们数学上所说的速度。从而自然导

    入新课。学生喜欢的动物世界，紧紧抓住了学生的注意力。

    又如，在教学“平移与旋转”一课时，就可以巧妙地运用媒体资

    源。

    随着优美的旋律，老师带领孩子们一起进入游乐园参观，并请孩子们跟随活动

    的画面，用自己的动作和声音把看到的表演出来。屏幕上展现出各种游乐项目，有

    激流勇进、波浪飞椅、弹射塔、勇敢者转盘、滑翔索道等。一张张小脸上露出兴奋

    的表情，同学们时而发出叫喊声，时而高举手臂上下移动，尽情地表演着。

    录像一停，老师开始与学生交流。

    师：刚才我们看到这么多的游乐项目，能按它们不同的运动方式分分类吗？

    生：激流勇进是直直地下冲的，可以叫它下滑类。

    生：我认为观缆车、波浪飞椅、勇敢者转盘可以分为一类，因为它们是旋转

    的。

    师：(紧接着)其他的呢？

    生：弹射塔是向上弹射的，滑翔索道是往下滑的，它们和激流勇进可以归为一

    类。

    师：刚才你们看到了不同的运动方式，像这样的——(用手势表示旋转的动

    作)你们能给它起个名字吗？

    生：(异口同声)叫旋转。

    (教师又接着用手势做出平移的动作问)像这样呢？

    生：(几个学生小声说)可以叫平移。

    师：(抓住时机)好，就用你们说的来命名。

    (教师边说边板书：旋转、平移)

    教师带领学生回顾生活，同学们在观察中发现了游乐园里的平移

    与旋转现象，体会到数学就在身边。五、就地取材，因地制宜开发课程资源

    广大的农村地区资源没有城市丰富，但是也要认识到农村有得天

    独厚的优势。农村的资源是具体的、真实的，跟学生的实际联系也是

    紧密的。例如，学生生活的环境就是一个宝贵的资源库，教师可以依

    托周边环境进行教学资源的开发，如可以从学校资源、生活资源、社

    会资源入手开发课程资源。

    例如，植树问题的教学、统计知识的教学、正比例的教学等，都

    可以结合校园里的树木进行教学。教师还可以开发教室的墙壁资源，如低年级可以把学过的数字贴在墙上，高年级可以把100以内的质数表

    贴在墙上，把学生学习过程中的一些典型错误贴在墙上。这样可以提

    高这些资源与学生的“见面率”，给学生提供对这些知识的再认机

    会，以降低知识的遗忘率。

    六、其他学科资源的有机整合

    数学课程资源的开发要注意整合其他学科资源，其表现为：从其

    他学科中挖掘可以利用的资源来创设情境，帮助学生理解数学概念、掌握数学知识。

    例如，在教学“等量代换”一课时，我就利用了学生在语文课上

    学到的《曹冲称象》的故事。一上课，我先出示曹冲称象的图片，问：“看到这幅图片，同学们是不是想起了一个著名的历史故事？”

    学生几乎异口同声地说：“曹冲称象!”我趁热打铁：“还记得曹冲

    是怎样称象的吗？”

    我结合课件的演示，让学生回忆曹冲称象的过程：先把大象赶到

    一艘大船上，看船身下沉多少，就沿着水面在船舷上画一条线；再把

    大象赶上岸，往船上装石头，一直装到船下沉到画线的地方为止；然

    后称一称船上的石头有多重，就知道大象有多重了。

    之后我说明：如果我们从数学的角度看，这里曹冲运用了一种重

    要的数学思考方法——等量代换。这节课，我们就来学习如何用“等

    量代换”的方法解决问题。又如，在教学“可能与一定”时，我就巧妙地利用了一个小故事

    导入新课。

    师：这节数学课，我们研究“可能与一定”。老师先给大家讲个故事。很久很

    久以前，在一个古老王国的监狱里关着一位犯人，这个犯人即将被执行死刑。这个

    国家有一条非常有趣的法律规定：在每个犯人被执行死刑之前，都会给他一次机

    会，让他抽签来决定自己的命运，在装签的盒子里有两张纸条，一张写着“生”，一张写着“死”，请小朋友们猜猜他可能摸到哪一张。

    生：摸到“生”。

    生：摸到“死”。

    师：是啊!犯人摸到“生”就被释放，摸到“死”就被杀头，这两种可能性都

    有。但是很可惜，这个犯人有一个仇人，这个仇人想要他死掉，于是偷偷地把

    “生”这张纸条换成了“死”，结果两张纸条上都写着“死”。那么，犯人不管摸

    到哪一张，他的死是“可能”还是“一定”？

    生：“一定”是“死”。

    师：但是他没有把纸条打开，而是一下子把纸条吞到肚子里。因为剩下的那张

    纸条上写着“死”，所以法官推断，犯人吃下的纸条上面写的一定是“生”。于是

    犯人当场被释放。

    有趣的小故事，符合低年级学生的心理特点。这个小故事与普通

    的儿童故事不同，它不仅以极强的趣味性吸引了学生，而且其中包含

    了明确的数学教学内容——事物的不确定性和特定条件下的确定性，使学生从故事中悟出数学道理。

    再如，在教学“循环小数”一课时，可以利用音乐节拍，很自然

    地导入新课。

    师：(板书│×××│)这个节奏你们能拍出来吗？(学生一起拍掌)

    师：(中断后)你们拍的节奏为什么这么整齐？

    生：我们都是按照先拍一下、后拍两下这样相同的节奏拍的。

    师：如果老师让你们按照这样的节奏，不断重复地一直拍下去，不叫停，想一

    想，你们要拍多少次？

    生：要拍很多很多次。

    生：要拍无数次。

    师：像这样拍的次数是“有限的”还是“无限的”？生：是无限的。

    在这里，老师巧妙地利用了音乐课中的节拍导入新课，直观形

    象，引人入胜，使学生一下子就进入了学习的境地，也使学生初步感

    知了“循环”、“无限”等概念。

    [片段写真]比的意义导入

    师：老师先问同学们一个问题，你们班是男生多还是女生多？男生有多少人？

    女生有多少人？

    生：我们班男生多，女生少。男生有28人，女生有23人。(学生回答时教师板

    书男女生人数)

    师：男多女少这种现象从全国来看也非常明显，甚至达到了男女比例失调的状

    态。

    (教师在大屏幕上出示：据国家人口计生委介绍，我国出生婴儿性别比是

    100∶117，即平均每出生100名女婴相应地出生117名男婴)

    (接下来，教师在大屏幕上再次展示两幅画面，在画面中突出以下数据)

    (1)海南省新生儿男女比例为135∶100。

    (2)我国于2000年进行的第五次全国人口普查显示：在新生的婴儿中，男女

    人数比为119.2∶100。

    (3)男女比例失调，十年后我国将会有数千万光棍汉!

    (4)3000万光棍之争：中国人口性别比例将严重失调。

    师：刚才我们提到的135∶100、119.2∶100都是比，关于比你们想知道些什

    么？

    生：我想知道什么叫做比。

    生：我想知道比的各部分名称。

    生：我想知道学了比有什么用处。

    师：比表示的是两个数之间的一种关系，这节课我们就来学习比的意义。(板

    书课题：比的意义)

    [片段写真]长方形和正方形面积教学

    下面是我在广西桂林上课的课堂实录：(课前游戏：考考你的观察力。教师出示两幅图片让学生观察，说一说自己看

    到了什么)

    1.观察发现

    师：人们都说“桂林山水甲天下”，这话一点不假!这次钱老师到桂林来，亲

    眼目睹了桂林的山、桂林的水，我觉得比文人描写的还要美!你们看，钱老师一到

    桂林，就迫不及待地在象鼻山照了一张相。(出示自己前一天在象鼻山的照片)

    师：(在大屏幕上播放6幅桂林山水的图片，一边播放一边富有感情地描述)

    你们看，桂林的山加上桂林的水，再加上水中那静静的倒影，简直就是大自然创作

    的一幅幅精美的图画。

    (学生欣赏老师出示的几幅桂林山水的图片，被老师富有感情的描述吸引，个

    个脸上露出自豪的表情)

    师：桂林的美景激发起了钱老师创作的欲望，老师也创作了三幅画。(出示第

    一幅面积是6平方分米的画)你们看老师画得怎么样？

    生：(异口同声)很好!

    师：谢谢同学们的夸奖!既然今天是数学课，那老师就提个数学问题。你们大

    胆地估计一下，这幅画的面积可能是多少？

    生：我认为可能是4平方分米。

    生：我认为可能是8平方分米。

    生：我认为可能是6平方分米。

    师：到底是多少平方分米呢？(把这幅画的背面展示给学生，画的背面画有许

    多面积是1平方分米的小方格)你们数一数，这幅画的面积是多少？

    生：6平方分米。

    (教师接着出示面积是12平方分米和20平方分米的画，让学生估计每幅画的面

    积。教学过程同上。)

    师：同学们看，刚才三幅画的面积，有的大有的小，凭你们的经验，请你大胆

    地猜测一下，长方形的面积可能与它的什么有关系？

    生：我认为长方形的面积和它的周长有关系。

    生：我认为长方形的面积和它的长有关系。

    生：我认为长方形的面积和它的宽有关系。

    (学生回答后，老师结合课件的动态演示，让学生确信长方形面积的大小与它

    的长和宽有关系)(教师结合课件演示，启发学生思考：长方形的宽不变，长发生变化，它的面

    积怎么变化？长方形的长不变，宽发生变化，它的面积怎么变化？长方形的长和宽

    都发生变化，它的面积怎么变化？)

    (教师在大屏幕上出示：长方形的面积与它的长和宽有关系)

    2.自主探究

    师：长方形的面积与它的长和宽到底有什么关系呢？

    (教师引导学生观察刚才出示的三幅画的长和宽：第一幅画的长是3分米，宽

    是2分米；第二幅画的长是4分米，宽是3分米；第三幅画的长是5分米，宽是4分

    米)

    (至此，黑板上形成下面的板书)

    师：同学们观察前面的板书，能发现什么？

    生：我发现用长方形的长乘以宽正好等于它的面积。您看，3×2＝6，4×3＝

    12，5×4＝20。

    生：(兴奋地)老师，我也发现了这个规律!

    师：其他同学有没有发现？

    生：(异口同声)发现了!

    (教师把板书补充完整，形成下面的板书)师：其他长方形的面积是不是也可以用“长×宽”来计算呢？请同学们以小组

    为单位进一步验证。

    教师让学生任取几个1平方分米的正方形，拼成不同的长方形。边操作，边填

    表。

    学生以小组为单位操作后，组织汇报；教师板书面积、长、宽的数据。

    启发学生思考：你发现其他长方形的面积与它的长和宽有什么关系？

    引导学生得出：长方形的面积＝长×宽。

    教师追问：在面积公式中，长×宽实际上表示的是什么？

    教师通过课件的动态演示，使学生直观地看到：长是几厘米，沿着长边就可以

    摆几个面积是1平方厘米的小正方形；宽是几厘米，就可以摆这样的几排。

    由此使学生理解：长×宽实际上表示的是长方形中所包含的面积单位的个数。

    对于正方形的面积公式的得出，教师采用了下面的方式：

    教师通过课件出示下面几个图形，让学生计算每个图形的面积。

    长9米，宽8米；长8米，宽7米；长7米，宽6米；长6米，宽6米(实际上是边长

    为6米的正方形)。

    教师通过课件演示，将长方形逐渐变成正方形。

    提问：要求正方形的面积，该怎样计算呢？

    引导学生由长方形的面积公式推出：正方形的面积＝边长×边长。课堂智慧

    可以这样巧用课程资源

    ——以两个课堂教学片段为例

    一、“百分数的认识”教学片段

    1.别具匠心的课前谈话

    (教师播放南非世界杯精彩进球集锦，并出示从网上找到的图

    片，如下图所示)

    师：2010年足球世界杯，章鱼保罗预测比赛结果，8次全中，预测成功率为

    100%。(课件呈现比赛结果，如下)小组赛首战预测德国胜澳大利亚结果：德国

    4∶0胜

    小组赛次战预测德国负塞尔维亚结果：德国0∶1负

    小组赛末战预测德国胜加纳结果：德国1∶0胜

    18决赛预测德国胜英格兰结果：德国4∶1胜14决赛预测德国胜阿根廷结果：德国4∶0胜

    半决赛预测德国负西班牙结果：德国0∶1负

    三四名决赛预测德国胜乌拉圭结果：德国3∶2胜

    决赛预测西班牙胜荷兰结果：西班牙1∶0胜

    师：章鱼保罗不仅2010年世界杯预测准确率极高，2008年欧洲杯

    预测输赢的结果也令人惊叹。2008年欧洲杯，它预测6次有5次准确，预测成功率为83%。(课件呈现比赛结果，如下)小组赛首战预测德国

    胜波兰结果：德国2∶0胜

    小组赛次战预测德国负克罗地亚结果：德国1∶2负

    小组赛末战预测德国胜奥地利结果：德国1∶0胜

    14决赛预测德国胜葡萄牙结果：德国3∶2胜

    半决赛预测德国胜土耳其结果：德国3∶2胜

    决赛预测德国胜西班牙结果：德国0∶1负

    师：请看大屏幕上(如下图)。随着这两个数的出现，我们今天

    的数学课也就此开始了。

    2.感受生活中的百分数

    师：大屏幕上的这两个数(指100%和83%)，你们认识吗？

    生：认识，这些数是百分数。

    师：对!这些数就是我们今天要认识的百分数。师：这两个数你们会读吗？

    生：第一个数读做“百分之一百”，第二个数读做“百分之八十

    三”。

    师：百分数怎么写呢？看老师给你们写一遍。(示范如何写83%，并介绍百分号及书写百分号时应注意的问题)

    师：谁能说一说，在生活中你在哪儿见过百分数？

    生：我在喝汇源果汁时见过百分数。

    生：我在喝牛奶时见过百分数。

    生：我在衣服的标签上见过百分数。

    生：老师在期末考试计算及格率和优秀率时用过百分数。

    生：老师，我在安装电脑游戏时用过百分数。

    师：看来，生活中的百分数还真不少。老师课前也搜集了一些百

    分数，我们一起来看一看。(展示自己课前搜集的百分数，有的是网

    页中的信息，有的是报纸中的信息，有的是电视中的信息，有的是商

    品标签中的信息，有的是用杀毒软件为移动硬盘杀毒的信息)千龙网：高考报名人数减少，今年高考录取率将逼近80%。

    新京报：北京新房房价上涨17.8%。

    深圳晚报：深圳房价下降10.8%，创全国最大跌幅。

    新浪财经：上海房价7月下降24%，创三年最大跌幅。

    中国教育报：5年来全国教育投入平均增长16.1%。

    新京报：第二套房贷款首付不得低于40%。

    中国新闻网：受金融危机冲击，全球银行业总薪酬平均缩水55%。

    羊毛衫标签上的信息：100%纯羊毛。

    瑞星杀毒软件为移动硬盘杀毒的视频：由0到100%的杀毒过程。

    师：百分数又叫做百分比或百分率。看了这么多的百分数，你们

    想说点什么？

    生：我觉得百分数在生活中的应用非常普遍。

    生：百分数随处可见，说明人们的生活离不开百分数。

    生：用百分数交流起来非常方便。

    二、“数字编码”教学片段

    1.创设情境，导入新课

    (1)上海世博会资料

    (教师播放有关上海世博会的视频，在视频中呈现以下信息)

    6个月184天。

    190个国家、56个国际组织以及中外企业踊跃参展。

    200多万志愿者无私奉献，7308万参观者流连忘返。

    环卫工人每天凌晨4点开始工作。

    安保人员每小时约360次微笑问候。志愿者每天约500次解答询问。

    7.6万名外国工作人员辛勤付出。

    师：简单的一组数据形象地刻画出了上海世博会工作人员的辛勤

    付出和所取得的巨大成功。

    (2)由世博会门票引出“编码”

    (教师出示两张上海世博会门票，如下图所示)师：这两张门票

    有什么不同？

    生：这两张门票一张是10月4日的，一张是10月5日的。

    (教师出示这两张门票，引导学生看背面，如下图所示)师：怎么知道这是两张不同的世博会门票？

    生：门票上的编码不同。

    (3)揭示课题：数字的用处(略)

    2.探究新知，感受数字的价值

    (1)学生汇报课前调查的结果

    生：我通过课前调查，发现生活中有很多编码。我家的门牌号是8

    —15A，我家的车牌号是×××。

    生：我家的电话号码是8886××××。

    生：我看了爷爷、奶奶、爸爸、妈妈的身份证，知道了他们的身

    份证号码都是18位。生：我昨天跟妈妈到商场买衣服，发现衣服的标签上有条形码，付款时阿姨只要用一个东西照一下，就知道这件衣服多少钱了。

    生：现在超市都是这样的，我妈妈就在家乐福工作。她们结账时

    都是扫条形码，这样非常方便。

    生：老师，我爸爸是北京人，妈妈是湖北人，我发现他们的身份

    证号码前几位不一样。……

    (2)质疑问难

    师：对于数字编码，你们还有什么问题吗？

    生：老师，我想知道这些编码是怎样编出来的。

    生：妈妈告诉我，身份证号码属于个人隐私，不能随便告诉别

    人。身份证号码真的有这么重要吗？

    生：老师，我的身份证号码和很多人的不一样，最后一位不是数

    字，而是一个X，这是怎么回事？

    生：老师，为什么身份证号码是18位，如果位数再少一点，可以

    吗？

    生：老师，车牌号是怎么编出来的？

    生：老师，我想知道为什么超市一扫条形码就可以知道商品的价

    钱，这是什么原理？……

    (3)学生试着给运动员编号码

    师：如果502001表示五年级2班1号同学，请试着为下面这些同学

    编一个运动员号码：

    六年级1班8号同学五年级4班3号同学

    四年级8班3号同学

    三年级2班6号同学

    二年级5班15号同学

    一年级9班9号同学

    (4)创编学号，初步感受数字编码的准确性、简洁性

    师：我们班每个同学都有学号，你的学号是多少？你呢？(10号

    就代表你)5号同学请举手，你叫×××。

    师：如果在年级集会时叫5号，叫的一定是×××吗？为什么？要

    想保证叫的一定是你，怎么办？(请两个人说)请你把这个编号写出

    来。

    (第一次写编号)

    (分类挑几个编号)

    [文字：六(14)12号，六(14)8号，请学生读出来，并说出表

    达的意思]

    (数字：1425、143，你能看懂吗？请你先读这个编号，再说一说

    它表达了什么信息)师：怎样给1班5号同学写编号？“0”起到什么作用？

    师：(小结)班号与学号都用两位数表示，看来数量的多少决定

    了编号的位数。如果位数不够，就用0占位。

    师：请修改一下你的编号。(第二次写编号)

    师：61425，你读懂了什么信息？(找两个人说)

    师：它是表示今年的六年级14班25号同学，还是表示去年的六年

    级14班25号同学呢？如何能更准确地表达这一届的六年级14班25号同

    学呢？请按小组讨论。

    (小组讨论：入学年份、毕业年份)

    师：把你的编号写完整。(第三次写编号)

    师：请你先读出编号，然后连贯地说一下编号所表达的信息。

    生：2005年入学的14班25号同学，2011届14班25号同学。

    师：20111425这个编号一定代表你吗？(增加学校代码)

    师：人大附小的代码是259，在编号前面再加上259就一定代表你

    了。

    师：刚才我们经历的过程就是利用数字进行编码的过程。7.教学要以学生的学习为核心

    牛献

    礼在有效教学蓬勃发展的今天，衡量有效教学的关键指标已经从

    教师的教学转移到了学生的学习。所谓“有效”，是指通过教师一段

    时间的教学，学生获得的具体的进步或发展。也就是说，学生有无进

    步或发展是教学有没有效果的唯一指标。

    当前，不少数学课堂表面看起来很流畅，也很热闹。但仔细分析

    却发现，教学并没有真正把学生作为学习的主体，教师代替学生分

    析、代替学生探究的现象还比较普遍，教师“重教太过”的现状并未

    得到彻底改变。有些时候，学生冒出一些新的想法，因为看起来比较

    幼稚，教师往往不会给予足够的关注，而这样一来，很多学习的可能

    性就被掐灭了。学生对知识的学习往往是浮光掠影、浅尝辄止，这种

    表面化的学习掩盖了学生的许多困惑和问题，造成学生缺乏对数学内

    涵必要而深刻的理解，不利于学生的成长和发展。

    陶行知说：“教的法子要根据学的法子来决定。”要提高课堂教

    学效能，关键是要以学生的学习为核心，教学要精确到与学生的需求

    相联系。教师要能对学生进行针对性教学。教师只有学会设身处地从

    学生的角度去思考问题，根据学生的学习需求决定“教什么”和“怎

    么教”，真切地挠到学生的“痒处”，才能使教学目标“有的放

    矢”，才能把学生表面化的学习变成充满思考的学习过程。教师在课

    堂上最重要的任务不是“讲课”，而是“组织学习”。教师要积极观

    察、聆听，善于诊断，时刻牢记自己是一个“学习的促进者”，而不

    是一个包办代替者，要尽可能多地激励学生自己学习和相互学习，尽

    可能多地教到每一个学生的心上，要在学生迷惑处、容易出错处、企

    及不到处加以点拨、指导和启发。一、削枝强干，保证有合适的学习时间和有效的学习

    机会

    学习要取得成效，就要保证有一定的学习时间。课堂的时间是一

    定的，学生的学习精力也是有限的。一节课首先要在时间上统筹安

    排，将时间花在刀刃上。所谓有效的学习机会，包括设置良好的学习

    情境、提供有挑战性的学习任务等各个方面。因此，教师如果能够针

    对学生的实际选择恰当的学习内容，特别是抓住课的重难点，精简非

    本质的内容，就会使一节课显得既充实又简约，既有骨也有肉。

    以“平均数”的教学为例。课标教材把让学生体会平均数的意

    义、能用自己的语言解释其实际意义作为教学重点，这也是学生学习

    的难点，是学生真正的“痒处”。

    为了让学生体会平均数的意义，在例题教学中，学生通过“移多

    补少”得到男生队平均每人套中7个、女生队平均每人套中6个后，追

    问学生：这里的“7”是指男生真的每个人都套中7个吗？这里的“6”

    是指女生真的每个人都套中6个吗？通过追问让学生体会到它们表示平

    均每人套中的个数，实际情况是有人套中的比它多，有人套中的比它

    少，也有人套中的和它一样多。它是移多补少得到的，反映的是这一

    组学生套圈的总体情况，它是一个抽象的统计数据，而不是真实的原

    始数据。

    在练习环节，也把让学生体会平均数的意义作为重点。补充题目

    如下。

    1.辨一辨，说一说

    (1)据统计：我们学校为汶川灾区人民平均每人捐款28元，那

    么，每位同学一定都捐了28元。

    (2)我们学校篮球队队员的平均身高是160厘米，小林想：学校

    的某个篮球队员身高有可能是155厘米吗？

    (3)池塘平均水深为120厘米，小霞想：我身高155厘米，下水游

    泳一定不会有危险。2.想一想，选一选

    小林和小华进行了三场套圈比赛，每人每次都是套15个圈，下面

    是小林套中个数的统计(如下图所示)。

    第一次第二次第三次平均数小林12个11个10个小林

    第三次套中的个数怎样呢？

    (1)小林第三次套中的个数比10多。

    (2)小林第三次套中的个数比10少。

    (3)小林第三次套中了10个。

    显然，通过这些针对性很强的联系实际的应用练习，能够加深学

    生对平均数意义的真正理解。二、以学定教，基于学生的学习需求展开教学

    “以学定教”就是坚定以学生为本的理念，根据学生的学情进行

    教学设计，根据学生课堂反馈的信息调整教学内容。对学生易学已懂

    的内容，教师在教学设计中要淡化；对学生难学未懂的内容，教师在

    教学设计中要重视。教师要“教所当教”。学生已会的不讲，学生自

    己能学会的不讲，讲了学生也不会的不讲；教师集中力量讲学生学习

    过程中的易混、易错、易漏点，讲学生想不到、想不深、想不透的，讲学生解决不了的。

    例如，在教学“年、月、日”一课时，在第一轮教学实践中，主

    要教学环节是这样展开的：(1)引入时间单位“年、月、日”；

    (2)介绍一年、一月、一日的规定；(3)观察年历表，了解每个月

    的天数，知道大、小月，记住每个月的天数以及平年、闰年全年的天

    数；(4)探索判定平年、闰年的方法；(5)各种形式的巩固练习。

    整节课过程目标清楚，加上练习形式丰富，学生看起来还是学得

    很顺的，但在独立练习时却错误很多。我们注意到这样一个细节：有

    学生说，“这些知识我早都知道了，没意思”，还有学生说，“为什

    么有的月是大月有的月是小月，这都是按什么规律来规定的呀？为什

    么2月份这么特殊呢”。是啊，如果按我们以前的设计来上，这节课充

    其量是对学生已经知道的一些零散知识点的整理与归纳，学生识记了

    很多结论性的东西，通过积极主动的思考获取的体验并不多。

    问题出在哪里？出在我们没有关注学生的学习现实。对于时间单

    位年、月、日，学生已经知道了很多，但他们困惑的是什么，想知道

    的又是什么呢？这节课不应该是一大堆概念的识记，何况，在没有理

    解的基础上识记，效果是不会好的。通过一番学习，特别是对历法发

    展过程的了解与研究，我们重新设计了一轮教学思路，如下。

     ......