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    复变函数 与 积分变换

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    习题答案

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    1

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    课时一 复数

    1.复数的表示、几何意义

    题 1. 设 1 z i ? ? ,则arg z ?( ) 。

    . 1 A ? .

    2

    B

    ·

    .

    4

    C ?

    · .

    4

    D ?

    解：arctan1

    4

    ·

    · arg

    4

    z

    ·

    · ?

    答案:C

    题 2. 数1 3

    2 2

    i ? 的指数形式为 ，三角形式为 。

    解：

    2 2

    2 2 1 3

    1

    2 2

    r z x y

    · ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

    arctan

    3 3

    y

    x

    · ?

    · ? ? ? ?

    3

    i

    i

    z re e

    ·

    ·

    ·

    · ?

    · ? cos sin cos sin

    3 3

    r i i

    · ?

    · ?

    · ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

    考点 重要程度 分值 常见题型

    1.复数的表示、几何意义

    ★★★★

    6 12 ? 选择、填空

    2.复数的运算 3 4 ? 选择、填空

    3.复数的方根 3 8 ? 计算题、选择、填空

    y

    x

    ·

    i ?

    O

    z

    y

    2

    1

    x

    i

    2

    3

    ·

    · O

    (1)z x iy ? ?

    x :实部， ? ? Re z

    : y 虚部， ? ? Im z

    : r z 的模长， 2 2

    z x y ? ?

    z : ? 的辐角 Arg 2 , 0, 1, 2,arg , ,z k k

    z

    · ?

    · ? ? ?

    · ? ? ? ? ?

    ·

    · ? ? ? ?

    ·

    辐角主值，也叫主辐角

    (2) ? i

    re z ? 指数表示

    (3) ? ? cos sin z r i ? ? ? ? 三角表示

    y

    x

    y r

    ·

    x

    O

    实轴

    虚轴高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

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    2

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    题 3. sin cos i ? ? ? 的三角表示式 ，指数表示式 。

    解：sin cos

    2

    ·

    · ? ? ?

    · ? ? ?

    · ?

    cos sin

    2

    ·

    · ? ? ?

    · ? ? ?

    · ?

    2

    sin cos cos sin

    2 2

    i

    i i e

    ·

    · ? ?

    · ? ? ?

    · ?

    · ? ?

    · ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

    题 4. 把方程 i z i z 2 2 ? ? ? 表示成直角坐标方程。

    解：令z x iy ? ? ，代入得 2 2 x iy i x iy i ? ? ? ? ?

    整理得 ? ? ? ? 2 2 x i y x i y ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

    2 2 2 2

    2 2 x y x y ? ? ? ? ?

    两边平方得： ? ? ? ?

    2 2 2 2

    2 2 x y x y ? ? ? ? ?

    化简得 0 y ?

    题 5. 方程 2 3 2 z i ? ? ? 所代表的曲线是( ) 。

    . A 中心为 i 3 2 ? ，半径为 2 的圆周 . B 中心为 i 3 2 ? ? ，半径为2 的圆周

    . C 中心为 i 3 2 ? ? ，半径为 2 的圆周 . D 中心为 i 3 2 ? ，半径为2 的圆周

    解： ? ? 2 3 2 ? ? ? ? i z ，z 点到? ? i 3 2 ? ? 点的距离等于 2

    答案：C

    2、复数的运算

    题 1. 设 i z 2 1 1 ? ? ， i z 4 3 2 ? ? ，则 1 2 z z ? ? ， 1

    2

    Re

    z

    z

    · ?

    · ? ?

    · ?。

    解： ? ? ? ? ? ? ? ? i i i i z z 6 4 4 2 3 1 4 3 2 1 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

    · ? ? ?

    1

    2

    1 2 3 4 1 2

    3 4 3 4 3 4

    i i z i

    z i i i

    · ? ?

    · ?

    · ? ?

    · ?

    · ?

    · ? ? ?

    2 2 2 2

    1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 6 8

    3 4 3 4

    i i i i i

    i

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ?

    · ?

    11 2

    25

    i ?

    · 1

    2

    11

    Re

    25

    z

    z

    · ?

    · ? ? ?

    · ?

    1. 1 2

    · ? i

    2. , z x iy z x iy ? ? ? ?

    3. ? ? ? ? 1 1 2 2 x iy x iy ? ? ?

    · ? ? ? 1 2 1 2 x x i y y ? ? ? ?

    4. ? ? ? ? 1 1 2 2 x iy x iy ? ?

    · ? ? ? 1 2 1 2 2 1 1 2 x x y y i x y x y ? ? ? ?

    5.

    · ? ? ?

    · ? ? ?

    1 1 2 2 1 1

    2 2 2 2 2 2

    x iy x iy x iy

    x iy x iy x iy

    · ? ?

    ·

    · ? ?高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

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    3

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    题 2. 当 1

    1

    i

    z

    i

    ·

    ·

    ·

    时， 100 75 50

    z z z ? ? 的值等于( ) 。

    . A i . B i ? . 1 C . 1 D ?

    解： ? ?

    · ? ? ?

    2

    1 1 1 2 1

    1 1 1 2

    i i i

    z i

    i i i

    · ? ? ?

    · ? ? ?

    · ? ?

    i i ? 1

    1 2

    · ? i

    3

    i i ? ? 1 4

    · i i i ? 5...

    100 75 50 4 25 4 18 3 4 12 2 0 3 2

    1 1 z z z i i i i i i i i

    · ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    答案：B

    题 3. 复数? ?

    · ?

    2

    3

    cos 4 sin 4

    cos 3 sin 3

    i

    i

    · ?

    · ?

    ·

    ·

    的指数形式为 。

    解：原式 ? ?

    · ? ? ?

    2

    3

    cos 4 sin 4

    cos 3 sin 3

    i

    i

    · ?

    · ?

    ·

    ·

    · ? ? ? ? ? ?

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    2 4 2 4

    2 4 3 3 17

    3 3 3 3

    i

    i

    i i i

    i

    i

    e e

    e e

    e e

    · ?

    · ? ?

    · ?

    ·

    · ? ? ?

    · ? ?

    · ? ? ?

    3.复数的方根

    题 1. 设 i z 3 1? ? ，求 6

    1

    z

    解：把z 化成三角表示式 1 3 2 cos sin

    3 3

    z i i

    · ? ? ?

    · ? ? ? ? ?

    · ?

    设 ? ?

    1

    6

    cos sin 2 cos sin

    3 3

    i i

    · ?

    · ? ? ?

    · ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

    代入 6

    1

    2 ? ?

    2

    3

    6

    k

    ·

    ·

    ·

    ·

    · , 0,1,...,5 k ?

    1

    1

    6 3 18

    · ?

    · ? ? ?

    1

    6

    1 2 cos sin

    18 18

    i

    · ?

    · ? ?

    · ? ? ?

    · ?

    2

    1 7

    2

    6 3 18

    ·

    · ? ?

    · ?

    · ? ? ? ? ?

    · ?

    1

    6

    2

    7 7

    2 cos sin

    18 18

    i

    ·

    · ?

    · ?

    · ? ? ?

    · ?

    · ?

    ·

    ·

    18

    13

    2 2

    3 6

    1

    3 ? ?

    ·

    ·

    ·

    ·

    ·

    · ? ? ?

    1

    6

    3

    13 13

    2 cos sin

    18 18

    i ? ? ?

    · ?

    · ? ? ?

    · ?

    4

    1 19

    2 3

    6 3 18

    ·

    · ? ?

    · ?

    · ? ? ? ? ? ?

    · ?

    1

    6

    4

    19 19

    2 cos sin

    18 18

    i ? ? ?

    · ?

    · ? ? ?

    · ?

    · ?

    ·

    ·

    18

    25

    4 2

    3 6

    1

    5 ? ?

    ·

    ·

    ·

    ·

    ·

    · ? ? ?

    1

    6

    5

    25 25

    2 cos sin

    18 18

    i ? ? ?

    · ?

    · ? ? ?

    · ?

    6

    1 31

    2 5

    6 3 18

    ·

    · ? ?

    · ?

    · ? ? ? ? ? ?

    · ?

    1

    6

    6

    31 31

    2 cos sin

    18 18

    i ? ? ?

    · ?

    · ? ? ?

    · ?

    y

    i

    x

    1

    4

    i

    i ? 3

    i

    1 ?

    2

    i O

    1

    1 1

    i

    z r e

    ·

    · 2

    2 2

    · i

    e r z ?

    1.

    · ? 1 2

    1 2 1 2

    i

    z z r r e

    · ? ?

    · ? ?

    2.

    · ? 1 2 1 1

    2 2

    i z r

    e

    z r

    · ? ?

    ·

    · ?

    1

    n n x iy x iy ? ? ? ? ?

    (1) ? ? cos sin x iy r i ? ? ? ? ?

    (2)设 ? ? cos sin i ? ? ? ? ? ?

    · ?

    1

    cos sin n r i ? ? ? ? ? ? ? ?

    (3)代入

    1

    n

    r ? ? ， 2

    ,k

    n

    · ?

    ·

    ·

    ·

    0,1,..., 1 k n ? ?高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

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    4

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    题 2.求方程 3

    8 0 z ? ? 的所有根。

    解： ? ? ? ? ? ?

    1 1 1

    3 3 3 3 3 8 8 8 z z z ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? 8 8 cos sin i ? ? ? ? ?

    设 ? ? ? ?

    1

    3 cos sin 8 cos sin i i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 为 3

    8 0 z ? ? 的根

    2 83

    1

    · ? ?

    3

    2 ? ?

    ·

    k ?

    · , 0,1, 2 k ?

    1

    3

    ·

    · ? 1 2 cos sin 1 3

    3 3

    i i

    · ?

    · ? ?

    · ? ? ? ? ?

    · ?

    · ? 2

    1

    2

    3

    · ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 cos sin 2 i ? ? ? ? ? ? ?

    · ? 3

    1 5

    4

    3 3

    · ? ? ? ? ? ? 3

    5 5

    2 cos sin 1 3

    3 3

    i i ? ? ?

    · ?

    · ? ? ? ? ?

    · ?

    课时一 练习题

    1.复数 16 16

    25 25

    z i ? ? ? 的主辐角为( ) 。

    .

    4

    A

    ·

    .

    4

    B

    ·

    ·

    3

    .

    4

    C ? 3

    .

    4

    D ?

    ·

    2.复数i 的模为 ，主辐角为 ，指数表示为 。

    3.已知 3

    2 arg

    4

    z z

    ·

    · ? ， ，则指数表示 ? z 。

    4.求复数 3

    2

    i

    z e

    ·

    · 的实部、虚部、模以及辐角的值。

    5.方程 2 2 ? ? ? z z 在z 平面上表示( ) 。

    . 2 A x ? 直线 . 2 B y ? 直线 . C 实轴 . D 虚轴

    6.方程 2 2 ? ? i z 所代表的曲线是( ) 。

    . A 直线 . B 圆 . C 椭圆 . D 双曲线

    7.方程 1 3 2 ? ? ? ? z z 表示一个 。

    y

    1 ?

    x

    3 ?

    2 ?

    2 ? O高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

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    5

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    8.复数1 3

    1 3

    i

    i

    ·

    ·

    的模为 辐角为 指数形式为 。

    9. ? ? ? ?

    i i i

    17 4

    4 。

    10.? ?

    · ?

    3

    4

    cos 2 sin 2

    cos 2 sin 2

    i

    i

    · ?

    · ?

    ·

    ·

    ·。

    11.设? ?

    · i

    re

    i

    i

    ·

    ·

    ·

    2

    1

    3

    ，则r ? 。

    12.求4

    1 i ? 的值。

    13.若 3

    8 0 z ? ? ，且 ? ? 0 Im ? z ，则 。

    14.方程 4

    1 0 z ? ? 的所有根为 。高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

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    6

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    课时二 复变函数

    1.导数

    题 1.已知 ? ? ? ? 0 1, 0 1 , f f i ? ? ? ? 则 ? ?

    0

    1

    lim z

    f z

    z ?

    ·

    · 。

    解： ? ? ? ? ? ?

    · ?

    0 0

    1 0 0

    lim lim 0 1

    z z

    f z f z f

    f i

    z z ? ?

    · ? ?

    · ? ? ? ?

    题 2.已知 ? ?

    2

    sin 2 3 z

    f z z ie z i

    ·

    · ? ? ? ? ，则 ? ? 0 f ? ? 。

    解： ? ? cos 2 2 z

    f z z ie z

    ·

    · ? ? ?

    · ? ? ? 0 0 | 1 2 z

    f f z i ? ? ? ? ? ?

    题 3.函数 ? ? f z xy iy ? ? 仅在点z ? 处可导，且在该点的导数值为 。

    解： ? ? ? ? , , , u x y xy v x y y ? ?

    代入C R ? 方程

    u v

    x y

    u v

    y x

    · ? ?

    · ? ? ? ?

    ·

    · ? ? ? ?

    · ? ? ?

    得 1

    0

    y

    x

    · ?

    ·

    · ?

    ·在点z i ? 可导

    · ? ? ? 0 1 z i z i

    z i

    u v

    f z i y i

    x x ? ?

    ·

    · ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

    2.解析函数

    考点 重要程度 占分 常见题型

    1.导数 ★★★ 3 4 ? 选择、填空

    2.解析函数 ★★★★ 6 10 ? 大题

    3.调和函数 必考 6 10 ? 大题

    · ? f z u iv ? ? 在点z 处可导

    , u v ? 在该点可导且满足

    u v

    x y

    u v

    y x

    · ? ?

    · ? ? ? ?

    ·

    · ? ? ? ?

    ·? ? ?

    柯西-黎曼方程(C R ? 方程)

    · ?

    u v v u

    f z i i

    x x y y

    · ? ? ?

    · ? ? ? ?

    · ? ? ?

    · ?

    · ? ? ? 0 0

    0

    0

    lim z

    f z z f z

    f z

    z ? ?

    · ? ?

    · ?

    ·

    · ? f z u iv ? ? 在区域D 内解析

    、 u v ? 在区域D 内可导且满足C R ? 方程

    · ? f z ? 在区域D 内处处可导高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

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    7

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    题 1.函数 ? ?

    2 2

    f z x iy ? ? ，判断 ? ? f z 在何处可导，何处解析。

    解： ? ?

    2

    , u x y x ? ， ? ?

    2

    , v x y y ?

    代入C R ? 方程

    u v

    x y

    u v

    y x

    · ? ?

    · ? ? ? ?

    ·

    · ? ? ? ?

    ·? ? ?

    得 2 2

    0 0

    x y

    x y

    · ?

    · ? ?

    · ?

    · ? f z ? 在x y ? 上可导，在复平面处处不解析

    题 2.设函数 ? ? ? ?

    3 2 3 2

    f z my nx y i x kxy ? ? ? ? 在z 平面上解析，求m n k 、 、 的值

    解： ? ?

    3 2

    , u x y my nx y ? ? ， ? ?

    3 2

    , v x y x kxy ? ?

    代入C R ? 方程

    u v

    x y

    u v

    y x

    · ? ?

    · ? ? ? ?

    ·

    · ? ? ? ?

    ·? ? ?

    得 2 2 2 2

    1

    2 2

    3

    3 3

    3

    m

    nxy kxy

    n

    my nx x ky

    k

    · ?

    · ? ?

    · ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ?

    题 3.下列说法正确的是( )

    . A 如果 ? ? f z u iv ? ? 在 0 z 连续，则 ? ? f z 在 0 z 可导

    . B 如果 ? ? f z u iv ? ? 在 0 z 可导，则 ? ? f z 在 0 z 解析

    . C 如果 ? ? f z u iv ? ? 在 0 z 不解析，则 ? ? f z 在 0 z 不可导

    . D 如果 ? ? f z u iv ? ? 在 0 z 可导，则 ? ? f z 在 0 z 连续

    答案：D

    题 4.函数 ? ? f z 在点 0 z 可导是 ? ? f z 在点 0 z 解析的( )

    . A 必要但不充分条件 . B 充分但不必要条件

    . C 充分必要条件 . D 既不充分也不必要条件

    答案：A

    3.调和函数

    ①写出 ? ? , u x y ， ? ? , v x y

    ②代入C R ? 方程

    u v

    x y

    u v

    y x

    · ? ?

    · ? ? ? ?

    ·

    · ? ? ? ?

    ·? ? ?

    ③求出可导解析区域

    1. 调和函数 ? ? , x y ? ：

    2 2

    2 2

    0

    x y

    · ? ? ?

    · ?

    · ?

    2. 解析函数 ? ? f z u iv ? ? 满足

    2 2

    2 2

    2 2

    2 2

    0

    0

    u u

    x y

    v v

    x y

    ·? ?

    · ? ?

    · ? ?

    ·

    · ? ? ? ?

    ·? ? ?

    3. 解析函数的虚部v 称为实部u 的共轭调和函数

    连续?可导?解析

    不连续?不可导?不解析高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

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    8

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    题 1.函数 ? ? ? ? ? ? , , f z u x y iv x y ? ? 在区域D 内解析，则下列命题中错误的是( )

    . A 函数 ? ? f z 在区域D 内可导

    . B 函数 ? ? ? ? , , u x y v x y 、 是区域D 的调和函数

    . C 函数 ? ? ? ? , , u x y v x y 、 在区域D 内满足柯西黎曼方程

    . D 函数 ? ? , u x y 是 ? ? , v x y 在区域D 内的共轭调和函数

    答案：D

    题 2.验证 ? ?

    2 2

    , u x y x y xy ? ? ? 是调和函数，并求相应的解析函数， ? ? f z u iv ? ? ，使其满足

    · ? 0 0 f ? 。

    解：验证： 2

    u

    x y

    x

    ·

    · ?

    ·

    2

    2

    2

    u

    x

    ·

    ·

    ·

    2

    u

    y x

    y

    ·

    · ? ?

    ·

    2

    2

    2

    u

    y

    ·

    · ?

    ·

    2 2

    2 2

    0

    u u

    x y

    · ?

    · ?

    · ?

    · ? , u x y ? 是调和函数

    由C R ? 方程 u v

    x y

    · ?

    ·

    · ?

    得 ? ? ? ?

    2 1

    2 2

    2

    u

    v dy x y dy xy y C x

    x

    ·

    · ? ? ? ? ?

    · ? ?

    由 u v

    y x

    · ?

    · ?

    · ?

    得 ? ? ? ? 2 2 2

    v

    y C x y x y x

    x

    ·

    · ? ? ? ? ? ? ? ?

    ·

    · ? C x x ? ? ? ?

    · ?

    2

    1

    1

    2

    C x x dx x C ? ? ? ? ? ? ?

    2 2

    1

    1 1

    2

    2 2

    v xy y x C ? ? ? ? ?

    · ?

    2 2 2 2

    1

    1 1

    2

    2 2

    f z u iv x y xy i xy y x C ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ?

    · ? 1 0 0 0 f C ? ? 由 得

    · ?

    2 2 2 2 2 2 1 1 1

    2

    2 2 2

    f z u iv x y xy i xy y x z iz

    · ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ?

    z x iy ? ?高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

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    9

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    课时二 练习题

    1.设 ? ?

    5 3

    2 f z z z ? ? ? ，则 ? ? 1 f i ? ? ? 。

    . 20 6 A i ? ? . 20 6 B i ? . 20 6 C i ? ?

    . 20 6 D i ?

    2. ? ? ? ?

    2 2

    sin f z z z ? ? ，求 ? ? z f ?

    3.(判断)如果 ? ? y x u , 和 ? ? y x v , 可导，那么 f u iv ? ? 也可导( ) 。

    4.柯西黎曼方程是指( ) 。

    . ,u v v v

    A

    x y y x

    · ? ? ?

    · ? ? ?

    · ? ? ?

    . ,u v v v

    B

    x y y x

    · ? ? ?

    · ?

    · ? ? ?

    . ,u v u v

    C

    y x x y

    · ? ? ?

    · ? ?

    · ? ? ?

    . ,u v u v

    D

    x y y x

    · ? ? ?

    · ? ?

    · ? ? ?

    5.设 ? ? ? ? x y i y x z f ? ? ? ? 3 3 ，则 ? ? ? ? ? ? i f 1 。

    6.设 ? ? ? ?

    3 3 2 2

    f z x y i x y ? ? ? ? ，则 ? ? ? ? ? i f 1 。

    7.(判断)若 ? ? z f 在 0 z 点不解析，则 ? ? z f 在 0 z 点必不可导。

    8.若 ? ? y ix xy z f

    2 2

    · ? ，则 ? ? z f 满足( ) 。

    . A 仅在直线y x ? 上可导 . B 仅在直线 y x ? ? 上可导

    . C 仅在 0 z ? 点解析 . D 仅在 0 z ? 点可导

    9.函数 ? ? i y x z f

    2 2

    3 2 ? ? 在何处可导，在何处解析。

    10.设函数 ? ? ? ?

    2 2 2 2

    f z x axy by i cx dxy y ? ? ? ? ? ? ，则a ，b ，c ，d 取何值时， ? ? z f 在平面

    处处解析。

    11.设 ? ? ? ? ? ? y x iv y x u z f , , ? ? 是解析函数，则u 与v 的关系是 。

    12.证明 2 2

    3 3 2 u x y y ? ? ? 是调和函数，并求满足 ? ? i f ? 0 的解析函数 ? ? ? ? ? ? y x iv y x u z f , , ? ?

    13.设 x y x v ? ? ? 2 2

    2 2 ，求解析函数 ? ? iv u z f ? ? ，且满足 ? ? i f 3 1 ?高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

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    10

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    课时三 初等函数

    1. exp指数函数

    题 1. ? ?

    z

    f z e ? 是周期函数。 ( )

    答案：√

    题 2.计算 i

    e 3

    1

    ·

    ·

    解：原式 1 3

    cos sin

    3 3 2 2

    e i e i

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ?

    2. Ln对数函数

    题 1. ? ? ln 1 i ? ?

    解：原式 ? ?

    4

    2 ln

    2

    1

    4

    2 ln 1 arg 1 ln

    · ?

    i i i i i ? ? ? ? ? ? ? ?

    题 2. 1 3 0 z

    e i ? ? ? ，则 ? ? Re z ? ( )

    . A 2 ln 2 . B 2 ln . C

    3

    ·

    . D

    3

    2?

    解： 1 3 z

    e i ? ?

    · ? ? ? Ln 1 3 ln 1 3 Arg 1 3 ln 2 2

    3

    z i i i i i k

    ·

    ·

    · ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ?

    ， 0 k ? , 1 ? , 2,... ?

    实部 ? ? Re ln 2 z ?

    答案：B

    题 3. 下列等式中成立的是( )

    . A z z ln 2 ln 2

    · . B 2

    2 z z ? Ln Ln . C ? ? ? ? Arg 2 2Arg i i ? . D 1 0 i

    e

    ·

    · ?

    考点 重要程度 分值 常见题型

    1.exp 指数函数

    ★★★ 3 8 ? 选择、填空、计算题 2.Ln 对数函数

    3. b

    a 幂函数

    4.三角函数

    1. ? ? exp cos sin z x

    z e e y i y ? ? ?

    2.exp z 以2k i ? 为周期

    e z

    ·

    · ，则 Ln z ? ?

    Ln ln Arg z z i z ? ?

    z i z z arg ln ln ? ? 主值高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

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    解：设 i

    z re

    ·

    · ，则 2 2 2i

    z r e

    ·

    ·

    : A ? ? z z i z z ? ? ? arg ln ln 2 2 2

    ln 2 r i ? ? ?

    · ? 2ln 2 2 ln 2ln r i r i z ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

    2 2

    : Ln ln Arg 2 2ln 2 2 B z z i z r i k ? ? ? ? ? ? ? ，? ? ? ? 2Ln 2 ln 2 2ln 2 4 z r i k r i k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? : Arg 2 Arg 2 , 0, 1, 2,...

    2

    C i i k k

    ·

    · ? ? ? ? ? ?

    : cos sin 1 i

    D e i

    ·

    · ? ? ? ? ? 1 0 i

    e

    ·

    · ? ? ?

    答案：A

    3.

    b

    a 幂函数

    题 1. 计算? ? 1

    i

    · 的值

    解：原式 ? ? Ln 1 i

    e

    · ?

    · ? ? ln| 1| Arg 1 i i

    e

    · ? ? ? ? ? ?

    · ? ? 2k

    e

    · ? ? ?

    · , 0, 1, 2,... k ? ? ?

    题 2. 计算

    1

    1 3

    2 2

    i

    i

    ·

    · ?

    · ? ?

    · ?

    的主值

    解：主值

    1

    1 3

    2 2

    i

    i

    ·

    · ?

    · ? ?

    · ?

    · ?

    1 3

    1 ln

    2 2

    i i

    e

    · ?

    · ? ? ? ? ?

    · ?

    ·

    · ?

    1 3 1 3

    1 ln arg

    2 2 2 2

    i i i i

    e

    · ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

    ·

    · ? 1

    3

    i i

    e

    ·

    · ?

    · 3 3

    i

    e

    · ?

    · ?

    ·

    4.三角函数

    题 1. 2sin i 的值等于

    . A ? ?

    1

    e e i

    ·

    · . B ? ?

    1 i

    e e

    ·

    ·

    . C 1

    e e

    ·

    · . D 1

    e e

    ·

    ·

    解：原式 ? ?

    1

    1

    2

    2

    i i i i

    e e e e

    e e i

    i i

    · ? ? ?

    · ? ?

    · ? ? ?

    答案：A

    题 2.若z 为任意复数，则| sin | 1 z ? ( )

    答案：×

    1. sin

    2

    iz iz

    e e

    z

    i

    ·

    ·

    · cos

    2

    iz iz

    e e

    z

    ·

    ·

    ·

    2. sin sh

    2

    y y

    e e

    iy i y

    i

    ·

    ·

    · ? 双曲正弦函数

    cos ch

    2

    y y

    e e

    iy y

    ·

    ·

    · ? 双曲余弦函数

    3. | sin | 1 z ? ，| cos | 1 z ? 不成立

    Ln b b a

    a e ?高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

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    题 3.

    2 2

    sin cos 1 z z ? ? ( )

    . A 仅在实轴上成立 . B 在第一象限成立

    . C 在上半复平面成立 . D 在复平面上成立

    解：由定义：sin

    2

    iz iz

    e e

    z

    i

    ·

    ·

    · ，cos

    2

    iz iz

    e e

    z

    ·

    ·

    ·

    2 2 2

    2 2

    sin

    2 4

    iz iz iz iz iz iz

    e e e e e e

    z

    i

    · ? ?

    · ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

    · ? ?

    2 2 2

    2 2

    cos

    2 4

    iz iz iz iz iz iz

    e e e e e e

    z

    · ? ?

    · ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

    · ?

    2 2 2 2

    2 2 2 2

    sin cos

    4 4

    4

    4

    1

    iz iz iz iz iz iz iz iz

    iz iz

    e e e e e e e e

    z z

    e e

    · ? ? ?

    ·

    · ? ? ? ? ?

    · ? ?

    ·

    ·

    ·

    ·

    答案：D

    课时三 练习题

    1.设 1 ? ?

    · i

    z e ，则辐角主值 。

    .

    4

    A

    ·

    ·

    3

    .

    4

    B

    ·

    .1 C 3

    . 2

    4

    D k

    ·

    · ? (k 为整数)

    2.(判断题) z

    e 是以2 i ? 为周期的函数。 ( )

    3.(判断题)复数 ? ?

    1

    4

    1 2

    exp 1

    4 4

    · ? ? ?

    · ? ? ?

    · ?

    i

    e i 。 ( )

    4.计算 ? ?

    ·

    ·

    ·

    ·

    ·

    · ?

    3

    exp

    i i ?

    5. ? ? i 4 3 ln ? 的虚部为 。

    6.求 ? ? i ? 3 Ln 的值及主值。

    7.解方程 0 1 ? ? ? i ie

    z高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

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    8.(判断题) 2

    Ln 2Ln z z ? 。 ( )

    9.计算? ?

    i

    i 3 1? 的值。

    10.计算 i

    3 的值

    11.? ?

    i

    i

    2

    1? 的主值为 (写成三角形式)

    12.sin i ?

    13. ? ? ? i cos Im

    14.利用三角函数的定义证明： ? ? z z z cos sin 2 2 sin ? ? 。

    15.证明：在复数域中， 1 cos sin 2 2

    · ? z z

    16.下列复数中，为实数的是( )

    · ?

    3

    . 1 A i ? .cos B i .ln C i

    1

    2

    .

    i

    D e

    ·

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    课时四 级数

    4.复数列的极限

    题 1.设

    2

    1

    1

    1

    n

    n

    n

    a i

    n n

    ·

    · ?

    · ? ? ? ?

    · ? ?

    ，则lim n

    n

    a

    ·?

    · 。

    解：lim 1

    1 n

    n

    n ??

    ·

    ·

    ，2 2

    2 1 1

    lim 1 lim 1

    n n

    n n

    e

    n n

    · ?

    ·

    ·? ??

    · ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ?

    · 2

    lim 1 n

    n

    a ie

    ·

    ·?

    · ?

    题 2.复数列? ? n a 收敛的充要条件是 ? ? ? ? Re , Im n n a a 收敛( )

    答案：√

    2.收敛、收敛半径

    题 1.数项级数 ? ?

    0

    2!

    n

    n

    i

    n

    ·

    ·

    · 的敛散性是 。

    解：

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    · ? ? ?

    1

    1

    2

    1 ! 2 ! 2

    lim lim lim 0 1

    1 ! 1 2 2!

    n

    n

    n n n n n

    i

    n i n i

    n n i i

    n

    ·

    ·

    ·? ?? ??

    ·

    · ? ? ? ?

    · ?

    · ? ?

    0

    2!

    n

    n

    i

    n

    ·

    ·

    · 收敛， ? ?

    0

    2!

    n

    n

    i

    n

    ·

    ·

    · 绝对收敛

    考点 重要程度 占分 常见题型

    1.复数列的极限 ★★ 3 4 ? 选择、填空

    2.收敛、收敛半径 ★★★★ 3 4 ? 选择、填空

    3.和函数、幂级数 ★★★★ 6 10 ? 大题

    4.洛朗级数 必考 6 12 ? 大题

    1. 复数列? ? n n n a ib ? ? ? 收敛 lim , lim n n

    n n

    a a b b

    ·? ??

    · ? ? ，则lim n

    n

    a ib ? ??

    · ?

    2. 级数 1 1 1

    n n n

    n n n

    a i b ?

    · ? ?

    · ? ?

    · ? ? ? ? 收敛 1 1

    n n

    n n

    a b

    · ?

    · ?

    · ? ? 收敛， 收敛

    收敛 ? 实部收敛，虚部收敛

    1. 绝对收敛： 1

    n

    n

    a

    ·

    ·

    · 收敛

    2. 条件收敛： 1 1

    不收敛， 收敛 n n

    n n

    a a

    · ?

    · ?

    · ?

    3. 若 1

    n

    n

    n

    a z

    ·

    ·

    · 在 0 z 发散，则 0 z z ? 处发散

    若 1

    n

    n

    n

    a z

    ·

    ·

    · 在 0 z 收敛，则 0 z z ? 处绝对收敛高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

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    题 2.如果级数 1

    n

    n

    n

    c z

    ·

    ·

    · 在 2 z i ? 点收敛，则级数在( )

    . 1 A z i ? ? 点绝对收敛 . 2 B z ? ? 点条件收敛

    . 2 C z i ? ? 点绝对收敛 . 1 2 D z i ? ? 点一定发散

    答案：A

    题 3.求收敛半径。

    (1) ? ?

    1

    3 4

    n n

    n

    i z

    ·

    ·

    · ? (2) 1

    i

    n n

    n

    e z

    · ?

    ·

    ·

    解： (1) ? ?

    · ?

    1

    3 4

    lim lim 3 4 5

    3 4

    n

    n n n

    i

    i

    i

    ·

    ·? ??

    ·

    · ? ?

    ·

    · 收敛半径 1

    5

    R ?

    (2)lim lim 1 1

    i

    n n n

    n n

    e

    ·

    ·? ??

    · ? ? 收敛半径 1 R ?

    3.和函数、幂级数

    1.

    1

    ,1

    lim n

    n

    n

    R

    a

    a

    ·

    ·

    ·

    ·?

    · ?

    2. ,1

    lim n

    n

    n

    R a ?

    · ??

    · ?

    幂级数展开(泰勒级数展开)

    2

    0

    1

    1 1

    1

    n n

    n

    z z z z z

    z

    ·

    ·

    · ? ? ? ? ? ? ?

    ·

    · ? ?

    · ? ? ?

    2

    0

    1

    1 1 1 1

    1

    n n n n

    n

    z z z z z

    z

    ·

    ·

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    ·

    · ? ?

    2 3

    0

    1 0

    2! 3! ! !

    n n

    z

    n

    z z z z

    e z z

    n n

    ·

    ·

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    2 1 2 1 3 5

    0

    sin 1 1 0

    3! 5! 2 1 ! 2 1 !

    n n

    n n

    n

    z z z z

    z z z

    n n

    · ? ?

    ·

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

    · ?

    · ? ?

    · ? ? ?

    2 4 2 2

    0

    cos 1 1 1 0

    2! 4! 2 ! 2 !

    n n

    n n

    n

    z z z z

    z z

    n n

    ·

    ·

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    题 1.将函数 ? ?

    · ? ? ? 1 2

    z

    f z

    z z

    ·

    · ?

    在 2 z ? 处展开为幂级数，并指出收敛半径。

    解： ? ?

    2 1

    2 1

    f z

    z z

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    2

    0

    2 2 1 1 1 2 2 1 2

    1 1

    2 2 4 2 2 2 4 4 2 4 1

    4

    n

    n

    n

    z z z

    z z z

    ·

    ·

    · ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ?

    · ? ? ? ? ? ? ?

    2 1

    0 0

    1 1

    1 2 1 2 2

    2 4

    n

    n n n n n

    n n

    z z

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    · ? ? ? ? ? ? ?

    · ?

    · ? 2

    , 1 2 4

    4

    即 z

    z

    ·

    · ? ?

    · ?

    2

    1 1 1 1 1 2 2

    1

    2 1 3 2 3 3 3 3 1

    3

    z z

    z z z

    · ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ?

    0

    1 2

    1

    3 3

    n

    n

    n

    z

    ·

    ·

    · ? ?

    · ? ? ?

    · ?

    ·

    · ? ? ?

    0

    1 1

    1 2

    3 3

    n

    n n

    n

    z

    ·

    ·

    · ?

    · ? ? ? ?

    · ?

    · ? ? ? ?

    1

    0

    1 3 2

    n n n

    n

    z

    ·

    · ?

    ·

    · ? ? ? 2

    , 1 2 3

    3

    即 z

    z

    ·

    · ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ?

    2 1 1

    0

    1 2 3 2

    n n n n

    n

    f z z

    ·

    · ? ? ?

    ·

    · ? ? ? ? ，收敛半径 2 3 z ? ?

    题 2.将 ? ?

    · ?

    2

    1

    z

    f z

    z

    ·

    ·

    展开成z 的幂级数，并求收敛半径。

    解： 2 1

    1 1

    1

    n

    z z z z

    z

    · ? ? ? ? ? ?

    ·

    · ?

    两边求导：? ?

    2 3 1

    2

    1

    1 2 3 4 1

    1

    n

    z z z nz z

    z

    ·

    · ? ? ? ? ? ? ?

    ·

    · ?

    · ? ?

    · ?

    · ?

    2 1

    2

    1 2 3

    1

    n z

    f z z z z nz

    z

    ·

    · ? ? ? ? ? ? ?

    ·

    · ?

    2 3

    2 3 n

    z z z nz ? ? ? ? ? ? ? ? 1

    1 n

    n

    n z z

    ·

    ·

    · ? ? ?

    题 3.求函数 ? ? ? ? ln 1 f z z ? ? 在 0 z ? 处的泰勒展开式，并求出收敛域。

    解： ? ?

    1

    ln 1

    1

    z

    z

    ·

    · ? ? ? ? ?

    ·

    ·

    而 ? ?

    2 1

    1 1 1

    1

    n n

    z z z z

    z

    · ? ? ? ? ? ? ?

    ·

    · ?

    两边积分： ? ? ? ? ? ?

    2 3 4 1

    1

    1

    ln 1 1 1

    2 3 4 1

    n n

    n n

    n

    z z z z z

    z z

    n n

    · ?

    ·

    ·

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    ·

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    4.洛朗级数

    题 1.将函数 ? ?

    · ? ? ?

    1

    1 2

    f z

    z z

    ·

    · ?

    分别在指定的圆环域内展开成洛朗级数。

    (1)0 1 1 z ? ? ? (2)1 2 z ? ? ? ?? (3)2 z ? ? ??

    解： (1)在0 1 1 z ? ? ? 上

    · ?

    · ? ? ?

    1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1

    f z

    z z z z

    ·

    · ? ? ?

    · ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ?

    2 1

    1 1 1 1

    1

    n

    z z z

    z

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ?

    · ? ? ?

    1

    0 0

    1

    1 1

    1

    n n

    n n

    z z

    z

    · ?

    ·

    · ?

    ·

    · ? ? ? ?

    ·

    · ?

    (2)在1 2 z ? ? ? ?? 上， 1

    0 1

    2 z

    · ?

    ·

    · ?

    · ?

    1 1

    2 1 2

    f z

    z z

    · ?

    · ? ? ? ?

    2

    1 1

    1 2 1

    2

    z

    z

    ·

    · ?

    ·

    · ?

    · ? ? ? ? ? ? ?

    1 2

    2

    1

    1 2 2 1 2

    2

    n n

    z z z

    z

    · ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ?

    · ? ? ?

    2

    0

    1 2

    n n

    n

    z

    ·

    · ?

    ·

    · ? ? ?

    (3)在2 z ? ? ??上， 1

    0 1

    z

    · ? ， 2

    0 1

    z

    · ?

    · ?

    1 1 1 1 1 1

    2 1 2 1 1 1

    f z

    z z z z

    z z

    · ? ? ? ?

    · ? ? ?

    1

    0 0

    1 1 1 2

    2

    2

    1

    n

    n n

    n n

    z

    z z z

    z

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    · ? ? ? ?

    · ? ?

    · ?

    1

    0 0

    1 1 1 1

    1

    1

    n

    n

    n n

    z

    z z z

    z

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    · ? ? ? ?

    · ? ?

    · ?

    · ? ? ? ?

    1

    0

    2 1 n n

    n

    f z z

    ·

    · ?

    ·

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    课时四 练习题

    1.复数列的通项 ? ? 2

    2

    1 1

    1

    n

    n

    n

    a i

    n n

    · ?

    · ?

    ·

    ，则极限lim n

    n

    a

    ·?

    · 。

    2.级数 1 1 1

    n n n

    n n n

    a i b ?

    · ? ?

    · ? ?

    · ? ? ? ? 收敛的充要条件是级数 1

    n

    n

    a

    ·

    ·

    · 和 1

    n

    n

    b

    ·

    ·

    · 都收敛( ) 。

    3.下列级数中，条件收敛的是( ) 。

    · ?

    1

    1 3

    .!

    n

    n

    i

    A

    n

    ·

    ·

    ·

    · ? ?

    1

    1

    .

    1

    n

    n

    i

    B

    n

    ·

    ·

    · ?

    ·

    · 1

    .

    n

    n

    i

    C

    n

    ·

    ·

    · 1

    3 4

    .

    3

    n

    n

    i

    D

    ·

    ·

    · ? ?

    · ?

    · ?

    ·

    4.级数 ? ?

    0

    3 5!

    n

    n

    i

    n

    ·

    ·

    ·

    · 的敛散性情况为( ) 。

    . A 绝对收敛 . B 条件收敛 . C 发散 . D 敛散性不能确定

    5.若级数 0

    n

    n

    n

    a z

    ·

    ·

    · ， 5 3 z i ? ? 绝对收敛，则该级数在 2 5 z i ? ? 处的敛散性为( ) 。

    . A 绝对收敛 . B 条件收敛 . C 发散 . D 不能确定

    6.级数 3

    1

    n

    n

    z

    n

    ·

    ·

    · 的收敛半径R ? 。

    7.级数 ? ?

    0

    2

    n n

    n

    i z

    ·

    ·

    · ? 的收敛半径为 。

    8.函数 ? ?

    · ? ? ? 2 3

    z

    f z

    z z

    ·

    · ?

    在 1 z ? 内的泰勒展开式的收敛圆为( ) 。

    . 2 A z ? . 1 2 B z ? ? . 3 C z ? . 1 3 D z ? ?

    9.幂级数 2

    1 n

    S z z z ? ? ? ? ? ? ? ?，则当 1 z ? 时，lim n

    S

    ·?

    · 。

    10.函数 ? ?

    1

    1

    z

    f z

    z

    ·

    ·

    ·

    在 1 z ? 时展开成泰勒级数为( ) 。

    · ? ? ?

    1

    0

    . 1 1 , 1 1

    n n

    n

    A z z

    ·

    ·

    ·

    · ? ? ? ? ? ?

    1

    0

    1

    . 1 , 1 2

    2

    n

    n

    n

    z

    B z

    · ?

    ·

    · ? ?

    · ? ? ? ?

    · ?

    ·

    · ? ? ?

    1

    0

    . 1 , 1 1

    n n n

    n

    C z z z

    ·

    ·

    ·

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    11.求 ? ?

    1

    4 3

    f z

    z

    ·

    ·

    在 0 z ? 处的泰勒展开式。

    12.求 ? ? ln 1 z ? 在 0 z ? 处的泰勒展开式。

    13.将函数 ? ?

    1

    5

    f z

    z

    ·

    ·

    在圆环域(1)0 2 3 z ? ? ? (2)3 2 z ? ? ? ?? 内展开成洛朗级数。

    14.将 ? ?

    · ?

    2

    1

    f z

    z z i

    ·

    ·

    在去心解析邻域(1)0 1 z i ? ? ? (2)1 z i ? ? ? ?? 内分别展开成

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    课时五 求积分

    1.简单方法

    题 1.计算积分 1

    0

    sin z zdz ?

    解：原式 1

    0

    cos zd z ? ? ?

    1 1

    0 0

    cos cos z z zdz ? ? ? ?

    1 1

    0 0

    cos sin z z z ? ? ? sin1 cos1 ? ?

    题 2.分别沿 2

    , y x y x ? ? ，计算积分 ? ?

    1

    2

    0

    i

    x iy dz

    ·

    · ?

    解： (1)沿 y x ? ，令 x t

    y t

    · ?

    ·

    · ?

    ，则 ? ? ? ? 1 dz d x iy i dt ? ? ? ?

    原式 ? ? ? ?

    1

    2

    0

    1 t it i dt ? ? ? ? ? ?

    1

    2 2

    0

    t it it t dt ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    1

    2

    0

    1 1 i t i tdt ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

    1

    3 2

    0

    1 1

    1 1

    3 2

    i t i t

    · ?

    · ? ? ? ? ? ?

    · ?

    · ? ? ?

    1 1 1 5

    1 1

    3 2 6 6

    i i i ? ? ? ? ? ? ? ?

    (2)沿 2

    y x ? ，令 2

    x t

    y t

    · ?

    ·

    · ?

    ，则 ? ? ? ? 1 2 dz d x iy it dt ? ? ? ?

    原式 ? ? ? ?

    1

    2 2

    0

    1 2 t it it dt ? ? ? ? ? ? ? ?

    1

    3 2

    0

    2 2 1 i t i t dt ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    1

    4 3

    0

    1 1

    2 3

    i i

    t t

    · ? ? ? ?

    · ? ? ?

    · ?

    1 5

    6 6

    i ? ? ?

    2.柯西-古萨基本定理

    题 1.设 1

    : 1

    2

    c z ? ? ，则 3

    cos

    c

    z

    dz

    z

    · ? ? ( )

    . 2 A i ? . B i ? . 0 C . 1 D

    解： ? ? 3

    cos z

    f z

    z

    · 只在 0 z ? 处不解析，在 1

    1

    2

    z ? ? 内处处解析

    答案 C

    题 2.

    1

    1

    _______

    cos z

    dz

    z ?

    · ? ?

    解：cos 0 z ? 的点为 2 0, 1, 2,...

    2

    z k k

    ·

    · ? ? ? ? ? ，考点 重要程度 占分 常见题型

    1.简单方法 ★★★ 3 ~ 8 选择、填空、计算题

    2.柯西-古萨定理 ★★★★ 3 ~ 8 选择、填空、计算题

    3.柯西积分公式 必考 6 ~ 20 计算题

    4.n 阶导数 ★★★ 6 ~ 10 计算题

    若 ? ? f z 在曲线c 围成的区域

    内解析，? ? 0

    c

    f z dz ? ? ?

    参数方程法

    ( ) 0

    c

    f z dz ? ? ?高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

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    · ?

    1

    cos

    f z

    z

    · 在 1 z ? 内处处解析 答案：0

    3.柯西积分公式

    题 1.

    1

    z

    z

    e

    dz

    z ?

    · ? ? ( )

    . 2 A i ? . 2 B i ? ? . 2 C ? . 2 D ? ?

    解：原式 0 1

    2 2

    0

    z

    z

    z z

    e

    dz ie i

    z

    · ? ? ?

    · ? ?

    · ? ?

    答案A

    题 2.若 ? ?

    · ? ? ?

    1

    2 3

    f z

    z z

    ·

    · ?

    ，则 ? ?

    5 z

    f z dz

    ·

    · ? ? ( )

    . 0 A . B i ? . C i

    1

    .

    4

    D

    解 1：原式 ? ? ? ? 5

    1

    2 3 z

    dz

    z z ?

    ·

    · ? ? ? ? ? ? ? 5

    1 1

    3 2 z

    dz

    z z ?

    · ?

    · ? ? ?

    · ? ? ? 5 5

    1 1

    3 2 z z

    dz dz

    z z ? ?

    · ?

    · ? ? ? ? ? 2 2 0 i i ? ? ? ? ?

    解 2：原式 1 2

    1 1

    3 2

    2 3 c c

    z z dz dz

    z z

    · ? ? ?

    · ? ? ? ? ?

    令 1 2 , c c 分别是以 2, 3 z z ? ? 为圆心的小圆域

    原式

    2 3

    1 1

    2 2

    3 2 z z

    i i

    z z

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    2 2 0 i i ? ? ? ? ?

    答案：A

    题 3.求 ? ? 3

    1

    z

    z

    dz

    z z i ?

    ·

    · ? ?

    解：令 1 2 c c , 分别是以 0 z ? 和z i ? 为圆心的小圆域

    原式 1 2

    1 1

    c c

    z z

    z i z dz dz

    z z i

    · ?

    · ? ?

    · ? ? ? ?

    0

    1 1

    2 2

    z z i

    z z

    i i

    z i z

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    ·

    · ? 2 2 1 i i i i ? ? ? ? ? ? ? 2 i ? ?

    4. n阶导数

    题 1.设c 表示正向圆周 ? ?

    · ?

    3

    sin 2

    2

    c

    f z d

    z

    ·

    · ?

    ·

    · ?

    ·

    · ? ，求 ? ? f i ? 的值。

    ( ) f z 在曲线c 的内部解析， 0 z 在c 内

    · ?

    · ?

    0

    0

    1

    2 c

    f z

    f z dz

    i z z ?

    ·

    · ? ?

    · ?

    · ? 0

    0

    2

    c

    f z

    dz if z

    z z

    · ?

    · ? ?

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    0 1

    0!

    2

    n

    n

    f z n

    f z dz

    i z z ? ?

    ·

    ·

    · ?

    · ?

    1 1 1

    1 1 n n n n

    · ?

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    解：设 ? ? 1 sin 2 f ? ? ?

    · ?

    · ?

    · ? 1 3

    sin 2 2

    2! c

    i

    f z d f z

    z

    · ?

    ·

    ·

    · ? ? ?

    · ? ? 4 sin 2 i z ? ? ?

    · ? 8 cos 2 f z i z ? ? ? ?

    · ? 8 cos2 8 ch 2 f i i i i ? ? ? ? ? ? ?

    课时五 练习题

    1.计算积分 1 i

    1

    z

    ze dz

    ·

    · (提示：利用分部积分)

    2.计算 1

    0

    cos z zdz ?

    3.求积分 c

    zdz ? ，c 为从0 到1 3i ? 的直线段

    4.设曲线c 是从原点到2 3i ? 的直线段，计算积分 ? ?

    2 2

    c

    x iy dz ? ?

    5. 2 1

    ______

    4 z

    dz

    z ?

    ·

    · ? ?

    6.

    1

    cos

    ______

    2 z

    z

    dz

    z ?

    ·

    · ? ?

    7. 2 1

    1

    ______

    2 4 z

    dz

    z z ?

    ·

    · ? ? ?

    8.计算 2

    : 5

    3 4 c

    z

    dz c z

    z z

    ·

    · ? ? ? ，9.计算 2 2

    2 1

    2 z

    z

    dz

    z ?

    ·

    · ? ?

    10.计算 ? ? ? ? 3 1 2 z

    z

    dz

    z z ? ? ? ? ?

    11.

    2

    1

    _______

    1 z

    dz

    z ?

    ·

    · ? ?

    12.计算 2 3

    , : 3

    2 2 c

    dz c z

    z z i

    · ?

    · ? ? ?

    · ? ? ?

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    13.设函数 ? ? f z 在单连通区域D 内解析，在D 内的曲线C 上连续，则对任意z D ? ( )

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?!

    .

    2

    n

    n c

    f z d n

    A f z dz

    i z

    ·

    · ?

    ·

    ·

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    · ? 1!

    .

    2

    n

    n c

    f z d n

    B f z dz

    i z

    ·

    · ?

    ·

    ·

    ·

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?!

    .

    2

    n

    n c

    f d n

    C f z dz

    i z

    · ?

    · ?

    ·

    ·

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    · ? 1!

    .

    2

    n

    n c

    f d n

    D f z dz

    i z

    · ?

    · ?

    ·

    ·

    ·

    · ?

    14.设函数 ? ? f z 在单连通区域D 内解析，C 是D 内一条简单正向闭曲线， 0 z 在c 的内部，则

    积分 ? ?

    · ?

    2009

    0

    _______

    c

    f z

    dz

    z z

    ·

    ·

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    课时六 留数

    1.奇点和零点

    题 1.设 1 z ? ? 是函数 ? ?

    2

    5 10 5 f z z z ? ? ? 的m 级

    零点，则m = 。

    解： ? ? ? ?

    2

    1 1

    5 10 5 0 z z

    f z z z

    ·? ??

    · ? ? ?

    · ? ? ? 1 1

    10 10 0 z z

    f z z

    ·? ??

    · ? ? ?

    · ? 1

    10 0 z

    f z

    ·?

    · ? ? ? ?

    2 m ? ?

    题 2. 0 z ? 是 ? ? 4

    sin z

    f z

    z

    · 的三级极点( )

    解： 0 z ? 是 4

    z 的4 级零点

    · ?

    0

    sin cos 1 0

    z

    z z

    ·

    ·

    · ? ? 0 z ? 是sin z 的1级零点

    0 z ? ? 是 4

    sin z

    z

    的3级极点

    答案：√

    题 3.设函数 ? ? f z 与 ? ? g z 分别以z a ? 为m 级与n 级极点，那么下列三个函数：1) ? ? ? ? f z g z ;

    2) ? ?

    · ?

    f z

    g z; 3) ? ? ? ? f z g z ? 在z a ? 处有什么性质？

    解：设 ? ?

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    1 1

    ,m n

    f z g z

    f z g z

    z a z a

    · ?

    · ?

    ， ? ? 1 0 f z ? ? ， ? ? 1 0 g z ? ?

    1) ? ? ? ?

    · ? ? ?

    · ?

    1 1

    m n

    f z g z

    f z g z

    z a

    · ?

    ·

    ，m n ? 级极点

    考点 重要程度 占分 题型

    1.奇点和零点 ★★★ 3 8 ? 选择、填空、大题

    2.留数的含义 ★★★

    6 10 ? 计算题 3.求留数规则 I、II 必考

    4.求留数规则Ⅲ、IV ★★★★

    1.m 级零点：

    · ?

    · ?

    · ?

    · ?

    0

    0

    0

    0 ,m

    n

    f z

    f z n m

    · ? ?

    ·

    · ? ? ?

    2.

    0 z 是 ? ? f z 的m 级零点

    0 z ? 是 ? ?

    1

    f z

    的m 级极点

    3.

    0 z 是 ? ? f z 的m 级零点， ? ? g z 的n 级零点

    0 z ? 是 ? ?

    · ?

    g z

    f z

    的m n ? 级极点高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

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    25

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    2) ? ?

    · ?

    · ? ? ?

    · ?

    1 1

    m n

    f z f z g z

    g z z a

    ·

    ·

    ·

    当m n ? 时，m n ? 级极点；

    当m n ? 时，可去奇点(或解析点) ；

    当m n ? 时，n m ? 级零点。

    3)当m n ? 时，m 级极点；

    当m n ? 时，m 级极点或低于m 级极点；

    当m n ? 时，n 级极点。

    2.留数的定义

    题 1. 2

    sin

    ,0

    z

    z

    · ?

    · ? ?

    · ?

    Res

    解： 2

    sin z

    z

    在 0 z ? 处展开

    3 5 3

    2 2

    sin 1 1

    3! 5! 3! 5!

    z z z z z

    z

    z z z

    · ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ?

    · ? ?

    1 1 c? ? 2

    sin

    ,0 1

    z

    z

    · ?

    · ? ? ?

    · ?

    Res

    答案：1

    题 2. 5

    1

    ,0

    z

    e

    z

    · ? ?

    · ? ?

    · ?

    Res

    解： 5

    1 z

    e

    z

    ·

    在 0 z ? 处展开

    · ?

    2 3 4 3 2 1

    4

    5 5

    1 1

    1 1

    2! 3! 4! 2! 3! 4!

    z

    e z z z z z z

    z z

    z z

    · ? ?

    · ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ?

    · ? ? ?

    1

    1 1

    4! 24

    c? ? ? 5

    1 1

    ,0

    24

    z

    e

    z

    · ? ?

    · ? ? ?

    · ?

    Res

    答案： 1

    24

    3.求留数规则 I、II

    若 ? ? ? ? 0

    n

    n

    n

    f z c z z

    ·?

    ·??

    · ? ? ，则 ? ? 0 1 , f z z c? ? ? ? ? ? Res高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

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    题 1.函数 ? ?

    sin

    2

    z

    f z

    z z

    ·

    ·

    · ?

    · ? ?

    · ?

    在 2

    z

    ·

    · 处的留数 ? ? ,2

    f z

    · ? ?

    · ? ?

    · ?

    Res

    解： 2

    z

    ·

    · 是 ? ? f z 的一级极点

    原式 ? ?

    2

    lim

    2 z

    z f z

    ·

    ·

    ·

    · ?

    · ? ? ?

    · ?

    2

    sin 2

    lim

    z

    z

    z ? ? ?

    · ?

    答案： 2

    ·

    题 2.用留数计算积分 ? ?

    2 2

    5 2

    1 z

    z

    dz

    z z ?

    ·

    ·

    · ?

    解： ? ?

    · ?

    2

    5 2

    1

    z

    f z

    z z

    ·

    ·

    ·

    ,在 2 z ? 内有 0 z ? 和 1 z ? 两个极点

    · ? ? ?

    0 0

    5 2

    ,0 lim lim 2

    1 z z

    z

    f z zf z

    z ? ?

    ·

    · ? ? ? ? ? ?

    ·

    Res

    · ? ? ? ? ?

    2

    2 1 1 1

    5 2 2

    ,1 lim 1 lim lim 2

    z z z

    z

    f z z f z

    z z ? ? ?

    ·

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    Res

    原式 ? ? ? ? ? ? 2 ,0 ,1 8 i f z f z i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Res Res

    4.求留数规则Ⅲ、IV

    题 1.函数 ? ?

    1

    1 n

    f z

    z

    ·

    ·

    在 0 1 z ? 的留数为( )

    . A n

    1

    .

    1

    B

    n ?

    1

    . C

    n

    解： ? ?

    · ?

    1

    1

    1

    1 1 1

    ,1

    1

    n

    n z

    z

    f z

    nz n z

    ·

    ·

    ·

    · ? ? ? ? ? ?

    ·

    ·

    Res

    答案：C

    1. 规则 I：

    0 z 为 ? ? f z 的一级极点，则

    · ? ? ? ? ?

    0

    0 0 , lim z z

    f z z z z f z

    ·

    · ? ? ? ? ? Res

    2. 规则 II：

    0 z 是 ? ? f z 的m 级极点，则

    · ? 0 , f z z ? ? ? ? Res

    · ?

    · ? ? ? ? ? 0

    1

    0 1

    1

    lim

    1 !

    m

    m

    m z z

    d

    z z f z

    m dz

    ·

    · ?

    · ?

    ·

    3. ? ? ? ?

    1

    2 ,n

    k

    c

    k

    f z dz i f z z ?

    ·

    · ? ? ? ? ? ? Res ?

    1. 规则 III：

    若 ? ?

    · ?

    · ?

    P z

    f z

    Q z

    · ， 0 z 是 ? ? Q z 的一级极点， ? ?

    · ?

    · ?

    0

    0

    0

    ,P z

    f z z

    Q z

    · ? ? ? ?

    ·

    Res

    2. 规则 IV： ? ? 2

    1 1

    , ,0 f z f

    z z

    · ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

    Res Res

    3. ? ?

    1

    , 0

    n

    i

    i

    f z z

    ·

    · ? ? ? ? ?Res高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

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    题 2. 2

    2

    ,3

    z

    z

    · ?

    · ? ? ? ? ? ?

    Res

    解：原式 2 2 3

    1

    2

    1 2

    ,0 ,0 2

    3 1

    3

    z

    z z z

    z

    · ?

    · ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ?

    · ? ? ?

    Res Res

    答案： 2 ?

    题 3.函数 ? ?

    · ? ? ?

    15

    2 3 2 4

    1 2

    z

    f z

    z z

    ·

    · ?

    在复平面内的所有有限孤立奇点处的留数和是

    解： ? ? ? ? 2

    1

    1 1

    , , ,0 i

    i

    f z z f z f

    z z ?

    · ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

    ·Res Res Res

    · ? ? ? ? ? ? ?

    2 3 2 3 2 4 2 4 0

    1 1

    ,0 lim 1

    1 1 2 1 1 2 z

    z

    z z z z z z

    ·

    · ?

    · ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ?

    Res

    课时六 练习题

    1.点 0 z ? 是 ? ? 1 cos f z z ? ? 的( )级零点。

    . 1 A . 2 B . 3 C

    . 4 D

    2.已知 ? ?

    · ?

    2

    1

    1

    f z

    z z

    ·

    ·

    在圆环域 1 1 z ? ? 上的洛朗级数为

    · ?

    · ? ? ? ? ?

    3 4 5

    1 1 1

    1 1 1

    f z

    z z z

    · ? ? ?

    · ? ?

    ·，则 1 z ? 是 ? ? f z 的 。

    3. 0 z ? 为函数 ? ?

    · ?

    2

    sin

    1

    z

    f z

    z z

    ·

    ·

    ( )

    . A 可去奇点 . B 本性奇点 . C 极

    点 . D 解析点

    4. 0 z ? 为函数 ? ?

    · ?

    5

    1 sin z

    e z

    f z

    z

    ·

    · 的 (奇点类型)高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

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    5.设函数 ? ?

    1

    cos f z z

    z

    · ，则 ? ? ,0 f z ? ? ? ? ? Res

    6.设函数 ? ?

    2

    1 z

    e

    f z

    z

    ·

    · ，则 ? ? ,0 f z ? ? ? ? ? Res

    7. 3 2 5 2 3

    z

    z

    e

    dz

    z z z ? ? ? ? ?

    8.函数 ? ?

    · ?

    2

    1

    z

    e

    f z

    z

    ·

    ·

    ，则 ? ? ,1 f z ? ? ? ? ? Res

    9.用留数定理计算 ? ?

    2

    1

    z

    C

    e

    dz

    z z ?

    · ? 的值，其中C 为 5 z ? 的正向圆周

    10.设函数 ? ?

    · ? ? ?

    4

    1

    1 3

    f z

    z z

    ·

    · ?

    ，判断 ? ? f z 的所有有限奇点的类型，并利用留数定理计算

    · ?

    C

    f z dz ? ? ，其中C 为正向圆周： 2.5 z ?高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

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    课时七 利用留数求积分

    1.利用留数求积分

    题 1.计算积分 ? ?

    2

    2 0

    cos 2

    , 0 1

    1 2 cos

    I d p

    p p

    · ?

    ·

    ·

    · ? ?

    · ? ?

    解： ? ? ? ?

    2 2 2 2 1 1

    cos 2

    2 2

    i i

    e e z z

    · ?

    · ? ?

    · ? ? ?

    · ?

    2 2

    1 1

    2

    1 1

    2

    1 2

    2

    z

    dz

    I z z

    z z iz

    p p

    ·

    · ?

    · ? ? ?

    ·

    · ? ?

    · ?

    · ? ? ?

    4

    2 1

    1

    2 1 z

    z

    dz

    iz pz z p ?

    ·

    ·

    · ? ? ?

    令 ? ?

    · ? ? ?

    4

    2

    1

    2 1

    z

    f z

    iz pz z p

    ·

    ·

    · ?

    在 1 z ? 内有 0， z z p ? ? 两个极点

    · ? ,0 f z ? ? ? ? Res

    · ? ? ?

    4 2

    2

    2 2 0

    1 1

    lim

    2 1 2 z

    d z p

    z

    dz iz pz z p ip ?

    · ? ? ?

    · ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

    · ? ? ?

    · ? ? ? ? ?

    4 4

    2 2 2

    1 1

    , lim

    2 1 2 1 z p

    z p

    f z p z p

    iz pz z p ip p ?

    · ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ?

    Res

    · ?

    2 4 2

    2 2 2 2

    1 1 2

    2

    2 1 2 1

    p p p

    I i

    ip p ip p

    ·

    ·

    · ? ? ?

    · ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ?

    题 2.利用留数理论计算实反常积分

    · ?

    2

    2 2

    4

    x

    dx

    x

    ·?

    ·?

    ·

    ·

    解：令 ? ?

    · ? ? ? ? ?

    2 2

    2 2 2 2

    2 2 4

    z z

    f z

    z i z i z

    · ?

    · ? ?

    在上半平面内有 2 z i ? 一个2 级极点

    · ? ? ?

    · ? ? ?

    2

    2

    2 2 2

    ,2 lim 2

    8 2 2 z i

    d z i

    f z i z i

    dz z i z i

    ·

    · ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ?

    Res

    2

    8 4

    =

    i

    i

    ·

    · ? ? ? ? 原式

    考点 重要程度 占分 题型

    1.利用留数求积分 ★★★ 6 12 ? 计算题

    2.求积分方法总结 ★★★★★

    1. ? ?

    2

    0

    cos ,sin ， dz

    R d d

    iz

    ·

    · ? ? ? ? ?

    令 ? ?

    1

    1 1

    sin

    2

    cos

    2

    z

    z z

    i

    f z dz

    z z

    ·

    ·

    ·

    · ?

    · ?

    · ? ?

    · ?

    · ? ?

    · ?

    · ?

    2. ? ? ? ? 2 ,k

    R x dx i R z z ?

    ·?

    ·?

    · ? ? ? ? ? ? Res

    k

    z 为 ? ? R z 在上半平面内的奇点

    3. ? ?

    aix

    R x e dx

    ·?

    ·? ?

    · ? 2 ,aiz

    k

    i R z e z ? ? ? ? ? ? ?Res

    · ? ? ? cos sin R x axdx i R x axdx

    ·? ??

    ·? ??

    · ? ? ?高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

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    题 3.用留数计算积分 2 0

    cos

    1

    x

    dx

    x

    ·?

    · ?

    解：令 ? ?

    · ? ? ?

    2

    1

    iz iz

    e e

    f z

    z z i z i

    ·

    · ? ?

    = ，则 ? ? f z 在上半平面内有z i ? 一个极点

    · ? ? ?

    · ? ? ?

    , lim lim

    2

    iz iz

    z i z i

    e e i

    f z i z i

    z i z i z i e ? ?

    ·

    · ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ?

    Res

    · ? 2

    2 , 2

    1 2

    ix

    e i

    dx i f z i i

    x e e

    ·

    · ?

    ·?

    ·?

    ·

    · ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? Res

    2

    cos

    1

    x

    dx

    x e

    · ??

    ·?

    ·

    · ?

    2 2 0

    cos 1 cos

    1 2 1 2

    x x

    dx dx

    x x e

    · ?? ??

    ·?

    · ?

    · ? ? ?

    2.求积分方法总结

    方法 特点

    柯西古萨基本定理： ? ? 0

    C

    f z ? ? ? ? ? f z 在C 内解析

    柯西积分公式： ? ?

    · ? 0

    0

    2

    C

    f z

    dz if z

    z z

    · ?

    · ? ? 0 z 是 ? ?

    0

    f z

    z z ?

    的一级极点， 0 z 在C 内

    求留数的规则 I：

    · ? ? ? 0 2 ,C

    f z dz i f z z ? ? ? ? ? ? ? Res ?

    · ? ? ?

    0

    0 2 lim z z

    i z z f z ?

    ·

    · ?

    · ?

    · ? ? ?

    0 z 是 ? ? f z 的一级极点， 0 z 在C 内

    n 阶导数公式： ? ?

    · ?

    · ?

    · ? 0 1

    0

    2!

    n

    n C

    f z i

    dz f z

    n z z

    ·

    ·

    ·

    ·

    · ? 0 z 是 ? ?

    · ?

    1

    0

    n

    f z

    z z

    ·

    ·

    的 1 n ? 级极点， 0 z 在C 内

    求留数规则 II：

    · ? ? ? 0 2 ,C

    f z dz i f z z ? ? ? ? ? ? ? Res ?

    · ? ? ? ? ? 0

    1

    0

    2

    lim!

    n

    n

    n z z

    i d

    z z f z

    n dz

    · ?

    ·

    · ?

    0 z 是 ? ? f z 的 1 n ? 级极点， 0 z 在C 内

    · ? ? ? 2 ,k

    C

    f z dz i f z z ? ? ? ? ? ? ? ? Res ? k

    z 是 ? ? f z 在C 内的奇点

    · ? ? ? 2 ,i

    C

    f z dz i f z z ? ? ? ? ? ? ? ? ? Res ? i

    z 是 ? ? f z 在C 外的奇点(包括?)高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

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    31

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    · ? 1 2

    C

    f z dz i C ? ? ? ?

    · ?

    1 C? 是 ? ? f z 在 0 z 点洛朗展开的系数

    0 z 是 ? ? f z 在C 内的奇点

    利用留数求积分：

    ① ? ?

    2

    0

    cos ,sin R d

    ·

    · ? ? ?

    ② ? ? R x dx

    ·?

    ·? ?

    ③ ? ?

    aix

    R x e dx

    ·?

    ·? ?

    只能用留数的规则求

    课时七 练习题

    1.计算积分 2

    0

    1

    , 1

    cos

    d a

    a

    ·

    ·

    ·

    ·

    · ?

    2.利用留数求积分的值 4 2

    1

    5 4

    I dx

    x x

    ·?

    ·?

    ·

    · ? ?

    3.利用留数定理，计算积分 ? ? ? ?

    2 2

    4 16

    dx

    x x

    ·?

    ·? ? ? ?

    4.利用留数计算积分 2 0

    sin

    1

    x x

    dx

    x

    ·?

    · ?

    5. 4 2 1 z

    z

    dz

    z ? ? ? ?

    6.计算积分

    · ? ? ?

    15

    2 3 4 2 4

    1 1

    z

    z

    dz

    z z

    ·

    · ?

    · ? (曲线为正向)高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

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    课时八 Fourier傅里叶变换

    2. ? ? t ? 函数

    题 1. ? ? cos t t ? ? ? 。

    解：原式 ? ? ? ? cos0 t t ? ? ? ? ?

    题 2. ? ? t ? 是单位脉冲函数，则 sin

    2

    t t dt

    ·

    ·

    ·?

    ·?

    · ?

    · ? ? ?

    · ?

    · 。

    解：原式 sin 1

    2

    ·

    · ?

    2.Fourier 傅里叶变换

    题 1.求函数 ? ?

    3

    2 , 0

    0 , 0

    t

    e t

    f t

    t

    ·

    · ?

    · ?

    · ?

    的Fourier 变换，并证明下式：

    · ?

    3

    2 0

    3cos sin

    , 0

    9

    t

    t t

    d e t

    · ? ? ? ?

    ·

    ·? ? ?

    · ?

    · ?

    解： ? ? ? ? ? ?

    · ? 3 3

    0 0

    2 2

    j t j t t j t

    F f t f t e dt e e dt e dt

    · ? ?

    ·

    ·? ?? ?? ? ? ? ? ?

    ·?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? F

    · ?

    2

    2 3 2

    3 9

    j

    j

    ·

    · ?

    ·

    · ?

    · ?

    对 ? ? F ? 求逆变换

    · ? ? ? ? ?

    1 1

    2

    j t

    f t F F e d ?

    · ? ?

    ·

    ·? ?

    ·?

    · ? ? ? ? ? ? F

    · ?

    2

    2 3 1

    2 9

    j t

    j

    e d ? ?

    ·

    · ?

    ·?

    ·?

    ·

    ·

    · ?

    2

    1 3cos sin

    9

    t t

    d

    · ? ? ?

    · ?

    ·?

    ·?

    ·

    ·

    · ?

    · ?

    3

    2 0

    2 3cos sin

    2 0

    9

    t

    t t

    d e t

    · ? ? ?

    · ?

    ·? ? ?

    · ? ?

    · ?

    · ?

    3

    2 0

    3cos sin

    0

    9

    t

    t t

    d e t

    · ? ? ? ?

    ·

    ·? ? ?

    · ? ?

    · ?

    考点 重要程度 占分 题型

    1. ? ? t ? 函数 ★ 3 6 ? 选择、填空

    2.Fourier 傅里叶变换 ★★★ 3 10 ? 选择、填空、大题

    · ? t ? 单位脉冲函数

    1. ? ? 1 t dt ?

    ·?

    ·?

    · ?

    2. ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 f t t t f t t t ? ? ? ? ?

    3. ? ? ? ? ? ? 0 0 f t t t dt f t ?

    ·?

    ·?

    · ? ?

    1. ? ? ? ? ? ?

    j t

    F f t e dt f t

    ·

    ·

    ·? ?

    ·?

    · ? ? ? ? ? ? F

    2. ? ? ? ? ? ?

    1 1

    2

    j t

    f t F e dt F ?

    · ?

    ·

    ·?

    ·?

    · ? ? ? ? ? ? F-

    cos sin j t

    e t j t

    ·

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    33

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    题 2.求函数 ? ?

    ,0

    E t

    f t

    · ? ? ? ? ?

    · ?

    · 其它 的傅里叶变换。

    解： ? ? ? ? ? ?

    j t

    F f t f t e dt

    ·

    ·

    ·? ?

    ·?

    · ? ? ? ? ? ? F

    · ? cos sin j t

    Ee dt E t j t dt

    · ?

    ·

    · ?

    · ? ?

    · ?

    · ? ? ? ?

    0

    2

    2 cos sin

    E

    E tdt

    ·

    · ??

    ·

    · ? ?

    题 3.函数 ? ? sin f t t ? 的傅里叶变换 。

    解： ? ? ? ? sin j t

    F f t te dt

    ·

    ·

    ·? ?

    ·?

    · ? ? ? ? ? ? F

    2

    jt jt

    j t

    e e

    e dt

    j

    ·

    ·

    ·? ?

    ·?

    ·

    · ?

    1

    2

    jt j t jt j t

    e e e e dt

    j

    · ? ?? ? ? ?

    ·?

    · ? ?

    · ? ? ?

    1

    2 1 2 1

    2 j

    ·? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 j? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    sin

    2

    jt jt

    e e

    t

    j

    ·

    ·

    ·

    · ? 2 jat

    e a ?? ? ?

    ·? ? ? F

    · ?

    ja

    t a e

    ·

    · ?

    · ?? ? F

    常用Fourier 傅里叶变换的性质

    1. ? ? ? ? 0

    0 ;

    j t

    f t t e f t

    ·

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? F F ? ? ? ? 0

    0

    j t

    e f t F ?

    · ? ? ? ? ? ? ?

    F

    2. ? ? ? ? ; f t j f t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? F F ? ? ? ? ? ?

    d

    tf t f t F

    d

    ·

    ·

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? F F

    3. ? ? ? ?

    1 t

    f t dt f t

    j? ??

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? F F

    4. ? ?

    1

    f at F

    a a

    · ? ?

    · ? ? ? ? ? ?

    · ?

    F

    5. ? ? ? ? ? ? ? ? f t g t f t g t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 表示卷积 F F F

    常见Fourier 傅里叶变换对

    · ?

    1

    0, 0 t

    e t

    j

    ·

    ·

    · ?

    ·

    · ? ?? ? ?

    F

    · ? 1 t ? ?? ? F

    · ? 1 2?? ? ?? ? F

    · ?

    2

    sin

    E

    E t ? ??

    ·

    · ?? ? F

    · ? ? ? 0 0 0 sin t j ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?

    F

    · ? ? ? 0 0 0 cos t ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?

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    34

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    题 4.已知 ? ? ? ? ? ? sin kt j k k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? F ，利用傅里叶变换计算 ? ? sin 2 t ? ? ? ? ? F 。

    解：利用性质1：

    · ? ? ? ? ? ? ?

    2 2

    sin 2 sin 1 1 j j

    t e t e j

    · ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? F F

    题 5.设 ? ?

    2

    cos f t t ? ，则 ? ? f t ? ? ? ? ? F 。

    解： ? ? ? ?

    2 1

    cos cos 2 1

    2

    f t t t ? ? ?

    · ? ? ? ? ? cos 2 2 2 t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? F

    · ? ? ? 1 2?? ? ? F

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    1

    cos2 1 2 2

    2 2 2

    f t t

    · ?

    · ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? F F F

    题 6.设函数 ? ? f t 的Fourier 变换为 ? ? 2

    1

    1

    F ?

    ·

    ·

    ·

    ，利用Fourier 变换的性质，求下列函数的

    Fourier 变换： (1) ? ? ? ?

    3

    2 jt

    f t e f t ? ? ； (2) ? ? ? ? 2 f t f t ? ? ? ? ? ?

    解： (1)利用性质2 ： ? ? ? ? 2

    1

    1

    f t j f t j ? ?

    ·

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    ·

    F F

    利用性质1： ? ? ? ?

    · ?

    3

    2

    1

    3

    1 3

    jt

    e f t F ?

    ·

    · ? ? ? ? ? ?

    · ?

    F

    · ? ? ?

    · ?

    3

    2 2

    1 1

    2 2

    1 1 3

    jt

    f t e f t j?

    · ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ?

    F

    (2)利用性质1： ? ? ? ?

    2 2

    2

    1

    2

    1

    j j

    f t e f t e

    · ?

    ·

    · ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    ·

    F F

    利用性质5： ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 f t f t f t f t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? F F F

    · ?

    2

    2

    2 2 2 2

    1 1

    1 1 1

    j

    j

    e

    e

    ·

    ·

    · ? ?

    ·

    ·

    · ? ?

    · ? ?

    题 7.设函数 ? ? f t 的傅里叶变换为 ? ? F ? ，求函数 ? ? ? ?

    2

    g t t f t ? ? 的傅里叶变换。

    解：利用性质2 ：

    · ? ? ? ? ? f t j f t j F ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? F F

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    d d

    tf t f t j F jF j F

    d d

    · ? ? ? ?

    · ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? F F

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    2

    2

    d d

    t f t tf t jF j F jF j F

    d d

    · ? ? ? ? ?

    · ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

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    课时八 练习题

    1. ? ? 3 t

    t e dt ?

    ·? ?

    ·?

    · ? ? 。

    2. ? ? 3 t dt ?

    ·?

    ·?

    · ? 。

    3. 求指数衰减函数 ? ? ? ?

    0 0

    0

    0 t

    t

    f t

    e t

    ·

    · ?

    · ?

    · ? ?

    · ?

    的傅氏变换。

    4. 函数 ? ?

    2

    , 0

    0 , 0

    t

    e t

    f t

    t

    ·

    · ?

    · ?

    · ?

    的傅氏变换 ? ? F ? ? 。

    5. 求矩形函数 ? ?

    2 ,0

    0 , 其它

    t

    f t

    · ? ? ?

    · ?

    ·

    的傅里叶变换。

    6. ? ? sin cos f t t t ? 的Fourier 变换是( )

    · ? ? ? . 2 2

    4

    A j

    ·

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 2 2

    2

    B j

    ·

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ? . 2 2 C j ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 2 2 2 D j ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    7. 求函数 ? ? ? ? 2 f t t ? ? ? ? 的频谱。 (Fourier 变换)

    8. 已知函数 ? ? f t 的Fourier 变换为 ? ? F ? ，求函数 ? ? ? ? 2 5 g t f t ? ? 的Fourier 变换。

    9. 已知函数 ? ? f t 的傅里叶变换为 ? ? ? ? F f t ? ? ? ? ? ? F ，则 ? ? tf t ? ? ? ? ? F 。

    10. 已知 ? ?

    2

    t

    f t e

    ·

    · 的傅里叶变换为 ? ?

    2

    4

    F e

    ·

    · ?

    ·

    · ，求函数 ? ?

    2

    t

    g t te

    ·

    · 和 ? ?

    2

    2

    t

    h t e

    ·

    · 的傅里

    叶变换。高斯课堂系列课程 官方公众号：蜂考 蜂考——大学生备考集训营

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    课时九 Laplace拉普拉斯变换

    1.定义和性质

    题 1.求 kt

    f e ? 的Laplace 变换(k 为实数)

    解： ? ? ? ?

    · ? ( )

    0 0

    0

    1 1 s k t kt st s k t

    F s f t e e dt e dt e

    s k s k

    ·?

    ·? ?? ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ? L

    题 2.求 ? ? sin f t kt ? 的Laplace 变换(k 为实数)

    解： ? ? ? ? 2 2 2 2 0

    0

    sin ( sin cos )

    st

    st

    e k

    F s f t kte dt s kt k kt

    s k s k

    ·? ?

    ·? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? L

    常见Laplace 拉普拉斯变换对

    1

    1

    s

    ·? ? L

    1 at

    e

    s a

    ·? ? ?

    L

    2 2

    cos

    s

    at

    s a

    ·? ? ?

    L

    考点 重要程度 占分 题型

    1.定义和性质 ★★★ 3 8 ? 选择、填空

    2.应用 ★★★★ 6 10 ? 大题

    常用Laplace 拉普拉斯变换的性质 ? ? ( ) ( ) f t F s ? L

    · ? ? ? 1. ( ) ( ); ( )

    as at

    f t a e F s e f t F s a ?

    · ? ? ? ? ? ? ?

    L L

    · ? ? ?

    2

    2. ( ) ( ) (0); ( ) (0) (0) f t sF s f f t s F s sf f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L L

    · ? 3. ( ) ( ) tf t F s ? ? ? L

    · ?

    0

    1 1

    4. ( ) ( ); ( )

    t

    s

    f t dt F s f t F s ds

    s t

    ·? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? L L

    · ? ? ? ? ? 5. ( ) ( ) f t g t f t g t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L L L

    2 2

    sin

    a

    at

    s a

    ·? ? ?

    L

    1!

    , ( 1)

    n

    n

    n

    t n

    s

    ·

    · ? ?? ? L

    · ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

    0

    1

    st

    F s f t f t e dt

    f t F s

    ·? ?

    ·

    · ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ?

    · L

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    37

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    题 3.求 3 2

    cos5 t t

    t te e t

    ·

    · ? 的拉普拉斯变换。

    解： ? ?

    3

    3 1 4

    3! 6

    t

    s s

    ·

    · ? L

    · ? 1 1 2

    1 1

    t

    s s

    ·

    · ? L ? ?

    · ?

    2 2

    1 1

    ( 1) ( 1)

    t

    te

    s s

    ·

    · ?

    · ? ?

    L

    · ? 2 2

    5

    cos5

    5

    t

    s

    ·

    ·

    L ? ?

    2

    2 2

    5

    cos5

    ( 2) 5

    t

    e t

    s

    ·

    · ?

    L

    · ? ? ?

    3 2

    4 2 2 2

    6 1 5

    cos5

    ( 1) ( 2) 5

    t t

    s

    F s t te e t

    s s s

    · ?

    · ? ? ? ? ?

    · ? ?

    L

    题 4.利用拉普拉斯变换求积分 2

    0

    1 cos 2 t

    t

    e dt

    t

    ·? ? ?

    ·

    解：求1 cos 2t

    t

    ·

    的Laplace 变换 ( ) F s

    · ?

    1

    1

    s

    · L ? ? 2

    cos 2

    4

    s

    t

    s

    ·

    ·

    L

    利用性质 ? ?

    2

    2

    1 cos 2 1 1

    4 ln ln 4

    2 4 s

    s

    t s

    ds s s

    t s s

    ·?

    ·? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ? ?

    · L

    2 2

    ln ln

    4 4 s

    s s

    s s

    ·?

    · ? ?

    · ?

    原式 2

    2 1 1

    (2) ln ln ln 2

    2 2 2 4

    F ? ? ? ? ? ?

    ·

    题 5.已知 ( ) f t 的Laplace 变换 4

    1

    ( )

    ( 1)

    F s

    s

    ·

    ·

    ，则 ( ) f t ? 。

    解： ? ?

    3

    4 4

    3! 6

    t

    s s

    · ? ?L ? ?

    3

    4

    1 1

    6

    t

    s

    · ? L

    3

    4

    1

    6

    t

    s

    · ?

    · ? ?

    · ?

    L

    利用性质

    3

    4

    1

    1:

    6 ( 1)

    t

    t

    e

    s

    · ?

    · ? ?

    · ? ?

    L

    · ?

    · ?

    3

    1

    4

    1

    6 1

    t

    t

    f t e

    s

    ·

    · ?

    · ? ? ? ?

    · ? ? ? ?

    L

    0

    ( ) ( )

    st

    F s f t e dt

    ·? ?

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    题 6.求下列函数的拉普拉斯逆变换

    1

    (1)

    ( 1) s s ? 2

    2 5

    (2)

    4 13

    s

    s s

    ·

    · ?

    解： 1 1 1

    (1)

    ( 1) 1 s s s s

    · ?

    · ?

    · ?

    1

    1

    t

    e

    s

    ·

    ·

    ·L ? ?

    1

    1

    s

    · L

    · ?

    1 1 1

    ( ) 1

    1

    t

    f t e

    s s

    ·

    · ? ? ? ?

    ·

    L

    · ? ? ?

    2 2 2 2

    2 5 2( 2) 1 2( 2) 1

    (2)

    4 13 ( 2) 9 2 9 2 9

    s s s

    s s s s s

    · ? ? ?

    · ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ?

    利用性质 1

    · ?

    · ?

    · ?

    2

    2

    2

    2

    2

    cos3

    9

    2

    cos3

    ( 2) 9

    2( 2)

    2 cos3

    ( 2) 9

    t

    t

    s

    t

    s

    s

    e t

    s

    s

    e t

    s

    ·

    ·

    ·

    ·

    ·

    · ?

    · ?

    ·

    · ?

    · ?

    ·L

    L

    L

    · ?

    · ?

    2

    2

    2

    2

    2

    3

    sin 3

    9

    3

    sin 3

    ( 2) 9

    1 1

    sin 3

    3 ( 2) 9

    t

    t

    t

    s

    e t

    s

    e t

    s

    ·

    ·

    ·

    ·

    ·

    · ?

    · ?

    · ? ?

    · ? ? ?

    L

    L

    L

    1 2 2

    2

    2 5 1

    ( ) 2 cos3 sin 3

    3 4 13

    t t

    s

    f t e t e t

    s s

    · ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ? ?

    · ? ? ?

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    2.应用

    题 1.用拉普拉斯变换求初值问题 2 1

    (0) 0 (0) 1

    y y y

    y y

    · ? ? ? ? ? ?

    ·

    · ? ? ?

    解：对两边取Laplace 变换，利用性质 2

    · ?

    2 1

    ( ) (0) (0) 2 ( ) (0) ( ) s Y s sy y sY s y Y s

    s

    · ? ? ? ? ? ?

    代入 (0) 0, (0) 1 y y? ? ? 得 2 1

    ( ) 1 2 ( ) ( ) s Y s sY s Y s

    s

    · ? ? ?

    整理得 2 1

    ( 2 1) ( ) 1 s s Y s

    s

    · ? ? ? 2

    1

    ( )

    ( 1)

    s

    Y s

    s s

    ·

    ·

    ·

    设 2

    ( )

    1 ( 1)

    A B C Y s

    s s s

    · ? ?

    · ?

    · ?

    · ?

    2

    2 2 1 1

    1 1

    ( ),1 lim ( 1) lim 1

    1 s s

    s

    A Y s s

    s s s ? ?

    ·

    · ? ?

    · ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ? ? ? ?

    Res

    · ?

    · ?

    2

    2 1 1

    1 1

    ( ) ( 1),1 lim ( 1) lim 2

    1 s s

    s s

    B Y s s s

    s s s ? ?

    · ?

    · ? ? ? ? ? ?

    ·

    Res

    · ? 2 2 0 0

    1 1

    ( ),0 lim lim 1

    ( 1) ( 1) s s

    s s

    C Y s s

    s s s ? ?

    · ?

    · ? ? ?

    · ?

    Res

    2

    1 2 1

    ( )

    1 ( 1)

    Y s

    s s s

    ·

    · ? ? ?

    · ?

    求Laplace 逆变换 ? ? 2 1 t t

    y t e te ? ? ? ?

    题 2.用拉氏变换解方程 0

    ( ) ( )

    t

    t

    y t e y t dt ? ? ?

    解：两边取Laplace 变换，利用性质 1 1

    4 ( ) ( )

    1

    Y s Y s

    s s

    · ?

    ·

    整理得 ( )

    ( 1)( 1)

    s

    Y s

    s s

    ·

    · ?

    设 ( )

    1 1

    A B

    Y s

    s s

    · ?

    · ?

    · ?

    1

    1

    ( ),1 lim( 1)

    ( 1)( 1) 2 s

    s

    A Y s s

    s s ?

    · ? ? ?

    · ?

    Res

    · ?

    · ? 1

    1

    ( ), 1 lim( 1)

    1 ( 1) 2 s

    s

    B Y s s

    s s ??

    · ? ? ? ?

    · ?

    Res

    1 1

    2 2 ( )

    1 1

    Y s

    s s

    · ? ?

    · ?

    求Laplace 逆变换 ? ?

    1 1

    2 2

    t t

    y t e e

    ·

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    题 3.利用Laplace 变换求解方程 0

    ( ) sin 2 ( ) cos( )

    t

    y t t y t d ? ? ? ? ? ? ?

    解：方程化简为 ? ? ? ? sin 2 cos y t t y t t ? ? ?

    两边取Laplace 变换得： ? ? 2 2

    1

    2 ( )

    1 1

    s

    Y s Y s

    s s

    · ? ?

    · ?

    整理得 ? ? 2 2

    1 1

    1 2 ( 1)

    Y s

    s s s

    · ?

    · ? ?

    求Laplace 逆变换得 ? ?

    t

    y t te

    ·

    ·

    课时九 练习题

    1. 利用拉普拉斯变换的定义求函数 ( ) cos(3 ) f t t ? 的拉普拉斯变换 ( ) F s 。

    2. 已知 2

    ( ) f t t ? ，则 ( ) f t 的Laplace 变换为( ) 。

    . A 3

    3

    s

    . B 3

    2

    s

    . C 3

    6

    s

    . D 4

    6

    s

    3. 求函数 3

    ( ) cos 4 t

    f t e t

    ·

    · 的拉普拉斯变换。

    4. 求函数 ( ) sin 3 f t t t ? 的Laplace 变换，并由此计算积分 3

    0

    sin 3 t

    te tdt

    ·? ?

    · 。

    5. 积分 2

    0

    t

    te dt

    ·? ?

    · 的值为_________。

    6. 求 ? ?

    · ?

    2

    1

    1

    F s

    s s

    ·

    ·

    的拉氏逆变换。

    8. 用Laplace 变换求解微分方程初值问题 ? ? ? ?

    2 3

    0 0 0 1

    t

    y y y e

    y y

    ·

    · ? ? ? ? ? ? ?

    ·

    · ? ? ? ?。

    9.用拉普拉斯变换解常微分初值问题： 4 3 t

    y y y e

    ·

    · ? ? ? ? ? ， ? ? ? ? 0 0 1 y y? ? ? 。

    10.用Laplace 变换求方程 cos sin y y t t ? ? ? ? ? 满足初始条件 0

    0 t

    y ?

    · ， 0

    0 t

    y ?

    · ? 的特解。

    11.用拉普拉斯变换求解微分方程 ? ? ? ? ? ?

    0

    sin

    t

    f t at t f d ? ? ? ? ? ? ? 。

    12.求积分方程的解： ? ? ? ?

    0

    2 3

    t

    y t y t e d t

    ·

    · ? ? ? ? ? ? 。

    卷积：

    · ?

    0

    ( ) ( ) ( )

    t

    f t g t f g t d ? ? ? ? ? ? ? ?

    · ?

    0

    ( )

    t

    f t g d ? ? ? ? ? ?

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    课时十 映射

    1.映射

    题 1.曲线 2 2

    4 x y ? ? 在映射 1

    z

    · ? 下所形成的图形为( )

    . A 圆 . B 直线 . C 射线 . D 圆弧

    解：令 , , z x iy u iv ? ? ? ? ? 则 1

    z

    · ? 相当于

    2 2 2 2

    1 x iy

    u iv

    x iy x y x y

    · ? ? ?

    · ? ?

    2 2

    2 2

    4

    4

    x x

    u

    x y

    y y

    v

    x y

    ·

    · ? ? ? ?

    · ? ?

    · ? ?

    · ? ?

    · 4

    4

    x u

    y v

    · ? ? ?

    当 2 2

    4 x y ? ? 时，? ? ? ?

    2 2

    4 4 4 u v ? ? ? 即 2 2 1

    4

    u v ? ?

    答案：A

    题 2.映射 2

    z z ? ? ? 在 0

    1

    2

    z i ? ? ? 处的伸缩率为 ，转动角为 。

    解： ? ? 1 0

    2

    ( ) 2 1 2

    o z i

    z z i ? ?? ?

    · ? ? ?

    伸缩率： 0 ( ) 2 2 z i ?? ? ?

    转动角： 0 arg ( )

    2

    z

    ·

    ·? ?

    2.分式线性映射

    1.分式线性映射 , 0

    az b

    ad bc

    cz d

    · ?

    · ? ?

    ·

    2.唯一分式线性映射?

    给定? 平面 3个点 1 2 3 , , , z ? ? ? 平面 3个点 1 2 3 , , , z z z ......