高斯课堂高数下讲义附答案.pdf
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2020年11月11日
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高斯课堂高数下讲义图片预览
课程目录介绍
多元函数与重极限
偏导数与全微分
复合函数与隐函数
梯度、方向导数、多元函数极值
向量与空间几何(一)
向量与空间几何(二)
二重积分---直角坐标系
二重积分---极坐标系
三重积分
第一类曲线积分
第二类曲线积分
格林公式
第一类曲面积分
第二类曲面积分
高斯公式
常数项级数
幂级数
高数下知识点总结分享
首先我们学习了空间解析几何。平面的三种方程适用于不同类型的题目：
类比平面解析几何，不难得出如下的夹角与距离的概念:
研究完平面，我们研究直线。直线也有下面三种方程:
计算夹角的方法如下:
用好过直线的平面束，可以解决很多问题:
研究完直线，我们研究曲线。曲线有如下形式的一般方程:
曲线也可用参数方程表达:
我们还有投影的概念:
研究空间解析几何，一定程度上为多元函数的研究提供了基础，多元函数的最基本概念请同学们牢记:
随后我们研究了偏导数:
以及高阶偏导数:
用好全微分的概念，可以处理很多计算偏导数的题目:
研究完最简单的偏导数，我们想研究复合函数的偏导数。由于复合方法多种多样，也有如下两种不同的情形:
隐函数定理压轴登场!一个方程的情形，计算偏导数的公式如下:
方程组联立的情形下，我们引入了雅可比行列式的概念，方法如下。乍一看公式似乎很复杂，实际就是解一个线性方程组~
除了在坐标轴方向有偏导数，我们在任意方向都可以定义方向导数。自然要用到梯度的概念:
多元函数微分学反过来对第一章的空间解析几何提供了方法:
在没有限制条件的情况下，我们可以借助偏导数求出多元函数的极值:
接触过中学数学竞赛的同学会被中学数学竞赛那细微的放缩以及“先猜后证”弄得晕头转向，而这里的拉格朗日乘子法，让你秒杀多元条件极值问题!
上学期同学们学习了定积分、反常积分，不过有的特定的反常积分是无法用传统方法解出来的。这就要借助我们的重积分了。类比定积分，二重积分有以下两个性质:
如何计算重积分，可以说是高数中的关键部分。一般来说，我们把积分区域划分成如下两种区域，再进行求解，实际上，我们还是在做定积分。必要的时候，还要交换积分次序。
三重积分最基本的计算方法有两种，我们的思想就是把三重积分转化为二重积分和定积分，这两种方法分别叫“先一后二”和“先二后一”:
当然，有时候利用对称性，可以大大简化问题:
我们还介绍了柱坐标系、球坐标系，其体积元可以借助雅可比行列式计算出。这两种坐标系常常能简化问题，就如同二重积分中的极坐标一样。
重积分后，我们有线、面积分:
曲线积分的一般方法如下:
曲面积分的一般方法如下:
接下来是本章最重要的公式之一——格林公式及其推论:
同为最重要的公式之一——高斯公式:
学期的最后，我们学习了级数的相关理论，审敛法需牢记~
我们又讲了两种重要的函数项级数——幂级数和傅里叶级数。幂级数其实同学们在学泰勒公式的时候已经接触到了~而傅里叶级数，以三角级数拟合一般的周期函数，它的提出是一种非常伟大的想法。傅里叶级数的公式稍微复杂，请同学们记住有关公式和结论，不要弄混淆了~
高斯课堂高数下讲义截图
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