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    《高数微积分上》

    习题答案

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    版权声明：

    内容来自高斯课堂原创，讲义笔记和相关图文均有著作权，视频课程已申请版权，登记号：

    陕作登字-2018-I-00001958，根据《中华人民共和国著作权法》 、 《中华人民共和国著作权法

    实施条例》 、 《信息网络传播权保护条例》等有关规定，如有侵权，将根据法律法规提及诉讼。高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    1 1

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    课时一 极限、连续、间断点

    考点 重要程度 分值 常见题型

    1.函数 ★★ 3 ~ 0 选择、填空

    2.极限

    必 考 10 ~ 6 选择、填空、大题 3.连续

    4.间断点

    1. 函数

    题 1.求函数 3 1

    ln arcsin

    2 5

    x x

    y

    x

    ·

    · ?

    ·

    的定义域

    解：

    0

    2 4

    0

    3 1 3

    1

    5

    x

    x

    x

    x

    ·

    · ? ? ?

    ·? ? ? ?

    · ? ?

    · ?

    ，即函数的定义域为 4

    ,0

    3

    x

    · ?

    · ? ? ?

    · ?

    题 2. 2

    (2 3) f x x ? ? 求 ( ) f x

    解：令 2 3 t x ? ? ，则 3

    2

    t

    x

    ·

    ·

    得 2 2 2 3 1 3 9 1 3 9

    ( ) ( ) ( )

    2 4 2 4 4 2 4

    t

    f t t t f x x x

    ·

    · ? ? ? ? ? ? ?

    2. 极限 记作:

    0

    lim ( )

    x x

    f x A ?

    · 左极限 0

    lim ( )

    x x

    f x A ?

    ·

    · 右极限 0

    lim ( )

    x x

    f x A ?

    ·

    ·

    题 1：设函数 ( )

    x

    f x

    x

    · ，当 0 x? 时求极限值

    解： 0 0

    lim lim 1

    x x

    x x

    x x ? ?

    · ?

    ·

    · ? ?

    0 0

    lim lim 1

    x x

    x x

    x x ? ?

    · ?

    · ?

    左右极限存在但是不相等，故无极限

    1) 0 x x ? 表示 0 x x ?

    2) 0 x x ? 表示 0 0 , x x x x

    · ?

    · ?

    3) 极限存在的充要条件： 0 0

    lim ( ) lim ( )

    x x x x

    f x f x ? ?

    · ?

    · (左右极限存在且相等)高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    2 2

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    题 2.设函数 1

    ( ) arctan

    1

    f x

    x

    ·

    ·

    ，当 1 x? 时求极限值

    解： 1 1

    1

    limarctan limarctan( )

    1 2 x x x

    ·

    · ?

    · ?

    · ?? ? ?

    ·

    1 1

    1

    limarctan limarctan( )

    1 2 x x x

    ·

    · ?

    · ?

    · ?? ?

    ·

    左右极限存在但是不相等，故无极限

    题 3.设函数 2

    ( )

    x

    x

    f x e ? ? ，当 2 x? 时求极限值

    解： 2

    2 2

    lim lim 0

    x

    x

    x x

    e e ? ?

    ·? ?

    · ?

    · ?

    2

    2 2

    lim lim

    x

    x

    x x

    e e ? ?

    ·? ?

    · ?

    · ? ??

    3. 连续 0

    0 lim ( ) ( )

    x x

    f x f x

    ·

    · (极限值=函数值)

    题 1.

    2

    1

    ( )

    2 1

    x x

    f x

    x x

    · ?

    · ?

    · ? ?

    是否连续

    解：分界点在 1 x ? 处

    左极限： 2

    1 1

    lim ( ) lim 1

    x x

    f x x ? ?

    · ?

    · ?

    右极限： ? ?

    1 1

    lim ( ) lim 2 1

    x x

    f x x ? ?

    · ?

    · ? ?

    函数值： (1) 1 f ?

    1

    lim ( ) (1) 1

    x

    f x f

    ·

    · ? 函数连续

    题 2.

    9 3

    0

    ( )

    0

    x

    x

    f x x

    k x

    · ? ?

    · ?

    · ?

    · ? ?

    在 0 x ? 处连续，则k 等于多少

    解：极限值： 0 0 0 0

    9 3 ( 9 3)( 9 3) 1 1

    lim ( ) lim lim lim

    6 ( 9 3) 9 3 x x x x

    x x x

    f x

    x x x x ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

    · ? ? ?

    函数值： (0) f k ? 根据极限值等于函数值，所以 1

    6

    k ?

    arctan y x ?

    2

    ·

    2

    ·

    ·

    左极限存在，右极限不存在

    所以极限不存在高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    3 3

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    题 3.确定 , a b ，使

    2

    1

    ( ) 0 1

    0 x

    x x

    f x ax b x

    e x

    · ?

    ·

    · ? ? ? ?

    · ? ?

    在( , ) ?? ?? 内连续。

    解：在分界点为 0 x ? 处

    左极限： 0 0

    lim ( ) lim 1 x

    x x

    f x e ? ?

    · ?

    · ?

    右极限： 0 0

    lim ( ) lim x x

    f x ax b b ? ?

    · ?

    · ? ?

    函数值： (0) f b ? 可得 1 b ?

    联立

    1

    0 1

    1

    b

    a b

    a b

    · ?

    · ? ? ?

    · ? ?

    3.间断点

    第一类间断点

    可去间断点 0 0

    0 lim ( ) lim ( ) ( )

    x x x x

    f x f x f x ? ?

    · ?

    · ?

    跳跃间断点 0 0

    lim ( ) lim ( )

    x x x x

    f x f x ? ?

    · ?

    ·

    第二类间断点 0

    lim ( )

    x x

    f x ?

    ·

    ， 0

    lim ( )

    x x

    f x ?

    ·

    题 1.求函数

    2

    2

    1

    ( )

    3 2

    x

    f x

    x x

    ·

    ·

    · ?

    的间断点，并判断其类型

    解： ( 1)( 1)

    ( )

    ( 1)( 2)

    x x

    f x

    x x

    · ?

    ·

    · ?

    在点 1, 2 x x ? ? 处无定义，故 1, 2 x x ? ? 为间断点

    在 1 x ? 处

    极限值： 1 1

    1

    lim ( ) lim 2

    2 x x

    x

    f x

    x ? ?

    ·

    · ? ?

    ·

    左右极限存在且相等，故点 1 x ? 为可去间断点

    在 2 x ? 处

    左极限： 2 2

    1

    lim ( ) lim

    2 x x

    x

    f x

    x ? ?

    · ?

    ·

    · ? ??

    ·

    右极限： 2 2

    1

    lim ( ) lim

    2 x x

    x

    f x

    x ? ?

    · ?

    ·

    · ? ??

    ·

    故为第二类间断点

    在分界点为 1 x ? 处

    左极限： 1 1

    lim ( ) lim x x

    f x ax b a b ? ?

    · ?

    · ? ? ?

    右极限： 2

    1 1

    lim ( ) lim 1

    x x

    f x x ? ?

    · ?

    · ?

    函数值： (1) 1 f ? 可得 1 a b ? ?高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    4 4

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    题 2.求函数

    1

    1

    0 ( )

    ln(1 ) 0.5 0

    x

    e x f x

    x x

    ·

    · ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ?

    的间断点，并判断其类型

    解：在 0 x ? 处

    左极限： 0 0

    lim ( ) lim ln(1 ) 0

    x x

    f x x ? ?

    · ?

    · ? ?

    右极限：

    1

    1

    0 0

    1

    lim ( ) lim x

    x x

    f x e

    e ? ?

    ·

    · ?

    · ?

    左右极限都存在，但是不相等，故 0 x ? 为跳跃间断点

    0 x ? 时 ? ?

    1

    1 x

    f x e ? ? 定义域 1 x ? 故在 1 x ? 处也是间断点

    左极限：

    1

    1

    1 1

    lim ( ) lim 0 x

    x x

    f x e ? ?

    ·

    · ?

    · ?

    右极限：

    1

    1

    1 1

    lim ( ) lim x

    x x

    f x e ? ?

    ·

    · ?

    · ? ??

    故 1 x ? 为第二类间断点高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    5 5

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    课时一 练习题

    1.

    2

    1 2 1

    arcsin

    3 2

    x

    y

    x x

    ·

    · ?

    ·

    求 ? ? f x 的定义域；

    2.设 (sin ) 1 cos

    2

    x

    f x ? ? ，求 (cos ) f x .

    3.设 ? ?

    sin ,2

    ,x x

    f x

    ax x

    ·

    ·

    ·

    · ? ?

    · ? ? ? ?

    · ? ? ?

    ·

    · ?

    如果 ? ? lim x

    f x

    · ?

    存在，那么a 为何值。

    4.设 ? ?

    · ?

    1

    1 0

    0

    sin

    0

    x ax x

    f x e x

    ax

    x

    bx

    ·

    · ? ?

    ·

    · ? ?

    ·

    · ?

    ·；? ? 0,b 0 a ? ? 问a 和b 取何值时 ? ? f x 在 0 x ? 处连续

    5.设 ? ?

    · ? ln 1

    0

    0

    1 1

    0

    x

    x

    x

    f x x x

    x x

    x

    x

    · ?

    · ?

    · ?

    · ? ?

    ·

    · ? ? ? ?

    · ?

    问 ? ? f x 在 0 x ? 处是否连续

    6.设 ? ?

    1

    sin 2 0

    0

    1

    sin 2 0

    x x

    x

    f x k x

    x x

    x

    ·

    · ?

    ·

    · ? ?

    ·

    · ? ?

    ·

    求常数k 的值，使函数 ? ? f x 在定义域内连续

    7.求函数间断点，并判断其类型

    · ?

    1 1

    1

    3 1

    x x

    y

    x x

    · ? ?

    · ?

    · ? ?

    · ? ? ? 1

    2 sin

    2 , 0

    1 x

    x

    f x x

    x

    e

    · ? ?

    ·

    · ? ? ?

    2

    3 , 2

    2

    x

    f x x

    x

    ·

    · ?

    ·

    · ? ? ? 1

    1

    1

    4 , 1

    1 x

    f x x

    e ?

    · ?

    ·

    学完课时一和课时二，再做练习题高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    6 6

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    课时二 求极限值

    考点 重要程度 分值 常见题型

    求

    极

    限

    1.有理化、多项式

    必 考 10 ~ 20

    选择

    填空

    大题必考

    3.重要极限公式

    4.无穷小公式

    4.洛必达法则

    1. 有理化、多项式

    题 1：求极限 0

    lim

    9 3 x

    x

    x ? ? ?

    解： ? ?

    0 0 0 0

    9 3 ( 9 3)

    lim lim lim lim 9 3 6

    9 3 ( 9 3)( 9 3) x x x x

    x x x x x

    x

    x x x x ? ? ? ?

    · ? ? ?

    · ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ?

    题 2：求极限例：

    3 2

    3 2

    3 4 2

    lim

    7 5 3 x

    x x

    x x ??

    · ?

    · ?

    解:

    3 2 3

    3 2

    3

    4 2

    3

    3 4 2 3

    lim lim 5 3 7 5 3 7 7

    x x

    x x x x

    x x

    x x

    ·? ??

    · ? ? ?

    · ?

    · ? ? ?

    2. 重要极限公式

    0

    sin

    lim 1

    ·?

    ·

    ·

    ·

    sin

    lim 0

    ·??

    ·

    ·

    ·

    1

    0

    1

    lim(1 ) lim(1 ) e

    · ?

    ·? ???

    · ? ? ? ?

    ·

    题 1：求极限 0

    sin 3

    lim x

    x

    x ?

    解： 0 0

    sin 3 sin 3

    lim lim 3 3

    3 x x

    x x

    x x ? ?

    · ? ?

    题 2：求极限 0

    tan 2

    lim x

    x

    x ?

    解： 0 0 0 0 0

    sin 2

    tan 2 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 cos 2 lim lim lim lim lim 2 2

    cos 2 cos 2 cos 2 2 x x x x x

    x

    x x x x x

    x x x x x x x x ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ?

    题 3：求极限

    1

    0

    lim(1 ) x

    x

    x

    ·

    ·

    解： ? ? ? ?

    1

    1 1

    ( ) ( 1) 1

    0 0 0

    lim(1 ) lim 1 ( ) lim 1 ( )

    x

    x x

    x x x

    x x x e

    · ? ? ?

    · ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ?高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    7 7

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    题 4：求极限 2

    1 1

    lim(1 )

    n

    n n n ??

    · ?

    解：

    2

    1

    1

    lim 1

    2 2 2

    1 1 1 1

    lim(1 ) lim(1 ) lim (1 )

    n

    n

    n n n

    n n n n

    n n n

    n n

    e e

    n n n n

    ·?

    ·

    ·

    ·

    ·? ?? ??

    · ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

    3. 无穷小

    1) 定义：以 0 为极限的函数称作无穷小

    例： 0 x? 时， 2

    , 2 , tan 0 x x x ? 称为 0 x? 时的无穷小

    x??时， 2 3

    1 1 2

    , , 0

    3 1 x x x

    · ?

    称为x??时的无穷小

    2) 无穷小比较 , ? ? 为自变量某种趋向下的无穷小

    ①lim 0

    ·

    ·

    · ，称? 为? 的高阶无穷小

    ② ? ? lim 0 k k

    ·

    ·

    · ? ，称? 为? 的同阶无穷小

    ②lim 1

    ·

    ·

    · ，称? 为? 的等阶无穷小

    3) 等价无穷小替换公式:

    0 x? 时(① 0 x? 才成立 ②x 作为整体看待，不仅仅指x )

    ①sin x x ? tan x x ? arctan x x ? arcsin x x ? ? ? ln 1 x x ? ? 1 x

    e x ? ?

    ②(1 ) 1 ~ a

    x ax ? ? x

    n

    ~ x n 1

    1 1 ? ? 2

    2

    1

    ~ cos 1 x x ? 2

    1 cos ~

    2

    a a

    x x ?

    题 1：求极限 0

    tan 3

    lim

    2 x

    x

    x ?

    解： 0 0

    tan 3 3 3

    lim lim

    2 2 2 x x

    x x

    x x ? ?

    · ?

    题 2：求极限 0

    1 1

    lim

    1 cos x

    x

    x ?

    · ?

    ·

    解： 0 0 2

    1

    1 1 2 lim lim 1

    1 1 cos

    ( )

    2

    x x

    x

    x

    x x

    · ?

    · ?

    · ?

    ·高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    8 8

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    题 3：求极限 0

    tan sin

    lim 2 arcsin

    x

    x x

    x x

    ·

    ·

    ·

    错解： 2 2 0 0

    tan sin

    lim lim 0

    arcsin x x

    x x x x

    x x x x ? ?

    · ?

    · ?

    · ?

    (×)

    正解：

    2

    2 3 3 0 0 0

    1

    tan sin tan (1 cos ) 1 2 lim lim lim

    arcsin 2 x x x

    x x

    x x x x

    x x x x ? ? ?

    ·

    · ?

    · ? ?

    ·

    题 4：求极限

    2

    0

    cos

    lim

    ln(1 2 )

    x

    x

    e x

    x x ?

    ·

    · ?

    解：

    2 2 2

    2 0 0 0

    cos cos ( 1) (1 cos )

    lim lim lim

    ln(1 2 ) 2 2

    x x x

    x x x

    e x e x e x

    x x x x x ? ? ?

    · ? ? ? ?

    · ?

    · ? ?

    2

    2

    2

    2 2 2 2 0 0 0 0

    1

    ( 1) (1 cos ) 1 1 3 2 lim lim lim lim

    2 2 2 2 2 4 4

    x

    x x x x

    x

    e x x

    x x x x ? ? ? ?

    · ?

    · ? ? ? ? ? ?

    题 5：当 0 x? 时， 1 1 x ? ? 与ax 是等价无穷小，求a

    解： 0 0

    1

    1 1 2 lim lim 1

    x x

    x

    x

    ax ax ? ?

    · ?

    · ? 可求得 1

    2

    a ?

    4. 洛必达法则 若满足0

    0

    ，?

    ·

    型，则 ? ?

    · ?

    · ?

    · ?

    lim lim f x f x

    g x g x

    ·

    ·

    ·

    ①必须满足0

    0

    ，?

    ·

    型才可以使用，其他形式，不能直接使用

    ②若 ? ?

    · ?

    lim f x

    g x

    ·

    ·

    仍满足0

    0

    ，?

    ·

    型，可以连续使用洛必达法则 ? ?

    · ?

    · ?

    · ?

    lim lim f x f x

    g x g x

    · ??

    ·

    · ??

    ③洛必达法则不是万能的，求极限的时候，首选无穷小替换，再用洛必达法则

    题 1：求极限 3 0

    sin

    lim x

    x x

    x ?

    ·

    (0

    0

    型)可直接使用洛必达法则

    解：

    2

    3 2 2 0 0 0

    1

    sin 1 cos 1 2 lim lim lim

    3 3 6 x x x

    x

    x x x

    x x x ? ? ?

    · ?

    · ? ?高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    9 9

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    1

    2

    2

    2

    2

    2

    ( )

    ( )

    1

    (ln )

    ( ) ln

    1

    (log )

    ln

    (sin ) cos

    (cos ) sin

    (tan ) sec

    (cot ) csc

    (sec ) sec tan

    (csc ) csc cot

    1

    (arcsin )

    1

    1

    (arccos )

    1

    1

    (arctan )

    1

    1

    (arccot )

    u

    x x

    x x

    a

    x x

    e e

    x

    x

    a a a

    x

    x a

    x x

    x x

    x x

    x x

    x x x

    x x x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    ·

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    · ? ?

    · ?

    · ? ?

    · ?

    · ? ?

    · ?

    ·

    · ? ?

    ·

    · ?

    ·

    · ? ? 2

    1 x ?

    题 2：求极限

    2

    2

    3

    lim

    2 x

    x

    x x ??

    ·

    ·

    (?

    ·

    型)可直接使用洛必达法则

    解：

    2

    2

    3 2 2 1

    lim lim lim

    2 4 1 4 2 x x x

    x x

    x x x ?? ?? ??

    ·

    · ? ?

    · ?

    题 3：求极限 0

    1 1

    lim( )

    sin x x x ?

    · (? ??型)方法：通分

    解： 0 0

    1 1 sin

    lim( ) lim

    sin sin x x

    x x

    x x x x ? ?

    ·

    · ? (通分后变成0

    0)

    2 0

    sin

    lim x

    x x

    x ?

    ·

    · (先用一部无穷小代换)

    0

    cos 1

    lim

    2 x

    x

    x ?

    ·

    · (使用洛必达法则，上下求导)

    2

    0

    1

    2 lim 0

    2 x

    x

    x ?

    ·

    · ? (再使用一步无穷小替换)

    题 4：求极限 0

    lim ln

    x

    x x

    ·

    · (0?? 型)方法：取倒数

    解： 0 0

    ln

    lim ln lim 1 x x

    x

    x x

    x

    · ?

    · ? (取倒数后变成?

    ·

    型)

    2

    0 0

    2

    1

    lim lim 0

    1 x x

    x x

    x

    x

    · ?

    · ? ? ?

    ·

    题 5：求极限

    1

    ln

    1

    lim(2 ) x

    x

    x

    ·

    · (1?

    型)方法：取对数

    解：令

    1

    ln

    1

    lim(2 ) x

    x

    y x

    ·

    · ?

    两边取对数 1 1

    1 ln(2 )

    ln lim ln(2 ) lim

    ln ln x x

    x

    y x

    x x ? ?

    ·

    · ? ? (0

    0

    型)

    1 1 1

    1

    ln(2 ) 2 lim lim lim 1

    1 ln 2 x x x

    x x x

    x x

    x

    · ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ?

    ·

    ln 1 y ? ? 1

    y e

    ·

    · 故

    1

    1 ln

    1

    lim(2 ) x

    x

    x e

    ·

    ·

    · ?

    ln ln A

    B A B ?高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    10 10

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    题 6：求极限 2sin

    0

    lim x

    x

    x

    ·

    ( 0

    0 型)方法：取对数

    解：令 2sin

    0

    lim x

    x

    y x

    ·

    ·

    两边取对数 0

    ln lim2sin ln

    x

    y x x

    ·

    · (0?? 型)

    0

    2ln

    lim 1

    sin

    x

    x

    x

    ·

    · (取对数后变成?

    ·

    型)

    2 2

    0 0 0 0

    2

    2

    2sin 2 2

    lim lim( ) lim( ) lim( ) 0

    cos cos cos cos

    sin

    x x x x

    x x x x

    x x x x x x

    x

    · ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ?

    ·

    ln 0 y ? 1 y ? 故 2sin

    0

    lim 1 x

    x

    x

    ·

    ·

    题 7：求极限

    1

    ln(e 1)

    lim x

    x

    x ?

    ·??

    ( 0

    · 型)方法：取对数

    解：令

    1

    ln(e 1)

    lim x

    x

    y x ?

    ·??

    ·

    两边取对数 1 ln

    ln lim ln lim

    ln(e 1) ln(e 1)

    x x x x

    x

    y x

    ·?? ???

    · ?

    · ?

    (取对数后变成?

    ·

    型)

    1

    1 1

    lim lim lim lim 0

    1

    1

    x x

    x x x x x x x x

    x

    e e x

    e xe e xe x

    e

    ·?? ??? ??? ???

    ·

    · ? ? ? ?

    · ?

    ·

    ln 0 y ? 1 y ? 故

    1

    ln(e 1)

    lim 1

    x

    x

    x ?

    ·??

    ·

    课时二 练习题

    1)

    2

    2 1

    2 1

    lim

    1 x

    x x

    x ?

    · ?

    ·

    2) 2

    1 1

    lim 2

    x x x ??

    · ?

    · ? ? ?

    · ?

    3)

    2

    2

    lim

    2 x

    x

    x ?

    ·

    ·

    4)

    2

    1

    lim ??

    · ? ?

    · ?

    · ?

    x

    x

    x

    x

    5)

    1

    1

    lim

    1

    m

    n x

    x

    x ?

    ·

    ·

    ( , m n 为正整数且m n ? ) 6) 2 0

    sin

    lim

    ( 1)

    x x

    x x

    x e ?

    ·

    ·

    7)

    0

    cos

    lim

    sin tan x

    x x x

    x x ?

    ·

    ·

    8)

    1

    lim 1 x

    x

    x e

    ·?

    · ?

    · ? ?

    · ?

    9) ? ?

    1

    0

    lim 1 2 x

    x

    x ?

    ·

    · 10)

    · ?

    3

    1

    ln 1

    lim x

    x

    y x

    ·

    ·??

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    课时三 导数

    考点 重要程度 分值 常见题型

    1.求导定义公式 ★★★★ 0 ~ 8 选择、填空

    2.求导计算

    1)复合函数求导

    必 考 6 ~ 15 选择、填空、大题

    2)微分

    3)隐函数求导

    4)参数方程求导

    3.可导，可微，连续之间的关系 ★★★ 0 ~ 3 选择、填空

    1.求导定义公式 (导数记作形式：y?， ? ? f x ? ，dy

    dx)

    求导定义公式： ? ?

    · ? ? ? 0 0

    0

    0

    lim x

    f x x f x

    f x

    x ? ?

    · ? ?

    · ?

    ·

    (这个式子有极限值就说明在这点可导)

    左导数： ? ?

    · ? ? ? 0 0

    0

    0

    lim x

    f x x f x

    f x

    x ? ?

    · ?

    · ? ?

    · ?

    ·

    右导数： ? ?

    · ? ? ? 0 0

    0

    0

    lim x

    f x x f x

    f x

    x ? ?

    · ?

    · ? ?

    · ?

    ·

    函数在某点可导的充分必要条件： ? ? ? ? 0 0 f x f x ? ?

    · ? ? (左导数等于右导数)

    题 1：求函数 ? ?

    · ?

    sin 0

    ln 1 0

    x x

    f x

    x x

    · ? ?

    · ?

    · ? ? ?

    在 0 x ? 的导数

    解:左导数

    · ?

    · ? ? ? ? ?

    0 0 0

    0 0 sin ln 1 0 sin

    0 lim lim lim 1

    x x x

    f x f x x

    f

    x x x ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ?

    右导数

    · ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    0 0 0 0

    0 0 ln 1 ln 1 0 ln 1

    0 lim lim lim lim 1

    x x x x

    f x f x x x

    f

    x x x x ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

    · ? ? ? 0 0 1 f f ? ?

    · ? ? ? 所以在 0 x ? 处导数 ? ? 0 1 f ? ?

    题 2：已知 ? ? 2 1 f ? ? ，求函数 ? ? ? ?

    0

    2 2

    lim h

    f h f h

    h ?

    · ? ?

    解： ( )

    2

    h h

    h

    · ?

    · 所以 ? ? ? ?

    · ?

    0

    2 2

    lim 2 2 2

    h

    f h f h

    f

    h ?

    · ? ?

    · ? ? ?

    若 0 ( ) f x A ? ? 0 0

    0

    0

    ( ) ( )

    lim ( )

    h

    f x ah f x bh ah bh a b

    f x A

    ch ch c ?

    · ? ? ? ?

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    12 12

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    · ? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x ?

    · ? ? ?

    2

    2

    2

    2

    (sec ) sec tan

    (csc ) csc cot

    1

    (arcsin )

    1

    1

    (arccos )

    1

    1

    (arctan )

    1

    1

    (arccot )

    1

    x x x

    x x x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    · ?

    · ? ?

    · ?

    ·

    · ? ?

    ·

    · ?

    ·

    · ? ?

    ·

    2

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    f x f x g x f x g x

    g x g x

    ·

    · ? ? ? ?

    · ? ?

    · ?

    2.求导计算

    题 1.设 ln x

    y e x ? ，求 y?

    解： ? ? ? ?

    x

    e

    x e x e x e y

    x

    x x x

    · ? ?

    ·

    ·

    · ? ln ln ln

    题 2.设 ln cos

    x

    y e ? ，求dy

    解： 1

    sin tan

    cos

    x x x x

    x

    y e e e e

    e

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    tan x x

    dy e e dx ? ?

    题 3.设 ? ?

    2

    ln 1 y x x ? ? ? ，求 y?

    解： ? ?

    1

    2 2

    2

    1 1

    1 1 2

    2 1

    · ? ?

    · ? ? ? ? ?

    · ?

    · ? ? ?

    y x x

    x x

    2 2

    1

    1

    1 1

    · ?

    · ? ? ? ?

    · ? ? ? ?

    x

    x x x

    2

    2 2

    1 1

    1 1

    · ?

    · ?

    · ? ?

    x x

    x x x

    2

    1

    1

    ·

    · x

    题 4.设 ? ?

    2

    sin y f x ? ，求dy

    dx

    解： ? ? ? ?

    2 2

    sin sin

    dy

    f x x

    dx

    ·

    · ? ? ? ?

    2 2

    sin cos 2 f x x x ? ? ? ? ? ?

    2 2

    2 cos sin x x f x ? ?

    题 5.设 ? ? y f x ? 由方程 1 y

    y xe ? ? 确定，求 0 x

    dy ?

    解：两边同时对x 求导，得

    0 y y

    y e xe y ? ? ? ? ? 解得 1

    y

    y

    e

    y

    xe

    · ?

    ·

    把 0 x ? 代入原方程可得 1 y ?

    所以 0

    (0,1)

    1

    y

    y x

    e

    y e dy edx

    xe ?

    · ? ? ? ?

    ·

    1

    2

    2

    ( )

    ( )

    1

    (ln )

    ( ) ln

    1

    (log )

    ln

    (sin ) cos

    (cos ) sin

    (tan ) sec

    (cot ) csc

    u

    x x

    x x

    a

    x x

    e e

    x

    x

    a a a

    x

    x a

    x x

    x x

    x x

    x x

    ·

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    · ? ?

    · ?

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    13 13

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    题 6.求曲线 y

    e xy e ? ? 在 0 x ? 处的切线方程。

    解：两边同时对x 求导，得

    0 y

    e y y x y ? ? ? ? ? ? ? y

    y

    y

    e x

    · ? ?

    ·

    当 0 x ? 时代入原方程 1 y ? 则 1

    y

    e

    · ?

    则切线方程为 1

    1= ( 0) y x

    e

    · ? 整理可得 1

    1 y x

    e

    · ?

    题 7.设 ? ?

    sin 2

    1

    x

    y x ? ? ，求 y?

    解：两边取对数得： ? ?

    2

    ln sin ln 1 y x x ? ? ?

    两边同时对x 求导得： ? ?

    2

    2

    1 2

    cos ln 1 sin

    1

    x

    y x x x

    y x

    · ? ? ? ?

    ·

    于是 ? ? ? ? ? ?

    sin 2 2 2

    2 2

    2 2

    cos ln 1 sin 1 cos ln 1 sin

    1 1

    x x x

    y y x x x x x x x

    x x

    · ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    题 8.设

    2

    ln(1 )

    arctan

    x t

    y t t

    · ? ?

    ·

    · ? ?

    ，求dy

    dx

    ，2

    2

    d y

    dx

    解： 2 2

    1 2

    2

    1 1

    dx t

    t

    dt t t

    · ? ?

    · ? 2

    1

    1

    1

    dy

    dt t

    · ?

    ·

    2

    2

    1

    1

    1

    2 2

    1

    dy

    dy t dt t

    dx t dx

    dt t

    ·

    · ? ? ?

    ·

    1 2

    2

    dy t

    d d

    dx

    dt dt

    · ? ? ?

    · ? ? ?

    · ? ? ?

    · ?

    2 2

    2 2

    1 2 1

    2 1 4

    dy

    d

    d y dx t t dx

    dt dt t t dx

    · ?

    · ?

    · ? ?

    · ? ?

    ·

    3.可导，可微，连续之间的关系

    (可导和可微可以认为是一样的，可导就是可微，可微就是可导)

    参数方程求导方法：

    ①dx

    dt

    ② dy

    dt

    ③dy

    dx

    ·

    ②

    ①

    ④

    dy

    d

    dx

    dt

    · ?

    · ?

    · ?

    ⑤

    2

    2

    d y

    dx

    ·

    ④

    ①

    可导(可微) 连续高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    14 14

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    课时三 练习题

    1. 求函数 2

    ( )

    sin 2

    x

    f x

    x

    ·

    · ?

    ·

    , 0

    , 0

    x

    x

    ·

    ·

    在 0 x ? 的导数。

    2. 设 0 ( ) 2 f x ? ? ，求 0 0

    1 1

    lim[ ( ) ( )]

    2 n

    f x f x n

    n n ??

    · ? ? 。

    3. 设函数

    2

    ( )

    x

    f x

    ax b

    ·

    · ?

    · ?

    , 1

    , 1

    x

    x

    ·

    ·

    为了使函数 ( ) f x 在 1 x ? 处连续且可导， , a b应取什么值。

    4. 设 sin cos y x x ? ? ，求 y?。

    5. 设 2

    ln(1 ) y x ? ? ，求dy 。

    6. 设 (ln ) y f x ? ，求dy

    dx。

    7. 设 ( ) y f x ? 由方程 x y

    xy e

    ·

    · 确定，求dy 。

    8. 求曲线 2 y

    y xe ? ? 在 0 x ? 处得切线方程。

    9. 设 x

    y x ? ，求 y?。

    10.设

    2

    2

    1

    t

    x

    y t

    ·

    · ?

    ·

    · ? ? ?

    ，求

    2

    2

    ,dy d y

    dx dx。高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    15 15

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    课时四 单调性与凹凸性

    考点 重要程度 分值 常见题型

    1.单调性与极值点

    ★★★★ 3 ~ 8 选择、填空、大题 2.凹凸性与拐点

    题 1：求函数 ln(1 ) y x x ? ? ? 的单调性与极值。

    解：定义域为 ( 1, ) x? ? ??

    1

    '=1

    1+

    y

    x

    ·

    由 ' 0 y ? 可得单调增区间为 [0, ) x? ??

    由 ' 0 y ? 可得单调减区间为 ( 1,0] x? ?

    所以 0 x ? 为极小值点 (0) 0 f ?

    题 2：求函数 x

    y xe

    ·

    · 的凹凸区间及拐点。

    解：定义域为 ? ? , x? ?? ??

    ' (1 )

    x

    y e x

    ·

    · ? '' ( 2)

    x

    y e x

    ·

    · ?

    由 '' 0 y ? 可得凹区间为 [2, ) x? ??

    由 '' 0 y ? 可得凸区间为 ( , 2] x? ??

    0 y ? 得 2 x ? ，且左右异号;

    故拐点为 2

    2,2e

    ·

    ( )

    1) 驻点一定是极值点(×) 例 3

    y x ? ， 2

    ' 3 0 y x ? ? 驻点为(0,0)

    2) 极值点一定是驻点(×) 极值点存在于两处：①驻点；②一阶导数不存在点

    3) 可导函数极值点一定是驻点(√) 去掉了导数不存在的情况。

    0 x ? 不是极值点，因为在 0 x ? 的左右两边 y?不是异号

    驻点：一阶导数为 0 的点高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    16 16

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    题 3：证明：当 0 x ? 时， ln(1 )

    1

    x

    x x

    x

    · ? ?

    ·。

    证明：令 ( ) ln(1 ) f x x x ? ? ?

    1

    1 0

    1

    f

    x

    · ? ? ?

    ·

    故 ( ) f x 在[0, ) ?? 时单调增加，且 (0) 0 f ?

    于是有 ( ) 0 f x ? ，即 ln(1 ) 0 x x ? ? ? 得证 ln(1 ) x x ? ? ，令g( ) ln(1 )

    1

    x

    x x

    x

    · ? ?

    ·

    2

    1 1

    g ( ) 0

    1 (1 )

    x

    x x

    · ? ? ?

    · ?

    故 ( ) g x 在[0, ) ?? 单调增加，且g(0) 0 ?

    故g( ) 0 x ? ，即ln(1 ) 0

    1

    x

    x

    x

    · ? ?

    ·

    得证ln(1 )

    1

    x

    x

    x

    · ?

    ·

    综合可得： ln(1 )

    1

    x

    x x

    x

    · ? ?

    ·

    课时四 练习题

    1.求函数 ? ?

    3 2

    2 3 f x x x ? ? 的单调性与极值

    2.求 3 2

    5 3 5 y x x x ? ? ? ? 的凹凸区间及拐点

    3.试证：当 0 x ? 时， ? ? 1 1 cos

    x

    e x x ? ? ? ?

    ① ( ) 0 f x ? ? ? 的点一定是拐点(×) 要保证左右异号。

    ②拐点一定是 ( ) 0 f x ? ? ? 的点。 (×)

    ( 拐点存在于两处① ( ) 0 f x ? ? ? 的点；②二阶导数不存在点)

    ③二阶导数存在的函数，拐点一定是 ( ) 0 f x ? ? ? (√) 去掉了二阶导数不存在的情况。高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    17 17

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    课时五 不定积分

    考点 重要程度 分值 常见题型

    1.直接积分 ★★★★ 3 ~ 0 选择、填空

    5.凑微分

    必 考

    10 ~ 6 选择、填空、大题

    3.换元法

    4.分部积分法

    5.有理化积分 ★★★

    不定积分公式表：

    1. ? ? ? kdx kx C

    2.(1)

    1

    1

    a

    a x

    x dx C

    a

    ·

    · ?

    · ? ( 1 a ? ? ) (2) ln | |

    dx

    x C

    x

    · ? ?

    3.(1) ln

    x

    x a

    a dx C

    a

    · ? ? (2) x x

    e dx e C ? ? ?

    4.(1) sin cos xdx x C ? ? ? ? (2) cos sin xdx x C ? ? ?

    (3) tan ln cos xdx x C ? ? ? ? (4) cot ln sin xdx x C ? ? ?

    (5) sec ln sec tan xdx x x C ? ? ? ? (6) csc ln csc cot xdx x x C ? ? ? ?

    (7) 2

    sec tan xdx x C ? ? ? (8) 2

    csc cot xdx x C ? ? ? ?

    (9) sec tan sec x xdx x C ? ? ? (10) csc cot csc x xdx x C ? ? ? ?

    5.(1) 2

    1

    arcsin

    1

    dx x C

    x

    · ?

    ·

    · (2) ? ?

    2 2

    arcsin 0

    dx x

    C a

    a a x

    · ? ?

    ·

    ·

    (3) 2

    1

    arctan

    1

    dx x C

    x

    · ?

    · ? (4) 2 2

    1

    arctan

    dx x

    C

    a x a a

    · ?

    · ?

    (5) 2 2

    1

    ln

    2

    dx x a

    C

    x a a x a

    ·

    · ?

    · ? ? (6) 2 2

    2 2

    ln

    dx

    x x a C

    x a

    · ? ? ?

    ·

    ·

    (7) 2 2

    2 2

    ln

    dx

    x x a C

    x a

    · ? ? ?

    ·

    · (8)

    2

    2 2

    2 2

    arcsin

    2 2

    dx a x x

    x a C

    a a x

    · ? ? ?

    ·

    ·高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    18 18

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    1. 直接积分

    题 1： 2

    ( 5) x x dx ? ?

    解：原式

    5 1 7 3

    2 2 2 2

    2 10

    ( 5 )

    7 3

    x x dx x x C ? ? ? ? ? ?

    题 2：

    2

    2

    3

    1

    x

    dx

    x ? ?

    解：原式

    2

    2 2

    3 3 3 3

    (3 ) 3 3arctan

    1 1

    x

    dx dx x x C

    x x

    · ?

    · ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

    题 3： 2 2

    1

    (1 )

    dx

    x x ? ?

    解：原式 2 2

    1 1 1

    ( ) arctan

    1

    dx x C

    x x x

    · ? ? ? ? ?

    · ?

    题 4： 2x x

    e dx ?

    解：原式 (2 )

    (2 )

    ln(2 )

    x

    x e

    e dx C

    e

    · ? ? ?

    题 5： 2

    sin ( )

    2

    x

    dx ?

    解：原式 1 1

    (1 cos ) sin

    2 2 2

    x

    x dx x C ? ? ? ? ? ?

    题 6： cos 2

    cos sin

    x

    dx

    x x ? ?

    解： 原式

    2 2

    cos sin (cos sin )(cos sin )

    cos sin cos sin

    x x x x x x

    dx dx

    x x x x

    · ? ?

    · ?

    · ? ? ? = (cos sin ) sin cos x x dx x x C ? ? ? ? ?

    (加项减项)

    sin 2 2sin cos x x x ?

    2 2

    cos 2 cos sin x x x ? ?

    2

    2cos 1 x ? ?

    2

    1 2sin x ? ?高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    19 19

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    2. 凑微分

    题 1： 2

    (1 2 ) x dx ? ?

    解：原式 2 3 1 1 1

    (1 2 ) (1+2 ) (1 2 )

    2 2 3

    x d x x C ? ? ? ? ? ? ?

    3 1

    (1 2 )

    6

    x C ? ? ?

    题 2： 2

    1

    x

    dx

    x ?

    ·

    解：原式

    1 1

    2 2 2 2 2 2

    1

    (1 ) ( 1) ( 1) 1

    2

    x xdx x d x x C

    · ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    题 3：

    1

    2

    5x

    dx

    x ?

    解：原式

    1 1 1

    2

    1 1 1

    (5 ) 5 ( ) 5

    ln 5

    x x x

    dx d C

    x x

    · ? ? ? ? ? ? ?

    题 4： 1

    (1 )

    dx

    x x ? ?

    解：原式 2 2

    1 1 1

    2 ( ) 2arctan

    1 ( ) 1 ( )

    dx d x x C

    x x x

    · ? ? ? ?

    · ? ? ?

    题 5： 1

    1 x

    dx

    e

    ·

    · ?

    解：原式 1 1

    (1 ) ln( 1)

    1 1

    x x x

    x x

    e dx d e e C

    e e

    · ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

    题 6： 1

    ln

    dx

    x x ?

    解：原式 1 1 1

    (ln ) ln(ln )

    ln ln

    dx d x x C

    x x x

    · ? ? ? ? ? ?

    题 7： tan xdx ?

    解：原式 sinx 1

    cos ln cos

    cos cos

    dx d x x C

    x x

    · ? ? ? ? ? ? ?

    题 8： 3

    cos d ? ? ?

    解：原式 2 2

    cos cos cos sin d d ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    2 3 1

    (1 sin ) sin sin sin

    3

    d C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    20 20

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    a

    t

    x

    2 2

    a x ?

    a

    t

    x

    2 2

    a x ?

    a

    t

    x

    2 2

    x a ?

    题 9： arctan

    (1 )

    x

    dx

    x x ? ?

    解：原式 2

    2 arctan (arctan ) (arctan ) xd x x C ? ? ? ?

    3. 换元法

    题 1： 1

    1+ 2

    dx

    x

    ·

    解：令1+ 2x t ? ， 2 1

    ( 1)

    2

    x t ? ? ， ( 1) dx t dt ? ?

    原式=

    1 1

    ( 1) (1 ) ln t dt dt t t C

    t t

    · ? ? ? ? ? ? ? ? =1+ 2 ln(1 2 ) x x C ? ? ?

    题 2： 3

    2 2 2

    1

    ( )

    dx

    a x ?

    ·

    解：令 sin x a t ? ， cos dx a tdt ?

    原式=

    2

    3 3 2

    1 1

    cos sec

    a cos

    a tdt tdt

    t a

    · ? ? ? = 2

    1

    tan

    a

    t C ? 2 2 2 2

    1 1

    tan =

    x

    t C C

    a a a x

    · ? ? ?

    ·

    根式形式 依据公式 所作替换 对应三角形

    2 2

    a x ? 2 2

    sin cos 1 t t ? ? sin x a t ?

    2 2

    a x ? 2 2

    1 tan sec t t ? ? tan x a t ?

    2 2

    x a ? 2 2

    tan sec 1 t t ? ? sec x a t ?高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    21 21

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    4. 分部积分法 u v dx udv uv v du uv v u dx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

    题 1： ln x xdx ?

    解：原式 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1

    ln ln ln ln ln

    2 2 2 2 2 2 4

    xdx x x x d x x x x dx x x x C

    x

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    题 2： arctan x xdx ?

    解：原式 2 1

    arctan

    2

    xdx ? ?

    2 2 2

    2

    1 1 1 1 1

    = arctan arctan arctan (1 )

    2 2 2 2 1

    x x x d x x x dx

    x

    · ? ? ?

    · ? ?

    2 1 1 1

    arctan arctan

    2 2 2

    x x x x C ? ? ? ?

    题 3： ln xdx ?

    解：原式 ln ln ln 1 ln x x xd x x x dx x x x C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    题 4： x

    e dx ?

    解：原式 2 2 2 2 2 2 2 2 t t t t t t x x

    e tdt tde t e e dt te e c xe e C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    5. 有理化积分

    题： 2

    1

    5 6

    x

    dx

    x x

    ·

    · ? ?

    2

    1 1 ( 2) ( 3) ( ) 2 3

    5 6 ( 3)( 2) 3 2 ( 2)( 3) ( 2)( 3)

    x x A B A x B x A B x A B

    x x x x x x x x x x

    · ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    ( ) 2 3 1 A B x A B x ? ? ? ? ?

    1

    2 3 1

    A B

    A B

    · ? ?

    ·?

    · ? ? ?

    4

    3

    A

    B

    · ?

    · ?

    · ? ?

    故 2

    1 4 3

    ( )

    5 6 3 2

    x

    dx dx

    x x x x

    ·

    · ?

    · ? ? ? ? ? 4ln 3 3ln 2 x x C ? ? ? ? ?

    令 x t ? ， 2

    x t ? ， 2 dx tdt ?高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    22 22

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    课时五 练习题

    1) 2 2

    ( 1) x dx ? ? 2) 2

    cos

    2

    x

    dx ? 3) (sin )

    x

    b

    ax e dx ? ? 4) 2

    2

    tan 1

    1

    xdx

    x

    x

    ·

    ·

    ·

    5)

    · ?

    2

    2 3

    x

    dx

    x ?

    · 6) x x

    dx

    e e

    ·

    · ? 7) 3

    tan sec x xdx ? 8)

    2

    2 2

    x dx

    a x ?

    ·

    9)

    2

    1 x

    dx

    x

    ·

    · 10) ln n

    x xdx ? 11) arcsin xdx ? 12) 2

    ln xdx ?

    13) 2

    tan x xdx ? 14)

    3

    8 4

    2 1

    x

    dx

    x x ? ? ?高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    23 23

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    课时六 定积分

    考点 重要程度 分值 常见题型

    1.定积分计算

    1) 凑微分，分部积分类型

    2) 换元换限类型

    3) 反常积分

    必 考 6-8 分 大题

    2.定积分的性质 ★★★★★ 0-6 分 选择、填空

    3.积分的导数 ★★★★ 0-6 分 大题

    1、定积分的计算

    题 1：计算定积分 1

    2 0

    1

    4

    dx

    x ?

    · (凑微分)

    解：原式 1 1

    2 2 0 0

    1 1

    =

    2

    2 1 1

    2 2

    x

    dx d

    x x

    · ?

    · ? ?

    · ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

    · ?

    1

    0

    1

    arcsin arcsin 0

    2 2 6

    x ?

    · ? ? ?

    题 2：计算定积分 3

    0

    2 arctan x xdx ? (分部积分)

    解：原式 ? ?

    3

    2

    0

    arctan xd x ? ?

    3 3 2 2

    0 0

    arctan arctan x x x d x ? ? ?

    2

    3 3

    2 2 0 0

    1

    1

    1 1

    x

    dx dx

    x x

    · ?

    · ?

    · ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

    · ? ? ?

    3

    0

    4

    arctan 3

    3

    x x ? ? ? ? ? ? ?

    题 3：计算定积分 2

    0

    sin x dx

    ·

    · (分段积分)

    解：原式 2

    0

    sin sin xdx xdx

    · ?

    ·

    · ? ? ? ?

    2

    0

    cos cos x x

    · ?

    ·

    · ? ? 4 ?

    题 4：计算 ? ?

    2

    0

    f x dx ? ，其中 ? ? 2

    1 1

    1

    1

    2

    x x

    f x

    x x

    · ? ?

    ·

    · ?

    · ? ?

    (分段积分)

    解： ? ? ? ? ? ?

    2 1 2

    0 0 1

    f x dx f x dx f x dx ? ? ? ? ? ? ?

    1 2

    2

    0 1

    1

    1

    2

    x dx x dx ? ? ? ? ?

    1 2

    2 3

    1 0

    1 1 8

    2 6 3

    x x x

    · ?

    · ? ? ? ? ?

    · ?

    题 5：计算定积分 ln 2

    0

    1 x

    e dx ? ? (换元换限)

    解： 1 x

    e t ? ? ， ? ?

    2

    ln 1 x t ? ? ， 2

    2

    1

    t

    dx dt

    t

    ·

    ·

    0 x ? 时 0 t ? ， ln 2 x ? 时 =1 t

    故 ln 2 1 1

    2 2 0 0 0

    2 1

    1 2 1

    1 1

    x t

    e dx t dt dt

    t t

    · ?

    · ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

    · ? ? ? ?

    1

    0

    2 arctan 2 1 2

    4 2

    t t

    · ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ?

    · ?高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    24 24

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    题 6： 2 2

    0

    a

    a x dx ? ? (换元换限)

    解： sin x a t ? cos dx a tdt ?

    0 x ? 时 0 t ? ，x a ? 时 2

    t

    ·

    ·

    故 2 2 2 2 2 2

    0 0 0

    cos cos cos

    a

    a x dx a t a tdt a tdt

    · ?

    · ? ? ? ? ? ?

    2 2 2

    2 2

    0

    0

    1 cos 2 1

    sin 2 t

    2 2 2 4

    t a a

    a dt t

    ·

    ·

    · ? ? ?

    · ? ? ? ? ?

    · ?

    ·

    题 7： 2 0

    1

    2 2

    dx

    x x

    ·?

    · ? ? (反常积分—积分区间无界)

    解：原式 ? ?

    · ? 2 0

    1

    1

    1 1

    d x

    x

    ·?

    · ?

    · ?

    · ? ? 0

    arctan 1 x

    ·?

    · ? ? ? lim arctan 1 arctan1

    x

    x

    ·??

    · ? ?

    2 4 4

    · ? ?

    · ? ?

    题 8：

    · ?

    1

    2 0

    1

    dx

    x ?

    · (反常积分—被积函数无界)

    解：原式

    · ?

    · ?

    1

    2 0

    1

    1

    1

    d x

    x

    · ? ?

    ·

    ·

    1

    0

    1

    1 x

    ·

    ·

    1 ? ? ? ? ? (无值)

    2.定积分的性质

    题 1： ? ?

    3

    cos 1 x x dx

    ·

    · ?

    · ? ?

    解： ? ?

    3 3

    cos 1 cos x x dx x xdx dx

    · ? ?

    · ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ?

    3

    cos x x 为奇函数，积分区域? ? , ? ? ? 对称，故 3

    cos 0 x xdx

    ·

    · ?

    · ?

    故原式 ? ? 2 dx

    ·

    ·

    · ? ?

    ·

    · ? ? ? ? ?

    题 2： 1

    1

    0

    I xdx ? ? ， 1

    2

    2

    0

    I x dx ? ? ， 1

    3

    3

    0

    I x dx ? ? ，比较 1 I ， 2 I ， 3 I 大小

    解：在? ? 0,1 上， 2 3

    x x x ? ? 故 1 2 3 I I I ? ?

    ①若被积函数 ? ? f x 为奇函数，积分区间对称? ? , a a ? ，则 ? ? 0

    a

    a

    f x dx

    ·

    · ?

    ②若 ? ? 1 f x ? ，则 ? ?

    b b

    a a

    f x dx dx b a ? ? ? ? ?

    设 ? ? , x a b ? ， ? ? ? ? f x g x ? 则 ? ? ? ?

    b b

    a a

    f x dx g x dx ? ? ?高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    25 25

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    题 3： ? ? ? ?

    2

    0

    cos f x x f x dx ? ? ? ，求 ? ? f x

    解：令 ? ?

    2

    0

    f x dx A ? ? ，则 ? ? cos f x x A ? ?

    两边积分 ? ? ? ?

    2 2

    0 0

    cos f x dx x A dx ? ? ? ? ? ?

    2

    0

    sin sin 2 2 x Ax A ? ? ? ?

    即 sin 2 2 A A ? ? sin 2 A ? ? ? ? ? cos sin 2 f x x ? ?

    3.积分的导数

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    · ? ? ? ? ? ? ?

    2 2

    1 1

    2 2 1 1

    x x

    x x

    d

    f t dt f t dt f x x f x x

    dx

    · ?

    · ?

    · ? ? ?

    ·

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ?

    题 1：

    2

    2

    0

    1

    x d

    t dt

    dx

    · ?

    解：原式 ? ? ? ?

    2 2 2

    1 2 1 0 0 x x ?

    · ? ? ? ? ?

    4

    2 1 x x ? ?

    题 2：求极限

    2 1

    cos

    2 0

    lim

    t

    x

    x

    e dt

    x

    ·

    ·

    ·

    解：原式 ? ?

    2

    cos

    0

    0 sin

    lim

    2

    x

    x

    e x

    x

    ·

    ·

    · ? ?

    ·

    2

    cos

    1

    0

    sin 1

    lim

    2 2

    x

    x

    e x

    e

    x

    ·

    ·

    ·

    · ? ?

    课时六 练习题

    1.

    5

    1

    1

    3 1

    dx

    x ? ? 2. 2

    0

    sin 2 x xdx

    ·

    · 3.

    2

    0

    cos x dx

    ·

    ·

    4. ? ?

    2

    0

    f x dx ? ，其中 ? ?

    2

    3

    4

    2 1

    x x

    f x

    x x

    · ? ?

    · ?

    · ? ? ? ?

    0 1

    1 2

    x

    x

    · ?

    · ?

    5.

    8

    3 1

    1

    dx

    x x ? ? 6.

    1

    1

    5 4

    x

    dx

    x ?

    · ? 7. 2 2

    2

    sin

    1

    a

    a

    x

    a x dx

    x ?

    · ?

    · ? ? ?

    · ? ?

    ·

    8.

    1

    1

    0

    I xdx ? ? ， 1

    2

    0

    ln I xdx ? ? ， 1

    3

    0

    I xdx ? ? 比较 1 2 3 , , I I I 大小

    9.求极限

    sin

    0

    1 3

    x

    d tdt

    dx

    · ?

    10.求极限 ? ?

    1

    sin

    0

    0

    0

    1

    lim sin

    x t

    x x

    t dt

    t

    dt

    t

    ·

    · ?

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    26 26

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    课时七 定积分的应用

    考点 重要程度 分值 常见题型

    4) 利用定积分求面积

    必考 3-12分 选择、填空、大题 5) 利用定积分求体积

    1、用定积分求面积

    题 1：计算 ln y x ? ，x 轴，以及x e ? 围成的图形面积

    题 2：计算抛物线 2

    2 y x ? 与 4 y x ? ? 所围成的图形面积

    解法二：

    解： 2 1

    4

    2

    dA y y dy

    · ?

    · ? ? ? ?

    · ?

    4

    2

    2

    1

    4

    2

    A y y dy

    ·

    · ?

    · ? ? ? ?

    · ?

    ·

    4

    2 3

    2

    4 18

    2 6

    y y

    y

    ·

    · ?

    · ? ? ? ? ?

    · ?

    dx

    1 : A

    ln y x ?

    dx

    ln x

    dx

    · ? 2 2 x x ? ?

    2 : A ? ? 2 4 x x ? ?

    · ? 2, 2 ?

    · ? 8, 4

    解： ln dA xdx ?

    · ? 1 1 1

    ln ln 1

    e e e

    A dA xdx x x x ? ? ? ? ? ? ?

    解： ? ? 1 2 2 2 2 dA x x dx xdx ? ? ? ? ? ?

    · ?

    2 2

    1 1 0 0

    16

    2 2

    3

    A dA xdx ? ? ? ? ?

    · ? ? ? 2 2 4 2 4 dA x x dx x x dx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ?

    8 8

    2 2 2 2

    38

    2 4

    3

    A dA x x dx ? ? ? ? ? ? ?

    1 2

    16 38

    18

    3 3

    A A A ? ? ? ? ?

    dy

    · ?

    2 1

    4

    2

    y y ? ?高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    27 27

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    2、用定积分求体积

    题 3：计算 ln y x ? ，x 轴以及x e ? 围成的图形绕x 轴和 y 轴旋转一周的体积分别是多少

    解：绕x轴

    · ?

    2 2

    ln x

    dV r dx x dx ? ? ? ? ?

    · ?

    2

    1 1

    ln ( 2)

    e e

    x x

    V dV x dx e ? ? ? ? ? ? ? ?

    绕 y 轴 y

    V V V ? ? 外 内

    2 2

    1 V e e ? ? ? ? ? ? 外

    · ?

    2 2 y y

    dV e dy e dy ? ? ? ? ? ? ?

    内

    1 1

    2 2

    0 0

    1

    ( 1)

    2

    y

    V dV e dy e ? ? ? ? ? ? ? ? 内 内

    则 ? ?

    2 2 2 1 1

    ( 1) 1

    2 2

    y

    V V V e e e ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 外 内

    课时七 练习题

    1.计算平面图形由抛物线 2

    2 y x ? ? 与直线 y x ? 围成的面积

    2.求曲线 ? ? sin 0 y x x ? ? ? ? 与 0 x ? 所围成的平面图形面积以及绕x 轴旋转所得的体积

    3.过坐标原点作曲线 x

    y e ? 的切线，该切线与曲线 x

    y e ? 以及x 轴围成的平面图形记为 D

    ①求 D 的面积A

    ②求 D 绕x 轴所围成的旋转体体积V

    dy

    y

    r x e ? ?高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    28 28

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    课时八 微分方程

    考点 重要程度 分值 常见题型

    1.可分离变量 ★★★ 3 ~ 0

    选择、填空 6.齐次微分方程 ★★★ 3 ~ 0

    3.一阶线性微分方程

    必 考 10 ~ 6 大题 4.二阶常系数齐次

    5.二阶常系数非齐次

    1、可分离变量 形式： ( ) ( ) g y dy f x dx ? 方法：两边同时积分

    题 1. 2

    dy

    xy

    dx

    ·

    解：分离变量 2

    dy

    xdx

    y

    · 两边同时积分 2

    dy

    xdx

    y

    · ? ?

    得： 2

    ln y x C ? ?

    2 2

    x C x C

    y e e e

    ·

    · ? ? ?

    1 1 ( )

    C x x C

    y e e C e C e ? ? ? ? ? ? ?

    题 2. ln 0 xy y y ? ? ?

    解： ln 0

    dy

    x y y

    dx

    · ? 分离变量 ln

    dy dx

    y y x

    · 两边积分 ln

    dy dx

    y y x

    · ? ?

    得 1 ln ln ln y x C ? ? 1 1

    ln ln ln C C

    x e e x ? ? ?

    1 1 1

    ln ln (C= )

    C C C

    y e x y e x Cx e ? ? ? ? ? ?

    2、齐次微分方程 形式:

    dy y

    dx x

    ·? ?

    · ? ?

    · ?

    题 1.? ?

    2

    2 0 x xy dx xydy ? ? ?

    解：

    2 1 2

    2

    y

    dy x xy x

    y dx xy

    x

    · ?

    · ? ? ? 令 y

    u

    x

    · y xu ?

    du

    y u x

    dx

    · ? ?

    替换上式得： 1 2 du u

    u x

    dx u

    ·

    · ? ? 整理得： ? ?

    2

    1 1 2 u du u

    x u

    dx u u

    · ?

    · ? ? ? ?

    分离变量 ? ?

    2

    1

    1

    u

    du dx

    x u

    · ?

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    29 29

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    两边积分得 ? ?

    2

    1

    1

    u

    du dx

    x u

    · ?

    ·

    · ?

    1

    ln 1 ln

    1

    u x C

    u

    · ? ? ? ? ?

    ·

    将 y

    u

    x

    · 代回 1

    ln 1 ln

    1

    y

    x C y x

    x

    · ? ? ? ?

    ·

    化简整理：ln 1 ln

    y x

    x C

    x x y

    · ? ? ?

    ·

    ln

    x

    y x C

    x y

    · ? ? ?

    ·

    3、一阶线性微分方程 形式： ? ? ? ?

    dy

    P x y Q x

    dx

    · ?

    题 1. x dy

    y e

    dx

    ·

    · ?

    解： ? ? 1 P x ? ， ? ?

    x

    Q x e

    ·

    ·

    · ? 1 P x dx dx x ? ? ? ?

    · ?

    · ? P x dx x x

    Q x e e e dx x

    · ?

    · ? ? ? ?

    所以方程通解： ? ?

    x

    y e x C ?

    · ?

    题 2.已知 ? ? f x 为可导函数，且满足方程 ? ? ? ?

    2

    0

    x

    tf t dt x f x ? ? ? ，求 ? ? f x

    解：两边求导 ? ? ? ? 2 xf x x f x ? ? ? 整理得 2 y xy x ? ? ? ?

    · ? P x x ? ? ? ? 2 Q x x ? ?

    · ?

    2 1

    2

    P x dx xdx x ? ? ? ? ? ?

    · ?

    · ?

    2 2 1 1

    2 2

    2 2

    x x P x dx

    Q x e dx xe dx e

    · ?

    ·

    · ? ? ? ?

    故方程通解： ? ?

    2 2 2 1 1 1

    2 2 2

    2 2

    x x x

    f x e e C Ce

    · ? ?

    · ? ? ? ? ?

    · ?

    0 x ? 时 代入原方程 ? ? ? ?

    2

    0

    x

    tf t dt x f x ? ? ?

    · ? 0 0 0 f ? ? ? ? ? 0 0 f ? ?

    代入? ? 0,0 点，即 0 2 C ? ? 2 C ? ? ?

    故 ? ?

    2 1

    2

    2 2

    x

    f x e ? ?

    通解公式： ? ?

    · ?

    · ? P x dx P x dx

    y e Q x e dx C ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ?

    · ?

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    30 30

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    4、二阶常系数齐次线性微分方程 形式： 0 y Py Qy ? ? ? ? ? ?

    题 1.求微分方程 2 3 0 y y y ? ? ? ? ? ? 的通解.

    解：特征方程 2

    2 3 0 r r ? ? ?

    特征根： 1 1 r ? ? 2 3 r ?

    则 3

    1 2

    x x

    y C e C e

    ·

    · ?

    题 2.求

    2

    2

    2 0

    d y dy

    y

    dx dx

    · ? ? 的解,满足初始条件满足初始条件 0

    4 x

    y ?

    · 0

    2 x

    y ?

    · ? ?

    原方程： 2 0 y y y ? ? ? ? ? ?

    特征方程： 2

    2 1 0 r r ? ? ?

    特征根： 1 2 1 r r ? ? ?

    通解为： ? ? 1 2

    x

    y C C x e

    ·

    · ? 代入 0

    4 x

    y ?

    · 得 1 4 C ? 则 ? ? 2 4 x

    y C x e

    ·

    · ?

    · ? 2 2 4 x x

    y C e C x e

    · ?

    · ? ? ? 代入 0

    2 x

    y ?

    · ? ? 得 2 2 2 4 2 C C ? ? ? ?

    所以方程的解： ? ? 4 2 x

    y x e

    ·

    · ?

    5、二阶常系数非齐次线性方程 形式： ? ?

    x

    m y py qy e P x

    ·

    · ? ? ? ? ?

    题 1. 2

    5 6 x

    y y y xe ? ? ? ? ? ?

    特征方程： 2

    5 6 0 r r ? ? ?

    特征根： 1 2 2, 3 r r ? ?

    通解： 2 3

    1 2

    x x

    Y C e C e ? ?

    从原方程可知： 2 ? ? ， ? ? m P x x ?

    设方程特解为： ? ?

    2x

    y xe ax b ?

    · ?

    · ? ? ?

    2 2

    2 2 2 x

    y e ax bx ax b ? ?

    · ? ? ?

    · ? ? ?

    2 2

    4 4 8 4 2 x

    y e ax bx ax b a ? ? ?

    · ? ? ? ?

    将 y

    ·

    ，? ? y

    · ?

    · ? y

    · ? ?

    代入原方程 化简后得： 2 2 ax a b x ? ? ? ?

    对应系数相等

    1

    2 1

    2

    2 0

    1

    a a

    a b

    b

    ·

    · ? ? ? ? ?

    · ? ?

    · ? ? ? ? ? ?

    2 1

    1

    2

    x

    y x x e

    · ? ?

    · ? ? ? ? ?

    · ?

    则方程通解为 2 3 2

    1 2

    1

    1

    2

    x x x

    y C e C e x x e

    · ?

    · ? ? ? ? ?

    · ?

    特征根 1 r ， 2 r 通解

    1 2 r r ? 1 2

    1 2

    r x r x

    y C e C e ? ?

    1 2 r r ? ? ? 1

    1 2

    r x

    y C C x e ? ?

    1 2 r r i ? ? ? ? ? ? ? 1 2 cos sin x

    y e C x C x

    ·

    · ? ? ?

    · ? m P x ? ? m Q x

    x ax b ?

    2

    1 x ? 2

    ax bx c ? ?

    3 2

    1 x x ? ? 3 2

    ax bx cx d ? ? ?

    解的结构：y Y y

    ·

    · ? (齐通+非特)

    · ?

    k x

    m y x e Q x

    · ?

    ·

    1 2

    1 2

    1 2

    0 ,1

    2

    k

    · ? ?

    · ? ? ?

    · ? ?

    · ?

    ·

    · ? ? ?

    · ? ? ?

    或高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    31 31

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    课时八 练习题

    1. ln 0 xy y y ? ? ?

    2. 2

    3 5 5 0 x x y? ? ? ?

    3.? ?

    3 3 2

    3 0 x y dx xy dy ? ? ?

    4. sin

    cos

    x

    y y x e

    ·

    · ? ?

    5.? ? ? ?

    3

    2 2 2

    dy

    x y x

    dx

    · ? ? ?

    6. 2 0 y y y ? ? ? ? ? ?

    7. 4 3 0 y y y ? ? ? ? ? ? 0

    6 x

    y ?

    · 0

    10 x

    y ?

    · ?

    8. 6 9 0 y y y ? ? ? ? ? ?

    9. 4 5 0 y y y ? ? ? ? ? ?

    10. 2

    2 5 5 2 1 y y x x ? ? ? ? ? ? ?高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    32 32

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    课时九 中值定理

    考点 重要程度 分值 常见题型

    1.罗尔中值定理 ★★★★★ 0 ~ 5 大题 2.拉格朗日中值定理

    1、罗尔定理

    题：设 ? ? ( ) , f x a b ? ，在 ? ? , a b 内可导， ( ) ( ) 0 f a f b ? ? ，证明：存在 ( , ) a b ? ? ，使得

    ( ) 2 ( ) 0 f f ? ? ? ? ?

    解：令 2

    ( ) ( )

    x

    x e f x ? ?

    ·

    ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 f a f b a b ? ? ? ? ? ? ?

    由罗尔定理可知，存在 ( , ) a b ? ? ，使得 ( ) 0 ? ? ? ?

    又 2

    ( ) [ ( ) 2 ( )] e f f

    ·

    · ? ? ? ?

    · ? ? ? ，且 2

    0 e

    · ?

    ·

    ( ) 2 ( ) 0 f f ? ? ? ? ? ?

    2、拉格朗日中值定理

    (1)在闭区间? ? , a b 上连续；

    (2)在开区间? ? , a b 内可导；

    (3) ( ) ( ) f a f b ? ；

    那么在? ? , a b 内至少有一点 ( ) a b ? ? ? ? ，使得 ( ) 0 f ? ? ? 。

    (1)在闭区间? ? , a b 上连续；

    (2)在开区间? ? , a b 内可导；

    那么在? ? , a b 内至少有一点 ( ) a b ? ? ? ? ，使得 ( ) ( ) ( )( ) f b f a f b a ? ? ? ? ? 成立高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

    33 33

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    题：设 0 a b ? ? ，证明不等式：? ? ? ?

    ln ln

    a b a b

    a b

    a b

    · ?

    · ? ?

    证明：令 ( ) ln( ) f x x ?

    由拉格朗日中值定理知：存在 ? ? , ? ? b a 使得 ? ?

    ln ln

    ·

    ·

    · ?

    ·

    a b

    f

    a b

    · ?

    1

    f x

    x

    · ? ， ? ? 2

    1

    0 f x

    x

    · ? ? ? ， ? ? f x ? 在? ? , b a 上单调递减

    · ?

    1 1

    f x

    a b

    · ? ? ， 即 ? ?

    1 1

    · ? ? ? f

    a b

    ，1 ln ln 1 ?

    · ?

    ·

    a b

    a a b b

    又 0 a b ? ? ， ln ln

    · ?

    · ? ? ?

    a b a b

    a b

    a b

    ，原不等式得证

    课时九 练习题

    1) 已知函数 ( ) f x 在? ? 0,1 上连续，在(0,1) 内可微，且 (0) 1, (1) 0 f f ? ? 求证：存在 [0,1] c? ，使得 ( )

    ( ) 0

    f c

    f c

    c

    · ? ?

    2) 设 ( ), ( ) f x g x 在? ? , a b 上连续，在? ? , a b 内可导， ( ) ( ) 0 f a f b ? ? ，证明：至少存在一个

    ( , ) a b ? ? ，使得 ( ) ( )g ( ) 0 f f ? ? ? ? ? ? ?

    3) 证明：当 0 ? ? b a , 1 n ? 时有不等式 1 1

    n n

    n n b a

    na nb

    b a

    · ? ?

    · ?

    ·

    4) 证明：对任何实数 , a b成立 arctan arctan a b a b ? ? ? ......